2018学年辽宁省沈阳市沈北新区东北育才双语学校九年级（上）第二次分流考数学模拟试卷

这是一份2018学年辽宁省沈阳市沈北新区东北育才双语学校九年级（上）第二次分流考数学模拟试卷，共34页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2018学年辽宁省沈阳市沈北新区东北育才双语学校九年级（上）第二次分流考数学模拟试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下面几何体的俯视图是（　　）

A． B．
C． D．
2．（3分）下列不等式不成立的是（　　）
A．sin20°＜sin40°＜sin70° B．cos20°＜cos40°＜cos70°
C．tan20°＜tan40°＜tan70° D．sin30°＜cos45°＜tan60°
3．（3分）若x＜0且|x|＜1，则的值（　　）
A．1 B．小于0 C．﹣1 D．大于0
4．（3分）如果关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　）
A．k＜1 B．k≠0 C．k＜1且k≠0 D．k＞1
5．（3分）若数a使关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且使关于y的分式方程+＝2有非负数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　）
A．3 B．1 C．0 D．﹣3
6．（3分）已知：如图，AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝45度．给出以下五个结论：①∠EBC＝22.5°；②BD＝DC；③AE＝2EC；④劣弧AE是劣弧DE的2倍；⑤AE＝BC．其中正确结论的序号是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①②⑤ D．①②③⑤
7．（3分）如图，点A是双曲线y＝在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等边△ABC，点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为（　　）

A．y＝ B．y＝ C．y＝﹣ D．y＝﹣
8．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的两点，且∠EAF＝45°，AE、AF分别交BD于M、N．下列结论：①AB2＝BN•DM；②AF平分∠DFE；③AM•AE＝AN•AF；④．其中正确的结论是（　　）

A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④
9．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：
x
﹣1
0
1
3
y
﹣1
3
5
3
下列结论：
（1）ac＜0；
（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．
（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根；
（4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．
其中正确的个数为（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．（3分）如果函数y＝m的图象与函数y＝2x2﹣6|x+2|+7x+1的图象恰有三个交点，则m的值为（　　）
A．﹣或﹣或﹣5 B．﹣或﹣
C．﹣或﹣5 D．﹣或﹣5
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）tan230°﹣2sin60°+cot45°+tan60°﹣3cos230°＝　 　．
12．（3分）某微生物的直径为0.000 005 035m，用科学记数法表示该数为　 　．
13．（3分）若成立，则x满足　 　．
14．（3分）如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O）为60°，A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是　 　．

15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是　 　．

16．（3分）我们将1×2×3×…×n记作n!（读作n的阶乘），如2!＝1×2，3!＝1×2×3，4!＝1×2×3×4，若设S＝1×1!+2×2!+3×3!+…+2016×2016!，则S除以2017的余数是　 　．
17．（3分）对于实数c、d，我们可用min{c、d}表示c、d两数中较小的数，如min{5，﹣3}＝﹣3，若关于x的函数y＝min{3x2，m（x﹣t）2}的图象关于直线x＝2对称，则m＝　 　，t＝　 　．
18．（3分）某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元（a＞0）．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，a的取值范围应为　 　．
三.解答题（共66分）
19．（6分）若关于x的方程﹣＝1+无实数根，求m的值．
20．（6分）已知：在矩形AOBC中，分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系C点坐标为（4，3）．E是边AC上的一个动点（不与A，C重合），过E点的反比例函数y＝（k＞0）的图象与BC边交于点F．
（1）若△OAE、△OBF的面积分别为S1、S2且S1+S2＝2，则k＝　 　；
（2）是否存在这样的点E，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

21．（8分）如图所示，某工程队准备在山坡（山坡视为直线l）上修一条路，需要测量山坡的坡度，即tanα的值．测量员在山坡P处（不计此人身高）观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C的仰角为37°，塔底B的仰角为26.6°．已知塔高BC＝80米，塔所在的山高OB＝220米，OA＝200米，图中的点O、B、C、A、P在同一平面内，求山坡的坡度．（参考数据sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50；sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）

22．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝6，AC＝4，D是AB边上一点，P是优弧BAC的中点，连接PA、PB、PC、PD．
（1）当BD的长度为多少时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形？并证明；
（2）在（1）的条件下，若cos∠PCB＝，求PA的长．

23．（8分）小华与小丽设计了A，B两种游戏：
游戏A的规则：用3张数字分别是2，3，4的扑克牌，将牌洗匀后背面朝上放置在桌面上，第一次随机抽出一张牌记下数字后再原样放回，洗匀后再第二次随机抽出一张牌记下数字．若抽出的两张牌上的数字之和为偶数，则小华获胜；若两数字之和为奇数，则小丽获胜．
游戏B的规则：用4张数字分别是5，6，8，8的扑克牌，将牌洗匀后背面朝上放置在桌面上，小华先随机抽出一张牌，抽出的牌不放回，小丽从剩下的牌中再随机抽出一张牌．若小华抽出的牌面上的数字比小丽抽出的牌面上的数字大，则小华获胜，否则小丽获胜．
（1）小丽应选择其中　 　种游戏，使小丽获胜的可能性较大；
（2）用树状图或者表格说明小丽所选择的游戏小丽取胜的概率．
24．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝12cm，AD＝AC＝10cm，点P由C出发沿CA方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，线段EF由AB出发沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s，交AC于Q，连接PE、PF，若设运动时间为t（s）（0＜t＜10），解答下列问题：
（1）当t为何值时，PE∥CD？
（2）当P、E、F三点不共线时，试判断△PEF形状，并请说明理由；
（3）设△PEQ的面积为y（cm2），求出y（cm2）与t（s）之间的函数关系式及y的取值范围．

25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过A（﹣1，0）、B（0，3）两点，顶点为D．直线y＝mx+n经过B、D两点．将直线y＝mx+n向上平移3个单位，平移后的直线与x、y轴分别交于点E、F．
（1）求该抛物线的解析式以及直线EF的解析式；
（2）若点P（x，y）是抛物线y＝ax2+bx﹣3a上的任意一点，求点P到直线EF距离最小时点P的坐标；
（3）若点Q在抛物线y＝ax2+bx﹣3a的对称轴上移动，点G在直线EF上移动，求△BGQ周长的最小值；
（4）在（3）的条件下，直接写出BQ+QG的最小值．

26．（10分）抛物线y＝﹣x2﹣mx+n与x轴相交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜0＜x2）两点，与y轴交于点C，且AB＝3，tan∠ABC＝．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN的面积为S，点M运动时间为t，试求S与t的函数关系，并求S的最大值；
（3）P（x0，y0）是该抛物线上任意一点，总有t+1≤nx02﹣4ny0+5成立，求实数t的最大值．


2018学年辽宁省沈阳市沈北新区东北育才双语学校九年级（上）第二次分流考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下面几何体的俯视图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据几何体的俯视图是从物体上面看得到的图形解答即可．
【解答】解：图中几何体的俯视图是B在的图形，
故选：B．
2．（3分）下列不等式不成立的是（　　）
A．sin20°＜sin40°＜sin70° B．cos20°＜cos40°＜cos70°
C．tan20°＜tan40°＜tan70° D．sin30°＜cos45°＜tan60°
【分析】根据锐角正弦函数随角的增大而增大，余弦随角的增大而减小，正切随角的增大而增大，可得答案．
【解答】解：A、随角的增大而增大，故A不符合题意；
B、余弦随角的增大而减小，故B符合题意；
C、正切随角的增大而增大，故D不符合题意；
D、sin30°＜cos45°＜tan60°，故D不符合题意；
故选：B．
3．（3分）若x＜0且|x|＜1，则的值（　　）
A．1 B．小于0 C．﹣1 D．大于0
【分析】先由x＜0和|x|＜1确定x的取值范围，然后利用绝对值的性质进行化简，最后约分即可．
【解答】解：∵|x|＜1，
∴﹣1＜x＜1，
∵x＜0，
∴x的范围是﹣1＜x＜0，
∴|x|＝﹣x，|x﹣1|＝﹣x+1，
则原式＝．
故选：A．
4．（3分）如果关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　）
A．k＜1 B．k≠0 C．k＜1且k≠0 D．k＞1
【分析】方程有两个不相等的实数根，则Δ＞0，由此建立关于k的不等式，然后就可以求出k的取值范围．
【解答】解：由题意知：k≠0，Δ＝36﹣36k＞0，
∴k＜1且k≠0．
故选：C．
5．（3分）若数a使关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且使关于y的分式方程+＝2有非负数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　）
A．3 B．1 C．0 D．﹣3
【分析】先解不等式组，根据不等式组有且仅有四个整数解，得出﹣4＜a≤3，再解分式方程+＝2，根据分式方程有非负数解，得到a≥﹣2且a≠2，进而得到满足条件的整数a的值之和．
【解答】解：解不等式组，可得，
∵不等式组有且仅有四个整数解，
∴﹣1≤﹣＜0，
∴﹣4＜a≤3，
解分式方程+＝2，可得y＝（a+2），
又∵分式方程有非负数解，
∴y≥0，且y≠2，
即（a+2）≥0，（a+2）≠2，
解得a≥﹣2且a≠2，
∴﹣2≤a≤3，且a≠2，
∴满足条件的整数a的值为﹣2，﹣1，0，1，3，
∴满足条件的整数a的值之和是1．
故选：B．
6．（3分）已知：如图，AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝45度．给出以下五个结论：①∠EBC＝22.5°；②BD＝DC；③AE＝2EC；④劣弧AE是劣弧DE的2倍；⑤AE＝BC．其中正确结论的序号是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①②⑤ D．①②③⑤
【分析】根据圆周角定理，等边对等角，等腰三角形的性质，直径对的圆周角是直角等知识，运用排除法逐条分析判断．
【解答】解：连接AD，AB是直径，
则AD⊥BC，
又∵△ABC是等腰三角形，
故点D是BC的中点，即BD＝CD，故②正确；
∵AD是∠BAC的平分线，
由圆周角定理知，∠EBC＝∠DAC＝∠BAC＝22.5°，故①正确；
∵∠ABE＝90°﹣∠EBC﹣∠BAD＝45°＝2∠CAD，故④正确；
∵∠EBC＝22.5°，2EC≠BE，AE＝BE，∴AE≠2CE，③不正确．
∵AE＝BE，BE是直角边，BC是斜边，肯定不等，故⑤错误
故选：B．

7．（3分）如图，点A是双曲线y＝在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等边△ABC，点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为（　　）

A．y＝ B．y＝ C．y＝﹣ D．y＝﹣
【分析】连接OC，作CD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E，利用反比例函数的性质和等边三角形的性质，可判定△COD∽△OAE，设A点坐标为（a，），则OD＝AE＝，CD＝OE＝a，即可得出C点坐标为（﹣，a），最后根据反比例函数图象上点C的坐标特征确定函数解析式．
【解答】解：如图，连接OC，作CD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E，
∵A点、B点是正比例函数图象与双曲线y＝的交点，
∴点A与点B关于原点对称，
∴OA＝OB，
∵△ABC为等边三角形，
∴OC⊥OA，tan60°＝＝，
∴∠DOC+∠AOE＝90°，
∵∠DOC+∠DCO＝90°，
∴∠DCO＝∠AOE，
∴△COD∽△OAE，
∴＝
设A点坐标为（a，），则OD＝AE＝，CD＝OE＝a，
∴C点坐标为（﹣，a），
∵﹣•a＝﹣24，
∴点C在反比例函数y＝﹣（x＜0）图象上．
故选：C．

8．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的两点，且∠EAF＝45°，AE、AF分别交BD于M、N．下列结论：①AB2＝BN•DM；②AF平分∠DFE；③AM•AE＝AN•AF；④．其中正确的结论是（　　）

A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④
【分析】①转证AB：BN＝DM：AB，因为AB＝AD，所以即证AB：BN＝DM：AD．证明△ABN∽△MDA（根据两角相等）；
②把△ABE绕点A逆时针旋转90°，得△ADH．证明△AFH≌△AFE（SAS）；
③即证AM：AN＝AF：AE．证明△AMN∽△AFE（两角相等）；
④由②得BE+DF＝EF．运用特值法验证．当E点与B点重合、F与C重合时，根据正方形的性质，结论成立．
【解答】解：①∵∠BAN＝∠BAM+∠MAN＝∠BAM+45°，
∠AMD＝∠ABM+∠BAM＝45°+∠BAM，
∴∠BAN＝∠AMD．
又∠ABN＝∠ADM＝45°，
∴△ABN∽△MDA，
∴AB：BN＝DM：AD．
∵AD＝AB，
∴AB2＝BN•DM．
故①正确；


把△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADH．
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°．
∴∠EAF＝∠HAF．
∵AE＝AH，AF＝AF，
∴△AEF≌△AHF，
∴∠AFH＝∠AFE，即AF平分∠DFE．
故②正确；
③∵AB∥CD，∴∠DFA＝∠BAN．
∵∠AFE＝∠AFD，∠BAN＝∠AMD，
∴∠AFE＝∠AMN．
又∠MAN＝∠FAE，
∴△AMN∽△AFE．
∴AM：AF＝AN：AE，即
AM•AE＝AN•AF．
故③正确；
④由②得BE+DF＝DH+DF＝FH＝FE．
过A作AO⊥BD，作AG⊥EF．
则△AFE与△AMN的相似比就是AG：AO．
易证△ADF≌△AGF（AAS），
则可知AG＝AD＝AO，从而得证
故④正确．
故选：D．
9．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：
x
﹣1
0
1
3
y
﹣1
3
5
3
下列结论：
（1）ac＜0；
（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．
（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根；
（4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．
其中正确的个数为（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x＝1.5，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．
【解答】解：（1）由图表中数据可得出：x＝1时，y＝5，所以二次函数y＝ax2+bx+c开口向下，a＜0；又x＝0时，y＝3，所以c＝3＞0，所以ac＜0，故（1）正确；
（2）∵二次函数y＝ax2+bx+c开口向下，且对称轴为x＝＝1.5，∴当x≥1.5时，y的值随x值的增大而减小，故（2）错误；
（3）∵x＝3时，y＝3，∴9a+3b+c＝3，∵c＝3，∴9a+3b+3＝3，∴9a+3b＝0，∴3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根，故（3）正确；
（4）∵x＝﹣1时，ax2+bx+c＝﹣1，∴x＝﹣1时，ax2+（b﹣1）x+c＝0，∵x＝3时，ax2+（b﹣1）x+c＝0，且函数有最大值，∴当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0，故（4）正确．
故选：B．
10．（3分）如果函数y＝m的图象与函数y＝2x2﹣6|x+2|+7x+1的图象恰有三个交点，则m的值为（　　）
A．﹣或﹣或﹣5 B．﹣或﹣
C．﹣或﹣5 D．﹣或﹣5
【分析】将函数y＝2x2﹣6|x+2|+7x+1分类讨论化简，再结和条件求出m的值．
【解答】解：y＝2x2﹣6|x+2|+7x+1＝，
当x≥﹣2时，y＝2x2+x﹣11＝2（x+）2﹣，
当x＜﹣2时，y＝2x2+13x+13＝2（x+）2﹣，
当x＝﹣2时，y＝﹣5，
∵函数y＝m的图象与函数y＝2x2﹣6|x+2|+7x+1的图象恰有三个交点，
∴m＝﹣或﹣5．
故选：D．
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）tan230°﹣2sin60°+cot45°+tan60°﹣3cos230°＝　﹣　．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入计算得出答案．
【解答】解：tan230°﹣2sin60°+cot45°+tan60°﹣3cos230°
＝（）2﹣2×+1+﹣3×（）2
＝﹣+1+﹣
＝﹣
＝﹣．
故答案为：﹣．
12．（3分）某微生物的直径为0.000 005 035m，用科学记数法表示该数为　5.035×10﹣6　．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000 005 035＝5.035×10﹣6，
故答案为：5.035×10﹣6．
13．（3分）若成立，则x满足　2≤x＜3　．
【分析】根据二次根式有意义及分式有意义的条件，即可得出x的取值范围．
【解答】解：∵成立，
∴，
解得：2≤x＜3．
故答案为：2≤x＜3．
14．（3分）如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O）为60°，A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是　　．

【分析】如图，连接EA、EB，先证明∠AEB＝90°，根据tan∠ABC＝，求出AE、EB即可解决问题．
【解答】解：如图，连接EA，EC，设菱形的边长为a，由题意得∠AEF＝30°，∠BEF＝60°，AE＝a，EB＝2a
∴∠AEC＝90°，
∵∠ACE＝∠ACG＝∠BCG＝60°，
∴E、C、B共线，
在Rt△AEB中，tan∠ABC＝＝＝．
故答案为．

15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是　1.2　．

【分析】如图，延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小，利用△AFM∽△ABC，得到＝求出FM即可解决问题．
【解答】解：如图，延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小．（点P在以F为圆心CF为半径的圆上，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小）

∵∠A＝∠A，∠AMF＝∠C＝90°，
∴△AFM∽△ABC，
∴＝，
∵CF＝2，AC＝6，BC＝8，
∴AF＝4，AB＝＝10，
∴＝，
∴FM＝3.2，
∵PF＝CF＝2，
∴PM＝1.2
∴点P到边AB距离的最小值是1.2．
故答案为1.2．
16．（3分）我们将1×2×3×…×n记作n!（读作n的阶乘），如2!＝1×2，3!＝1×2×3，4!＝1×2×3×4，若设S＝1×1!+2×2!+3×3!+…+2016×2016!，则S除以2017的余数是　2016　．
【分析】由（n+1）！＝1×2×3×…×n×（n+1）＝（n+1）×n！＝n×n！+n！知，可将原式两边都加上1！+2！+3！+…+2016！，即可得S＝2017！﹣1，所以S除以2017的余数是﹣1，再根据2017！能被2017整除，求出S除以2017的余数是多少即可．
【解答】解：∵（n+1）！＝1×2×3×…×n×（n+1）＝（n+1）×n！＝n×n！+n！，
∴S+1！+2！+3！+…+2016！＝1×1！+2×2！+3×3！+…+2016×2016！+1！+2！+3！+…+2016！，
即S+1！+2！+3！+…+2016！＝2！+3！+…+2017！，
则S＝2017！﹣1，
∵2017!能被2017整除，
∴S与1的和能被2017整除，
∴S除以2017的余数是：2017﹣1＝2016．
故答案为：2016．
17．（3分）对于实数c、d，我们可用min{c、d}表示c、d两数中较小的数，如min{5，﹣3}＝﹣3，若关于x的函数y＝min{3x2，m（x﹣t）2}的图象关于直线x＝2对称，则m＝　3或负数　，t＝　4或2　．
【分析】可令y1＝2x2，y2＝a（x﹣t）2可分两种情况：①当y1与y2关于x＝3对称时，可求出相应的a值为2，t值为6；②由于y1＝2x2恒大于零，此时若y2恒小于零时，a＜0，可得y2对称轴为x＝3，即可求出相应的t值．
【解答】解：设y1＝2x2，y2＝a（x﹣t）2
①当y1与y2关于x＝3对称时，可得m＝3，t＝4，
②在y＝min{y1，y2}（x≠0）中，y1与y2没重合部分，即无论x为何值，y＝y2即y2恒小于等于y1，那么由于y对x＝2对称，也即y2对于x＝2对称，得m＜0，t＝2．
综上所述，a＝3或a＜0，对应的t值为4或2，
故答案为：m＝3或负数，4或2．

18．（3分）某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元（a＞0）．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，a的取值范围应为　0＜a＜6　．
【分析】根据题意可以列出相应的不等式，从而可以解答本题．
【解答】解：设未来30天每天获得的利润为y，
y＝（110﹣40﹣t）（20+4t）﹣（20+4t）a
化简，得
y＝﹣4t2+（260﹣4a）t+1400﹣20a
每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，
∴＞29.5，
解得，a＜6，
又∵a＞0，
即a的取值范围是：0＜a＜6．
三.解答题（共66分）
19．（6分）若关于x的方程﹣＝1+无实数根，求m的值．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无实数根求出m的值即可．
【解答】解：去分母得：2x﹣2﹣x+m＝x2﹣x+x，即x2﹣x+2﹣m＝0，
当x（x﹣1）＝0时，分式方程无解，即x＝0或x＝1，
把x＝0代入整式方程得：m＝2；
把x＝1代入整式方程得：m＝2，
当△＝1﹣4（2﹣m）＜0时，整式方程无解，
解得：m＜，
综上，当m＜或m＝2时，分式方程无实数根．
20．（6分）已知：在矩形AOBC中，分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系C点坐标为（4，3）．E是边AC上的一个动点（不与A，C重合），过E点的反比例函数y＝（k＞0）的图象与BC边交于点F．
（1）若△OAE、△OBF的面积分别为S1、S2且S1+S2＝2，则k＝　2　；
（2）是否存在这样的点E，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）利用反比例函数系数k的几何意义得出S1＝k，S2＝k，再用S1+S2＝2，进行求解即可；
（2）利用折叠以及相似求得点E的横坐标即可得出答案．
【解答】解：（1）∵点E、F在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，CA⊥y轴，CB⊥x轴，
∴S1＝k，S2＝k，
∵S1+S2＝2，
∴+k＝2，
∴k＝2，
故答案为2；
（2）设存在这样的点E，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB边上的M点，过点E作EN⊥OB，垂足为N．
由题意得：EN＝AO＝3，EM＝EC＝4﹣k，MF＝CF＝3﹣k，
∵∠EMN+∠FMB＝∠FMB+∠MFB＝90°，
∴∠EMN＝∠MFB．
又∵∠ENM＝∠MBF＝90°，
∴△ENM∽△MBF．
∴，
∴，
∴MB＝．
∵MB2+BF2＝MF2，
∴（）2+（）2＝（3﹣k）2，
解得k＝，
∴EM＝EC＝4﹣＝，
故AE＝．
∴存在符合条件的点E，E的坐标为（，3）．
21．（8分）如图所示，某工程队准备在山坡（山坡视为直线l）上修一条路，需要测量山坡的坡度，即tanα的值．测量员在山坡P处（不计此人身高）观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C的仰角为37°，塔底B的仰角为26.6°．已知塔高BC＝80米，塔所在的山高OB＝220米，OA＝200米，图中的点O、B、C、A、P在同一平面内，求山坡的坡度．（参考数据sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50；sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）

【分析】过点P作PD⊥OC于D，PE⊥OA于E，则四边形ODPE为矩形，先解Rt△PBD，得出BD＝PD•tan26.6°；解Rt△CPD，得出CD＝PD•tan37°；再根据CD﹣BD＝BC，列出方程，求出PD＝320，进而求出PE＝60，AE＝120，然后在△APE中利用三角函数的定义即可求解．
【解答】解：如图，过点P作PD⊥OC于D，PE⊥OA于E，则四边形ODPE为矩形．
在Rt△PBD中，∵∠BDP＝90°，∠BPD＝26.6°，
∴BD＝PD•tan∠BPD＝PD•tan26.6°；
在Rt△CPD中，∵∠CDP＝90°，∠CPD＝37°，
∴CD＝PD•tan∠CPD＝PD•tan37°；
∵CD﹣BD＝BC，
∴PD•tan37°﹣PD•tan26.6°＝80，
∴0.75PD﹣0.50PD＝80，
解得PD＝320（米），
∴BD＝PD•tan26.6°≈320×0.50＝160（米），
∵OB＝220米，
∴PE＝OD＝OB﹣BD＝60米，
∵OE＝PD＝320米，
∴AE＝OE﹣OA＝320﹣200＝120（米），
∴tanα＝＝＝0.5，
∴坡度为1：2．

22．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝6，AC＝4，D是AB边上一点，P是优弧BAC的中点，连接PA、PB、PC、PD．
（1）当BD的长度为多少时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形？并证明；
（2）在（1）的条件下，若cos∠PCB＝，求PA的长．

【分析】（1）根据等弧对等弦以及全等三角形的判定和性质进行求解；
（2）过点P作PE⊥AD于E．根据锐角三角函数的知识和垂径定理进行求解．
【解答】解：（1）当BD＝AC＝4时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形．
∵P是优弧BAC的中点，
∴＝．
∴PB＝PC．
又∵∠PBD＝∠PCA（圆周角定理），
∴当BD＝AC＝4，△PBD≌△PCA．
∴PA＝PD，即△PAD是以AD为底边的等腰三角形．

（2）过点P作PE⊥AD于E，

由（1）可知，
当BD＝4时，PD＝PA，AD＝AB﹣BD＝6﹣4＝2，
则AE＝AD＝1．
∵∠PCB＝∠PAD（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），
∴cos∠PAD＝cos∠PCB＝，
∴PA＝．
23．（8分）小华与小丽设计了A，B两种游戏：
游戏A的规则：用3张数字分别是2，3，4的扑克牌，将牌洗匀后背面朝上放置在桌面上，第一次随机抽出一张牌记下数字后再原样放回，洗匀后再第二次随机抽出一张牌记下数字．若抽出的两张牌上的数字之和为偶数，则小华获胜；若两数字之和为奇数，则小丽获胜．
游戏B的规则：用4张数字分别是5，6，8，8的扑克牌，将牌洗匀后背面朝上放置在桌面上，小华先随机抽出一张牌，抽出的牌不放回，小丽从剩下的牌中再随机抽出一张牌．若小华抽出的牌面上的数字比小丽抽出的牌面上的数字大，则小华获胜，否则小丽获胜．
（1）小丽应选择其中　 　种游戏，使小丽获胜的可能性较大；
（2）用树状图或者表格说明小丽所选择的游戏小丽取胜的概率．
【分析】（1）根据概率先得出小丽应选择其中B种游戏，使小丽获胜的可能性较大；
（2）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）小丽应选择其中B种游戏，使小丽获胜的可能性较大；
故答案为：B；

（2）对游戏A：画树状图，

所有可能出现的结果共有9种，其中两数字之和为偶数的有5种，所以游戏A小华获胜的概率为，而小丽获胜的概率为．
对游戏B：画树状图，

所有可能出现的结果共有12种，其中小华抽出的牌面上的数字比小丽大的有5种，
根据游戏B的规则，当小丽抽出的牌面上的数字与小华抽到的数字相同或比小华抽到的数字小时，则小丽获胜，
所以游戏B小华获胜的概率为，而小丽获胜的概率为；
即游戏B对小丽获胜的可能性较大．
24．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝12cm，AD＝AC＝10cm，点P由C出发沿CA方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，线段EF由AB出发沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s，交AC于Q，连接PE、PF，若设运动时间为t（s）（0＜t＜10），解答下列问题：
（1）当t为何值时，PE∥CD？
（2）当P、E、F三点不共线时，试判断△PEF形状，并请说明理由；
（3）设△PEQ的面积为y（cm2），求出y（cm2）与t（s）之间的函数关系式及y的取值范围．

【分析】（1）由PE∥CD得△APE∽△ACD，则 ＝，即＝，解得t＝5即可；
（2）证△PAE≌△FCP（SAS），得PE＝PF即可；
（3）当0＜t＜5时，过点P作PH⊥EF于H，过点C作CG⊥AB于G，证△AQE∽△ACD，求出QE＝，AQ＝t，则PQ＝10﹣2t，再由锐角三角函数定义求出PH＝PQ＝（10﹣2t），则y＝QE•PH＝﹣t2+t；
当t＝5时，点P与点Q重合，y＝0；
当5＜t＜10时，过点P作PH⊥EF于H，过点C作CG⊥AB于G，证△AQE∽△ACD，求出QE＝，AQ＝t，则PQ＝2t﹣10，再由锐角三角函数定义求出PH＝PQ＝（2t﹣10），则y＝QE•PH＝t2﹣t；然后求出当t＝10时，y的最大值＝48，t＝5时，y＝0，则0≤y＜48．
【解答】解：（1）由题意得：AE＝BF＝CP＝t，AP＝10﹣t，
在▱ABCD中，AD＝BC＝AC＝10，AB＝EF＝CD＝12，
当PE∥CD时，△APE∽△ACD，
∴＝，
即＝，
解得：t＝5，
∴当t为5s时，PE∥CD；
（2）当P、E、F三点不共线时，△PEF是等腰三角形，理由如下：
在▱ABCD中，AD＝BC＝AC＝10，AB＝EF＝CD＝12，
∴∠CAB＝∠CBA，
∵AB∥EF，
∴∠CQF＝∠CAB，∠CFQ＝∠CBA，
∴∠CFQ＝∠CQF，
∴CF＝CQ
∴AQ＝BF＝AE，
∵AE＝BF＝CP，
∴AP＝CQ＝CF，
∵AD∥BC，
∴∠PAE＝∠FCP，
在△PAE和△FCP中，
，
∴△PAE≌△FCP（SAS），
∴PE＝PF，
∴△PEF是等腰三角形；
（3）如图1中，当0＜t＜5时，过点P作PH⊥EF于H，过点C作CG⊥AB于G，
则PH∥CG，
∴∠APH＝∠ACG，
∵AC＝BC，CG⊥AB，
∴AG＝GB＝AB＝6，CG＝＝＝8，
∵QE∥AB∥CD，
∴△AQE∽△ACD，
∴＝＝，
即＝＝，
∴QE＝，AQ＝t，
∴PQ＝AC﹣AQ﹣CP＝10﹣t﹣t＝10﹣2t，
∵cos∠APH＝cos∠ACG＝＝＝，cos∠APH＝，
∴PH＝PQ＝（10﹣2t），
∴y＝QE•PH＝××（10﹣2t）＝﹣t2+t；
当t＝5时，点P与点Q重合，
∴y＝0；
如图2中，当5＜t＜10时，过点P作PH⊥EF于H，过点C作CG⊥AB于G，
则PH∥CG，
∴∠CPH＝∠ACG，
∵AC＝BC，CG⊥AB，
∴AG＝GB＝AB＝6，CG＝＝＝8，
∵QE∥AB∥CD，
∴△AQE∽△ACD，
∴＝＝，
即＝＝，
∴QE＝，AQ＝t，
∴PQ＝AQ+CP﹣AC＝t+t﹣10＝2t﹣10，
∵cos∠CPH＝cos∠ACG＝＝＝，cos∠CPH＝，
∴PH＝PQ＝（2t﹣10），
∴y＝QE•PH＝××（2t﹣10）＝t2﹣t；
综上所述，y＝，
∵当t＝10时，y最大，y＝×102﹣×10＝48，
t＝5时，y＝0，
∴0≤y＜48．


25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过A（﹣1，0）、B（0，3）两点，顶点为D．直线y＝mx+n经过B、D两点．将直线y＝mx+n向上平移3个单位，平移后的直线与x、y轴分别交于点E、F．
（1）求该抛物线的解析式以及直线EF的解析式；
（2）若点P（x，y）是抛物线y＝ax2+bx﹣3a上的任意一点，求点P到直线EF距离最小时点P的坐标；
（3）若点Q在抛物线y＝ax2+bx﹣3a的对称轴上移动，点G在直线EF上移动，求△BGQ周长的最小值；
（4）在（3）的条件下，直接写出BQ+QG的最小值．

【分析】（1）将点A（﹣1，0）、B（0，3）代入y＝ax2+bx﹣3a，即可求抛物线解析式，则可求D（1，4），再由B、D两点确定直线EF解析式；
（2）先求出与y＝x+6平行且与抛物线有一个交点的直线解析式为y＝x+，该直线与抛物线的交点即为所求P点；
（3）作B点关于直线x＝1的对称点B''，作B点关于直线EF的对称点B'，连接B'B''交直线EF于点G，交直线x＝1于点Q，所以△BGQ周长最小为B'B''；
（4）过B''点作BG⊥EF交G，BQ+QG有最小值为B''G．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，0）、B（0，3）代入y＝ax2+bx﹣3a，
得，
∴，
∴y＝﹣x2+2x+3，
∵顶点为D，
∴D（1，4），
设直线BD的解析式为y＝kx+b，
则，
∴，
∴y＝x+3，
将y＝x+3向上平移3个单位得到y＝x+6，
∴直线EF的解析式为y＝x+6；
（2）如图1，设直线y＝x+m与抛物线只有一个交点，此时P点到直线EF的距离最小，
则x+m＝﹣x2+2x+3，
∴Δ＝1﹣4（m﹣3）＝0，
∴m＝，
∴y＝x+，
∴x+＝﹣x2+2x+3，
∴x＝，
∴P（，）；
（3）如图2，抛物线的对称轴为直线x＝1，
作B点关于直线x＝1的对称点B''，作B点关于直线EF的对称点B'，连接B'B''交直线EF于点G，交直线x＝1于点Q，
此时BG＝B'G，BQ＝B''Q，
∴△BGQ周长＝BG+BQ+GQ＝B''G+B'Q+GQ≥B'B''，
当B'、Q、G、B''四点共线时，△BGQ周长最小为B'B''，
∵B（0，3），
∴B''（2，3），
∵F（0，6），
∴BF＝3，
∵∠FBB'＝45°，
∴BB'＝3，
过点B'作x轴垂直B'K，过点B作y轴垂线BK，交于点K，
∴∠B'BK＝45°，
∴BK＝B'K＝3，
∴B'（﹣3，6），
∴B'B''＝，
∴△BGQ周长最小为；
（4）如图3，过B''点作BG⊥EF交G，
∴BQ+QG＝B''Q+QG≥B''G，
∴当B''、Q、G三点共线时，BQ+QG有最小值为B'G，
∵B''（2，3），
连接B''B并延长与直线EF交于点T，
∴T（﹣3，3），
∴B''T＝5，
∵∠GTB''＝45°，∠TGB''＝90°，
∴B'G＝，
∴BQ+QG有最小值为．



26．（10分）抛物线y＝﹣x2﹣mx+n与x轴相交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜0＜x2）两点，与y轴交于点C，且AB＝3，tan∠ABC＝．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN的面积为S，点M运动时间为t，试求S与t的函数关系，并求S的最大值；
（3）P（x0，y0）是该抛物线上任意一点，总有t+1≤nx02﹣4ny0+5成立，求实数t的最大值．

【分析】（1）由已知求出OC＝n，OB＝2n，OA＝3﹣2n，则可得A（2n﹣3，0），B（2n，0），令y＝0，则﹣x2﹣mx+n＝0，可得根与系数的关系4n﹣4＝﹣2m，2n（2n﹣3）＝﹣2n，求出n＝1，m＝﹣，即可求解析式；
（2）由题意可得，AM＝3t，BN＝t，过N点作NH⊥x轴交H，tan∠ABC＝，则＝，求出NH＝t，所以S＝﹣（t﹣）2+，当t＝，S有最大值；
（3）由已知可得y0＝﹣x02+x0+1，则t≤3x02﹣2x0＝3（x0﹣）2﹣，所以t≤﹣，则t的最大值为﹣．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝n，
∴OC＝n，
∵tan∠ABC＝，
∴OB＝2n，
∵AB＝3，
∴OA＝3﹣2n，
∴A（2n﹣3，0），B（2n，0），
令y＝0，则﹣x2﹣mx+n＝0，
∴4n﹣4＝﹣2m，2n（2n﹣3）＝﹣2n，
∴n＝1，m＝﹣，
∴y＝﹣x2+x+1；
（2）由（1）可得A（﹣1，0），B（2，0），C（0，1），
∴BC＝，
∴0≤t≤，
由题意可得，AM＝3t，BN＝t，
过N点作NH⊥x轴交H，
∵tan∠ABC＝，
∴＝，
∴NH＝t，
∴S＝×BM×NH＝×（3﹣3t）×＝﹣（t﹣）2+，
∵0≤t≤，
∴t＝时，S有最大值；
（3）∵P（x0，y0）是该抛物线上任意一点，
∴y0＝﹣x02+x0+1，
∴t+1≤nx02﹣4n（﹣x02+x0+1）+5，
∵n＝1，
∴t≤3x02﹣2x0＝3（x0﹣）2﹣，
∵总有t+1≤nx02﹣4ny0+5成立，
∴t≤﹣，
∴t的最大值为﹣．

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