2023年中考考前最后一卷：数学（江西卷）（全解全析）

这是一份2023年中考考前最后一卷：数学（江西卷）（全解全析），共27页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年中考考前最后一卷
数学·全解全析
第Ⅰ卷
1
2
3
4
5
6
B
A
D
D
C
D
一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．（本题3分）|-2022|的倒数是（      ）
A．2022 B．12022 C．-2022 D．-12022
【答案】B
【分析】利用绝对值的代数意义，以及倒数的性质计算即可．
【详解】解：|−2022|=2022，
2022的倒数是12022.
故选：B
【点睛】此题考查了倒数，以及绝对值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
2．（本题3分）某天，腾王阁景区早晨的气温是−2℃，中午上升了4℃，下午又下降了3℃，则下午的气温是（    ）
A．−1℃ B．−3℃ C．4℃ D．9℃
【答案】A
【分析】依据题意列出算式，利用有理数的加减法法则解答即可．
【详解】解：−2+4−3
=(−2−3)+4
=−5+4
=−1℃，
∴下午的气温是−1℃，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了有理数加减法的应用，依据正负数的意义列出算式是解题的关键．
3．（本题3分）下列运算正确的是（ ）
A．x+x2=x3 B．3x3−x2=2x C．−3÷−13=1 D．−（−2）3=8
【答案】D
【分析】根据整式的加减法法则，有理数除法法则，有理数乘方法则依次计算并判断．
【详解】解：A、x与x2不是同类项，不能合并，故该项错误；
B、3x3与-x2不是同类项，不能加减运算，故该项错误；
C、−3÷−13=−3×−3=9，故该项错误；
D、-（-2）3=8，故该项正确；
故选：D．
【点睛】此题考查了计算能力，正确掌握整式的加减法法则，有理数除法法则，有理数乘方法则是解题的关键．
4．（本题3分）以下图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A、不是中心对称图形，但是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
5．（本题3分）长方形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交CD于点F，将△DEF沿EF折叠，点D恰好落在BE上的点M处，分别延长BC，EF交于点N．下列四个结论：①DF=CF；②△BEN是正三角形；③BF⊥EN；④S△BEF=3S△DEF，其中正确的是（    ）

A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】C
【分析】由折叠性质、矩形的性质、角平分线的性质可证明FM=DF=CF，则可判断①正确；易证得∠MFB=∠CFB，又由折叠性质可得∠DFE=∠MFE，所以∠EFB=∠MFE+∠MFB=12∠DFM+12∠CFM=90°，可判断③正确；易证明△BEN为等腰三角形，但无法证明为正三角形，则可判断②错误；易证得BE=EM+BM=DE+BC=DE+AD=DE+2DE=3DE，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，即可判断④正确．
【详解】解：由折叠性质可知DF=MF，∠FDE=∠FME=90°，由四边形ABCD为长方形，则∠FCB=90°，
又FB平分∠EBC，
∴FM=CF，
∴DF=CF，
故①正确；
由折叠性质可得∠DFE=∠MFE，
∵∠MFB=90°-∠FBM，∠CFB=90°-∠FBC，
∴∠MFB=∠CFB，
∴∠EFB=∠MFE+∠MFB=12∠DFM+12∠CFM=12×180°=90°，
即BF⊥EN，
故③正确；
在△DEF和△CNF中，
∠EDF=∠NCFDF=CF∠DFE=∠NCF，
∴△DEF≌△CNF（ASA），
∴EF=FN，
又BF⊥EN，
∴BE=BN，
则△BEN为等腰三角形，
假设△BEN为正三角形，则∠EBN=60°，
∴∠EBA=30°，
∴AE=12BE，
∴AE=12AD，
则BE=AD，但BE=BN＞AD，
故假设不成立，
则△BEN为不是正三角形，
故②错误；
∵S△BEF=12EM•BE，S△DEF=12DF•DE，DF=FM，
又BE=EM+BM=DE+BC=DE+AD=DE+2DE=3DE，
故S△BEF=3S△DEF，
故④正确．
综上，正确的是①③④，
故选：C．
【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，角平分线的性质，以及全等三角形的判定性质，注意数形结合思想的应用．
6．（本题3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③abc＞0；④b2+8a＞4ac．其中正确的有（　 　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】由于x=−2时，y＜0，则对①进行判断；由抛物线开口方向得到a＜0，再根据对称轴的位置得到−10，于是可对③进行判断；根据抛物线的顶点位置可得4ac−b24a>2，而a＜0，易得b2+8a＞4ac，于是可对④进行判断．
【详解】解：如图：

∵x=-2时，y＜0，
∴4a-2b+c＜0，所以①正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵−1 ∴2a-b＜0，所以②正确；
∵−b2a<0，a<0，
∴b<0，
∵c>0，
∴abc>0，故③正确；
∵4ac−b24a>2，
而a＜0，
∴b2+8a＞4ac，所以④正确．
∴正确的选项由4个；
故选：D.
【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
第Ⅱ卷（非选择题 共102分）
二、 填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，直接填写答案．）
7．（本题3分）因式分解：2x3−8x=______．
【答案】2xx+2x−2/2xx−2x+2
【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
【详解】解：2x3−8x
＝2x(x2−4)
＝2x(x+2)(x−2)
故答案为：2xx+2x−2
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
8．（本题3分）函数y=2x+2中，则自变量x的取值范围是_____．
【答案】x≠-2
【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不等于0，据此列不等式，即可得解．
【详解】∵存在函数y=2x+2，
∴分式有意义，
∴x+2≠0，
解得x≠−2，
故答案为：x≠−2．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围及分式有意义的条件等知识．根据分式有意义得出x+2≠0是解答本题的关键．
9．（本题3分）已知α，β是方程x2−2x−4=0的两根，则α2−α+β=______．
【答案】6
【分析】因为α，β是方程x2−2x−4=0的两根，利用根与系数的关系求出α+β=2，再将α代入方程x2−2x−4=0得α2−2α=4，两个式子相加就能得到结果．
【详解】解：∵α，β是方程x2−2x−4=0的两根，
∴α+β=2，
将α代入方程x2−2x−4=0得α2−2α−4=0，
∴α2−2α=4，
∴α2−α+β= α2−2α+α+β=4+2=6，
故答案为：6．
【点睛】此题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解的定义，熟练掌握一元二次方程的解以及根与系数的关系是解本题的关系．
10．（本题3分）某工厂现在平均每天比原计划多生产60台机器，现生产800台机器所需时间与原计划生产650台所需时间相同．设原计划每天生产x台，根据题意，可列方程为：______________________．
【答案】800x+60=650x/650x=800x+60
【分析】根据时间相等的关系列出方程．
【详解】解：原计划每天生产x台，现在平均每天比原计划多生产60台机器，
∴现在每天生产（x＋60）台，
由现生产800台机器所需时间与原计划生产650台所需时间相同得：800x+60=650x ．
故答案为：800x+60=650x
【点睛】本题考查了用等量关系列方程的应用，根据生产机器所用时间相等列方程是作答关键．
11．（本题3分）如图，正方形ABCD的边长为5，点E是AD边的中点，连接BE．在线段BE上有一点P，若点P到正方形一边的距离为2，则BP的长为___________．

【答案】25或352或5
【分析】根据勾股定理求得BE=525，再分三种情况讨论，PF⊥AB,PG⊥BC,PH⊥AD，根据相似三角形的性质与判定，即可求解．
【详解】解：∵正方形ABCD的边长为5，点E是AD边的中点，
∴ AD=AB=5,∠A=90°,AE=52
∴ BE=AE2+AB2=552，
如图1，作PF⊥AB于点F，使PF=2，

∵ ∠PFB=∠A=90°，∠PBF=∠EBA，
∴ △PBF∽△EBA，
∴BPBE=PFAE=252=45，
∴BP=45×552=25，
如图2，作PG⊥BC于点G，使PG=2，

∵ ∠BGP=∠EAB=90°，∠GBP=∠AEB，
∴△BGP∽△EAB，
∴BPBE=PGAB=25
∴BP=25×552=5
如图3，作PH⊥AD于点H，使PH=2，

∵ ∠PHE=∠A=90°，∠HEP=∠AEB，
∴ △HEP∽△AEB，
∴PEBE=PHAB=25
∴PE=25×552=5
∴BP=552−5=352
综上所述：BP的长为25或352或5，
故答案为：25或352或5．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．
12．（本题3分）如图，在△ABC中，AB=AC=4，∠B=30°，D为BC上的动点，连接AD，作菱形ADEF，且∠DAF=60°，连接CE，当BD=______时，△CDE为等腰三角形．

【答案】23或23−2或23+2
【分析】△CDE为等腰三角形，根据图形可以判断一共有3种情况：①CE=DE；②CD=CE，点E在CB下方；③CD=CE，点E在CB上方．每种情况画出图形谈论即可．
【详解】解：△CDE为等腰三角形，连接AE
∵四边形ADEF为菱形，∠DAF=60°
∴∠DEA=30°，∠ADE=120°
∵AB=AC=4，∠B=30°
∴∠ACB=∠B=30°
∴∠DEA=∠ACB
①如答图1，当CE=DE时，AE交CD于点G
∵∠AED=∠ACB，∠DGE=∠AGC
∴△DGE∽AGC
∴AGDG=CGGE
∵∠CGE=∠AGD
∴△AGD∽CGE
∴∠DCE=∠DAE=30°
∵CE=DE
∴∠EDC=∠DCE=30°
∴∠ADC=∠ADE−∠CDE=120°−30°=90°
∵在Rt△ABD中，∠B=30° ，AB=4
∴AD=2，BD=23

②如答图2，CD=CE，点E在CB下方，过点A作BC的垂线交BC于点H
方法同①可证：∠DCE=30°
∵ CD=CE
∴∠CDE=∠CED=180°−30°2=75°
∴∠ADC=120°−75°=45°
由①可知：AH=2，BH=23
∴在Rt△ADH中：DH=AH=2
∴BD=23−2

③如答图3，CD=CE，点E在CB上方，DE与AC交于点M
∵∠ACD=∠AED，∠AME=∠CMD
∴△AME∽△DMC
∴AMMD=MECM
∵∠AMD=∠EMC
∴△AMD∽△EMC
∴∠MCE=∠ADE=120°
∴∠DCE=120°+30°=150°
∵CD=CE
∴∠EDC=∠DEC=180°−150°2=15°
∴∠ADH=180°−∠ADE−∠EDC=45°
∴在Rt△AHD中，DH=AH=2
∴BD=BH+DH=23+2  

综上所述，当BD= 23或23−2或23+2时，△CDE为等腰三角形．
故答案为：23或23−2或23+2
【点睛】本题属于几何综合题，考查了等腰三角形的性质与判定、相似三角形的判定与性质、菱形的性质、特殊角度的直角三角形．通过相似三角形得到△ADE中的内角度数是解题关键，注意结合图形利用相似三角形和勾股定理进行计算．
三、解答题（本大题共5个小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
13．（本题6分）（1）计算：25+2−3−(−2)3；
（2）解方程组：x+2y=102x−y=5．
【答案】（1）15−3（2）x=4y=3
【分析】（1）原式利用算术平方根性质，绝对值的代数意义，以及乘方的意义计算即可求出值；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
【详解】解：（1）原式=5+2−3−(−8)
=5+2−3+8
=15−3；
（2）x+2y=10①2x−y=5②，
①+②×2得：5x=20，
解得：x=4，
把x=4代入①得：4+2y=10，
解得：y=3，
则方程组的解为x=4y=3．
【点睛】此题考查解二元一次方程组，以及实数的运算，解决本题的关键是正确应用解方程组时的消元的思想及实数计算法则．
14．（本题6分）在矩形ABCD中，将△ABC沿AC对折至△AEC位置，CE与AD交于点F．

(1)证明：AF=FC；
(2)如果 AB=4，BC=8，求AF的长．
【答案】(1)见详解
(2)5
【分析】（1）根据折叠的性质可得∠ACB=∠ACF，根据矩形的性质可得∠ACB=∠CAF，则即可得证；
（2）设AF=x，则DF=8−x，在Rt△CDF中，利用勾股定理得到关于x的方程，然后求解方程即可．
【详解】（1）∵四边形ABCD为矩形，△ABC与△AEC关于AC对称，
∴AD∥BC，∠ACB=∠ACF，
∴∠ACB=∠CAF，
∴∠CAF=∠ACF，
∴AF=FC；
（2）根据（1）的结论，设AF=FC=x，则DF=8−x，
在Rt△CDF中，CF2=DF2+CD2，
∴x2=8−x2+42，
解得x=5，
即AF=5．
【点睛】本题主要考查矩形与折叠问题，勾股定理，解此题的关键在于熟练掌握其知识点．
15．（本题6分）北京冬奥会的胜利召开，也有很多志愿者的一份功劳．北京师范大学数学系的小丽、小王和三个同学共五个志愿者被派往国家体育馆，根据该场馆人事安排而要先抽出一人去做安保服务，再派两人去做交通服务，请你利用所学知识完成下列问题．
(1)小丽被派去做安保服务的概率是________；
(2)若定了一位同学去做安保服务，请你利用画树状图或列表的方法，求出小丽和小王同时被派去做交通服务的概率．
【答案】(1)15
(2)16
【分析】（1）直接根据概率公式计算，即可求解；
（2）设小丽、小王和两个同学分别为A，B，C，D，根据题意，画出树状图，可得到一共有12种等可能情况，小丽和小王同时被派去做交通服务的情况有2种，再根据概率公式计算，即可求解．
(1)
解：根据题意得：小丽被派去做安保服务的概率是15，
故答案为：15
(2)
解：设小丽、小王和两个同学分别为A，B，C，D，根据题意，画出树状图，如下图：

一共有12种等可能情况，小丽和小王同时被派去做交通服务的情况有2种：
∴小丽和小王同时被派去做交通服务的概率为212=16．
【点睛】本题主要考查了求概率，明确题意，准确画出树状图或列出表格是解题的关键．
16．（本题6分）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C在小正方形的顶点上．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．（保留作图痕迹）

(1)如图1，作出△ABC中AC边上的中线BD．
(2)如图2，作出△ABC中AB边上的高CE．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用网格找到AC的中点D，连接BD即可．
（2）延长AB，利用网格，作CE⊥AB即可．
【详解】（1）如图1，BD即为所求．

（2）如图2，CE即为所求．

【点睛】本题考查作图﹣应用与设计作图、三角形的中线与高线，熟练掌握三角形的中线与高线的定义是解答本题的关键．
17．（本题6分）如图，一次函数y=kx+bk≠0的图象与反比例函数y=mxm≠0的图象相交于点A1，2，Ba，−1．

(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)请直接写出不等式kx+b−mx<0的解集．
(3)若直线y=kx+bk≠0与x轴交于点C，x轴上是否存在一点P，使S△APC=4？若存在，请求出点P坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)y=2x，y=x+1
(2)x<−2或0 (3)存在，P3，0或−5，0
【分析】（1）把点A1，2代入y=mx得到反比例函数的解析式为y=2x；把点A1，2，B−2，−1代入y=kx+b得到一次函数的解析式为：y=x+1；
（2）当y=0时，得到C−1，0，设Px，0，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）解：把点A1，2代入y=mx得，2=m1，
∴m=2，
∴反比例函数的解析式为y=2x；
把Ba，−1代入y=2x得，a=−2，
∴B−2，−1，
把点A1，2，B−2，−1代入y=kx+b得k+b=2−2k+b=−1，
解得：k=1b=1，
∴一次函数的解析式为y=x+1；
（2）解：由一次函数图象与反比例函数图象可知，不等式kx+b−mx<0的解集，即y=kx+b （3）解：x轴上存在一点P，使S△APC=4；
当y=0时，0=x+1，
解得：x=−1，
∴C−1，0，
设Px，0，
∴S△APC=12×x+1×2=4
∴x=3或x=−5，
∴P3，0或−5，0．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积的计算，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．
四、解答题（本大题共3个小题，共24分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
18．（本题8分）某校八年级有500名学生，从中随机抽取了一部分学生，统计每晚写作业的时间，根据它们的时间(单位：分钟)，绘制出如下的统计图①和图②请根据相关信息，解答下列问题：

(1)图①中m=________，n=________；
(2)求统计的这组数据的平均数、众数和中位数；
(3)根据样本数据，估计这500名学生中，时间为120分钟的约有多少学生？
【答案】（1）40；15（2）117，120，120（3）200
【分析】（1）先算出总量，再用120分的人数和135分的人数分别除以总人数即可；
（2）根据平均数、众数、中位数的方法求解即可；
（3）用500人乘以120分人数的占比即可得出答案；
【详解】（1）10÷25%=40（名）；
1640×100%=40%，
∴m=40，
640×100%=15%，
∴n=15．
（2）这组数据的平均数为90×5+105×10+120×16+135×6+150×35+10+16+6+3=117，
因为120出现的的次数最多，所以众数为120，
共40个数，按大小排列后，第20、21个数是120、120的平均数即为中位数，所以中位数为120；
（3）估计这500名学生中，时间为120分钟的约500×1640=×100％=200(人)．
【点睛】本题主要考查了条形统计图的知识点，准确计算中位数、众数、平均数是解题的关键．
19．（本题8分）2021年11月9日是我国第30个“全国消防宣传日”，该年“119消防宣传月”活动的主题是“落实消防责任，防范安全风险”．为落实该主题，江西省南昌市消防大队到某小区进行消防演习．已知，图1是一辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图，起重臂AC可伸缩（10m≤AC≤20m），且起重臂AC可绕点A在一定范围内转动，张角为∠CAE（90°≤∠CAE≤150°），转动点A距离地面BD的高度AE为3.5m．

(1)当起重臂AC长度为15m，云梯消防车最高点C距离地面BD的高度为11m，求张角∠CAE的大小；
(2)已知该小区层高为2.8m，若某9楼居民家突发险情，请问该消防车能否实施有效救援？请说明理由．（参考数据：3≈1.732）
【答案】(1)∠CAE=120°；
(2)该消防车能实施有效救援，理由见解析．
【分析】（1）过点A作AG⊥CF，根据题意可得四边形AEFG是矩形，从而得∠CAG=30°，AE=FG=3.5米，然后在Rt△AGC中求出sin∠CAG=CGAC=7.515=12，从而可得答案；
（2）根据题意可得：当∠CAE=150°，AC=20m时，点C到地面的高度最大，过点A作AH⊥CF，按照（1）的思路进行计算求出CF的长度，最后进行比较即可解答．
（1）
过点A作AG⊥CF，垂足为G，

∴∠AGF=∠AGC=90°，
由题意得：
∠AEF=∠EFC=90°，CF=11m，
∴四边形AEFG是矩形，
∴AE=FG=3.5m，∠EAG=90°，
∴CG=CF-FG=11-3.5=7.5（m），
∴sin∠CAG=CGAC=7.515=12，
∴∠CAG=30°，
∴∠CAE=120°；
（2）
该消防车能实施有效救援，理由如下：
由题意得：当∠CAE=150°，AC=20m时，点C到地面的高度最大，
过点A作AH⊥CF，垂足为H，如图：

∴∠AHF=∠AHC=90°，
由题意得：
∠AEF=∠EFC=90°，
∴四边形AEFH是矩形，
∴AE=FH=3.5m，∠EAH=90°，
∵∠CAE=150°，
∴∠CAH=∠CAE-∠EAH=60°，
∴CH=AC•sin60°=20×32=103（m），
∴CF=CH+HF=103+3.5≈20.82（m），
∵该小区层高为2.8m，该户居民在9楼，
∴该户居民离地面高度为：2.8×8=20.4（m），
∵20.82＞20.4，
∴该消防车能实施有效救援．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
20．（本题8分）某公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：
销售价格x（元/千克）
35
40
45
日销售量y（千克）
450
300
150
(1)请你根据表中的数据用所学过的一次函数的知识直接写出y与x之间的函数表达式；并写出自变量x的取值范围．
(2)销售价格定为多少元时，每天利润为2250元．
(3)该公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？
【答案】(1)y=−30x+1500(30≤x≤50)
(2)35或45
(3)销售价格定为40元，才能使日销售利润最大．
【分析】（1）利用待定系数法即可求出答案；
（2）列出利润w与售价x之间的函数关系式，再令w=2250得出一元二次方程，解之即可；
（3）将函数解析式配成顶点式，即可求出最大值．
【详解】（1）解：假设y与x成一次函数关系，设函数关系式为y=kx+b ，
∴ 35k+b=45040k+b=300 ，解得：k=−30b=1500 ，
∴y=−30x+1500(30≤x≤50)，
检验：当x=35，y=450；当x=45，y=150；当x=50，y=0，符合一次函数解析式，
故函数关系为 y=−30x+1500(30≤x≤50) ；
（2）解：设日销售利润为w，则w=y(x−30)=(−30x+1500)(x−30)，
令w=y(x−30)=(−30x+1500)(x−30)=2250
解得：x1=35,x2=45
答：销售价格定为35或45元时，每天利润为2250元．
（3）解： w=−30x2+2400x−45000=−30x−402+3000 ，
∴当x=40时， w有最大值，最大值为3000，
故这批农产品的销售价格定为40元，才能使日销售利润最大．
【点睛】本题主要考查二次函数的实际运用，一元二次方程的应用，理解题目表格中的数据之间的关系并找出数据之间的规律是解题的关键．
五、解答题（本大题共2个小题，共18分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
21．（本题9分）如图，△ABC内接于圆O，AB为直径，CD⊥AB与点D，E为圆外一点，EO⊥AB，与BC交于点G，与圆O交于点F，连接EC，且EG=EC．

(1)求证：EC是圆O的切线；
(2)当∠ABC=22.5°时，连接CF，
①求证：AC=CF；
②若AD=1，求线段FG的长．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②2
【分析】（1）连接OC，根据OC=OB，可得∠OCB=∠B，再由EO⊥AB，EG=EC，可得∠OCB+∠ECG=∠B+∠OGB=90°，即可求证；
（2）①根据圆周角定理，可得∠AOC=45°，再由EO⊥AB，可得∠COF=45°，从而得到AC=CF，即可求证；
②作CM⊥OE于M，根据AB为直径，可得∠ACB=90°，从而得到∠A=∠OGB=67.5°，再由∠COF=45°，OC=OF，可得∠GFC=∠FGC，进而得到FM=GM，再由角平分线的性质定理，可得CD=CM，从而得到Rt△ACD≌Rt△FCM，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接OC，

∵OC=OB，
∴∠OCB=∠B，
∵EO⊥AB，
∴∠OGB+∠B=90°，
∵EG=EC，
∴∠ECG=∠EGC，
∵∠EGC=∠OGB，
∴∠OCB+∠ECG=∠B+∠OGB=90°，
∴OC⊥CE，
∴EC是圆O的切线；
（2）①证明：∵∠ABC=22.5°，∠OCB=∠B，
∴∠AOC=45°，
∵EO⊥AB，
∴∠COF=45°，
∴AC=CF，
∴AC=CF；
②作CM⊥OE于M，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABC=22.5°，∠GOB=90°，
∴∠A=∠OGB=67.5°，
∴∠FGC=67.5°，
∵∠COF=45°，OC=OF，
∴∠OFC=∠OCF=67.5°，
∴∠GFC=∠FGC，
∴CF=CG，
∴FM=GM，
∵∠AOC=∠COF，CD⊥OA，CM⊥OF，
∴CD=CM，
在Rt△ACD和Rt△FCM中，
∵AC=GFCD=CM，
∴Rt△ACD≌Rt△FCMHL，
∴FM=AD=1，
∴FG=2FM=2．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆内接三角形的性质，全等三角形的判定和性质，切线的判定，角平分线的性质定理等知识熟练掌握相关知识点是解题的关键．
22．（本题9分）如图所示，已知抛物线y=ax2a≠0与一次函数y=kx+b的图像相交于A（−1，−1） ，B2，-4两点，点P是抛物线上不与A，B重合的一个动点，点Q是y轴上的一个动点

(1)直接写出抛物线和一次函数的解析式及关于x的不等式ax2＜kx+b的解集；
(2)当点P在直线AB上方时，求出△PAB面积最大时点P的坐标；
(3)是否存在以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=−x2，y=−x−2，x＜−1或x>2
(2)12,-14
(3)存在，−3,−9或3,−9或1,−1；理由见解析
【分析】（1）先运用待定系数法求出解析式，再根据函数图像得出不等式的解集即可；
（2）过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两者交于点C，连接PC，根据三角形面积公式表示出面积，然后根据函数的增减性即可解答；
（3）根据平行四边形对角线相互平分的性质和平行四边形对角线中点坐标特点求解即可．
【详解】（1）解：把A−1,−1代入抛物线y=ax2a≠0，解得a=−1，
∴抛物线解析式为y=−x2 ，
把A−1,−1，B2,−4两点代入一次函数y=kx+b，
得−k+b=−12k+b=−4，解得k=−1b=−2，
∴一次函数的解析式为y=−x−2，
由图像得，关于x的不等式ax2＜kx+b的解集是x＜−1或x>2
（2）解：如图：过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两者交于点C，连接PC，

∵A−1,−1，B2,−4
∴C−1,−4，AC=BC=3，
设P点的坐标为m，则点P的纵坐标为−m2，
如图，过点P作PD⊥AC延长线于点D，作PE⊥BC于点E，

则D-1，-m2，Em，﹣4
∴PD=m+1，PE=−m+4 ，
∴S△APB=S△APC+S△BPC-S△ABC
=12AC⋅PD+12BC⋅PE−12AC⋅BC
=12×3(m+1)+12×3(−m2+4)−12×3×3
=−32m2+32m+3，
∵−32<0．
∴当m=﹣322×(−32)=12时，S△APB有最大值，
∴当m=12时，−m2=﹣14，
∴△PAB面积最大时点P的坐标为12,−14．
（3）解：存在，理由如下：
∵P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形时，
∴AP=BQ，AQ=BP，
∵A−1,−1，B2,−4，
设P(x,y)，根据平行四边形对角线中点坐标性质，分情况讨论：
①若该平行四边形的对角线是AB、PQ，则0+x=−1+2，解得x=1，
把x=1代入y=−x2，解得y=−1，则P1,−1；
②若该平行四边形的对角线是AQ、BP，则−1+0=x+2，解得x=−3，
把x=−3代入y=−x2，解得y=−9，则P′-3,−9；
③若该平行四边形的对角线是AP、BQ，则−1+x=0+2，解得x=3，
把x=3代入y=−x2，解得y=−9，则P″3,−9；
故符合条件的P点坐标为：−3,−9或3,−9或1,−1．

【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数与几何图形的综等知识点，利用数形结合的思想理解点的坐标与线段直接的关系是解答本题的关键．
六、解答题（本大题共12分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
23．（本题12分）新定义：如图1（图2，图3），在△ABC中，把AB边绕点A顺时针旋转，把AC边绕点A逆时针旋转，得到△AB′C′，若∠BAC＋∠BA′C′=180°，我们称△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”， △AB′C′的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”

(1)【特例感知】
①若△ABC是等边三角形（如图2），BC=4，则AD=________；
②若∠BAC=90°（如图3），BC=6，AD=_______；
(2)【猜想论证】
在图1中，当△ABC是任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并证明你的猜想；（提示：过点B′作B′E∥AC′且B′E＝AC′，连接C′E，则四边形AB′EC是平行四边形．）
(3)【拓展应用】
如图4，点A，B，C，D都在半径为5的圆P上，且AB与CD不平行，AD=6，△APD是△BPC的“旋补三角形”，点P是“旋补中心”， 求BC的长．
【答案】(1)①2；②3
(2)AD=12BC，理由见解析
(3)8
【分析】（1）①根据等边三角形的性质可得出AB=AC=4、∠BAC=60°，结合“旋补三角形”的定义可得出AB′=AC′=4、∠B′AC′=120°，利用等腰三角形的三线合一可得出∠ADC′=90°，通过解直角三角形可求出AD的长度；
②由“旋补三角形”的定义可得出∠B′AC′=90°=∠BAC、AB=AB′、AC=AC′，进而可得出△ABC≌△AB′C′（SAS），根据全等三角形的性质可得出B′C′=BC=6，再利用直角三角形斜边．上的中线等于斜边的一半即可求出AD的长度；；
（2）AD=12BC，过点B′作B′E∥AC′，B′E＝AC′，连接C′E、DE，则四边形AB′EC是平行四边形，根据平行四边形的性质结合“旋补三角形”的定义可得出∠BAC=∠AB′E、BA=AB′、CA=EB′，进而可证出△BAC≌△AB′E（SAS），根据全等三角形的性质可得出BC=AE，由平行四边形的对角线互相平分即可证出AD=12BC；
（3）过点P作PF⊥BC于点F，由（2）的结论可求出PF的长度，在Rt△BPF中，利用勾股定理可求出BF的长度，进而可求出BC的长度．
(1)
解：①∵△ABC是等边三角形，BC=4，
∴AB=AC=4、∠BAC=60°，
∴AB′=AC′=4、∠B′AC′=120°，
∵AD为等腰△AB′C′'的中线，
∴AD⊥B′C′，∠C′=30°，
∴∠ADC′=90°，
在Rt△ADC′ '中，∠ADC′=90°，AC′=4，∠C′=30°，
∴AD=12AC′=2；
②∵∠BAC=90°，
∴∠B′AC′=90°，
在△ABC和△AB′C′'中，
AB=AB′∠BAC=∠B′AC′AC=AC′，
∴△ABC≌△AB′C′（SAS），
∴B′C′=BC=6，
∴AD=12B′C′=3；
故答案为：①2；②3
(2)
AD＝12BC，理由如下：
证明：在图1中，过点B′作B′E∥AC′且B′E＝AC′，连接C′E、DE，则四边形AB′EC是平行四边形．
∵∠BAC＋∠B′AC′=180°，∠B′AC′+∠AB′E=180°，
∴∠BAC=∠AB′E，
又∵AC＝AC′
∴CA=EB′
在△BAC和△AB′E中，
BA=AB′∠BAC=∠AB′ECA=EB′，
∴△BAC≌△AB′E（SAS），
∴BC=AE，
又∵AD＝12AE，
∴AD＝12BC；

(3)
如图，过点P作PF⊥BC，则BF＝CF
∵PB=PC，PF⊥BC，
∴PF为△BC的中线，
∴PF＝12AD=3．
在Rt△BPF中，∠BFP=90°，PB=5，PF=3，
∴BF＝PB2−PF2＝4，
∴BC=2BF=8．

【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、平行四边形的性质、解直角三角形、勾股定理以及全等三角形的判定与性质．解题的关键是：（1）①利用含30°角的直角三角形求出AD=12AC′；②牢记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）构造平行四边形，利用平行四边形对角线互相平分找出AD=12AE=12BC；（3）利用（2）的结论结合勾股定理求出BF的长度．