高中5.3 导数在研究函数中的应用示范课课件ppt

这是一份高中5.3 导数在研究函数中的应用示范课课件ppt，共54页。PPT课件主要包含了第1课时函数的极值，素养目标·定方向，必备知识·探新知，f′x0，极大值，极小值，关键能力·攻重难，CDE，课堂检测·固双基等内容，欢迎下载使用。

5.3　导数在研究函数中的应用
5.3.2　函数的极值与最大(小)值
极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．
想一想：导数值为0的点一定是函数的极值点吗？提示：可导函数的极值点一定是导数值为0的点，但导数值为0的点不一定是该函数的极值点，因此可导函数的导数值为0只是该点为极值点的必要条件，其充要条件是该点处导数值为0且该点附近两侧的导数值异号．
练一练：若函数y＝f(x)可导，则“f ′(x)＝0有实根”是“f(x)有极值”的(　　)A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
一般地，求函数y＝f(x)的极值的步骤是：(1)求出函数的定义域及导数f ′(x)；(2)解方程 f ′(x)＝0，得方程的根x0(可能不止一个)；(3)用方程 f ′(x)＝0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，可将x，f ′(x)，f(x)在每个区间内的变化情况列在同一个表格中；
(4)由 f ′(x)在各个开区间内的符号，判断f(x)在f ′(x)＝0的各个根处的极值情况：①如果在x0附近的左侧 f ′(x)>0，右侧 f ′(x)<0，那么f(x0)是_________；②如果在x0附近的左侧 f ′(x)<0，右侧 f ′(x)>0，那么f(x0)是_________．
练一练：判断下列函数有无极值．如果有极值，请求出极值；如果无极值，请说明理由．
[解析]　(1)f ′(x)＝x2.令f ′(x)＝0，解得x＝0.当x变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：由表可知该函数无极值．(2)f ′(x)＝x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3>0，所以函数f(x)在R上为增函数，无极值．
(1)(多选题)下列说法正确的是(　　)A．若f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为f(x)的极小值，若f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为f(x)的极大值B．若f(x0)为f(x)的极大值，f(a)是函数的最大值，则f(x0)＝f(a)C．可导函数极值点的导数值为0，但导数值为0的点可能不是函数的极值点D．极值点一定出现在定义区间的内部E．若f(x)在区间(a，b)内有极值，则f(x)在(a，b)内一定不是单调函数
[规律方法]　有关给出图象研究函数性质的题目，要分清给的是f(x)的图象还是f′(x)的图象，若给的是 f(x)的图象，应先找出 f(x)的单调区间及极(最)值点，如果给的是 f′(x)的图象，应先找出f′(x)的正负区间及由正变负还是由负变正，然后结合题目特点分析求解．
【对点训练】❶(1)下列说法正确的是(　　)A．若f ′(x0)＝0，则f(x0)是函数f(x)的极值B．若f(x0)是函数f(x)的极值，则f(x)在x0处有导数C．函数f(x)至多有一个极大值和一个极小值D．定义在R上的可导函数f(x)，若方程f ′(0)＝0无实数解，则f(x)无极值
(2)(2022·北京八中高二检测)如图所示是函数y＝f(x)的导函数y＝f ′(x)的图象，给出下列结论：①－2是函数f(x)的极值点；②1是函数f(x)的极值点；③f(x)在x＝0处切线的斜率小于零；④f(x)在区间(－2，2)上单调递增．其中正确结论的序号是_______．(写出所有正确命题的序号)
[解析]　(1)若f ′(x0)＝0，则f(x0)是函数f(x)的极值，不正确，反例y＝x3中，f ′(0)＝0，但是x＝0不是函数的极值点，故A不正确；对于B，例如f(0)＝0是f(x)＝|x|的极小值，但f(x)＝|x|在x＝0处不可导，所以错误；对于C，函数f(x)可有多个极大值和极小值，所以错误．对于D，根据可导函数判断是否存在极值的条件，可得若方程f ′(x)＝0无实数解，则定义在R上的函数f(x)无极值，所以正确．
(2)对于①，当x∈(－∞，－2)时，f ′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(－2，1)时，f ′(x)>0，f(x)单调递增，－2是函数的极小值点，①正确；对于②，当x∈(－2，1)时，f ′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)>0，f(x)单调递增，故1不是函数f(x)的极值点，②错误；对于③，由题中图象可知f ′(0)>0，所以y＝f(x)在x＝0处切线的斜率大于零，③错误；对于④，由题中图象可知当x∈(－2，2)时，f ′(x)≥0，函数单调递增，④正确，故正确的序号是①④.
求函数y＝3x3－x＋1的极值．[分析]　首先对函数求导，然后求方程y′＝0的根，再检查y′在方程根左、右两侧的值的符号．如果左正右负，那么y在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么y在这个根处取得极小值．
[规律方法]　利用导数求函数极值的步骤：(1)确定函数的定义域．(2)求导数f′(x)．(3)解方程f′(x)＝0得方程的根．(4)利用方程f′(x)＝0的根将定义域分成若干个小开区间，列表，判定导函数在各个小开区间的符号．(5)确定函数的极值，如果f′(x)的符号在x0处由正(负)变负(正)，则f(x)在x0处取得极大(小)值．
【对点训练】❷求下列函数的极值．(1)f(x)＝x3－12x；(2)f(x)＝x2e－x.[解析]　(1)函数f(x)的定义域为R.f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)．令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2.
当x变化时， f′(x), f(x)变化情况如下表：从表中可以看出，当x＝－2时，函数有极大值16.当x＝2时，函数有极小值－16.
(2)函数的定义域为R.f′(x)＝2xe－x－x2·e－x＝x(2－x)e－x.令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：
(1)若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0，1)内有极小值，则实数b的取值范围是___________．(2)函数f(x)＝x3＋mx2＋x＋1在R上无极值点，则m的取值范围是_____________．
[规律方法]　解决与极值相关的参数范围问题的关键是根据极值条件列出不等式(组)．
(－∞，－3)∪(6，＋∞)　
已知f(x)＝ax5－bx3＋c在x＝±1处的极大值为4，极小值为0，试确定a，b，c的值．[分析]　本题的关键是理解“f(x)在x＝±1处的极大值为4，极小值为0”的含义．即x＝±1是方程f′(x)＝0的两个根且在根x＝±1处f′(x)取值左、右异号．[解析]　f′(x)＝5ax4－3bx2＝x2(5ax2－3b)．由题意，f′(x)＝0应有根x＝±1，故5a＝3b，于是f′(x)＝5ax2(x2－1)
(1)当a＞0时，x变化时，y、y′的变化情况如下表：
[规律方法]　已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，注意以下两点：(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性．
忽视极值存在的条件致误已知函数f(x)＝x3＋6mx2＋4nx＋8m2在x＝－2处取得极值，且极值为0，求m＋4n的值．[误区警示]　可导函数的极值点一定是导数为零的点．在某点导数为零仅是该点为极值点的必要条件，其充要条件是该点两侧的导数异号．
当m＝2，n＝9时，f ′(x)＝3x2＋24x＋36＝3(x＋2)(x＋6)，当－6－2时f ′(x)>0，故f(x)在x＝－2处取得极值，符合题意．综上所述，m＝2，n＝9，所以m＋4n＝38.[点评]　由于“f ′(x0)＝0”是“f(x0)为极值”的必要不充分条件，因此由f ′(x0)＝0求得m，n的值后，要验证在x＝x0左、右两侧导数值的符号是否相反，才能确定是否真正在点x0处取得极值，忽视了这一检验过程，就会导致错解．
1．(2022·武汉高二检测)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数f ′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为(　　)A．1　　B．2C．3　　D．4[解析]　由图象可知，满足f ′(x)＝0且导函数函数值左负右正的只有一个，故f(x)在(a，b)内的极小值点只有一个．
2．下列四个函数：①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝|x|；④y＝2x.在x＝0处取得极小值的函数是(　　)A．①②　B．②③C．③④　　D．①③[解析]　①y＝x3在R上单调递增，无极值；②y＝x2＋1在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故②正确；③y＝|x|在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故③正确；④y＝2x在R上单调递增，故④不正确．∴选B．
4．如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，对此图象，有如下结论：①在区间(－2，1)内f(x)是增函数；②在区间(1，3)内f(x)是减函数；③x＝2时，f(x)取到极大值；④在x＝3时，f(x)取到极小值．其中正确的是_____(将你认为正确的序号填在横线上)．