2023年辽宁省沈阳市南昌中学中考三模数学试题（含解析）

这是一份2023年辽宁省沈阳市南昌中学中考三模数学试题（含解析），共35页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年辽宁省沈阳市南昌中学中考三模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．在1，－2，0，这四个数中，最大的数是（    ）
A．1 B．－2 C．0 D．
2．如图是由5个小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（ ）

A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（    ）
A． B． C． D．
4．在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则点的坐标是（　　 ）
A． B． C． D．
5．某校女子排球队12名队员的年龄分布如下表所示：
年龄（岁）
13
14
15
16
人数（人）
1
2
5
4
则该校女子排球队12名队员年龄的众数、中位数分别是（　　）
A．13，14 B．14，15 C．15，15 D．15，14
6．下列事件为必然事件的是（　　）
A．袋中有4个蓝球，2个绿球，共6个球，随机摸出一个球是红球
B．三角形的内角和为180°
C．打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放广告
D．抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上
7．下列函数图象中，表示直线的是（    ）
A． B． C． D．
8．如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯的倾斜角为，大厅两层之间的距离为6米，则自动扶梯的长约为（）（    ）．

A．7.5米 B．8米 C．9米 D．10米
9．如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，画射线，交于点D，若，则的度数是（    ）

A． B． C． D．
10．如图，面积为18的正方形内接于，则的长度为（　 　）
  
A． B． C． D．

二、填空题
11．分解因式________．
12．2022年6月5日，神舟十四号载人飞船在酒泉卫星发射中心发射成功，飞船入轨后将按照预定程序与离地面约400000米的天宫空间站进行对接．请将400000米用科学记数法表示为_________米．
13．计算：___________．
14．关于的二元一次方程组的解是，则的值为___．
15．如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴于点，交反比例函数的图象于点，点是轴正半轴上一点．若的面积为2，则的值为_____________．

16．如图，四边形为矩形，，点E为边上一点，将沿翻折，点C的对应点为点F，过点F作的平行线交于点G，交直线于点H．若点G是边的三等分点，则的长是____________．


三、解答题
17．计算：
18．“双减”政策下，将课后服务作为学生核心素养培养的重要阵地，聚力打造高品质和高成效的服务课程，推动提升课后服务质量，助力学生全面健康成长．某校确立了A：科技：B：运动；C：艺术；D：项目化研究四大课程领域（每人限报一个）．若该校小陆和小明两名同学各随机选择一个课程领域．
(1)小陆选择项目化研究课程领域的概率是______；
(2)用画树状图或列表的方法，求小陆和小明选择同一个课程领域的概率．
19．如图，在平行四边形中，，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接.

（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的面积.
20．商场销售某种冰箱．每台进货价为2500元．调查发现，当销售价为2900元时．平均每天能售出8台：而当销售价每降低50元时．平均每天就能多售出4台．商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，这时每天销售的冰箱是多少台？
21．为了解学生对淮安传统文化的知晓程度，某校随机抽取了部分学生进行问卷，问卷有以下四个选项：A（十分了解）；B（了解较多）；C（了解较少）；D（不了解）．要求每名被调查的学生必选且只能选择一项．现将调查的结果绘制成两幅不完整的统计图．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：

(1)本次被抽取的学生共有 名；
(2)请补全条形图；
(3)扇形图中的选项C （了解较少）部分所占扇形的圆心角的大小为 ；
(4)若该校共有名学生，请你根据上述调查结果估计该校对淮安传统文化“十分了解”和“了解较多”的学生共有多少名？
22．如图，AB是圆O的直径，点D在直径AB上（D与A，B不重合），CD⊥AB，且CD=AB，连接CB与圆O交于点F，在CD上取一点E，使得EF=EC．
（1）求证：EF是圆O的切线；
（2）若D是OA的中点，AB=4，求CF的长．

23．在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，点在轴的负半轴上，点在第二象限，矩形的顶点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上．将沿轴向右平移，得到，点的对应点分别为．
  
(1)如图1，当经过点时，求直线的函数表达式；
(2)设，与矩形重叠部分的面积为；
①如图②，当与矩形重叠部分为五边形时，与相交于点，分别与，交于点，用含有的式子表示　　；直接写出的取值范围 ；
②请直接写出满足的所有的值　　．
24．【特例感知】
（1）如图1，点是内一点，，，垂足分别为，且，点在的 　 上．
图1           
【类比迁移】
（2）已知中，，，，现将绕着点逆时针旋转（）得到，设直线与直线相交于点，连接（如图2）当于，
①线段的长 　 ；的长 　 ；
②求证：平分；
③当点在边上时（如图3），直接写出的长　 　 ；
【方法运用】
（3）在旋转过程中，连接，当的面积为时，直接写出的长　 　 ．
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)求直线的函数表达式；
(3)点P为线段上方抛物线上的一点，过点P作轴交直线BC于点E，过点P作交直线于点F，
①直接写出的最大值时点P的坐标 ；
②在①的条件下，将抛物线沿射线方向平移，得到新抛物线，新抛物线和原抛物线交于点B，点M是x负半轴上的一动点，点Q是新抛物线上的一点，若存在以点P、M、Q为顶点的三角形是以为斜边的等腰直角三角形，直接写出点M的坐标 ；．

参考答案：
1．D
【分析】根据实数的大小比较法则“正数＞0＞负数；两个负数比大小，绝对值大的反而小”进行比较分析．
【详解】解：∵，
∴最大的数是
故选：D．
【点睛】本题考查实数的大小比较，理解“正数＞0＞负数；两个负数比大小，绝对值大的反而小”是解题关键．
2．A
【分析】先细心观察原立体图形中正方体的位置关系，从正面看去，一共三列，左边的1列最高有1行，中间的1列最高有1行，右边的1列最高有2行，结合四个选项选出答案．
【详解】解：从正面看去，一共三列，左边的1列最高有1行，中间的1列最高有1行，右边的1列最高有2行，故主视图是：
．
故选．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体及简单组合体的三视图，重点考查几何体的三视图及空间想象能力．
3．D
【分析】分别根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方以及同底数幂的除法法则计算出各项的结果，再进行判断即可．
【详解】解：A. 与不是同类项不能合并，故此选项错误，不符合题意；
B. ，故此选项错误，不符合题意；
C. ，故此选项错误，不符合题意；
D. ，故此选项计算正确，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方以及同底数幂的除法，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．
4．A
【分析】直接利用关于轴对称点的性质，横坐标不变，纵坐标改变符号，进而得出答案．
【详解】解：点与点关于轴对称，
点的坐标是，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了关于轴对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题的关键．
5．C
【分析】根据众数和中位数的定义求解可得．
【详解】∵这组数据中15出现5次，次数最多，
∴众数为15岁，
中位数是第6、7个数据的平均数，
∴中位数为 岁，
故选C．
【点睛】此题考查了众数与中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现次数最多的数．
6．B
【分析】确定事件包括必然事件和不可能事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；
【详解】A．袋中有4个蓝球，2个绿球，共6个球，随机摸出一个球是红球是不可能事件；
B．三角形的内角和为180°是必然事件；
C．打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放广告是随机事件；
D．抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上是随机事件；
故选B．
【点睛】此题考查随机事件，解题关键在于掌握其定义
7．B
【分析】根据一次函数的图象与性质即可得．
【详解】解：一次函数的一次项系数为，
随的增大而增大，则可排除选项，
当时，，则可排除选项，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．
8．D
【分析】结合题意，根据三角函数的性质计算，即可得到答案．
【详解】根据题意，得：
∵米
∴米
故选：D．
【点睛】本题考查了三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握三角函数的性质，从而完成求解．
9．A
【分析】由作法得BD平分∠ABC，然后利用等腰三角形底角相等计算即可．
【详解】由作法得BD平分∠ABC，
∴
设
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴，解得
∴
故选：A
【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了等腰三角形底角相等．
10．C
【分析】连接，则为等腰直角三角形，由正方形的面积为18，可求出边长为，进而可求出半径为3，最后根据弧长公式即可求出答案．
【详解】解：如图，连接，
  
则，
四边形是正方形，
，
是等腰直角三角形，
正方形的面积为18，
，
，
的长度为：，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、弧长公式等知识，解题的关键是添加辅助线，构造等腰直角三角形．
11．
【分析】先提公因式，再根据平方差公式分解因式即可．
【详解】解：

，
故答案为：．
【点睛】本题考查因式分解，熟记平方差公式，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式是解答的关键．
12．4×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】解：400000＝4×105，
故答案为：4×105．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13．2
【分析】利用分式同分母运算法则进行合并，并化简即可得出结果．
【详解】解：，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查的是分式加法运算的基础运算，掌握其运算法则是解题的关键．
14．0
【分析】把的值代入方程计算求出的值，代入进行计算即可得到答案．
【详解】解：把代入，
得：，
解得：，
，
故答案为：0．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
15．8
【分析】根据反比例函数系数k与几何面积的关系，列方程可以直接求出k 的值．
【详解】解：过点A、B分别作y轴垂线，垂足为D、E，

则三角形APB的面积等于四边形ABED面积的一半，
根据反比例函数系数k与几何面积的关系可列方程：
，
解得：，
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查反比例函数系数k与几何面积的关系，熟悉反比例函数系数k代表的几何意义是解题关键．
16．或
【分析】过点作于点，根据题意可得四边形是平行四边形，证明，等面积法求得，勾股定理求得，可得的长，进而即可求解．
【详解】①如图，过点作于点，

，
四边形是平行四边形

折叠


即




，

四边形是矩形

中，

，


中，

②如图，当时，

同理可得，
，
，

中，

故答案为：或
【点睛】本题考查了勾股定理，折叠，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，掌握以上知识，注意分类讨论是解题的关键．
17．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
【详解】解：原式

．
【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各实数是解题的关键．
18．(1)
(2)

【分析】（1）根据概率公式直接求解即可；
（2）根据画树状图法求概率即可求解．
【详解】（1）解：∵共有四大课程领域，
∴小陆选择项目化研究课程领域的概率是
故答案为：．
（2）画树状图如下：

共有16种等可能的结果，其中小陆和小明选同一个课程的结果有4种，
∴ 小丽和小宁选同一个课程的概率为．
【点睛】本题考查了概率公式求概率，画树状图法求概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键．
19．（1）证明见解析；（2）.
【详解】分析：（1）由△AFD≌△BFE，推出AD=BE，可知四边形AEBD是平行四边形，再根据BD=AD可得结论；
（2）解直角三角形求出EF的长即可解决问题；
详解：（1）∵四边形是平行四边形
∴，∴
∵是的中点，∴
∴在与中，
∵，∴四边形是平行四边形
∵，∴四边形是菱形
（2）∵四边形是菱形，
∴，
∴
∵
∴
∴
∵，
∴，
∴.
点睛：本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
20．20
【分析】设销售单价降低x元，则每台的销售利润为（2900－x－2500）元，平均每天的销售量为台，利用每天销售冰箱获得的利润=每台的利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设销售单价降低x元，则每台的销售利润为（2900－x－2500）元，平均每天的销售量为台，
由题意得：，
整理得：，
解得：，
∴．
答：每天销售的冰箱是20台．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21．(1)
(2)见解析
(3)
(4)名

【分析】（1）根据组的人数除以占比求得总人数；
（2）根据总人数减去其他选项的人数得出组的人数，进而补全统计图；
（3）根据组的百分比乘以，即可求解；
（4）根据样本估计总体，用对淮安传统文化“十分了解”和“了解较多”的占比即可求解．
【详解】（1）本次被抽取的学生共（名），
故答案为；
（2）组的人数为：（名），
补全条形图如下：

（3）扇形图中的选项“．了解较少”部分所占扇形的圆心角
，
故答案为；
（4）该校对于淮安传统文化“十分了解”和“了解较多”的学生：
（名），
答：估计该校对于淮安传统文化“十分了解”和“了解较多”的学生共名．
【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22．(1)见解析；(2)
【分析】(1)连接OF和AF，证明∠GFE=∠AGD，进而可证明∠OFE=90°后即可求解；
(2)先由AB=CD=4，BD=3，在Rt△BCD中结合勾股定理求出BC，再证明△ABF∽△CBD，由对应边成比例求出BF的长，最后用BC减去BF就是所求的CF的长．
【详解】解：(1)连接OF和AF，设AF与DC相交于点G，如下图所示：

∵OA=OF，
∴∠A=∠OFA，
∵AB为圆O的直径，∴∠AFB=∠AFC=90°，
∴∠C+∠CGF=90°，∠GFE+∠EFC=90°
又EC=EF，∴∠C=∠EFC，
∴∠CGF=∠GFE,
又∠CGF=∠AGD，
∴∠GFE=∠AGD
∴∠OFE=∠OFA+∠GFE=∠A+∠AGD=180°-∠ADG=180°-90°=90°，
∴OF⊥EF，
∴EF是圆O的切线．
(2)如下图所示，

∵D是OA的中点，且AB=4，
∴DO=1，BD=BO+DO=3，
又AB=CD=4，
∴在Rt△BCD中，BC²=BD²+CD²=3²+4²=5²，
∴BC=5，
又∠BDC=∠BFA=90°，且∠B=∠B，
∴△ABF∽△CBD，
∴，代入数据后得：，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理、圆的切线的判定定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握其定理及性质是解决此类题的关键．
23．(1)
(2)①，；②的值为或5

【分析】（1）根据平移的性质可得是等腰直角三角形，根据矩形的性质可得，从而得到，最后用待定系数法即可求得答案；
（2）①根据，即可求得，再结合题意列不等式组即可求得；②分五种情况讨论：当时，与矩形重叠部分为三角形；当时，与矩形重叠部分为四边形（梯形）；当时，重叠部分为梯形；当时，与矩形重叠部分为五边形；当时，重叠部分为矩形，分别画出图形，结合图形建立方程求解即可．
【详解】（1）解：如图①，当经过点时，
  ，
矩形的顶点，
，
由平移的性质可得：为等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
设直线的解析式为，
将代入得：，
解得：，
直线的解析式为：；
（2）解：①如图②，当与矩形重叠部分为五边形时，
  
矩形中，，
四边形是矩形，
设，则，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
；
②当时，与矩形重叠部分为三角形，如图，
  
重叠部分的面积为：，
，
，解得：，
，
不符合题意，此时重叠部分面积不可能为；
当时，与矩形重叠部分为四边形（梯形），如图④，
  
则，
，
，
解得：，
，
符合题意；
当时，重叠部分为梯形，为定值，不能等于；
当时，与矩形重叠部分为五边形，
由①知：，
，
解得：（舍去），；
当时，重叠部分为矩形，如图⑤，
  
，
，
当时，，不符合题意；
综上所述，满足的所有的值为或5．
【点睛】本题是矩形综合题，考查了矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质，平移变换的性质，三角形、梯形、矩形面积，代定系数法求一次函数的解析式等知识，解题关键是运用数形结合思想和分类讨论思想．
24．（1）角平分线；（2）①3；；②见解析；③6；（3）或
【分析】（1）通过证明，得到，即可得到答案；
（2）①在中，由，可得，由勾股定理可得，由可得，再由勾股定理可得，从而即可得到的长；②过点作垂足为，由旋转性质可得，再由，可得，根据角平分线的性质即可得到答案；③在上截取连接，过作交于，作交于，由②同理可得平分，通过证明可得，在中，，由①得：，，由，得，从而即可得到答案；
（3）分两种情况：当为锐角三角形时和为钝角三角形时，分别求解即可得到答案．
【详解】解：（1）在和中，
，
，
，
点在的角平分线上，
故答案为：角平分线；
（2）①在中，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： 3，；
②过点作垂足为，
  ，
，
，
，
，
平分；
③如图2，在上截取连接，过作交于，作交于，
  ，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，且，
为的中点，即，
在中，，
由①得：，，
，
，
，
；
（3）如图3，
当为锐角三角形时，由旋转的性质可得：，
的面积为，
，
，
，
为等边三角形，
，，
过点，设，
  
，
，
在中，，
即：，
解得：，
由（2）得，平分交，
，
，
，
，
，
，
，
如图4，当为钝角三角形时，
  ，
由旋转的性质可得：，
的面积为，
，
，
，
，
作交于，
，
，
作交于，作交于，
由（2）可得，
在和中，
，
，
，
，
，
，
过点，设，
，
，
在中，，
即：，
解得：，
，
，
，
或．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、三角形全等的判定与性质、角平分线的判定与性质、等边三角形的性质、含有角的直角三角形的性质、三角形面积的计算、勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质、三角形全等的判定与性质、角平分线的判定与性质、等边三角形的性质、含有角的直角三角形的性质，添加适当的辅助线，是解题的关键．
25．(1)
(2)
(3)①②

【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）先求出点C的坐标，再用待定系数法求解即可；
（3）①如图所示，过点P作轴交直线于G，先求出，进而求出直线的解析式为，设，则，则，求出，，得到，，，；进一步证明是等腰直角三角形，得到；证明，一处，则的周长，推出当最大时，的周长最大，据此求解即可；
②由，可设将抛物线向右平移n个单位长度，再向下平移n个单位长度得到新抛物线，再根据平移后的抛物线与原抛物线交于点B，求出平移后的抛物线解析式为；设点M的坐标为，然后分如图1所示，当点M在点P左侧时，过点P作轴于H，过点Q作轴于E，如图2所示，当点M在点P左侧时，过点P作轴于H，过点Q作轴于E，两种情况证明，得到，进而用含t的式子表示出点Q的坐标，再根据，点Q在抛物线上进行代入求解即可．
【详解】（1）解：把，代入到抛物线解析式中得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：在中，当时，，
∴，
设直线的解析式为
把，代入得：，
∴，
∴直线的解析式为；
（3）解：如图所示，过点P作轴交直线于G，

设，则，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，，，，
∵轴，轴，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，，
∴，
∵，，
∴当时，最大，最大为，
∴最大为：， 此时点P的坐标为；
故答案为：；
（3）∵，
∴可设将抛物线向右平移n个单位长度，再向下平移n个单位长度得到新抛物线，
∴，
∵平移后的抛物线与原抛物线交于点B，
∴，
∴，解得：或(舍去)，
∴平移后的抛物线解析式为；
设点M的坐标为，，
如图1所示，当点M在点P左侧时，过点P作轴于H，过点Q作轴于G，

∴，
∵以为斜边的等腰直角三角形，
∴，°，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，∴，
∵点Q在抛物线上，
∴，
∴，
∴，解得(舍)，，
∴点M的坐标为；
如图2所示，当点M在点P左侧时，过点P作轴于H，过点Q作轴于G，

同理可证，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点Q在抛物线上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得(舍去)或(舍去)，
∴此时点M的坐标不存在．
综上所述：点M的坐标为．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，一次函数与几何综合等等，正确作出辅助线并利用分类讨论的思想求解是解题的关键．