必刷卷01——2023年中考数学考前30天冲刺必刷卷（广西专用）

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绝密★启用前
2023年中考数学考前信息必刷卷01
数 学（广西专用）

2023年起，广西初中学业水平考试实行统一命题！2023年数学试卷共26题：12（选择题）+6（填空题）+8（解答题）。根据最新考试信息以及模拟考试可以发现：在知识结构方面，会降低二次函数难度，大概率会改为动点问题＋二次函数，尺规作图可能会增加分值；在试卷难度方面，不会有太大变化。

通过对考试信息的梳理以及教学研究成果，预测：第12题的与二次函数性质有关；第18题将会重点考查反比例函数的图象与性质，难度中上；第24题考查圆的综合，结合相似三角形概率大；第25题大概率考查二次函数综合，运算能力和分析能力要求比较高；第26题大概率会结合几何＋辅助圆，要求思维逻辑、知识运用能力比较高。
另外，在平时学习中要特别关注基础性（一般试卷的选择题前10题，填空题前3道，解答题前4道直接考查基础知识，容易拿分）、综合性（选填以及解答的压轴题）、应用型（如本卷中的第3题的概率题结合当下热门问题来考查）和创新性（一般会以数学文化为背景或在新情景下命制对概念的理解以及问题的梳理），同时掌握整体思想、数形结合、特殊值等数学思想，这些思想会蕴含于每道试题之中。

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．﹣2022的倒数是（　　）
A．﹣2022 B．2022 C． D．
【答案】D
【分析】根据倒数的定义求解．
【解答】解：﹣2022的倒数是﹣．
故选：D．
2．我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成这四个图案中是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【解答】解：A．不是中心对称图形；
B．是中心对称图形；
C．不是中心对称图形；
D．不是中心对称图形；
故选：B．
3．卢塞尔体育场是卡塔尔世界杯的主体育场，由中国建造，是卡塔尔规模最大的体育场．世界杯之后，将有约170000个座位将捐赠给需要体育基础设施的国家，其中大部分来自世界杯决赛场地卢塞尔体育场，170000这个数用科学记数法表示为（　　）
A．0.17×105 B．1.7×105 C．17×104 D．1.7×106
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：170000＝1.7×105．
故选：B．
4．不等式x+2≥3的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤求出解集，并在数轴上表示即可得出答案．
【解答】解：∵x+2≥3，
∴x≥1，
不等式x+2≥3的解集在数轴上表示为：
，
故选：C．

5．下列事件中是必然发生的事件是（　　）
A．打开电视机，正播放新闻
B．通过长期努力学习，你会成为数学家
C．从一副扑克牌中任意抽取一张牌，花色是红桃
D．某校在同一年出生的有367名学生，则至少有两人的生日是同一天
【答案】D
【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．
【解答】解：A、B、C选项可能发生，也可能不发生，是随机事件．故不符合题意；
D、是必然事件．
故选：D．
6．如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当∠1＝40°时，∠2的度数为（　　）

A．40° B．45° C．50° D．55°
【答案】C
【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由余角的定义即可得出结论．
【解答】解：∵直尺的两边互相平行，∠1＝40°，
∴∠3＝40°．
∵∠2+∠3＝90°，
∴∠2＝50°．
故选：C．

7．下列计算正确的是（　　）
A．a2+a3＝a5 B．（2a2）3＝2a6 C．2a3﹣a2＝2a D．﹣2a+a＝﹣a
【答案】D
【分析】利用合并同类项的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、a2与a3不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、（2a2）3＝8a6，故B不符合题意；
C、2a3与﹣a2不属于同类项，不能合并，故C不符合题意；
D、﹣2a+a＝﹣a，故D符合题意；
故选：D．
8．将抛物线y＝（x﹣3）2+2向左平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后所得抛物线的解析式为（　　）
A．y＝（x﹣5）2+5 B．y＝x2 C．y＝（x﹣1）2+5 D．y＝（x﹣1）2﹣1
【答案】C
【分析】根据函数图象平移的法则即可得出结论．
【解答】解：由“上加下减，左加右减”规律知：将抛物线y＝（x﹣3）2+2向左平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后所得抛物线的解析式为y＝（x﹣3+2）2+2+3，即y＝（x﹣1）2+5．
故选：C．
9．“天宫课堂”第二课3月23日在中国空间站开讲，包括六个项目：太空“冰雪”实验、液桥演示实验、水油分离实验、太空抛物实验、空间科学设施介绍与展示、天地互动环节．若随机选取一个项目写观后感，则恰好选到“实验”项目的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：
①符合条件的情况数目；
②全部情况的总数．
二者的比值就是其发生的概率的大小．
【解答】解：∵共6个项目，“实验”项目有太空“冰雪”实验、液桥演示实验、水油分离实验、太空抛物实验共4个，
∴随机选取一个项目写观后感，则恰好选到“实验”项目的概率是＝，
故选：C．
10．某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，求该公司11、12两个月营业额的月均增长率，设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为x，则根据题意可列的方程为（　　）
A．2500（1+x）2＝9100
B．2500[1+（1+x）+（1+x）2]＝9100
C．2500[（1+x）+（1+x）2]＝9100
D．9100（1+x）2＝2500
【答案】B
【分析】用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率）．即可表示出11月与12月的营业额，根据第四季的总营业额要达到9100万元，即可列方程．
【解答】解：设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为x，
则可列方程为2500[1+（1+x）+（1+x）2]＝9100，
故选：B．
11．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（　　）

A．1米 B．（4﹣）米 C．2米 D．（4+）米
【答案】B
【分析】连接OC交AB于D，连接OA，根据垂径定理得到AD＝AB，根据勾股定理求出OD，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：连接OC交AB于D，连接OA，
∵点C为运行轨道的最低点，
∴OC⊥AB，
∴AD＝AB＝3（米），
在Rt△OAD中，OD＝＝＝（米），
∴点C到弦AB所在直线的距离CD＝OC﹣OD＝（4﹣）米，
故选：B．

12．已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a的值为（　　）
A．或4 B．或﹣ C．﹣或4 D．﹣或4
【答案】D
【分析】分两种情况讨论：当a＞0时，﹣a＝﹣4，解得a＝4；当a＜0时，在﹣1≤x≤4，9a﹣a＝﹣4，解得a＝﹣．
【解答】解：y＝a（x﹣1）2﹣a的对称轴为直线x＝1，
顶点坐标为（1，﹣a），
当a＞0时，在﹣1≤x≤4，函数有最小值﹣a，
∵y的最小值为﹣4，
∴﹣a＝﹣4，
∴a＝4；
当a＜0时，在﹣1≤x≤4，当x＝4时，函数有最小值，
∴9a﹣a＝﹣4，
解得a＝﹣；
综上所述：a的值为4或﹣，
故选：D．
二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分。）
13．若分式有意义，则x的取值范围是 　 　．
【答案】x≠1．
【分析】根据分式有意义的条件可知x﹣1≠0，再解不等式即可．
【解答】解：由题意得：x﹣1≠0，
解得：x≠1，
故答案为：x≠1．
14． 某公司招聘品牌讲解员，需对应聘人员进行笔试和面试，规定笔试成绩占30%，面试成绩占70%，已知小丽的笔试和面试成绩分别为90分和80分，请你判断小丽的最终得分
是 　　分．
【答案】83．
【分析】利用加权平均数的计算方法进行计算即可．
【解答】解：90×30%+80×70%＝83（分）．
故答案为：83．
15．因式分解：ab2﹣4a＝　 　．
【答案】见试题解答内容
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝a（b2﹣4）
＝a（b+2）（b﹣2），
故答案为：a（b+2）（b﹣2）
16．如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD．若∠C＝36°，则∠B的度数是 　 　°．

【答案】27．
【分析】利用圆的切线的性质定理和圆周角定理解答即可．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC＝90°，
∵∠C＝36°，
∴∠AOC＝90°﹣∠C＝54°，
∴∠B＝∠AOC＝27°，
故答案为：27．
17．如图，某商场自动扶梯AB的坡度i＝1：2.5，过点B作BC⊥AD，垂足为C．若AC的长为10米，则高度BC为 　　米．

【答案】4．
【分析】直接利用坡度的定义进而得出BC：AC＝1：2.5，求出答案即可．
【解答】解：∵AB的坡度为i＝1：2.5，过B点作BC⊥AC，垂足为点C，大厅水平距离AC的长为10米，
∴BC：AC＝1：2.5，
∴BC：10＝1：2.5，
∴BC＝10÷2.5＝4（米）．
答：高度BC为4米．
故答案为：4．
18．如图，点A，B，C在反比例函数y＝﹣的图象上，且直线AB经过原点，点C在第二象限上，连接AC并延长交x轴于点D，连接BD，若△BOD的面积为9，则＝　 　．

【答案】见试题解答内容
【分析】利用S△AOD＝×OD×yA，求出点A（，﹣），进而求出直线AD的表达式和yC，证明△DNC∽△DMA，则＝＝7，进而求解．
【解答】解：∵直线AB经过原点，则yA＝﹣yB，
则S△BOD＝S△AOD＝9，
设点D（m，0），
则S△AOD＝×OD×yA＝×（﹣m）•yA＝9，
解得yA＝﹣，
将点A的纵坐标代入y＝﹣①并解得：xA＝，
故点A（，﹣），
设直线AD的表达式为y＝kx+b，则，解得，
故直线AD的表达式为y＝x﹣②，
联立①②并整理得：+x+2＝0，
则xA•xC＝，即×xC＝，
解得xC＝，
将点C的横坐标代入反比例函数表达式并解得：yC＝﹣；
分别过点A、C作x轴的垂线，垂足分别为M、N，

则△DNC∽△DMA，
则＝＝7：2，
则＝，
解法二：延长DA交y轴于E，过点A作AJ⊥OE于J，AN⊥OD于N，过点C作CM⊥OD于M，连接OC，MJ．

∵S△AOJS△COM＝＝2，
又∵AJ∥OD．CM∥OE，
∴S△AOJ＝S△AJM，S△CMO＝S△CMJ，
∴S△AJM＝S△CMJ，
∴DE∥MJ，
∴四边形AJMD是平行四边形，四边形CMJE是平行四边形，
∴AJ＝DM，EJ＝CM，
∵∠AJE＝∠DMC＝90°，
∴△AJE≌△DMC（SAS），
∴CD＝AE，
设AC：CD＝k，A（x，﹣），
∵CM∥AN∥OE，CD＝AE，
∴DM＝ON＝﹣x，MN＝kDM＝﹣kx，
∵S△AOD＝S△OBD＝9，
∴（﹣x﹣kx﹣x）•（﹣）＝9，
∴k＝
故答案为．
三、解答题（本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
19．（6分）计算：（﹣1）10×2+（﹣2）3÷4．
【答案】0．
【分析】先计算乘方，再计算乘除，后计算加减．
【解答】解：（﹣1）10×2+（﹣2）3÷4
＝1×2﹣8×
＝2﹣2
＝0．
20．（6分)解方程：．
【答案】是原方程的解．
【分析】根据解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
【解答】解：原方程化为：
+＝﹣2，
两边同乘（x﹣2），得：
3+x＝﹣2（x﹣2），
去括号得：3+x＝﹣2x+4，
移项合并得：3x＝1，
解得：，
经检验，是原方程的解．
21．(10分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AB＜BC．
（1）实践与操作：利用尺规作∠ADC的平分线，交BC于点E（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；
（2）猜想与证明：试猜想线段AD，DC，BE的关系，并加以证明．

​

【答案】（1）见解答．
（2）AD＝DC+BE，证明见解答．
【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可．
（2）由角平分线的定义以及平行四边形的性质可得CD＝CE，AD＝BC，则AD＝CD+BE．
【解答】解：（1）如图，DE即为所求.
（2）AD＝DC+BE．
证明：∵DE为∠ADC的平分线，
∴∠ADE＝∠CDE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠ADE＝∠CED，
∴∠CDE＝∠CED，
∴CD＝CE，
∵AD＝BC＝BE+CE，
∴AD＝CD+BE．

22．（10分）初三年级“黄金分割项目活动”展示，为了解全体初三年级同学的活动成绩，抽取了部分参加活动的同学的成绩进行统计后，分为“优秀”，“良好”，“一般”，“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题：

（1）扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为 　　　度，并将条形统计图补充完整．
（2）如果学校初三年级共有340名学生，则参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有 　　　　人．
（3）此次活动中有四名同学获得满分，分别是甲，乙，丙，丁，现从这四名同学中挑选两名同学参加校外举行的“黄金分割项目活动”展示，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率．
【答案】（1）72，图形见解析；
（2）136；
（3）．
【分析】（1）由“较差”等级的人数除以所占的百分比得出抽取的学生人数，即可解决问题；
（2）由学校初三年级共有学生人数乘以样本中“良好”等级的人数所占的百分比即可；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中选中的两名同学恰好是甲、丁的结果有2种，然后利用概率公式求解即可．
【解答】解：（1）抽取的学生人数为：18÷15%＝120（人），
∴扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为：360°×＝72°，
∴“良好”等级的人数为120×40%＝48（人），
故答案为：72，
把条形统计图补充完整如下：

（2）340×40%＝136（人），
∴参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有136人；
故答案为：136；
（3）画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中选中的两名同学恰好是甲、丁的结果有2种，
∴选中的两名同学恰好是甲、丁的概率＝＝．
23．（10分）某学校为了满足疫情防控需求，决定购进A、B两种型号的口罩若干盒，若购进A型口罩10盒，B型口罩5盒，共需1000元，若购进A型口罩4盒，B型口罩3盒，共需550元．
（1）求A、B两种型号的口罩每盒各需多少元？
（2）若该学校决定购进这两种型号的口罩共计200盒，并要求购进A型口罩的盒数不超过B型口罩盒数的4倍，请为该学校设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设购进A型口罩每盒需x元，B型口罩每盒需y元，根据题意列出二元一次方程组可得出答案；
（2）设购进m盒A型口罩，则购进（200﹣m）盒B型口罩，由购进A型号口罩的盒数不超过B型口罩盒数的4倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设该学校购进这批口罩共花费w元，根据总价＝单价×数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设购进A型口罩每盒需x元，B型口罩每盒需y元，
依题意，得：，
解得：，
答：A型口罩每盒需25元，B型口罩每盒需150元；
（2）设购进m盒A型口罩，则购进（200﹣m）盒B型口罩，
依题意，得：m≤4（200﹣m），
解得：m≤160．
设该学校购进这批口罩共花费w元，则w＝25m+150（200﹣m）＝﹣125m+30000．
∵﹣125＜0，
∴w随m的增大而减小，
又∵m≤160，且m为整数，
∴当m＝160时，w取得最小值，此时200﹣m＝40．
∴最省钱的购买方案为：购进160盒A型口罩，40盒B型口罩．
24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，OD⊥弦AC于点E，且交⊙O于点D，F是BA延长线上一点，若∠CDB＝∠BFD．
（1）求证：FD是⊙O的一条切线；
（2）若FA＝5，AB＝15，连接AD、DB，请问是一个定值吗？若是定值，请求出这个定值，并对结论加以证明；
（3）在（2）的条件下，求BD、BC的长．

【答案】（1）见解析；
（2）是定值，，理由见解析；
（3），BC＝9．
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等可得∠CDB＝∠CAB，从而得出∠BFD＝∠CAB，则DF∥AC，即可证明FD⊥OD；
（2）首先利用勾股定理求出FD＝10，再根据△AFD～△DFB，得，即可得出答案；
（3）根据，可得BD的长，再求出OE，利用三角形中位线定理可得BC的长．
【解答】（1）证明：在⊙O中，∵，
∴∠CDB＝∠CAB，
又∵∠CDB＝∠BFD，
∴∠BFD＝∠CAB
∴DF∥AC，
∵OD⊥AC，
∴FD⊥OD，
又∵OD为半径，
∴FD是⊙O的一条切线；
（2）解：是定值，，理由如下：
连接AD，
∵AB为直径，AB＝15，
∴∠ADB＝90°，OA＝AB＝7.5，
在Rt△FDO中，FO＝5+7.5＝12.5，
根据勾股定理得，
∵∠FDO＝∠ADB＝90°，
∴∠FDA+∠ADO＝∠ADO+∠ODB，
∴∠FDA＝∠ODB，
又∵OD＝OB，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠FDA＝∠OBD，
∵∠AFD＝∠DFB，
∴△AFD～△DFB，
∴，
又∵AF＝5，FD＝10，
∴；
（3）解：由（2）知，在Rt△FDO中，，
∴，
∴，
∴，
∵OD⊥AC于E，
∴AE＝EC且AO＝BO，
∴OE是Rt△ABC的中位线，
∴CB＝2OE，
又∵AC∥FD，
∴，
∴，
∴，
∴BC＝9，
∴，BC＝9；

25．（10分）已知抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于点A（1，0）和点B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上一动点（不与点A，B，C重合），作PD⊥x轴，垂足为D，连接PC．
①如图1，若点P在第三象限，且∠CPD＝45°，求点P的坐标；
②直线PD交直线BC于点E，当点E关于直线PC的对称点E′落在y轴上时，求四边形PECE′的周长．

【答案】（1）y＝x2+x﹣3；
（2）①P（﹣，﹣）；
②四边形PECE′的周长为：或．
【分析】（1）将A，C两点坐标代入抛物线的解析式，从而求得a，c，进而求得结果；
（2）①可推出△COE为等腰直角三角形，进而求得点E坐标，从而求出PC的解析式，将其与抛物线的解析式联立，化为一元二次方程，从而求得结果；
②可推出四边形PECE′是菱形，从而得出PE＝CE，分别表示出PE和CE，从而列出方程，进一步求得结果．
【解答】解：（1）由题意得，
，
∴，
∴y＝x2+x﹣3；
（2）①如图1，

设直线PC交x轴于E，
∵PD∥OC，
∴∠OCE＝∠CPD＝45°，
∵∠COE＝90°，
∴∠CEO＝90°﹣∠ECO＝45°，
∴∠CEO＝∠OCE，
∴OE＝OC＝3，
∴点E（3，0），
∴直线PC的解析式为：y＝x﹣3，
由x2+x﹣3＝x﹣3得，
∴x1＝﹣，x2＝0（舍去），
当x＝﹣时，y＝﹣﹣3＝﹣，
∴P（﹣，﹣）；
②如图2，

设点P（m，m2+m﹣3），四边形PECE′的周长记作l，
点P在第三象限时，作EF⊥y轴于F，
∵点E与E′关于PC对称，
∴∠ECP＝∠E′PC，CE＝CE′，
∵PE∥y轴，
∴∠EPC＝∠PCE′，
∴∠ECP＝∠EPC，
∴PE＝CE，
∴PE＝CE′，
∴四边形PECE′为平行四边形，
∴▱PECE′为菱形，
∴CE＝PE，
∵EF∥OA，
∴，
∴，
∴CE＝﹣m，
∵PE＝﹣（﹣）﹣（+﹣3）＝﹣﹣3m，
∴﹣＝﹣m2﹣3m，
∴m1＝0（舍去），m2＝﹣，
∴CE＝，
∴l＝4CE＝4×＝，
当点P在第二象限时，
同理可得：
﹣m＝+3m，
∴m3＝0（舍去），m4＝﹣，
∴l＝4×＝，
综上所述：四边形PECE′的周长为：或．
26．（１０分）问题提出
（1）如图①，已知线段AB，请以AB为斜边，在图中画出一个直角三角形；
（2）如图②，已知点A是直线l外一点，点B、C均在直线l上，AD⊥l且AD＝3，∠BAC＝60°，求△ABC面积的最小值；
问题解决
（3）如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形ABCD中，∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，CB＝CD＝6m，点E、F分别为AB、AD上的点，若保持CE⊥CF，那么四边形AECF的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由．

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）以AB为直径作圆，在圆上任取一点（不与点A、B重合）C，连接AC、BC，由圆周角定理得∠ACB＝90°，即可得出结论；
（2）作△ABC的外接圆⊙O，连接OA、OB、OC，过点O作OE⊥BC于点E，先由圆周角定理和垂径定理得∠BOC＝2∠BAC，BE＝CE＝BC，则∠BOC＝120°，∠OBC＝∠OCB＝30°，设 OA＝OB＝OC＝r，则OE＝r，BC＝2BE＝r，再由AO+OE≥AD，得r≥2，则BC＝r≥2，即可解决问题；
（3）分别延长AB、DC交于点M，则△ADM、△CBM均为等腰直角三角形，将△CBE绕点C顺时针旋转135°得到△CDE′，则A、D、E′三点共线，由S四边形AECF＝S四边形ABCD﹣（S△CBE+S△CDF）＝S四边形ABCD﹣S△CE′F，当S△CE′F取得最小值时，S四边形AECF取得最大值，求出S△CE′F的最小值，即可解决问题．
【解答】解：（1）以AB为直径作圆，在圆上任取一点（不与点A、B重合）C，连接AC、BC，如图①所示：
则∠ACB＝90°，
∴Rt△ACB即为所求；
（2）作△ABC的外接圆⊙O，连接OA、OB、OC，过点O作OE⊥BC于点E，如图②所示：
则∠BOC＝2∠BAC，OA＝OB＝OC，BE＝CE＝BC，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝120°，∠OBC＝∠OCB＝30°，
设 OA＝OB＝OC＝r，
则OE＝r，BC＝2BE＝r，
∵AO+OE≥AD，AD＝3，
∴r+r≥3，
解得：r≥2，
∴BC＝r≥2，
∴BC最小值为2，
∵S△ABC＝BC•AD，
∴△ABC面积的最小值为：×2×3＝3；
（3）四边形AECF的面积存在最大值，理由如下：
分别延长AB、DC交于点M，如图③所示：
则△ADM、△CBM均为等腰直角三角形，
∵CB＝CD＝6m，
∴BM＝6m，CM＝6m，AD＝DM＝（6+6）m，
∴S四边形ABCD＝S△ADM﹣S△CBM＝DM2﹣BC2＝×（6+6）2﹣×62＝（36+36）m2，
∵∠BCD＝360°﹣∠A﹣∠CDA﹣∠CBA＝360°﹣45°﹣90°﹣90°＝135°，
∴将△CBE绕点C顺时针旋转135°得到△CDE′，则A、D、E′三点共线，
∴S四边形AECF＝S四边形ABCD﹣（S△CBE+S△CDF）＝S四边形ABCD﹣S△CE′F，
∵S四边形ABCD为定值，
∴当S△CE′F取得最小值时，S四边形AECF取得最大值，
∵∠E′CF＝135°﹣90°＝45°，
∴以E′F为斜边作等腰Rt△OE′F，则△CE′F的外接圆是以点O为圆心，OF长为半径的圆，
设△CE′F的外接圆半径为rm，则E′F＝rm，
又∵OC+OD≥CD，
∴r+r≥6，
∴r≥12﹣6，
当点O在CD上时，E′F最短，此时E′F＝r＝（12﹣12）m，
∴S△CE′F最小＝×（12﹣12）×6＝（36﹣36）（m2），
∴S四边形AECF最大＝S四边形ABCD﹣S△CE′F最小＝36+36﹣（36﹣36）＝72（m2）．