2023年中考考前最后一卷：数学（河北卷）（参考答案）

2023年中考考前最后一卷

数学·参考答案

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共16小题，1~10小题每题3分，11~16小题每题2分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）

第Ⅱ卷

二、填空题（本大题共3小题，每小题3分，共9分）

17．5  ；18．  ；19．.

三、解答题（本大题共7小题，满分69分）

20．(本题9分)

【详解】解：（1）原式＝

＝--------------------------------1分

＝，------------------------------------------2分

当a＝2cos60°+1＝2×+1＝2时，------------------------4分

原式＝＝．------------------------5分

（2）由（1）可知，

原式＝------------------------7分

==。-----------------------9分

21．（本题9分）

【详解】解：(1)50；16；------------------------2分

（2）列表给出所有可能的结果：

-------------5分

共12种；其中恰好抽到甲、乙两名同学的情况有2种，---------------7分

所以恰好抽到甲、乙两名同学的概率是。--------------------------------9分

22．（本题9分）

【详解】（1）如图所示

 --------------------------------2分              

（2）证明：∵ 点C与点D关于直线AB对称，

∴ DB=BC，∠ABD=∠ABC.--------------------------------3分

∵ DE=BF，

∴ DE+BD=BF+BC.

∴ BE=CF.--------------------------------4分

∵ AB=AC，

∴ ∠ABC=∠C.

∴ ∠ABD=∠C.

∴ △ABE ≌ △ACF（SAS）.--------------------------------5分

∴ AE=AF. --------------------------------5分

（3）∠ACB=54°.

证明：如图，

--------------------------------6分

∵ AB=AC，

∴ ∠ABC=∠ACB=54°.

∴ ∠BAC=180°-∠ABC-∠C=72°.--------------------------------7分

∵ 点C与点D关于直线AB对称，

∴ ∠DAB=∠BAC=72°，∠ADB=∠C=54°，AD=AB=AC.

∴ ∠DAE=180°-∠DAB-∠BAC=36°，

∴ ∠E=∠ADB-∠DAE=18°.

∵ 由（2）得，△ABF ≌ △ADE（或者△ACF ≌ △ABE），

∴ ∠AFB=∠E=18°.

∴ ∠BAF=∠ABC-∠AFB=36°=∠BAD.--------------------------------8分

∵ AB=AD，

∴ AF垂直平分BD.

∴ FB=FD.

∴ ∠AFD=∠AFB=18°，

∴ ∠P=∠BAF-∠AFD=18°=∠AFD，

∴ AP=AF.

∵ 由（2）得AE=AF，

∴ AP=AE.--------------------------------9分

23．（本题10分）

【详解】（1）设P=kx+b，
根据题意，得：  ，------------------------2分
解得：  ，
则P=﹣x+120；------------------------3分
（2）y=（x﹣60）（﹣x+120）=﹣x2+180x﹣7200=﹣（x﹣90）2+900；---------------5分
（3）∵销售单价不低于成本单价，且获利不得高于50%，
∴60≤x≤（1+50%）×60，即60≤x≤90，------------------------7分
又当x≤90时，y随x的增大而增大，
∴当x=90时，y取得最大值，最大值为900，------------------------9分

答：销售单价定为90元时，商场可获得最大利润，最大利润是900元．--------------------------------10分

24．（本题10分）

【详解】（1）连接OP，

∵OP=OD，∴∠OPD=∠D，

∵PD⊥BE，

∴∠OCD=90°，

在Rt△OCD中，∠D+∠AOD=90°，------------------------2分

又∵AP是⊙O的切线，

∴AP⊥OP，

则∠OPD+∠APC=90°，

∴∠AOD=∠APC；------------------------4分

（2）连接PE，-------------------------------5分

∴∠BPE=90°（直径所对的圆周角是直角），

∵AP是⊙O的切线，

∴∠APB=∠OPE=∠PEA，-------------------------------6分

∵OC：CB=1：2，

∴设OC=x，则BC=2x，OP=OB=3x，

在Rt△OPC中，OP=3x，OC=x，由勾股定理得：

PC2=OP2﹣OC2=8x2，----------------------------------8分

在Rt△OPC中，PC⊥OA，由射影定理得：

PC2=OC•AC，即8x2=x（2x+6），6x2=6x，

解得x=0（舍去），x=1，----------------------------------9分

∴OP=OB=3，PC=2，CE=OC+OE=3+1=4，

∴tan∠APB=tan∠PEC=，

∴⊙O的半径为3，∠APB的正切值是．--------------------------------10分

25．（本题10分）

【详解】解：（1）∵y=x﹣1，当x=0时，y=﹣1，

∴B（0，﹣1）．-------------------------------1分

当x=﹣3时，y=﹣4，

∴A（﹣3，﹣4）．

∵y=x2+bx+c与直线y=x﹣1交于A、B两点，

∴，

∴，

∴抛物线的解析式为：y=x2+4x﹣1；-------------------------------3分

（2）∵P点横坐标是m（m＜0），

∴P（m，m2+4m﹣1），D（m，m﹣1）-------------------------------4分

如图1①，作BE⊥PC于E，

∴BE=﹣m．

CD=1﹣m，OB=1，OC=﹣m，CP=1﹣4m﹣m2，

∴PD=1﹣4m﹣m2﹣1+m=﹣3m﹣m2，

∴，

解得：m1=0（舍去），m2=﹣2，m3=﹣；-------------------------------5分

如图1②，作BE⊥PC于E，∴BE=﹣m．

PD=m2+4m﹣1+1﹣m=3m+m2，

∴=2×，

解得：m=0（舍去）或m=（舍去）或m=，

∴m=﹣，﹣2或时，S四边形OBDC=2S△BPD；-------------------------------6分

（3）如图2，当∠APD=90°时，设P（m，m2+4m﹣1），则D（m，m﹣1），

∴AP=m+3，CD=1﹣m，OC=﹣m，CP=1﹣4m﹣m2，

∴DP=1﹣4m﹣m2﹣1+m=﹣3m﹣m2．-------------------------------7分

在y=x﹣1中，当y=0时，x=1，

∴F（1，0），∴OF=1，∴CF=1﹣m．AF=4．

∵PC⊥x轴，∴∠PCF=90°，

∴∠PCF=∠APD，∴CF∥AP，

∴△APD∽△FCD，，-------------------------------8分

∴，

解得：m=﹣1或m=﹣3（舍去），

∴P（﹣1，﹣4）

如图3，当∠PAD=90°时，作AE⊥x轴于E，

∴∠AEF=90°，CE=m+3，EF=4，AF=4，PD=m﹣1﹣（﹣1+4m+m2）=﹣3m﹣m2．

∵PC⊥x轴，

∴∠DCF=90°，∴∠DCF=∠AEF，

∴AE∥CD．

∴，∴AD=（3+m）．

∵△PAD∽△FEA，∴，

∴，

∴m=﹣2或m=﹣3（舍去）-------------------------------9分

∴P（﹣2，﹣5）．

当∠APD=90°时

∴点A与点P关于对称轴对称

∵A（﹣3，﹣4）∴P（﹣1，﹣4）

综上，存在点P（﹣2，﹣5）或P（﹣1，﹣4）使△PAD是直角三角

形．----------------------------------------------------10分

26．（本题12分）

【详解】(1)由折叠的性质可知：

，，，，

．-------------------------1分

又，

，

；-------------------------2分

(2)结论：是等边三角形，理由如下：

直线MN是矩形ABCD的对称轴，

点是EF的中点，即，-------------------------3分

在和中

，

，-------------------------4分

，，

又，．

，

，

是等边三角形；-------------------------6分

(3)DG，EG，FG的数量关系是，理由如下：

由(2)可知是等边三角形；将逆时针旋转到位置，如解图(1)，

，，，--------------------------7分

是等边三角形，

，，-------------------------8分

，

，

，

.--------------------------------10分