高考数学二轮复习专题8 统计与概率（文科）解答题30题 教师版

这是一份高考数学二轮复习专题8 统计与概率（文科）解答题30题 教师版，共41页。试卷主要包含了的四组数据如下表所示，的数据表格等内容，欢迎下载使用。
专题8 统计与概率（文科）解答题30题

1．（河南省部分重点中学2022-2023学年高三下学期2月开学联考文科数学试题）某地区为了调查年龄区间在岁的居民的上网时间，从该地区抽取了名居民进行调查，并将调查结果按年龄分组，得到的频率分布直方图如图所示.

(1)若用分层抽样的方法进一步从被调查的名居民中抽取60人进行深度调研，则年龄在以及年龄在的居民分别有多少人?
(2)在中抽取4人，中抽取2人，若从这6人中再次随机抽取2人调查浏览新闻的时间，求两人年龄都在上的概率.
【答案】(1)12人，6人
(2)

【分析】（1）利用分层抽样的方法分析即可；
（2）列举出满足事件的事件的基本总数，和找出满足条件的事件数，利用古典概型求解概率即可.
【详解】（1）依题意，各组的比例为1：7：6：4：2，
故抽取的60名居民中，
年龄在的人数为人，
年龄在的人数为人.
（2）记在中的4个人分别为，，，，
在中的2个人分别为，，
则从6人中抽取2人，所有的情况为：
，，，，，，，，，，，，，，共15种；
其中满足条件的有，，，，，共有6种；
故所求概率为是：.
2．（2022·陕西西安·西安市第三十八中学校考一模）某加工工厂加工产品A，现根据市场调研收集到需加工量X（单位：千件）与加工单价Y（单位：元/件）的四组数据如下表所示：
X
6
8
10
12
Y
12
m
6
4

根据表中数据，得到Y关于X的线性回归方程为，其中．
(1)若某公司产品A需加工量为1.1万件，估计该公司需要给该加工工厂多少加工费；
(2)通过计算线性相关系数，判断Y与X是否高度线性相关．
参考公式：   ，时，两个相关变量之间高度线性相关．
【答案】(1)该公司需要给该加工工厂57200元加工费.
(2)Y与X高度线性相关.

【分析】（1）由线性回归直线方程必过，代入方程与已知联立可得与m的值，进而求得回归方程，代入可得单价，由总加工费等于单价乘以件数可得结果.
（2）计算线性相关系数r，比较与0.9可得结果.
【详解】（1）∵，，
则，
又∵
∴，，
∴，
∵1.1万=11千，
∴当时，（元），
∴（元），
答：估计该公司需要给该加工工厂57200元加工费.
（2）由（1）知，，，，



∴
∴，
∴两个相关变量之间高度线性相关.
3．（河南省濮阳市2022-2023学年高三下学期第一次摸底考试文科数学试题）某出租车公司为推动驾驶员服务意识和服务水平大提升，对出租车驾驶员从驾驶技术和服务水平两个方面进行了考核，并从中随机抽取了100名驾驶员，这100名驾驶员的驾驶技术与性别的2×2列联表和服务水平评分的频率分布直方图如下，已知所有驾驶员的服务水平评分均在区间内．
驾驶技术
优秀
非优秀
男
25
45
女
5
25



(1)判断能否有95%的把握认为驾驶员的驾驶技术是否优秀与性别有关；
(2)从服务水平评分在，内的驾驶员中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，求这3人中恰有2人的评分在内的概率．
附：，其中．

0.10
0.050
0.010

2.706
3.841
6.635


【答案】(1)没有95%的把握认为驾驶员的驾驶技术是否优秀与性别有关，理由见解析
(2)

【分析】（1）计算出卡方，与3.841比较后得到相应结论；
（2）先根据频率之和为1得到，从而得到评分在，内的驾驶员人数比例，及两个区间各抽取的人数，利用列举法求出概率.
【详解】（1），
没有95%的把握认为驾驶员的驾驶技术是否优秀与性别有关；
（2），
解得：，
故服务水平评分在，内的驾驶员人数比例为，
故用分层抽样的方法抽取5人中，内有4人，设为，内有1人，设为，
再从这5人中随机抽取3人，共有以下情况：
，共10种情况，
其中这3人中恰有2人的评分在的有，6种情况，
故这3人中恰有2人的评分在内的概率为．
4．（青海省海东市2022-2023学年高三上学期12月第一次模拟数学（文）试题）网购是目前很流行也很实用的购物方式.某购物网站的销售商为了提升顾客购物的满意度，随机抽取100名顾客进行问卷调查，根据顾客对该购物网站评分的分数（满分：100分），按分成5组，得到的频率分布直方图如图所示.

(1)估计顾客对该购物网站的评分的中位数（结果保留整数）；
(2)若采用分层抽样的方法从对该购物网站的评分在和内的顾客中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽取的2人中恰有1人对该购物网站的评分在内的概率.
【答案】(1)中位数为72
(2)

【分析】（1）根据中位数左边的直方图面积为0.5求解即可；
（2）利用列举法，结合古典概型的方法求解即可.
【详解】（1）因为，
所以顾客对该购物网站的评分的中位数在内.
设顾客对该购物网站的评分的中位数为，则，
解得，即估计顾客对该购物网站的评分的中位数为72.
（2）由频率分布直方图可知顾客评分在和内的频率分别是和，则采用分层抽样的方法抽取的6人中，对该购物网站的评分在内的有4人，记为，对该购物网站的评分在,内的有2人，记为.
从这6人中随机抽取2人的情况有，共15种.
其中符合条件的情况有，共8种，
故所求概率.
5．（广东省2022届高三一轮复习质量检测数学试题）下表是我国从2016年到2020年能源消费总量近似值y（单位：千万吨标准煤）的数据表格：
年份
2016
2017
2018
2019
2020
年份代号x
1
2
3
4
5
能源消费总量近似值y（单位：千万吨标准煤）
442
456
472
488
498

以x为解释变量，y为预报变量，若以为回归方程，则相关指数，若以为回归方程，则相关指数．
(1)判断与哪一个更适宜作为能源消费总量近似值y关于年份代号x的回归方程，并说明理由；
(2)根据（1）的判断结果及表中数据，求出y关于年份代号x的回归方程．
参考数据：，．
参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．
【答案】(1)更适宜作为y关于x的回归方程，答案见解析；
(2).

【分析】（1）利用相关指数的概念即得；
（2）利用回归直线方程公式即求.
【详解】（1）因为，
所以更适宜作为y关于x的回归方程．
（2），．
，，
所以以x为解释变量，y为预报变量的回归方程为．
6．（陕西省榆林市2023届高三上学期一模文科数学试题）第二十二届世界杯足球赛在卡塔尔正式拉开序幕，这是历史上首次在北半球冬季举行的世界杯足球赛.某市为了解高中生是否关注世界杯足球赛与性别的关系，随机对该市50名高中生进行了问卷调查，得到如下列联表.

关注
不关注
合计
男高中生

4

女高中生
14


合计




已知在这50名高中生中随机抽取1人，抽到关注世界杯足球赛的高中生的概率为.
(1)完成上面的列联表；
(2)根据列联表中的数据，判断能否有的把握认为该市高中生是否关注世界杯足球赛与性别有关.
附：，其中.












【答案】(1)列联表见解析
(2)没有

【分析】（1）根据已知得出世界杯足球赛的高中生人数，不关注世界杯足球赛的高中生人数，即可完成列联表；
（2）根据已知公式得出，查表即可得出答案.
【详解】（1）由题可知，关注世界杯足球赛的高中生有人，
不关注世界杯足球赛的高中生有人.
故完成的列联表如下：

关注
不关注
合计
男高中生
26
4
30
女高中生
14
6
20
合计
40
10
50

（2），
因为，
所以没有的把握认为该市高中生是否关注世界杯足球赛与性别有关.
7．（山西省太原市2022届高三下学期三模文科数学试题）在学业测试中，客观题难度的计算公式为，其中为第i题的难度，为答对该题的人数，N为参加测试的总人数.现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题.测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：
题号
1
2
3
4
5
考前预估难度
0.9
0.8
0.7
0.6
0.4

测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下
题号
1
2
3
4
5
实测答对人数
16
16
14
14
8

(1)根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数；
(2)定义统计量,其中为第i题的实测难度，为第i题的预估难度(i=1，2，…，n).规定：若，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理.试据此判断本次测试的难度预估是否合理.
【答案】(1)96
(2)本次测试的难度所估合理.

【分析】（1）根据实测答对人数表求得第五题的实测难度，然后估计总体的实测答对人数；
（2）根据图表，分别计算出第1题至第5题的实测难度，求解的值，与0.05比较得出结论.
【详解】（1）因为第5题的实测难度为
所以估计这240名学生中第5题的实测答对人数为（人）.
（2）根据题干中数据可得：，
故，
.
故本次测试的难度所估合理.
8．（山西省晋城市2022届高三第三次模拟文科数学试题）为落实党中央的“三农”政策，某市组织该市5000名乡镇干部进行了一期“三农”政策专题培训，并在培训结束时进行了结业考试.从该次考试成绩中随机抽取样本，以分组绘制的频率分布直方图如图所示.

(1)根据频率分布直方图的数据，估计该次考试成绩的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
(2)若要使13%的乡镇干部的考试成绩不低于m，求m的值；
(3)在（1）（2）的条件下，估计本次考试成绩在内的人数.
【答案】(1)83.5
(2)89.5
(3)1950

【分析】（1）利用频率分布直方图求解平均数，将中点值乘以相应的频率再相加即可；（2）先计算出成绩分别在，内的频率，确定m落在内，列出方程，求出m的值；
（3）在（1）（2）条件下求出本次考试成绩在内的频率，进而求出人数.
【详解】（1）由图可得：
，
（2）成绩落在内的频率为，成绩落在内的频率为，由于，
故m落在内，其中，
解得：，所以m的值为89.5
（3），

所以估计本次考试成绩在内的人数为1950.
9．（内蒙古2023届高三仿真模拟考试文科数学试题）国际足联世界杯（），简称“世界杯”，是由全世界国家级别球队参与，象征足球界最高荣誉，并具有最大知名度和影响力的足球赛事.年卡塔尔世界杯共有支球队参加比赛，共有场比赛.某社区随机调查了街道内男、女球迷各名，统计了他们观看世界杯球赛直播的场次，得到下面的列联表：

少于场比赛
不少于场比赛
总计
男球迷



女球迷



总计




(1)求的值，并完成上述列联表；
(2)若一名球迷观看世界杯球赛直播的场次不少于场比赛，则称该球迷为“资深球迷”，请判断能否有的把握认为该社区的一名球迷是否为“资深球迷”与性别有关.
参考公式：，其中.
参考数据：












【答案】(1)，列联表见解析
(2)有的把握认为该社区的一名球迷是否为“资深球迷”与性别有关

【分析】（1）根据球迷总人数可构造方程求得的值，进而补全列联表；
（2）由列联表数据可计算得到，对比临界值表可得结论.
【详解】（1）由题意得：，解得：；
补全列联表如下：

少于场比赛
不少于场比赛
总计
男球迷



女球迷



总计




（2）由（1）得：，
有的把握认为该社区的一名球迷是否为“资深球迷”与性别有关.
10．（内蒙古赤峰市2022届高三下学期5月模拟考试数学（文科）试题）某公司进行职业技术大比武，有名员工进行岗位技术比赛，根据成绩得到如下统计表：已知，，成等差数列．
成绩






频数







(1)计算参加岗位技术比赛的名员工成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作代表）与中位数（结果精确到）；
(2)若从成绩在与的员工中，用分层抽样的方法选取人进行经验分享，再从这人中选取人，求这人中至少有人的岗位技术比赛成绩在内的概率．
【答案】(1)平均数为，中位数约为；
(2)

【分析】（1）依题意得到方程组，求出、的值，即可求出平均数，再列出频率分布表，判断中位数位于内，设中位数为，即可得到方程，解得即可；
（2）首先按照分层抽样求出抽取的与内的员工人数，分别记作、、
、、、，用列举法列出所有可能结果，再根据古典概型的概率公式计算可得；
(1)
解：因为、、成等差数列，
所以，解得，
所以参加岗位技术比赛的名员工成绩的平均值为，
所以频率分布表为：
成绩






频数






频率







所以中位数位于内，设中位数为，所以，解得，所以中位数约为
(2)
解：用分层抽样的方法从成绩在与内的员工中选取人，
则需从成绩在的员工中抽取人，记作、；
从成绩在的员工中抽取人，记作、、、；
从这6人中选取3人所有可能情况有、、、、、、、
、、、、、、、、、、、、共20种，
其中满足这人中至少有人的岗位技术比赛成绩在内的情况有、、、
、、、、、、、、、、、、共16种，
所以这人中至少有人的岗位技术比赛成绩在内的概率；
11．（四川省成都石室中学2022-2023学年高三上学期10月月考数学（文）试题）某校所在省市高考采用新高考模式，学生按“”模式选科参加高考：“3”为全国统一高考的语文､数学､外语3门必考科目；“1”由考生在物理､历史2门中选考1门科目；“2”由考生在思想政治､地理､化学､生物学4门中选考2门科目，
(1)为摸清该校本届考生的选科意愿，从本届750名学生中随机抽样调查了100名学生，得到如下部分数据分布：

选物理方向
选历史方向
合计
男生
30

40
女生



合计
50

100

请在答题卡的本题表格中填好上表中余下的5个空，并判断是否有99.9%的把握认为该校“学生选科的方向”与“学生的性别”有关；
(2)已选物理方向的甲､乙两名同学，在“4选2”的选科中，求他们恰有一门选择相同学科的概率.
附：.

0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828


【答案】(1)填表答案见解析，有99.9%的把握认为该校“学生选科的方向”与“学生的性别”有关
(2)

【分析】（1）根据题意完善列联表，计算，即可得出结论.
（2）先求出已选物理方向的甲､乙两名同学，在“4选2”的选科中，所有的基本事件的总数，再求出在“4选2”的选科中，他们恰有一门选择相同学科的事件总数，由古典概率的公式代入即可得出答案.
【详解】（1）根据题意可得，列联表如下：

选物理方向
选历史方向
合计
男生
30
10
40
女生
20
40
60
合计
50
50
100

由于的观测值，
所以有99.9%的把握认为该校“学生选科的方向”与“学生的性别”有关.
（2）已选物理方向的甲､乙两名同学，在“4选2”的选科中，所有的基本事件（记为事件）列举如下：（政，地；政，地），（政，地；政，化），（政，地；政，生），（政，地；化，地），（政，地；生，地），（政，地；生，化），（政，化；政，地），（政，化；政，化），（政，化；政，生），（政，化；化，地），（政，化；生，地），（政，化；生，化），（政，生；政，地），（政，生；政，化），（政，生；政，生），（政，生；化，地），（政，生；生，地），（政，生；生，化），（地，化；政，地），（地，化；政，化），（地，化；政，生），（地，化；化，地），（地，化；生，地），（地，化；生，化），（地，生；政，地），（地，生；政，化），（地，生；政，生），（地，生；化，地），（地，生；生，地），（地，生；生，化），（化，生；政，地），（化，生；政，化），（化，生；政，生），（化，生；化，地），（化，生；生，地），（化，生；生，化），共36种，
设事件在“4选2”的选科中，他们恰有一门选择相同学科，有24种，
则.
12．（广西南宁市第二中学2023届高三上学期第一次综合质检数学（文）试题）某商场销售小天鹅、小熊猫两种型号的家电，现从两种型号中各随机抽取了100件进行检测，并将家电等级结果和频数制成了如下的统计图：

(1)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99.9%的把握认为家电是否为甲等品与型号有关；

甲等品
非甲等品
总计
小天鹅型号



小熊猫型号



总计




(2)以样本估计总体，若销售一件甲等品可盈利90元，销售一件乙等品可盈利60元，销售一件丙等品亏损10元.分别估计销售小天鹅，小熊猫型号家电各一件的平均利润.
附：，其中.

0.15
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828


【答案】(1)列联表见解析，有99.9%的把握认为家电是否为甲等品与型号有关
(2)销售一件小天鹅型号家电和一件小熊猫型号家电的平均利润分别为50.5元和54.5元

【分析】（1）首先根据统计图，填写列联表，再根据公式计算，最后比照临界值，判断结果；
（2）根据统计图，分别计算销售一件小天鹅和小熊猫型号家电的平均利润
【详解】（1）根据已知数据可得列联表如下：

甲等品
非甲等品
总计
小天鹅型号
15
85
100
小熊猫型号
40
60
100
总计
55
145
200

，
参照临界值表可知，有99.9%的把握认为家电是否为甲等品与型号有关.
（2）销售一件小天鹅型号家电的平均利润为（元）；
销售一件小熊猫型号家电的平均利润为（元）.
13．（江西省部分学校2023届高三上学期1月联考数学（文）试题）某商场在周年庆举行了一场抽奖活动，抽奖箱中所有乒乓球都是质地均匀，大小与颜色相同的，且每个小球上标有1，2，3，4，5，6这6个数字中的一个，每个号都有若干个乒乓球.抽奖顾客有放回地从抽奖箱中抽取小球，用x表示取出的小球上的数字，当时，该顾客积分为3分，当时，该顾客积分为2分，当时，该顾客积分为1分.以下是用电脑模拟的抽签，得到的30组数据如下：
1
3
1
1
6
3
3
4
1
2
4
1
2
5
3
1
2
6
3
1
6
1
2
1
2
2
5
3
4
5

(1)以此样本数据来估计顾客的抽奖情况，分别估计某顾客抽奖1次，积分为3分和2分的概率：
(2)某顾客抽奖3次，求该顾客至多有1次的积分大于1的概率.
【答案】(1)，
(2)

【分析】（1）根据频率估计概率即可求解；
（2）根据古典概率模型求解.
【详解】（1）由题意可知某顾客抽奖1次，积分为3分的频率是，
则估计某顾客抽奖1次，积分为3分的概率为.
某顾客抽奖1次，积分为2分的频率是，
则估计某顾客抽奖1次，积分为2分的概率为.
（2）由（1）可知某顾客抽奖1次，积分为1分的概率是，
则某顾客抽奖1次，所得积分是1分和所得积分大于1分是等可能事件.
设某顾客抽奖1次，积分为1分，记为A，积分大于1分，记为a，
则某顾客抽奖3次，每次所得积分的情况为aaa，aaA，aAA，aAa，AAa，AAA，AaA，Aaa，
共8种，其中符合条件的情况有aAA，AAa，AAA，AaA，共4种，
故所求概率.
14．（2023·陕西渭南·统考一模）从某台机器一天产出的零件中，随机抽取10件作为样本，测得其质量如下（单位：克）：，记样本均值为，样本标准差为.
(1)求；
(2)将质量在区间内的零件定为一等品.
①估计这台机器生产的零件的一等品率；
②从样本中的一等品中随机抽取2件，求这两件产品质量之差的绝对值不超过0.3克的概率P.
【答案】(1)，
(2)①；②

【分析】（1）由平均数、标准差的计算公式求解；
（2）由列举法结合概率公式得出①②.
【详解】（1）

，所以.
（2）①，质量在区间内的零件定为一等品，样本中一等品有：共5件，用样本估计总体，这台机器生产的零件的一等品率为；
②从5件一等品中，抽取2件，分别为，，共10种情况，如下：抽取两件产品质量之差的绝对值不超过克的情况为：，共7种，这两件产品质量之差的绝对值不超过克的概率.
15．（河南省十所名校2022-2023学年高三阶段性测试（四）文科数学试题）某超市为改善某产品的销售状况并制订销售策略，统计了过去100天该产品的日销售收入（单位：万元）并分成六组制成如图所示的频率分布直方图.

(1)求a的值并估计过去100天该产品的日销售收入的平均值；（同一区间数据以中点值作代表）
(2)该超市过去100天中有30天将该商品降价销售，在该商品降价的30天中有18天该产品的日销售收入不低于0.6万元，判断能否有97.5%的把握认为该商品的日销售收入不低于0.6万元与该日是否降价有关.
附：，其中.










【答案】(1)，
(2)有

【分析】（1）由频率分布直方图总面积为1列方程求a，由定义求均值；
（2）作出列联表，求得，根据表格比较判断即可.
【详解】（1）依题意有，得.
；
（2）依题意作列联表：

降价
非降价
总计
不低于万元
18
12
30
低于万元
12
58
70
总计
30
70
100


因为，所以有的把握认为该商品的日销售收入不低于万元与该日是否降价有关.
16．（青海省海东市第一中学2022届高考模拟（一）数学（文）试题）某公司为了解用户对公司生产的产品的满意度做了一次随机调查，共随机选取了100位用户对其产品进行评分．用户对产品评分情况如表所示（已知满分100分，选取的100名用户的评分分值在区间上）．
选取的100名用户中男性用户评分情况：
得分






男生人数
7
11
18
12
8
8

选取的100名用户中女性用户评分情况：
得分






女生人数
3
9
12
8
2
2

(1)分别估计用户对产品评分分值在，，的概率；
(2)若用户评分分值不低于80分，则定位用户对产品满意．填写下面的列联表，并分析有没有95%以上的把握认为用户对产品满意与否与性别有关？

男性用户
女性用户
合计
对产品满意



对产品不满意



合计


100

参考公式与数据：，．

0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
k
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828


【答案】(1)
(2)表格见解析，没有95%以上的把握认为用户对产品满意与否与性别有关．

【分析】（1）利用古典概型分别去求用户对产品评分分值在，，的概率；
（2）先按要求填写列联表，再计算出并与3.841进行大小比较，进而判断是否有95%以上的把握认为用户对产品满意与否与性别有关．
(1)
由统计数据得，用户对产品评分分值在的概率为，
用户对产品评分分值在的概率为，
用户对产品评分分值在的概率为．
(2)
男性用户有64人，女性用户有36人，根据统计数据得到列联表：

男性用户
女性用户
合计
对产品满意
46
24
70
对产品不满意
18
12
30
合计
64
36
100

．
所以没有95%以上的把握认为用户对产品满意与否与性别有关．
17．（甘肃省天水市田家炳中学2022-2023学年高三下学期开学考试数学（文科）试题）2022年9月2日第十三届全国人民代表大会常务委员会第三十六次会议通过《中华人民共和国反电信网络诈骗法》．某高校为了提高学生防电信网络诈骗的法律意识，举办了专项知识竞赛，从竞赛成绩中随机抽取了100人的成绩，成绩数据如下表：
性别
成绩
［60，70）
［70，80）
［80，90）
［90，100]
女生
8
10
16
6
男生
7
15
25
13

若学生的测试成绩大于等于80分，则“防电信诈骗意识强”，否则为“防电信诈骗意识弱”
(1)100人中男生、女生“防电信诈骗意识强”的频率分别是多少？
(2)根据上表数据，完成2×2列联表，能否有99%的把握认为“防电信诈骗意识强弱”有性别差异．

男生
女生
合计
防诈骗意识强



防诈骗意识弱



合计




附：
P（）
0.050
0.010
0.005

3.841
6.635
7.879


【答案】(1)男生，女生；
(2)列联表见解析，没有99%的把握认为“防电信诈骗意识强弱”有性别差异．

【分析】（1）分别求出男女生“防电信诈骗意识强”的人数，然后除以100可得频率；
（2）由已知数据得出列联表，计算出后与临界值比较可得．
【详解】（1）男生“防电信诈骗意识强”的频率是，
女生“防电信诈骗意识强”的频率是；
（2）列联表如下：

男生
女生
合计
防诈骗意识强
38
22
60
防诈骗意识弱
22
18
40
合计
60
40
100

，
因此没有99%的把握认为“防电信诈骗意识强弱”有性别差异．
18．（【全国百强校】四川省绵阳南山中学2018-2019学年高二12月月考数学文科试题）某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底余额)，如下表1：
年份x
2013
2014
2015
2016
2017
储蓄存款y(千亿元)
5
6
7
8
10
                               表1


为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，，得到下表2：
时间代号t
1
2
3
4
5
z
0
1
2
3
5
                  表2
(1)求z关于t的线性回归方程；
(2)通过(1)中的方程，求出y关于x的回归方程；
(3)用所求回归方程预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达多少？
(附：对于线性回归方程，其中)
【答案】（1）；（2）；（3）千亿元.
【分析】（1）由所给数据看出，算出平均数，利用最小二乘法求出b，a，写出线性回归方程．
（2）t＝x﹣2010，z＝y﹣5，代入z＝1.2t﹣1.4得到y关于x的回归方程；
（3）把所给的x的值代入线性回归方程，求出变化以后的预报值，得到结果．
【详解】：（1），，，，
，
，
所以.
（2）将，，代入，
得，即.
（3）因为，
所以预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达15.6千亿元.
【点睛】本题考查回归分析的基本思想及其初步应用，考查回归方程的意义和求法，考查数据处理的基本方法和能力，考查利用统计思想解决实际问题的能力．
19．（陕西省西安市长安区2023届高三下学期一模文科数学试题）为了研究某种细菌随天数x变化的繁殖个数y，收集数据如下：
天数x
1
2
3
4
5
6
繁殖个数y
3
6
13
25
45
100

(1)判断（为常数）与（为常数，且）哪一个适宜作为繁殖个数y关于天数x变化的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)对于非线性回归方程（为常数，且），令，可以得到繁殖个数的对数z关于天数x具有线性关系及一些统计量的值，






3.50
32
2.85
17.5
307
12.12

（ⅰ）证明：对于非线性回归方程，令，可以得到繁殖个数的对数z关于天数x具有线性关系（即为常数）；
（ⅱ）根据（ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程（系数保留2位小数）．
附：对于一组数据其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为．
【答案】(1)以更适宜作为繁殖个数y关于天数x变化的回归方程类型；
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）.

【分析】（1）根据给定数据作出散点图，再借助散点图即可判断作答.
（2）（ⅰ）由（1）选定的回归方程类型，取对数即可得关于x的直线方程作答；（ⅱ）由（ⅰ）的结果，利用最小二乘法求解作答.
【详解】（1）作出繁殖个数y关于天数x变化的散点图，如图，

观察散点图知，样本点分布在一条指数型曲线周围，
所以更适宜作为繁殖个数y关于天数x变化的回归方程类型.
（2）（ⅰ）由（1）知，（为常数，且），又，
因此，令，即有为常数，
所以繁殖个数的对数z关于天数x具有线性关系.
（ⅱ），，由（ⅰ）知，
，
，因此，
所以y关于x的回归方程为.
20．（陕西省铜川市王益中学2023届高三下学期一模文科数学试题）某调研机构为研究某产品是否受到人们的欢迎，在社会上进行了大量的问卷调查，从中抽取了50份试卷，得到如下结果：
            性别
是否喜欢
男生
女生
是
15
8
否
10
17

(1)估算一下，1000人当中有多少人喜欢该产品？
(2)能否有的把握认为是否喜欢该产品与性别有关？
(3)从表格中男生中利用分层抽样方法抽取5人，进行面对面交谈，从中选出两位参与者进行彩产品的试用，求所选的两位参与者至少有一人不喜欢该产品的概率．
参考公式与数据：

0.10
0.050
0.010
0.005

2.706
3.841
6.635
7.879

，．
【答案】(1)460人
(2)有的把握认为是否喜欢该产品与性别有关
(3)．

【分析】（1）通过表格得到喜欢产品的概率，即可求解；
（2）根据列联表结合公式运算，并与临界值3.841比较得到结论；
（3）根据分层抽样得到共有3人喜欢，有2人不喜欢，然后写出选择两个人的所有情况，在罗列出满足至少有一人不喜欢的情况，根据古典概型即可
【详解】（1）通过表格可得到喜欢该产品的概率为，
故1000人中喜欢该产品的人大概有
（2）由表格可得，
故有的把握认为是否喜欢该产品与性别有关；
（3）由于，故抽取的5人中有3个人喜欢该产品，有2个人不喜欢该产品．
从中选2人，则所有选择方法为：，共10种不同情形，
其中至少有一个人不喜欢的可能情形为：，共7种，
故所选的两位参与者至少有一人不喜欢该产品的概率．
21．（山西省运城市2022届高三5月考前适应性测试数学（文）试题（A卷））随着北京冬奥会的成功举办，冰雪运动成为时尚.“三亿人参与冰雪运动”与建设“健康中国”紧密相连，对我国经济发展有极大的促进作用，我国冰雪经济市场消费潜力巨大.为了更好地普及冰雪运动知识，某市十几所大学联合举办了大学生冰雪运动知识系列讲座，培训结束前对参加讲座的学生进行冰雪知识测试，现从参加测试的大学生中随机抽取了100名大学生的测试成绩（满分100分），将数据分为5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如下频数分布表（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）：
分数
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100]
人数
8
15
25
30
22

(1)若成绩不低于60分为合格，不低于80分为优秀，根据样本估计总体，估计参加讲座的学生的冰雪知识的合格率和优秀率；
(2)若为样本成绩的平均数，样本成绩的标准差为s，计算得，若，则不及格学生需要参加第二次讲座，否则，不需要参加第二次讲座，试问不及格学生是否需要参加第二次讲座？
【答案】(1)合格率为92%，优秀率为52%
(2)不需要对不及格学生进行第二次培训

【分析】(1)根据表格即可算出格率和优秀率
(2)先计算出均值，再根据的值，即可求解.
(1)
根据表格可知成绩不低于60分的频率为，
所以估计参加培训讲座的学生的冰雪知识的合格率为92%；
根据表格可知成绩不低于80分的频率为，
所以估计参加培训讲座的学生的冰雪知识的优秀率为52%.
(2)
由题得，，
所以，
故不需要对不及格学生进行第二次培训.
22．（内蒙古呼伦贝尔市部分校2022届高考模拟数学（文）试题）随着数字化信息技术的发展，网络成了人们生活的必需品，它一方面给人们的生活带来了极大的便利，节约了资源和成本，另一方面青少年沉迷网络现象也引起了整个社会的关注和担忧，为了解当前大学生每天上网情况，某调查机构对某高校男生、女生各50名学生进行了调查，其中每天上网时间超过8小时的被称为“有网瘾”，否则被称为“无网瘾”，调查结果如下：

有网瘾
无网瘾
合计
女生

10

男生
20


合计


100

(1)将上面的2×2列联表补充完整，再判断是否有99.9的把握认为“有网瘾”与性别有关，说明你的理由；
(2)现从被调查的男生中按分层抽样的方法选出5人，再从这5人中随机选取2人参加座谈会，求这2个人恰有1人“有网瘾”的概率．
参考公式：，其中
参考数据：

0.10
0.05
0.010
0.001

2.706
3.841
6.635
10.828


【答案】(1)列联表见解析，有的把握认为“有网瘾”与性别有关；
(2).

【分析】（1）完善2×2列联表，计算的观测值，与临界值比对即可作答.
（2）对抽取的5人编号，利用列举法求出概率作答.
(1)
根据题意，列联表如下：

有网瘾
无网瘾
合计
女生
40
10
50
男生
20
30
50
合计
60
40
100

，
所以有的把握认为“有网瘾”与性别有关.
(2)
依题意，在“有网瘾”的男生中抽取（人），在“无网瘾”的男生中抽取（人），
记“有网瘾”的2名男生为，“无网瘾”的3名男生为，则从中取出2人的情况有：
，共10种，
其中，这2个人中恰有1人“有网瘾”的情况有：，共6种，
所以这2个人中恰有1人“有网瘾”的概率.
23．（贵州省六校联盟2023届高三高考实用性联考卷（二）数学（文）试题）2022年“中国航天日”线上启动仪式在4月24日上午举行，为普及航天知识，某校开展了“航天知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取50名，统计他们的成绩（满分100分），其中成绩不低于80分的学生被评为“航天达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中的值，并估计这50名同学的平均成绩；
(2)先用分层抽样的方法从评分在和的同学中抽取5名同学，再从抽取的这5名同学中抽取2名，求这2名同学的分数在同一区间的概率.
【答案】(1)，
(2)

【分析】（1）由频率之和为1求出，再由频率分布直方图计算平均数；
（2）由分层抽样抽取5名同学，再由列举法得出所求概率.
【详解】（1）由已知，∴，
记平均成绩为，.
（2）先用分层抽样的方法从分数在和的同学中抽取5名同学，
则应从中抽取1人，记为，中抽取4人，记为，，，.
从这5名同学中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，分别是：
，，，，，，，，，，
又因为抽取的2人分数都在同一区间的结果有：
，，，，，共6种.
故所求概率.
24．（新疆新和县实验中学2023届高三上学期第一次月考数学（文）试题）教育部门去年出台了“双减”政策．即有效减轻义务教育阶段学生过重作业负担和校外培训负担，持续规范校外培训（包括线上培训和线下培训）“双减”政策的出合对校外的培训机构经济效益产生了严重影响．某大型校外培训机构为了规避风险，寻求发展制定科学方案，工作人员对2021年前200名报名学员的消费金额进行了统计整理，其中数据如表．
消费金额（千元）






人数
30
50
60
20
30
10

(1)结合题中给出数据，估计2021年前200名报名学员消费的平均数（同一区间的花费用区间的中点值替代）．
(2)该大型校外培训机构转型方案之一是将文化科主阵地辅导培训向音体美等兴趣爱好培训转移，为了深入了解当前学生的兴趣爱好，工作人员利用分层抽样的方法在消费金额为和的学员中抽取了5人，再从这5人中选取3人进行有奖问卷调查．求抽取的3人中消费金额为的人数的恰有2人的概率．
【答案】(1)8；
(2)

【分析】（1）根据表中的数据，利用平均数的计算公式即可得到答案
（2）根据已知条件，结合列举法和古典概型的概率公式，即可求解
（1）
2021年前200名报名学员消费的平均数为；
（2）
由分层抽样可得消费金额为的人数为人，设为，消费金额为的人数为人，设为1，2，3，
从5人中选取3人的情况有：共10种情况；
抽取的3人中消费金额为的人数的恰有2人的情况有，共6种情况；
所以抽取的3人中消费金额为的人数的恰有2人的概率
25．（江西省景德镇市2023届高三上学期第二次质检数学（文）试题）目前直播带货已经席卷全国了，不论老人小孩、男生女生，大家都听说或是尝试过直播购物，它所具有的能突破时间、空间限制的特点已经吸引了越多越多的人.由此可见，它的受众非常广泛，是大势所趋.不管是什么行业领域，都可以去从事直播带货.直播带货的兴起为人们提供了更多就业岗位.小明是一名刚毕业的大学生，通过直播带货的方式售卖自己家乡的特产，下面是他近4个月的家乡特产收入（单位：万元）情况，如表所示.
月份
5
6
7
8
时间代号
1
2
3
4
家乡特产收入
3.9
3.3
2.2
1.8

(1)根据5月至8月的数据，求y与t之间的线性相关系数（精确到0.01），并判断相关性；
(2)求出y关于t的回归直线方程，并预测9月收入能否突破1万元，请说明理由.
附：①相关系数公式：；（若，则线性相关程度非常强，可用线性回归模型拟合）
②一组数据，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，；
③参考数据：，，.
【答案】(1)；认为y与t之间有很强的相关性.
(2)y关于t的回归直线方程为：，不能.

【分析】(1)直接代入公式求出认为y与t之间的线性相关系数，即可判断；
(2)代入公式求出系数，即可得到回归方程，并求出9月收入即可判断.
【详解】（1）由表格数据可知：，，则，
由题意知：，
，
代入相关系数公式可得：，
因为，所以认为y与t之间有很强的相关性.
（2）由题意可得：，
，，，
所以，则，
所以y关于t的回归直线方程为：，
把代入可得：，
所以预测9月收入不能突破1万元.
26．（江西省吉安市2023届高三上学期1月期末质量检测数学（文）试题）为了调查抖音平台某直播间带货服务的满意程度，现随机调查了年龄在20岁至70岁的100人，他们年龄的频数分布和“满意”的人数如下表（其中）：
年龄/岁
[20，30）
[30，40）
[40，50）
[50，60）
[60，70]
频数
15
25
30
20
10
满意
13
a
27
16
b

(1)从[60，70]段中随机抽取一人“满意”的概率为0.4，若以频率估计概率，以上表的样本据来估计总体，求从全国玩抖音的市民（假设年龄均在20岁至70岁）中随机抽取一人是“满意”的概率
(2)根据（1）的数据，填写下面的2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为年龄低于岁的人和年龄不低于50岁的人对服务态度有差异；

年龄低于50岁的人数
年龄不低于50岁的人数
合计
满意



不满意



合计




附：，其中．

0.10
0.05
0.01
0.001

2.706
3.841
6.635
10.828


【答案】(1)80%
(2)表格见解析，有95%的把握认为年龄低于50岁的人和年龄不低于50岁的人对服务态度有差异

【分析】(1)先计算，，再计算概率；
(2)结合列联表计算即可判断.
【详解】（1）由，且，得，，
∴从100人随机抽取一人“满意”的概率为，
以频率估计概率，从全国玩抖音的市民中随机抽取一人是“满意”的概率为80%．
（2）列联表

年龄低于50岁的人数
年龄不低于50岁的人数
合计
满意
60
20
80
不满意
10
10
20
合计
70
30
100

的观测值，
∴有95%的把握认为年龄低于50岁的人和年龄不低于50岁的人对服务态度有差异.
27．（广西柳州市2023届新高三摸底考试数学（文）试题）2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了200人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占，而男生有20人表示对冰球运动没有兴趣．
(1)完成列联表，并回答能否有97.5%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？

有兴趣
没兴趣
合计
男


110
女



合计




(2)已知在被调查的女生中有5名数学系的学生，其中3名对冰球有兴趣，现在从这5名学生中随机抽取2人，求至少有1人对冰球有兴趣的概率．

0.10
0.05
0.025
0.010

2.706
3.841
5.024
6.635

．
【答案】(1)填表见解析；有97.5%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”；
(2).

【分析】（1）根据给定数据，完善列联表，计算的观测值，再与临界值表比对作答.
（2）对5人编号，利用列举法结合古典概型概率公式计算作答.
【详解】（1）根据已知数据得到如下列联表：

有兴趣
没有兴趣
合计
男
90
20
110
女
60
30
90
合计
150
50
200

根据列联表中的数据，得，，
所以有97.5%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”.
（2）记至少1人对冰球有兴趣为事件D
记5人中对冰球有兴趣的3人为A、B、C，对冰球没有兴趣的2人为m、n，
则从这5人中随机抽取2人，有，共10个结果，
其中2人对冰球都有兴趣的有，共3个结果，
1人对冰球有兴趣的有，共6个结果，则至少1人对冰球有兴趣的有9个结果，
所以所求事件的概率．
28．（贵州省铜仁市2023届高三上学期期末质量监测数学（文）试题）在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物资，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉．我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求出直方图中m的值，并利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01）；
(2)现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品．利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，并从中再随机抽取2个作进一步的质量分析，试求这2个口门罩中恰好有1个口罩为一等品的概率．
【答案】(1)，平均数为71，中位数为73.33
(2)

【分析】（1）利用频率之和为1可算出，然后利用直方图的平均数，中位数计算方式即可求解；
（2）所抽取的5个口罩中一等品，二等品各有3个，2个，记3个一等品为a，b，c，2个二等品为d，e，从5个口罩中抽取2个的可能结果10种，恰有1个口罩为一等品的可能结果共6种，利用古典概型概率公式求解即可
【详解】（1）由得，
所以该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数为，
设中位数为n，
因为，
所以中位数位于，
则，得，
故，可以估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数为71，中位数为73.33．
（2）由频率分布直方图可知，100个口罩中一等品，二等品分别有个，个，由分层抽样可知，所抽取的5个口罩中一等品，二等品分别有3个，2个，
记3个一等品为a，b，c，2个二等品为d，e，
则从5个口罩中抽取2个的可能结果有：，共10种，
其中，恰好有1个口罩为一等品的可能结果有：，共6种，
故这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率为．
29．（贵州省毕节市2023届高三年级诊断性考试（一）数学（文）试题）2022年11月21日到12月18日，第二十二届世界杯足球赛在卡塔尔举行，某机构将关注这件赛事中40场比赛以上的人称为“足球爱好者”，否则称为“非足球爱好者”，该机构通过调查，并从参与调查的人群中随机抽取了100人进行分析，得到下表（单位：人）：

足球爱好者
非足球爱好者
合计
女
20

50
男

15

合计


100

(1)将上表中的数据填写完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为足球爱好与性别有关？
(2)现从抽取的女性人群中，按“足球爱好者”和“非足球爱好者”这两种类型进行分层抽样抽取5人，然后再从这5人中随机选出3人，求其中至少有1人是“足球爱好者”的概率．
附：，其中．
















【答案】(1)表格见解析，能
(2)

【分析】（1）根据所给数据补全表格，根据公式计算即可判断；
（2）将选中的5人编号，用枚举法列出所有的可能，即可求出概率.
【详解】（1）

足球爱好者
非足球爱好者
合计
女
20
30
50
男
35
15
50
合计
55
45
100

，
能在犯错误的概率不超过的前提下认为足球爱好与性别有关．
（2）依题意，从女性人群中抽取的5人中，是“足球爱好者”的有2人，设为，；“非足球爱好者”的有3人，设为，，．
随机选出3人的情况有：，，，，，，，，，，共10种，
其中至少有1人是“足球爱好者”的情况有：，，，，，，，，，共9种，
则选出的3人中至少有1人是“足球爱好者”的概率为：．
30．（贵州省2023届高三3 3 3高考备考诊断性联考（一）数学（文）试题）随着人民生活水平的不断提高，“衣食住行”愈发被人们所重视，其中对饮食的要求也愈来愈高．某地区为了解当地餐饮情况，随机抽取了100人对该地区的餐饮情况进行了问卷调查．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图），解决下列问题．
组别
分组
频数
频率
第1组

14
0.14
第2组

m

第3组

36
0.36
第4组


0.16
第5组

4
n

合计




(1)求m，n，x，y的值；
(2)求中位数；
(3)用分层抽样的方式从第四、第五组抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加某项美食体验活动，求抽到的2人均来自第四组的概率．
【答案】(1)
(2)
(3)

【分析】（1）根据频率分布表可求得，根据频率分布直方图中的含义即可求得其值；
（2）根据频率分布直方图，利用中位数的估计方法，可计算得答案；
（3）用分层抽样的方式从第四、第五组抽取5人，确定每组中的人数，列举从这5人中随机抽取2人参加某项美食体验活动的所有基本事件，列举出抽到的2人均来自第四组的基本事件，根据古典概型的概率公式，即可求得答案.
【详解】（1）由题意可知,第四组的人数为，
故，；  
又内的频率为 ，∴；
∵内的频率为 ，∴.
（2）由频率分布直方图可知第一、二组频率之和为，
前三组频率之和为，
故中位数为：.
（3）由题意可知，第4组共有16人，第5组共有4人，
用分层抽样的方式从第四、第五组抽取5人,则第四、第五组抽取人数为4人和1人，
设第4组的4人分别为 ，第5组的1人分别为A,
则从中任取2人，所有基本事件为：
共10个，
又抽到的2人均来自第四组的基本事件有∶共6个，
故抽到的2人均来自第四组的的概率为.