四川省高考数学复习 专题08 统计与概率（文科）解答题30题专项提分计划

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四川省高考数学复习
专题8统计与概率（文科）解答题30题专项提分计划

1．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）某电子产品生产商经理从众多平板电脑中随机抽取6台，检测它们充满电后的工作时长(单位：分钟)， 相关数据如下表所示．
平板电脑序号
1
2
3
4
5
6
工作时长/分
220
180
210
220
200
230

(1)若从被抽中的6台平板电脑中随机抽出2台，则抽出的2台平板电脑充满电后工作时长都不小于210分钟的概率；
(2)下表是一台平板电脑的使用次数与当次充满电后工作时长的相关数据．求该平板电脑工作时长与使用次数之间的回归直线方程，并估计该平板电脑使用第200次时充满电后的工作时长．
使用次数x/次
20
40
60
80
100
120
140
工作时长/分
210
206
202
196
191
188
186

附： ，，．
【答案】(1)
(2)；分钟.

【分析】（1）使用古典概型概率公式进行求解即可；
（2）使用表格中的数据，根据题目所附公式进行计算，并将代入回归直线方程进行估计即可.
【详解】（1）用表示从被抽中的6台平板电脑中随机抽出2台的序号分别为和，
则基本事件有，，，，，，，，，，，，，，共个，
将“抽出的2台平板电脑充满电后工作时长都不小于210分钟”记为事件，
由已知，序号为，，，的平板电脑充满电后工作时长都不小于210分钟，
∴事件中基本事件有，，，，，共个，
∴.
∴若从被抽中的6台平板电脑中随机抽出2台，则抽出的2台平板电脑充满电后工作时长都不小于210分钟的概率为.
（2）由已知，，
，

，
，
∴，
∴，
∴线性回归直线方程为，
当时，，
∴估计该平板电脑使用第200次时充满电后的工作时长为分钟．
2．（四川省凉山州2023届高三第一次诊断性检测数学（文）试题）2022年卡塔尔世界杯（英语：FIFA World Gup Qatar 2022）是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛，除此之外，卡塔尔世界杯还是首次在北半球冬季举行，第二次世界大战后首次由从未进过世界杯的国家举办的世界杯足球赛．为了解某校学生对足球运动的兴趣，随机从该校学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对足球运动没兴趣的占女生人数的，男生有5人表示对足球运动没有兴趣．
(1)完成列联表，并回答能否有的把握认为“该校学生对足球是否有兴趣与性别有关”？

有兴趣
没兴趣
合计
男


60
女



合计




(2)从样本中对足球没有兴趣的学生按性别分层抽样的方法抽取出6名学生，若从这6人中随机抽取4人，求抽取到3女1男的概率．











，
【答案】(1)填表见解析；有的把握认为“该校学生对足球是否有兴趣与性别有关”
(2)

【分析】（1）根据题意完成列联表，结合公式求，分析理解；（2）根据题意可得抽取男生2人，女生4人，结合古典概型运算求解.
【详解】（1）根据所给数据完成列联表：

有兴趣
没兴趣
合计
男
55
5
60
女
30
10
40
合计
85
15
100


所以有的把握认为“该校学生对足球是否有兴趣与性别有关”
（2）按照分层抽样的方法可得：抽取男生2人，设为，女生4人，设为，
从这6人中随机抽取4人，未被抽取的2人有：
，
共有15种不同的基本结果．
其中抽取到3女1男的情况，即未被抽取的2人是1男1女，则有：，共有8种不同的基本结果，
所以抽取到3女1男的概率为．
3．（四川省营山县第二中学2023届高三第六次高考模拟检测数学（文科）试题）为了丰富大学生的课外生活，某高校团委组织了有奖猜谜知识竞赛，共有名学生参加，随机抽取了名学生，记录他们的分数，将其整理后分成组，各组区间为，，，，并画出如图所示的频率分布直方图

(1)估计所有参赛学生的平均成绩各组的数据以该组区间的中间值作代表；
(2)若团委决定对所有参赛学生中成绩排在前名的学生进行表彰，估计获得表彰的学生的最低分数线
【答案】(1)分
(2)分

【分析】(1)利用频率分布直方图频率和为1计算再计算平均数；
(2) 获得表彰的学生人数的频率为，进而可得最低分数线在内，再进行求解.
【详解】（1）由，得
这名参赛学生的平均成绩约为分，
故估计所有参赛学生的平均成绩为分
（2）获得表彰的学生人数的频率为，
设获得表彰的学生的最低分数线为，由分数在区间的频率为，可知，
由，得，
故估计获得表彰的学生的最低分数线为分
4．（四川省成都市第七中学2022-2023学年高三下学期入学考试数学（文）试题）随着人民生活水平的不断提高，“衣食住行”愈发被人们所重视，其中对饮食的要求也愈来愈高．某地区为了解当地餐饮情况，随机抽取了100人对该地区的餐饮情况进行了问卷调查．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图）解决下列问题．

组别
分组
频数
频率
第1组

14
0.14
第2组

m

第3组

36
0.36
第4组


0.16
第5组

4
n

合计



(1)求m，n，x，y的值；
(2)满意度在90分以上的4位居民为2男2女，现邀请2人参加抽奖活动，求2人中有男性的概率．
【答案】(1)，，，
(2)

【分析】（1）直接根据频率分布表和频率分布直方图计算即可；
（2）利用列举法结合古典概型求解即可.
【详解】（1）由题意可得第四组的人数为，
所以，，
又内的频率为，所以，
内的频率为0.04，所以；
（2）设四个人为男1、男2、女1、女2，
抽两人有男1男2、男1女1、男1女2、男2女1、男2女2、女1女2，共6种情况，
有男性的情况是男1男2、男1女1、男1女2、男2女1、男2女2，总共5种，
所以2人中有男性的概率为．
5．（四川省德阳市2022届高三第二次质量监测考试文科数学试题）2021年9月以来，多地限电的话题备受关注，广东省能源局和广东电网有限责任公司联合发布《致全省电力用户有序用电、节约用电倡议书》，目的在于引导大家如何有序节约用电．某市电力公司为了让居民节约用电，采用“阶梯电价”的方法计算电价，每户居民每月用电量不超过标准用电量x（千瓦时）时，按平价计费，每月用电量超过标准电量x（千瓦时）时，超过部分按议价计费．随机抽取了100户居民月均用电量情况，已知每户居民月均用电量均不超过450度，将数据按照[0，50），[50，100），…[400，450]分成9组，制成了频率分布直方图（如图所示）．

(1)求直方图中m的值；
(2)如果该市电力公司希望使85%的居民每月均能享受平价电费，请估计每月的用电量标准x（千瓦时）的值；
(3)在用电量不小于350（千瓦时）的居民样本中随机抽取2户，求其中不小于400（千瓦时）的恰好有1户居民的概率．
【答案】(1)
(2)
(3)

【分析】（1）由频率分布直方图的性质列出方程，能求出．
（2）由频率分布直方图求出的频率为0.73，的频率为0.15，该市电力公司希望使的居民每月均能享受平价电费，由此能估计每月的用电量标准的值．
（3）根据频率分布直方图求出用电量不小于350（千瓦时）的居民户数，与不小于400（千瓦时）的居民户数，再用列举方程列出所有可能结果，最后根据古典概型的概率公式计算可得；
(1)
解：由频率分布直方图得：
．
解得．
(2)
解：的频率为，
的频率为，
该市电力公司希望使的居民每月均能享受平价电费，
估计每月的用电量标准．
(3)
解：用电量不小于350（千瓦时）的居民样本有：户，其中不小于400（千瓦时）的有户，记的4户为、、、，的2户为、，从6户中随机抽取户可能结果有、、、、、、、、、、、、、、共15个；其中不小于400（千瓦时）的恰好有1户居民的有、、、、、、、共8个，故其中不小于400（千瓦时）的恰好有1户居民的概率；
6．（四川省凉山州2022届高三第二次诊断性检测数学（文科）试题）四川省凉山州各种特产、小吃尤其丰富，凉山州会理市羊肉粉早在清代中叶就名扬遐迩．凡来会理市品尝过会理市羊肉粉的人，无不交口称赞．尤其在冬季，吃一碗滚烫的羊肉粉，浑身暖和．羊肉粉的主要原料是羊肉和米粉制作有特殊的讲究，要选择山坡放养，体重在八九十斤左右的黑山羊宰杀，将羊头、羊腿、羊蹄、羊油、羊下水全部放进能装一、两百斤的大铁锅，掺上几里路运来优质山泉水，加上老姜、花椒、胡椒、白扣，等佐料，先要猛火烧开，用漏瓢捞出汤上面的泡沫，再用中火慢慢炖，时间达六、七个小时熬制呈乳白色米汤-样的原汤；羊肉粉的米线，是用会理农村本地产的稻谷跟大米制作出来，韧性好，饭粒不生硬，入口柔和，口味有大米的天然芳香；米粉要经过特殊处理：将水烧开，放入米粉，烧开捞起，放入冷水里（不停换水，直至冷却）．会理市某羊肉粉店每天早晨处理好当天的米粉，以12元碗的价格售出，每碗获利5元，当天卖不出的米粉则每碗亏损2元，该店记录了30天的日需求量（单位：碗），整理如下表：
日需求量
80
90
100
110
频数
5
10
7
8

(1)以样本估计总体，求该店采粉日需求量的平均数；
(2)以30天记录的日需求量的频率为概率，该店每天准备100碗米粉，记该店每天获得的利润为Y（单位：元），写出Y的所有可能值，并估计Y低于450元的概率．
【答案】(1)96；
(2)可能取值为360，430，500，.

【分析】（1）利用求平均数的公式即得；
（2）分别求得日需求量碗，碗和100碗以上时的日利润和对应概率，即得.
【详解】（1）该米粉店日需求量的平均数为：；
（2）当日需求量为80碗时，该店每天获利
当日需求量为90碗时，该店每天获利（元）；
当日需求量为100碗以上时，该店每天获利（元）．
所以，Y的可能取值为360，430，500
所以，Y低于450元的概率为．
7．（四川省攀枝花市2022届高三第二次统一考试文科数学试题）某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别，，，，（单位：克）中，经统计频率分布直方图如图所示.

(1)估计这组数据的平均数；
(2)在样本中，按分层抽样从质量在，中的芒果中随机抽取5个，再从这5个中随机抽取2个，求这2个芒果都来自同一个质量区间的概率；
(3)某经销商来收购芒果，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，用样本估计总体，该种植园中共有芒果大约10000个，经销商提出以下两种收购方案：方案①：所有芒果以10元/千克收购；方案②：对质量低于350克的芒果以3元/个收购，对质量高于或等于350克的芒果以5元/个收购.请通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？
【答案】(1)；
(2)；
(3)选择方案②获利多.

【分析】（1）根据区间的频率和区间中点的坐标进行求解即可；
（2）根据分层抽样的性质，用列举法，结合古典概型的计算公式进行求解即可；
（3）根据两个不同方案进行计算求解判断即可.
【详解】（1）由频率分布直方图知，各区间频率为，
这组数据的平均数为：；
（2）利用分层抽样从这两个范围内抽取5个芒果，则质量在内的芒果有2个，记为，，质量在内的芒果有3个，记为；
从抽取的5个芒果中抽取2个共有10种不同情况：，

记事件为“这2个芒果都来自同一个质量区间”，则有4种不同组合：

从而，故这2个芒果都来自同一个质量区间的概率为；
（3）方案①收入：（元）；
方案②：低于350克的芒果收入为（元；
不低于350克的支果收入为（元）；
故方案②的收入为（元）.
由于，所以选择方案（2）获利多.
8．（四川省攀枝花市2022届高三第三次统一考试文科数学试题）2022年2月4日，北京冬奥会盛大开幕，这是让全国人民普遍关注的体育盛事，因此每天有很多民众通过手机、电视等方式观看相关比赛．某机构将每天收看相关比赛的时间在2小时以上的人称为“冰雪运动爱好者”，否则称为“非冰雪运动爱好者”，该机构通过调查，并从参与调查的人群中随机抽取了100人进行分析，得到下表(单位：人)：

冰雪运动爱好者
非冰雪运动爱好者
合计
女性
20

50
男性

15

合计


100

(1)将上表中的数据填写完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为性别与是否为“冰雪运动爱好者”有关？
(2)现从抽取的女性人群中，按“冰雪运动爱好者”和“非冰雪运动爱好者”这两种类型进行分层抽样抽取5人，然后再从这5人中随机选出3人，求其中至少有1人是“冰雪运动爱好者”的概率．
附：，其中．

0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

3.841
5.024
6.635
7.879
10.828


【答案】(1)表格见解析，能．
(2)．

【分析】(1)补全列联表，根据公式计算，与表中数据比较即可判断；
(2)按分层抽样，5人中有2人是“冰雪运动爱好者”，编号为a、b，3人为“非冰雪运动爱好者”，编号为1、2，列举出从这5人中随机选出3人共有10种不同情况和其中没有人是“冰雪运动爱好者”的情况，根据古典概型概率计算即可．
(1)
列联表如下：

冰雪运动爱好者
非冰雪运动爱好者
合计
女性
20
30
50
男性
35
15
50
合计
55
45
100

，
能在犯错误的概率不超过的前提下认为“冰雪运动爱好者”或“非冰雪运动爱好者”与性别有关；
(2)
从抽取的女性人群中，按“冰雪运动爱好者”和“非冰雪运动爱好者”这两种类型进行分层抽样抽取5人，
则5人中“冰雪运动爱好者”为人，记为a、b；
“非冰雪运动爱好者”为人，记为1、2、3．
再从这5人中随机选出3人共有10种不同情况：．
记事件为其中没有人是“冰雪运动爱好者”，则有1种：﹒
从而其中至少有1人是“冰雪运动爱好者”的概率为1－．
9．（四川省内江市2022届高三第三次模拟考试数学（文）试题）2021年某省约有23万文科考生参加高考，除去成绩在600分及以上的2013人与成绩在400分以下的109600人，还有约11.87万文科考生的成绩集中在区间内，其成绩的频率分布如下表所示：
分数段





频率
0.21
0.26
0.27
0.18
0.08

(1)请估计该次高考文科考生成绩在内的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)若在分数段和的考生中采用分层抽样的方法抽取5名考生进行电话访问，再从被电话访问的5名考生中随机抽取3名考生进行问卷调查，求进行问卷调查的3名考生中至少有2名分数低于520分的概率
【答案】(1)；
(2).

【分析】（1）根据频率直方表求平均数即可.
（2）由分层抽样的性质确定、中所抽取的考生人数，再应用列举法求随机抽取3名考生的组合情况，并确定至少有2名分数低于520分即可求概率.
(1)
该次高考文科考生成绩在内的平均分的估计值为.
(2)
分数段和的考生人数的比为，
在分数段的考生中应抽取名，记，，.
在分数段的考生中应抽取名，记，.
从上述5名考生中随机抽取3名的所有结果为，，，，，，，，，共10种，
其中至少有2名分数低于520分的结果为，，，，，，共7种.
所以进行问卷调查的3名考生中至少有2名分数低于520分的概率.
10．（四川省泸县第二中学2022届高考仿真考试（一）文科数学试题）共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚．某市有统计数据显示，某站点6天的使用单车用户的数据如下，用两种模型①；②分别进行拟合，得到相应的回归方程，进行残差分析得到如表所示的残差值及一些统计量的值：（残差=真实值-预测值）
日期x（天）
1
2
3
4
5
6




用户y（人）
13
22
43
45
55
68
模型①的残差值
-1.1
-2.8
m
-1.2
-1.9
0.4
模型②的残差值
0.3
-5.4
4.3
n
-1.6
3.8

(1)（ⅰ）求表格中m，n的值；
（ⅱ）残差值的绝对值之和越小说明模型拟合效果越好．根据表中数据，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪一个模型？并说明理由；
(2)残差绝对值大于3的数据认为是异常数据，需要剔除，剔除异常数据后，重新求出（1）中所选模型的回归方程．
（参考公式：）
【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）应该选模型①，理由见解析；
(2).

【分析】（1）（ⅰ）根据已知数据和对应模型求出对应残差，即可得m，n；（ⅱ）比较两个模型所得残差的绝对值之和的大小，即可确定模型的拟合效果，进而选择模型.
（2）根据题意去除异常数据，再应用最小二乘法求回归直线方程.
(1)
（ⅰ），故；
，故.
（ⅱ）应该选择模型①，理由如下：
模型①的残差值的绝对值之和为，
模型②的残差值的绝对值之和为．
由14.9