数学（广州卷）2023年中考考前最后一卷（参考答案）

2023年中考考前最后一卷【广州卷】

数学·参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。）

11．（x﹣y）（x﹣y﹣16）．

12．1

13． ．

14 ．

15.．

16．﹣1．

三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17（4分）解：，

去分母得：3（3+x）﹣6＜4x+3，

去括号得：9+3x﹣6＜4x+3，

移项合并得：﹣x＜0，

系数化为1得：x＞0．

18（4分）证明：∵AD＝BE，

∴AD+BD＝BE+BD，即AB＝ED，

在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（ASA），

∴AC＝DF．

19．（6分）解：（1）M＝（a）

；

（2）∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝AD＝a，

∵△ABD的周长为2，BD＝2，

∴AB+AD＝22，

∴AB＝AD1，

∴a1，

∴当a1时，

M

．

20．（6分）解：空调安装的高度足够．理由如下：

如图，延长FG交直线AD于点H，过F作FO⊥AD于点O，

则FO＝ED＝250﹣50＝200（cm），AO＝200﹣20＝180（cm），∠HFO＝136°﹣90°＝46°．

∵在Rt△FHO中，tan46°，

∴HO＝FO×tan46°≈200×1.04＝208＞180，

∴HO＞AO，

∴空调安装的高度足够．

21（8分）解：（1）这次被调查的学生总人数为80÷40%＝200（人）；

故答案为：200；

（2）选修C课程的人数为200﹣20﹣80﹣40＝60（人），

条形统计图补充为：

（3）画树状图：

共有12种等可能的结果，其中同时选中甲、乙两位同学的结果数为2，

所以恰好同时选中甲、乙两位同学的概率．

22．（10分）（1）解：如图，先CD⊥AC交AB于点D，再作AD的垂直平分线交AD于点O，接着以O点为圆心，OA为半径作圆，

则CD和⊙O为所作；

（2）证明：连接OC，如图，

∵∠A＝∠B＝30°，

∴∠ACB＝120°，

∵OA＝OC，

∴∠OCA＝∠A＝30°，

∴∠OCB＝∠ACB﹣∠OCA＝90°，

∴OC⊥BC，

∵OC为⊙O的半径，

∴BC为⊙O的切线，

即BC是过A、D、C三点的圆的切线．

23．（10分）解：（1）设甲种灯笼单价为x元/对，则乙种灯笼的单价为（x+9）元/对，由题意得：

，

解得x＝26，

经检验，x＝26是原方程的解，且符合题意，

∴x+9＝26+9＝35，

答：甲种灯笼单价为26元/对，乙种灯笼的单价为35元/对．

（2）①y＝（50+x﹣35）（98﹣2x）＝﹣2x2+68x+1470，

答：y与x之间的函数解析式为：y＝﹣2x2+68x+1470．

②∵a＝﹣2＜0，

∴函数y有最大值，该二次函数的对称轴为：x17，

物价部门规定其销售单价不高于每对65元，

∴x+50≤65，

∴x≤15，

∵x＜17时，y随x的增大而增大，

∴当x＝15时，y最大＝2040．

15+50＝65．

答：乙种灯笼的销售单价为每对65元时，一天获得利润最大，最大利润是2040元．

24．（12分）解：抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c为常数，a≠0）经过点C（0，﹣1），则c＝﹣1，

（Ⅰ）当a＝1时，抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，

故抛物线的顶点坐标为（1，﹣2）；

（Ⅱ）∵y＝ax2﹣2ax﹣1＝a（x﹣1）2﹣a﹣1，

故点D（1，﹣a﹣1），

由DE＝2DC得：DE2＝8CD2，

即（1﹣0）2+（a+1+a+1）2＝8[（1﹣0）2+（﹣a﹣1+1）2]，

解得a或，

故抛物线的表达式为yx2﹣x﹣1或yx2﹣3x﹣1；

（Ⅲ）将点D向左平移3个单位，向上平移1个单位得到点D′（﹣2，﹣a），

作点F关于x轴的对称点F′，则点F′的坐标为（0，a﹣1），

当满足条件的点M落在F′D′上时，由图象的平移知DN＝D′M，故此时FM+ND最小，理由：

∵FM+ND＝F′M+D′M＝F′D′为最小，即F′D′＝2，

则F′D′2＝F′H2+D′H2＝（1﹣2a）2+4＝（2）2，

解得a（舍去）或，

则点D′、F′的坐标分别为（﹣2，）、（0，），

由点D′、F′的坐标得，直线D′F′的表达式为y＝﹣3x，

当y＝0时，y＝﹣3x0，解得xm，

则m+3，

即点M的坐标为（，0）、点N的坐标为（，﹣1）．

25．（12分）解：（1）如图1，作CO⊥BD于点O，连接CF，

在正方形ABCD中，BD为对角线，边长为3，

∴∠BCD＝90°，∠BCD＝∠BDC＝45°，BC＝3，

∴BDBC＝3，

∴CO＝BO＝DOBD，DF＝EF，

∴OF＝DO﹣DF，

∴CF，

∴线段CF的长为；

（2）MC与MF关系为MC＝MF，MC⊥MF，

证明如下：如图2，连接BD，AF，

由正方形的性质可得，∠BDA＝∠EDF＝45°，cos45°，

∵∠BDA＝∠BDF+∠FDA，∠EDF＝∠EDB+∠BDF，

∴∠FDA＝∠EDB，

∴△ADF∽△BDE，

∴∠DAF＝∠DBE，，

∵M是BE中点，

∴BE＝2BM，

∴，

∴，

如图2，连接AC，CF，

由正方形的性质可得，∠DAC＝∠DBC＝45°，，

∵∠DAC＝∠DAF+∠FAC，∠DBC＝∠DBM+∠MBC，∠DAF＝∠DBE，

∴∠FAC＝∠MBC，

∵，

∴△ACF∽△BCM，

∴∠ACF＝∠BCM，，

∵∠BCA＝45°＝∠BCM+∠MCA，

∴∠ACF+∠MCA＝∠MCF＝45°，

如图2，过M作MG⊥CF于点G，令MCa，则CF＝2a，

在Rt△CMG中，CG＝MC•cos45°＝a，MG＝MC•sin45°＝a，

∴GF＝CF﹣CG＝a，

在Rt△MGF中，由勾股定理得MFa＝MC，

∴∠MFC＝∠MCF＝45°，

∴∠CMF＝180°﹣∠MFC﹣∠MCF＝90°，

∴MC⊥MF，

∴MC与MF的关系为MC＝MF，MC⊥MF；

（3）如图（3），取线段DE中点记为N，连接MN，BD，

∴MN是△BDE的中位线，

∴MNBD，目MN∥BD，

∴N为定点，MN为定长，

∴M在以N为圆心，以MN的长为半径的圆上运动．

∴M运动轨迹的路径长即为圆N的周长＝2π3π，

由（2）可知，CFMC，

∴CF最小时，MC最小，

由题意知点C在以D为圆心，线段CD的长为半径的圆D上运动，如图（4），连接CF，延长DF交圆D于点C1，

在△CDF中，CD﹣DF＞CF，

当C运动到C1位置时，有C1D﹣DF＝C1F，

∴CD﹣DF≥CF，

∴CF最小时为C1F，且C1F＝3，

∴最小的MC的值为：MC1，

∴中点M在这个过程中的运动路径长为3π，MC的最小值为1．