高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用课堂教学ppt课件

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用课堂教学ppt课件，共51页。PPT课件主要包含了自学导引，f′x0，极小值点，极小值，极大值点，极大值，极值点，某一点附近，不是极值，课堂互动等内容，欢迎下载使用。

若函数f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0.类似地，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧________，右侧________．
我们把a叫做函数y＝f(x)的__________，f(a)叫做函数y＝f(x)的________；b叫做函数y＝f(x)的________，f(b)叫做函数y＝f(x)的________．极小值点、极大值点统称为________，极大值和极小值统称为________．极值反映了函数在___________的大小情况，刻画的是函数的_____性质．
【预习自测】1．如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，下列说法错误的是(　　)A．－2是函数y＝f(x)的极小值点B．1是函数y＝f(x)的极值点C．y＝f(x)在x＝0处的切线的斜率大于零D．y＝f(x)在区间(－2，2)内单调递增
【答案】B【解析】f′(1)＝0，但在x＝1附近的左、右两侧的导函数值同号，则1不是f(x)的极值点．
2．(2021年成都月考)如图是某函数的导函数的图象，则此函数的极小值点是(　　)A．x1B．x2C．x3D．x4【答案】D【解析】根据f(x)图象可知x＝x4的左侧导数值为负，右侧的导数值为正，故x＝x4是函数的极小值点．
3．(2022年武汉模拟)下列四个函数，在x＝0处取得极值的函数是(　　)①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝|x|；④y＝2x.A．①②B．②③C．③④D．①③【答案】B
【解析】①y′＝3x2≥0恒成立，所以函数在R上单调递增，无极值点；②y′＝2x，当x>0时，函数单调递增；当x<0时，函数单调递减且y′|x＝0＝0，②符合；③结合该函数图象可知在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0]上单调递减，③符合；④y＝2x在R上单调递增，无极值点．
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧________，那么f(x0)是__________；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧________，那么f(x0)是__________；(3)如果f′(x)在点x0的左右两侧符号不变，则f(x0)___________．
求函数f(x)的极值的方法
2．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3处取得极值，则实数a的值为(　　)A．2　　B．3C．4　　D．5【答案】D【解析】∵f′(x)＝3x2＋2ax＋3，f(x)在x＝－3处取得极值，∴f′(－3)＝30－6a＝0，∴a＝5.
3．函数y＝x3－3x的极大值为m，极小值为n，则m＋n＝(　　)A．0　　B．1C．2　　D．4【答案】A【解析】由题意可得y′＝3x2－3，令y′＝3x2－3>0，则x>1或者x<－1，所以函数y＝x3－3x在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以当x＝－1时，函数有极大值m＝2，当x＝1时，函数有极小值n＝－2，所以m＋n＝0.
判断下列函数是否有极值，如果有，请求出其极值；若没有，请说明理由．
令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表，
∴由表中数据可知，当x＝－1时，函数有极小值f(－1)＝－3，当x＝1时，函数有极大值f(1)＝－1.【解题探究】按照求极值的基本方法求出定义域内所有可能的极值点，再按照极值的定义判断在这些点处是否取得极值．
利用导数研究函数的极值时，一般应首先明确函数的定义域，然后求出函数的导数，得到导数为零的点．这些点将整个定义域分为若干个区间，最后将x，f′(x)，f(x)在每个区间内的变化情况列在一个表格中．观察导数为零的点的左右两侧导数值是否异号，若异号，则是极值；否则，不是极值．这样通过表格可以清楚地判断在哪个点处取得极值，是极大值还是极小值．
已知函数f(x)＝x3－3ax2＋2bx在点x＝1处有极小值为－1，试确定a，b的值，并求f(x)的单调区间．解：由已知f′(x)＝3x2－6ax＋2b，∴f′(1)＝3－6a＋2b＝0①.又∵f(1)＝1－3a＋2b＝－1②，
题型2　函数极值的应用
【解题探究】利用“可导函数f(x)在x＝x0处取得极值，则f′(x0)＝0”求解．
根据函数极值的定义可知，如果一个函数是可导函数，那么在极值点处的导数必然为零，即对于可导函数y＝f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的必要条件．当已知函数在某一点处取得极值时，该点处的导数值一定为零，据此可建立关于参数的方程进行求解．特别地，利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．
2．已知函数f(x)＝x5＋ax3＋bx＋1，当且仅当x＝－1或x＝1时取得极值且极大值比极小值大4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的极大值和极小值．解：(1)f(x)＝x5＋ax3＋bx＋1的定义域为R，f′(x)＝5x4＋3ax2＋b.∵当x＝±1时有极值，∴5＋3a＋b＝0.∵f(1)＝a＋b＋2，f(－1)＝－a－b，极大值比极小值大4，∴(a＋b＋2)－(－a－b)＝4或(a＋b＋2)－(－a－b)＝－4，即a＋b＝1或a＋b＝－3.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表，
极大值为f(－1)＝3，极小值为f(1)＝－1，满足题意．∴a＝－1，b＝－2.(2)由(1)得极大值为f(－1)＝3，极小值为f(1)＝－1.
题型3　利用极值研究方程根的问题
【解题探究】(1)对∀x∈R，f′(x)≥m⇔f′(x)－m≥0恒成立，求解即可得出m的最大值；(2)由分析可知f(x)既有极大值，又有极小值，要求f(x)＝0有且仅有一个实数根，则f(x)极大＜0或f(x)极小＞0，即可求解a的取值范围．
对于该题中的恒成立问题，一方面可以构造函数，通过判别式确定m的最大值；另一方面可以通过求f′(x)的最小值来确定m的最大值．方程有零点可以通过导数将函数的大致图象画出来，根据图象求得参数的取值范围．
3．设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实数根，求实数a的取值范围．
若f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1时有极值10，求a＋b的值．
易错警示　导数为零时不一定有极值
【错因】可导函数在某一点的导数值为0是函数在这一点取得极值的必要条件，而非充分条件，本题忽略了对所得两组解进行检验，从而出现了错误．
故当x＝1时，f(x)有极小值．当a＝－3，b＝3时，f(x)＝x3－3x2＋3x＋9，f′(x)＝3(x－1)2≥0，即x＝1为非极值点．所以a＝－3，b＝3舍去，故a＋b＝－7.【警示】可导函数的极值点必须是导数为零的点，但导数为零的点不一定是极值点，如f(x)＝x3，在x＝0处导数f′(x)＝0，但x＝0不是它的极值点．即可导函数在点x0处的导数f′(x0)＝0是该函数在x0处取得极值的必要不充分条件．
1．极值是一个局部概念．由定义知，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小．2．函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个．3．极大值与极小值之间无确定的大小关系．在某一点的极小值也可能大于另一点的极大值，即极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小．
4．函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．5．若函数在极值点处存在导数，则该点的导数值为0，但导数为0的点可能不是函数的极值点．也就是说，若f′(c)存在，则“f′(c)＝0”是“f(x)在x＝c处取到极值”的必要条件，但不是充分条件．6．若f(x)在区间(a，b)内有极值，则f(x)在(a，b)内一定不是单调函数，即在某区间上单调的函数没有极值．
7．如果函数f(x)在[a，b]上有极值，那么它的极值点的分布是有规律的．相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样，相邻两个极小值点之间必有一个极大值点．一般地，当函数f(x)在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f(x)在[a，b]上的极大值点、极小值点是交替出现的．
2．(题型2)函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1处有极值10，则点(a，b)为(　　)A．(3，－3)B．(－4，11)C．(3，－3)或(－4，11)D．不存在【答案】B
3．(题型2)(2022年北京模拟)已知实数a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝－x3＋3x的极大值为b，极小值为c，则ad＝________．【答案】－4【解析】由曲线y＝－x3＋3x可得y′＝－3x2＋3＝3(1＋x)(1－x)，令y′＝0，可得函数的极值点为－1，1.当x∈(－∞，－1)时，y′<0，函数单调递减；当x∈(－1，1)时，y′>0，函数单调递增；当x∈(1，＋∞)时，y′<0，函数单调递减，∴x＝－1是函数的极小值点，x＝1是函数的极大值点，又∵b，c分别是函数的极大值和极小值，∴c＝－(－1)3＋3×(－1)＝－2，b＝－13＋3×1＝2，∴bc＝－4.又∵a，b，c，d成等比数列，∴ad＝bc＝－4.
4．(题型3)已知函数f(x)＝xe2x－1，则函数f(x)的极小值为________，零点有________个．
5．(题型1，2)已知函数f(x)＝x3＋x2－8x＋7，求函数的单调区间和极值点．