2023年辽宁省沈阳市沈北新区东北育才学校中考三模数学试题

2022－2023学年度上学期

初三年级数学试卷（三）

考试时间：120分钟  试卷满分：120分

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目的一项）

1．下列各组数中，互为相反数的是（    ）

A．－2与 B．与 C．与 D．与

2．2022年11月29日，从摩洛哥拉巴特传来好消息：“中国传统制茶技艺及其相关习俗”被列入人类非物质文化遗产代表作名录。至此，我国共有43个项目列入联合国教科文组织非物质文化遗产名录、名册，总数居世界第一。据中国茶业流通协会提供的数据，我国茶叶市场每年有的国内生产总值，数据可以表示为（    ）

A．30亿 B．300亿 C．3000亿 D．30000亿

3．在某公司的面试中，李明的得分情况为：个人形象89分，工作能力93分，交际能力83分．已知个人形象、工作能力和交际能力的权重为3：4：4，则李明的最终成绩是（    ）

A．96.7分 B．97.1分 C．88.3分 D．265分

4．下列说法中不成立的是（    ）

A．在中与x成正比例 B．在中y与x成正比例

C．在中y与成正比例 D．在中y与x成正比例

5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ）

A．3 B． C． D．

6．若点、在直线上，且，则该直线所经过的象限是（    ）

A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限

7．定义运算：．例如：．则方程的根的情况为（    ）

A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定

8．如图，在矩形ABCD中，点E为AB边上一点，点F是CD边上一点，BE＝BF且EF经过对角线AC的中点O，若，AE＝3，则DC的长为（    ）

A． B． C．9 D．8

9．如图，曲线l是由函数在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转45°得到的，过点，，的直线与曲线l相交于点M，N，则的面积为（    ）

A．6 B． C． D．

10．如图，已知以AB为直径的半圆O，C为弧AB上一点，∠BAC＝30°，P为弧BC上任意一点，CD⊥CP交AP于点D，连接BD，若AB＝4，则BD的最小值为（    ）

A． B． C． D．2

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

11．因式分解：______．

12．若实数m、n满足，且m，n恰好是等腰的两条边的边长，则的周长是______．

13．已知关于x，y的二元一次方程组的解是，关于x，y的二元一次方程组的解为______．

14．如图所示，边长为1的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点O，那么阴影部分的面积为______．

15．如图所示，下列图案均是由完全相同的“太阳型”图表按一定的规律拼搭而成：第1个图案需要2个图标，第2个图案需要4个图标，第3个图案需要7个图标，…，按此规律，第n个图案需要图标的个数是______．

16．已知m是不等式组的正整数解，则分式方程有整数解的概率为______．

17．如图是一个矩形足球球场，AB为球门，CD⊥AB于点D，AB＝a米．某球员沿CD带球向球门AB进攻，在Q处准备射门，已知BD＝3a米，QD＝3a米，对方门将伸开双臂后，可成功防守的范围大约为0.25a米；此时门将站在张角∠AQB内，双臂伸开MN且垂直于AQ进行防守，MN中点与AB距离______米时，刚好能成功防守。

18．平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），横坐标为2m的点C在二次函数的图象上，二次函数的图象在C，B之间的部分记为M（包括点C，B）．图象M上恰有2个点到直线的距离为2时，m的取值范围是______．

三、解答题（本大题共8小题，共66分）

19．（本小题满分4分）

计算：

20．（本小题满分6分）

如图1，在中，∠B＝45°，∠BAC＝75°．点M是BA延长线上一点，连接CM，将射线CM绕C点顺时针旋转60°得到射线CN，作∠MCN的平分线交BA于点P，连接NP，且∠CPN＝∠CPM，连接BN．过点M作CA的垂线，垂足为Q点．

（1）已知AC＝4，求BC的长度；

（2）如图2当点N在∠ACB的角平分线上时，求的值．

21．（本小题满分8分）

钟南山院士谈到防护新型冠状病毒肺炎时说：“我们需要重视防护，但也不必恐慌，尽量少去人员密集的场所，出门戴口罩，在室内注意通风，勤洗手，多运动，少熬夜．”某社区为了加强社区居民对新型冠状病毒肺炎防护知识的了解，通过微信群宣传新型冠状病毒肺炎的防护知识，并鼓励社区居民在线参与作答《新型冠状病毒防治全国统一考试（全国卷）》试卷，社区管理员随机从甲、乙两个小区各抽取20名人员的答卷成绩，并对他们的成绩（单位：分）进行统计、分析，过程如下：

【收集数据】

甲小区：65，70，75，75，80，80，80，85，85，85，90，90，90，90，90，95，95，95，100，100

乙小区：80，60，80，95，65，100，90，85，85，80，95，75，80，90，70，80，95，75，100，90

【整理数据】

【分析数据】

【应用数据】

（1）填空：a＝______，b＝______，c＝______，d＝______；

（2）若甲小区共有1600人参与答题，请估计甲小区成绩大于90分的人数为多少人；

（3）社区对不超过70分的人员采用网络形式集中培训，培训完后从中任取2人随机测试，求至少抽到1名甲小区居民的概率是多少．

22．（本小题满分8分）

如图，⊙O是的外接圆，AB＝BC，延长AC到点D，使得CD＝CB，连接BD交⊙O于点E，过点E作BC的平行线交CD于点F．

（1）求证：EF为⊙O的切线；

（2）若AB＝5，BE＝3，求弦AC的长．

23．（本小题满分8分）

【定义】在平面直角坐标系xOy中，如果点A，C为某个菱形的一组对角的顶点，且点A，C在直线y＝x上，那么称该菱形为点A，C的“阳光菱形”，如图是点A，C的“阳光菱形”的一个示意图．

【运用】已知点M的坐标为（2，2），点P的坐标为（4，4）．

（1）下列各组点，能与点M，P形成“阳光菱形”的是______．（直接填写序号）

①E（－4，10），F（10，－4）   ②G（1，6），H（6，1）   ③I（0，5），J（5，0）

（2）如果四边形MNPQ是点M，P的“阳光菱形”，点N在MP下方，且面积为16．

①求点N、点Q的坐标；

②如果直线与折线MN－NP有唯一公共点，直接写出满足条件的k的取值范围．

24．（本小题满分10分）

个体户小陈新进一种时令水果，成本为20元/kg，经过市场调研发现，这种水果在未来40天内的日销售量m（kg）与时间t（天）的关系如表：

未来40天内，前20天每天的价格（元/kg）与时间t（天）的函数关系式为（1≤t≤20且t为整数），后20天每天的价格（元/kg）与时间t（天）的函数关系式为（21≤t≤40且t为整数）．

（1）直接写出m（kg）与时间t（天）之间的关系式：______；

（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？

（3）在实际销售的前20天中，个体户小陈决定每销售1 kg水果就捐赠a元利润（a＜4且a为整数）给贫困户，通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t（天）的增大而增大，求前20天中个体户小陈共捐赠给贫困户多少钱？

25．（本小题满分10分）

如图1，已知正方形ABCD的边长为10，点E是边CD上的一个动点（点E不与点C重合），过点E与边AD平行的直线交对角线AC于点F，作射线FB并将其绕点F顺时针旋转45°，交AB于点G．

（1）当CE＝2时，求AG的长；

（2）当为等腰三角形时，CE的长为______；

（3）如图2，作的外接圆，圆心为点O．当点E从（1）中的点E位置运动到点D的过程中，点O也随之运动，求点O运动路径的长．

26．（本小题12分）

已知抛物线交x轴正半轴于A、B两点，交y轴正半轴于C，且OB＝OC＝3．

（1）抛物线的解析式为______；

（2）如图1，D为抛物线的顶点，P为对称轴左侧抛物线上一点，连OP交直线BC于G，连GD，是否存在点P，使？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由：

（3）如图2，将抛物线向上平移m个单位，交BC于点M、N，若，求m的值．

2022－2023学年度上学期

初三年级数学试卷（三）评分标准

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）

1－5：BCCDC    6－10：BBCBB

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

11． 12．10 13． 14．

15． 16． 17． 18．k≥2或k≤－2

三、解答题（本大题共8小题，共66分）

19．（本小题满分4分）

解：原式．

20．（本小题满分6分）

解：（1）如图4，

在中，∠B＝45°，∠BAC＝75°，

∴∠ACB＝180°－∠B－∠BAC＝60°

过点A作AD⊥BC于D，

在中，AC＝4，∠ACB＝60°，∴∠CAD＝30°，

∴，∴，

在中，∠B＝45°，

∴，∴；

（2）如图3，

由（1）知，∠ACB＝60°，

∵CN是∠ACB的角平分线，∴∠BCN＝∠ACN＝30°，

由旋转知，∠MCN＝60°，∴∠ACM＝30°，∴点P和点A重合，

∵CP＝CP，∠CPN＝∠CPM，

∴，∴CN＝CM，

∵∠BAC＝75°，∴∠CMB＝∠BAC－∠ACM＝45°＝∠ABC．

∴BC＝CM，∴BC＝CM＝CN，

在中，∠MCQ＝30°，∴，

过点BQ′⊥CN于Q′，设BQ′＝a，

在中，∠BCQ′＝30°，

∴，，

∴QM＝BQ′，CN＝2a，

∴，

在中，，

∴．

21．（本小题满分8分）

解：（1）由甲小区抽取的20名人员的答卷成绩得：a＝8，b＝5．

∵甲小区抽取的20名人员的答卷成绩中出现次数最多的是90，

∴众数c＝90．

把乙小区抽取的20名人员的答卷成绩排从小到大排列，排在中间的两个数分别为80、85，

∴中位数，故答案为：8，5，90，82.5；

（2）（人），

答：估计甲小区成绩大于90分的人数为400人；

（3）把甲小区的2名不超过70分的人员分别记为A、B，乙小区的3名不超过70分的人员分别记为C、D、E，画树状图如下：

共有20种等可能的结果，其中至少抽到1名甲小区居民的结果有14种，

∴至少抽到1名甲小区居民的概率为．

22．（本小题满分8分）

（1）证明：∵∠ACB＝∠DBC＋∠D＝2∠DBC＝2∠CAE，

又∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB，∴∠BAC＝2∠CAE，

∴∠CAE＝∠BAE，∴点E为弧BEC的中点．

连接OE，则OE⊥BC，

又∵，∴OE⊥EF，∴EF为圆O的切线．

（2）证明：在和中，

∵∠BAE＝∠D，∠ABE＝∠DBA，

∴，∴，

∴，

∴，，

∵CD＝CB，∴∠DBC＝∠D，

又∵∠DBC＝∠CAE，∴∠D＝∠CAE，∴，

∵，∴，

∵CD＝CB＝AB＝5，∴．

23．（本小题满分8分）

解：（1）①；

（2）①如图“点M的坐标为（2，2），点P的坐标为（4，4），∴，

∵四边形MNPQ的面积为16，∴，

即，∴，

∵四边形MNPQ是菱形，

∴QN⊥MP，，，

作直线QN，交x轴于A，过点N作x轴的平行线交于点，

∵M（2，2），∴，

∴，

∵M和P在直线上，∴，

∴是等腰直角三角形，∴，

∴，

则点，故点N的纵坐标为：－1，

点N的横坐标为：，则点N的坐标为，

将N的坐标代入，得：，解得：，

同理可知：Q的坐标为

②k≤－2或k＞4或

24．（本小题满分10分）

解：（1）设一次函数为．

将和代入一次函数中，

有，

∴．∴．

经检验，其它点的坐标均适合以上解析式，

故所求函数解析式为：

（2）设前20天日销售利润为元，后20天日销售利润为元．

由

，

∵1≤t≤20，∴当t＝14时，有最大值578（元）．

由

．

∵21≤t≤40，此函数对称轴是t＝44，

∴函数在21≤t≤40上，在对称轴左侧，随t的增大而减小．

∴当t＝21时，有最大值为（元）．

∵578＞513，故第14天时，销售利润最大，为578元；

（3）对称轴为．

∵1≤t≤20，∴当t≤2a＋14时，P随t的增大而增大．

又∵每天扣除捐赠后的日利润随时间t的增大而增大，

∴19.5＜2a＋14，∴2.75＜a＜4．

又∵a为整数，∴a＝3，

40天的总销量

，

∴小陈共捐赠给贫困户＝1500×3＝4500元．

答：前20天中个体户小陈共捐赠给贫困户4500元．

25．（本小题满分10分）

解：（1）3.2

（2）或5

（3）6.8

（提示：∠BOG＝2∠BFG＝90°，OB＝OG，∴∠OBG＝45°，∴O在∠ABC的角平分线上）

26．（本小题满分12分）

解：（1）∵OB＝OC＝3，∴B（3，0），C（0，3），

代入：得，解得，

∴抛物线的解析式为；

（2）存在，理由如下：

∵B（3，0），C（0，3），

∴直线BC的解析式为，

设，由题意知D（2，－1），O（0，0），

由得，解得x＝1或x＝－1，

当x＝1时，G点坐标为（1，2），∴直线OG的解析式为y＝2x，

由，解得或，

∵点P在对称轴x＝2的左侧，

∴点P的坐标为．

当x＝－1时，，∴直线OG的解析式为，

联立得，无解，故舍去，

综上所述，点P的坐标为；

（3）．