高考数学二轮复习专题3 数列（理科）解答题30题 教师版

这是一份高考数学二轮复习专题3 数列（理科）解答题30题 教师版，共33页。试卷主要包含了已知数列满足，已知数列是递增的等比数列，已知是数列的前项和，已知目，，已知数列的前n项之积为，已的数列的首项，，，已知数列满足，，等内容，欢迎下载使用。
专题3数列（理科）解答题30题

1．（贵州省贵阳市白云区2023届高三上学期阶段性质量监测数学（理）试题）已知数列满足：，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】(1)由题意可知，数列是等比数列，可求通项.
(2)由（1）化简可得，数列是等比数列，求其前项和为，可证.
【详解】（1）由已知，，可得数列是1为首项为公比的等比数列，所以.
（2），，，
所以数列是为首项为公比的等比数列，
，
由，则，即.
2．（陕西省渭南市华阴市2021-2022学年高二上学期期末理科数学试题）已知等差数列满足，，数列是首项为1、公比为3的等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解首项和公差，
（2）由错位相减法即可求和.
【详解】（1）设数列的公差为，则
解得
∴．
（2）依题意，知数列的通项公式为．
由（1）知，
∴，
，①
①×3得，②
①-②得

，
∴．
3．（内蒙古满洲里市第一中学2022-2023学年高三上学期第一次模拟考试试题理科数学试题）已知等差数列的前项和为，公差为整数，，且成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)

【分析】(1)运用等差数列的求和公式和通项公式，等比数列的中项性质，解方程可得公差，进而得到所求通项公式.
(2)求得，用数列的裂项相消求和，计算可得所求和.
【详解】（1）由，得，由成等比数列，得，
即，整理得，又因为公差d为整数，所以，
所以数列的通项公式为；
（2）==，
所以==．
4．（江西省吉安市2023届高三上学期1月期末质量检测数学（理）试题）设等差数列的前项和为，，数列为等比数列，其中，，.
(1)求，的通项公式；
(2)若，求的前项和.
【答案】(1)答案见解析；
(2).

【分析】（1）根据等差数列的通项公式，结合等比数列的性质进行求解即可；
（2）运用等差数列和等比数列的前项和公式进行求解即可.
【详解】（1）设数列的公差为，则，，，
由得，，∴，或.
当时，， ；
当时，，，
所以当时，，；
当时，，；
（2）若，即，
∴，，又，
∴，
∴.
5．（广西柳州市2023届高三第二次模拟数学（理科）试题）在数列中，，它的最大项和最小项的值分别是等比数列中的和的值.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）结合函数的单调性得到数列的最大项和最小项，解出，可得等比数列的通项公式；
（2）用错位相减法求数列的前n项和
【详解】（1）由题意，，
结合函数的单调性，可知，
所以数列中的最大项为，最小项为，
所以，即，
所以等比数列的公比，
（2），
，
，
两式相减得：，
故.
6．（2023·贵州·校联考一模）已知数列是递增的等比数列．设其公比为，前项和为，并且满足，是与的等比中项．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，是的前项和，求使成立的最大正整数的值．
【答案】(1)（）
(2)5

【分析】（1）根据等比数列的性质结合条件是与的等比中项得到，联立条件得到和，根据题目条件和等比数列的通项公式即可求解.
（2）根据（1）求得，利用错位相减求和得到，从而得到，通过函数法判断出是单调递减数列，即可求解.
【详解】（1）因为是与的等比中项，所以，
则由题意得：，即，解得：或，
因为数列是递增的等比数列，所以，即，，
所以，
故数列的通项公式为（）.
（2）由（1）得：（），
则
，①
即，②
则得：
即（），
所以（），
设，则（），
因为在上单调递减，
所以是单调递减数列，
又有，，
所以当且时，成立，
故使成立的最大正整数的值为.
7．（2022·陕西西安·校考模拟预测）已知是数列的前项和，已知目，
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)，.
(2)，其中.

【分析】对于（1），先由可得表达式，再由，其中.可得的通项公式；
对于（2），由（1）可得，
则，据此可得数列的前项和.
【详解】（1）由题，又由，.
可得，.
故.
则当，时，.
又时，，故数列的通项公式是，.
（2）由（1）可知，，
则.
则当为偶数时，

.
当为奇数时，.
综上：，其中.
8．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考一模）已知数列的前n项之积为．
(1)求数列的通项公式；
(2)设公差不为0的等差数列中，， ，求数列的前n项和．请从①；②这两个条件中选择一个条件，补充在上面的问题中并作答注：如果选择多个条件分别作答，则按照第一个解答计分．
【答案】(1)；
(2)条件选择见解析，.

【分析】（1）根据给定条件，利用前n项积的意义求解作答.
（2）选择条件①②，结合等差数列求出的通项，再利用错位相减法求解作答.
【详解】（1）因为数列的前n项之积为，则当时，，
而当时，满足上式，
所以数列的通项公式是．
（2）选①，，设等差数列的公差为d，而，则，又，解得，
因此，，
则
于是得
两式相减得，
所以．
选②，，而数列是等差数列，则，即，又，则公差，
因此，，
则
于是得
两式相减得，
所以．
9．（贵州省贵阳市第一中学2023届高三上学期12月月考数学（理）试题）已的数列的首项，，．
(1)求证：数列等比数列；
(2)记，若，求的最大值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)

【分析】（1）根据题意，由等比数列的定义即可证明；
（2）根据题意，由（1）中的结论即可得到数列的通项公式，然后根据等比数列的求和公式代入计算，结合函数的单调性即可得到结果.
【详解】（1）证明：因为数列满足，即
整理得，又
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）知数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即
所以
由可得，，即
因为函数在上单调递增，
且满足
故满足条件的最大值为
10．（贵州省遵义市红花岗区2023届高三上学期第一次联考数学（理）试题）已知数列满足，，．
(1)求，，，并写出一个符合题意的的通项公式（不需要证明）；
(2)设，记为数列的前项和，求．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）代入求出，依次代入求出，看出数列的周期为3，写出通项公式；
（2）在第一问的基础上，写出的通项公式，并分组求和.
【详解】（1），，
，
可看出数列为周期为3的数列，故，
理由如下：为周期为3的数列，当时，，
当时，，当时，；
（2）由第一问可知：
，
则，
故
.
11．（专题04数列求和及综合应用之测案（理科）第一篇热点、难点突破篇-《2022年高考文科数学二轮复习讲练测》（全国课标版））已知数列{an}满足a1＝1，Sn＝.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝(－1)n＋1，数列{bn}的前n项和为Tn，求T2 021.
【答案】(1)an＝n
(2)

【分析】（1）由Sn＝，则当n≥2时，，相减求得(n－1)an＝nan－1，验证n=1后，从而求得数列{an}的通项公式；（2）代入后利用裂项求和求得T2 021的值.
【详解】（1）解：由题设，Sn＝①
当n≥2时，②
①－②，得，
则(n－1)an＝nan－1.
∴.
所以an＝n.
又a1适合上式，故an＝n.
（2）解：.

.
12．（青海省海东市第一中学2022届高考模拟（一）数学（理）试题）设数列的前n项和为，．
(1)证明：数列是等比数列．
(2)若数列的前m项和，求m的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)8

【分析】（1）根据与的关系式化简证明；（2）由（1）得数列的通项公式为．所以，继而求和计算.
（1）当时，，．当时，，两式相减得，即，，则数列是首项为2，公比为2的等比数列．
（2）由（1）得，，当时，，数列的通项公式为． ，，令，得，解得．
13．（甘肃省2022届高三下学期第一次高考诊断考试理科数学试题）已知数列满足，．数列满足，，，．
(1)求数列及的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)，；
(2)

【分析】（1）根据等差、等比数列的定义直接求出通项公式即可；
（2）利用分组求和及等差、等比数列的求和公式求解.
（1）
由得，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
故，
由可知数列是等差数列，首项，公差，
所以.
（2）



即
14．（河北省邯郸市部分学校2023届高三上学期11月月考数学试题）在公差不为0的等差数列中，成公比为的等比数列，又数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据等比中项的性质，建立方程，解得首项，利用等差数列的通项，整理方程，可得公差，可得答案；
（2）由（1）可得数列的通项公式，分奇数和偶数两种情况，利用分组求和，结合等差和等比的求和公式，可得答案.
【详解】（1）公差d不为0的等差数列中，成公比为的等比数列，
所以，则，即，解得，
在公差不为0的等差数列中，由，可得，
代入，可得，整理可得，解得，
所以.
（2）由（1）可得，
当n为偶数时，
；
当n为奇数时，
.
所以
15．（山东省实验中学2022-2023学年高三第二次诊断考试数学试题）已知公差不为零的等差数列满足，且成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足的前项和为，求证:．
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）利用等差数列的通项公式和等比数列的定义求解即可；
（2）利用裂项相消求和即可.
【详解】（1）设的首项为，公差为，根据，，成等比数列，可得，
又，可得方程组，即，
又，解得，故．
（2），
所以


因为，所以．
所以．
16．（山西省2022届高三第二次模拟数学（理）试题）已知数列的前n项和为，若，．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)从下面两个条件中选一个，求数列的前n项的和．
①；
②．
【答案】(1)证明见解析
(2)答案不唯一，具体见解析

【分析】（1）根据可得，相减可得，再得到，再次相减即可证明结论；
（2）若选①，则讨论n的取值范围，分段求得结果；
若选②，将化为，利用（1）的结果，结合等差数列的前n项和公式求得答案．
（1）
证明：因为，所以，
则，
两式相减得，
所以，
以上两式相减得，
所以数列是等差数列．
（2）
中令 得，又，
所以等差数列的公差，
所以，，
若选①：
若，，则
；
若，
，
所以；
若选②：



．
17．（内蒙古赤峰市2023届高三上学期1月模拟考试理科数学试题）正项数列中，，，的前n项和为，从下面三个条件中任选一个，将序号填在横线______上．
①，；
②为等差数列；
③为等差数列，试完成下面两个问题：
(1)求的通项公式；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）选①，由已知分n为奇数和偶数两种情况可得，即得答案；选②：根据为等常数列即可求得的通项公式；选③:由为等差数列可求得，继而利用求得答案.
（2）由（1）的结论，利用裂项求和可求得的表达式，即可证明结论.
【详解】（1）选①：，设，
则n为奇数时，，
，设，则n为偶数时，，
所以.
选②：的第1项为，第2项，
则，则.
选③:为等差数列，，，
则，
则，，
则，经检验也成立，所以．
（2）证明：由（1）可得，
则，
则
18．（宁夏育才中学2023届高三上学期第四次月考数学（理）试题）已知数列的前项和为，且.在数列中，，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用求通项公式；
（2）先求出，再用错位相减法求和.
【详解】（1）由题意数列的前项和为，且，
当时， ；
当时 ， ，
所以 ，
经检验：也适合上式.
故.
（2）在数列中，，
若，则，与矛盾，故
所以，
则，其中，
所以 ，所以 .
故 .
所以 ，
故，
两式相减得： ，
即，
所以 .
19．（宁夏青铜峡市宁朔中学2023届高三上学期线上期末考试数学（理）试题）已知等差数列的前项和为，数列为正项等比数列，且，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)若设的前项和为，求．
【答案】(1)；
(2)

【分析】（1）直接根据题意列出关于和的方程组，解出结合等差、等比数列的通项公式即可得结果；
（2）先求出，再将分组求和与裂项相消法相结合即可得结果.
【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
，

或是正项等比数列，
，
．
（2）由（1）知，
，


．
20．（宁夏银川市第一中学2023届高三上学期第四次月考数学（理）试题）已知数列的前项和为，且，________________．请在①；②，，成等比数列；③，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）确定数列是首项为，公差为1的等差数列，利用等差数列和等比数列公式分别计算三种情况得到答案.
（2）确定，再利用错位相减法计算得到答案.
【详解】（1），所以，即，
所以数列是首项为，公差为1的等差数列．
若选①：由，得，即，
所以，解得．所以，
即数列的通项公式为．
若选②：由，，成等比数列，得，
则，所以，所以．
若选③：因为，所以，所以，
所以．
（2），则，
则，，
两式相减得：，
故．
21．（新疆兵团地州学校2023届高三一轮期中调研考试数学（文）试题）已知等差数列满足，，数列满足，．
(1)求，的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)，；
(2).

【分析】（1）根据等差数列的基本量结合题意求得首项和公差，即可求得；利用累加法，结合等比数列的前项和公式，即可求得；
（2）根据（1）中所求，求得，再利用错位相减法即可求得结果.
【详解】（1）设数列的公差为，由题可得，解得，
故；
因为满足，，
故当时，
，
故，符合该式，所以；
（2）由题可得，设的前项和为，
则，
故，
则
即，故.
故数列的前项和为.
22．（江苏省金陵中学、海安中学2022-2023学年高三上学期10月第二次联考数学试题）已知数列是公比为的等比数列，前项和为，且满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足 ，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由题意列出方程组，求得首项和公比，即得答案；
（2）根据，可得的表达式，结合等比数列的前n项和公式和裂项求和法，即可求得答案.
【详解】（1）由题意得，故， ，
即；
（2）由已知，得n为奇数时，；
当n为偶数时，
，
则

．
23．（江西省上饶市六校2023届高三第一次联考数学（理）试题）已知为数列的瞐项和.且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由得，两式相减后得数列为等比数列，利用等比数列的通项公式求解即可;
（2）由（1）可得的通项公式，利用裂项相消法可得数列的前项和.
【详解】（1）①
当时，②，
①-②得，
即，
又当时，，得，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
；
（2）由（1）得，


24．（江西省萍乡市2023届高三上学期期末考试数学（理）试题）记为数列 的前n项和，已知
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由题意得到，将换成，然后两式相减并化简可得，由累乘法可得答案.
（2）先代出，由错位相减法可得出答案.
【详解】（1）由可得   （1）
当时，      （2）
由（1）（2）得，化简得

当时，，也满足上式
所以
（2）设，则

则
两式相减得

所以
25．（广西梧州市2023届高三第一次模拟测试数学（文）试题）已知为数列的前n项和，.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求前项的和.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由题知数列是等比数列，公比为，首项为，进而得；
（2）结合（1）得，进而分组求和即可.
【详解】（1）解：因为，
所以，当时，，解得，
当时，，，
所以，即，
所以，数列是等比数列，公比为，首项为，
所以，数列的通项公式为.
（2）解：由（1）知，
所以，
记前项的和为，
所以，
.
26．（广西玉林、贵港、贺州市2023届高三联合调研考试（一模）数学（理）试题）已知数列的前n项和为
(1)证明：数列{}为等差数列；
(2)，求λ的最大值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).

【分析】（1）由得的递推关系，变形后由等差数列的定义得证；
（2）由（1）求得，从而代入已知等式后求得得，然后化简不等式并分离参数转化为求函数的最值，得结论．
【详解】（1），∴，∴，
∴，
又∵，∴，
所以数列是以为首项和公差的等差数；
（2）由(1)知：，
所以，
∴，
∴，
又满足上式，
∴，
因为，
所以，
所以，
记，
又在上单调递减，在上单调递增，
又因为，
所以，
所以，
所以的最大值为．
27．（贵阳省铜仁市2023届高三下学期适应性考试（一）数学（理）试题）已知等比数列的前项和为，，且成等差数列.
(1)证明数列是等比数列；
(2)若，求数列前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）依题意得到关于、的方程组，求出、，再根据求和公式得到，再证明即可；
（2）由（1）可得，利用错位相减法求和即可.
【详解】（1）∵是等比数列，且①，
又、、成等差数列，∴，∴②，
联立①②解得，
∴，
∴，
∴，
∴数列是公比为的等比数列．
（2）由（1）知，所以，
∴①，
②，
①②得，
，
整理得.
28．（青海省2022届高三五月大联考理科数学试题）已知正项数列的前n项和为满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，记为数列的前n项和，表示x除以3的余数，求．
【答案】(1)
(2)2

【分析】（1）根据数列递推式可求得，利用之间的关系即可求得数列的通项公式；
（2）由题意可得，利用（1）的结论，可得，故只要确定的余数即可，利用二项展开式进行整除运算可得答案.
(1)
因为，
所以，
两式作差得： ，即 ，
又,适合上式，故，
又时， ，
而 ，适合上式，故 ；
(2)
由题意得，
所以，
因为，
，
，
故.
29．（山西省吕梁市交城县2022届高三核心模拟（下）理科数学（一）试题）在①；②，；③这三个条件中任选一个，补充到下面横线处，并作答．
已知正项数列的前n项和为， ，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，记表示x除以3的余数，求．
注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）选条件①时，利用，可求出数列的通项公式；选条件②时，化简可得为常数列，进而求出数列的通项公式；选条件③时，利用，可求出数列的通项公式；
（2）依题意可知，所以，再利用二项式定理解决整除和余数问题.
【详解】（1）选条件①时，
当时，，解得，所以．
当时，，，
两式相减得，即，，
当时满足上式，所以．
所以当时，，
又，所以．
选条件②时，
因为，
当时，，
当时，，
两式相减，得，所以，
又，所以，
所以数列为常数列，又，所以，
所以．
选条件③时，
当时，，因为，所以．
由，当时，，
两式相减，得，
整理得，所以．
因为，所以，
所以数列是首项为2，公差为2的等差数列，
所以．
（2）由题知，
所以，
又，
而


所以．
30．（山西省吕梁市2022届高三第二次模拟数学（理）试题）已知为数列的前n项和，且；数列是各项均为正数的等差数列，，4，成等比数列，且．
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，证明．
【答案】(1)；；
(2)证明见解析.

【分析】（1）由已知得，，继而有数列是以1为首项，3为公比的等比数列，根据等比数列的通项公式可求得答案；设数列的公差为d，由等比中项的性质建立方程求解得，再由等差数列的通项公式可求得答案；
（2）由（1）可知，继而有， 即可得证．
(1)
解：由，得，        
由，
得，         
所以，
所以，           
所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列，
故．      
设数列的公差为d，
由，4，成等比数列，，得，得．       
又的各项均为正数，故，
所以．
(2)
证明：由（1）可知，
故．      
当时，；       
当时，，故，        
所以．