高考数学二轮复习专题2 解三角形（文科）解答题30题 教师版

这是一份高考数学二轮复习专题2 解三角形（文科）解答题30题 教师版，共31页。试卷主要包含了已知锐角中，等内容，欢迎下载使用。
专题2 解三角形（文科）解答题30题

1．（广西邕衡金卷2023届高三第二次适应性考试数学（文）试题）记的面积为S，其内角的对边分别为，，，已知，．
(1)求；
(2)求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）注意到，利用余弦定理边化角结合面积公式运算整理；（2）利用余弦定理整理可得，再结合求得，运用面积公式即可得结果.
【详解】（1）∵，则，
∴，
又∵，
∴.
（2）∵，即，
∴，
又∵，当且仅当时等号成立，
∴，则面积，
故面积的最大值.
2．（内蒙古自治区赤峰市2022届高三模拟考试数学（文科）4月20日试题）在△中，内角，，所对的边分别为，，，且满足．
(1)求的值；
(2)设，，求和△的面积．
【答案】(1)；
(2)，△的面积为.

【分析】（1）利用正弦定理边角关系、和角正弦公式及三角形内角性质可得，即可得的值；
（2）由（1），应用余弦定理求b，再由三角形面积公式求△的面积．
(1)
由正弦定理得：，又，
所以，可得；
(2)
由（1）知：，则，而，，
所以，且．
3．（山西省运城市2022届高三5月考前适应性测试数学（文）试题（A卷））在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
(1)求A；
(2)，的外接圆圆心为点P，求的周长.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）结合正弦定理及已知条件，即可化简求得A的值；
（2）利用正弦定理解得外接圆的半径，即可求得的周长.
(1)
由已知及正弦定理，得，
所以，
即，
又，所以.所以，
又，所以.
(2)
设的外接圆半径为r.
则由正弦定理.又，，
所以.即，
所以.
即的周长为.
4．（贵州省贵阳市白云区2023届高三上学期阶段性质量监测数学（文）试题）在中，内角的对边分别为、、，在条件：①；②；③，从上述三个条件中任选一个作为题目的补充条件，你的选择是______，并解答下面问题：
(1)求角A的大小；
(2)若，求的面积.
【答案】(1)选①②③答案均为
(2)

【分析】（1）选①：利用正弦定理得到，结合，求出角A的大小；
选②：利用诱导公式得到，从而得到，结合，求出角A的大小；
选③：利用正弦定理和余弦定理求出，结合，求出角A的大小；
（2）利用第一问求出的，利用余弦定理求出，从而求出三角形面积.
【详解】（1）选①：，
由正弦定理得，
因为，所以，
故，即，
因为，所以；
选②：，
因为，
所以，即，
因为，所以；
选③：，
由正弦定理得：，
由余弦定理得：，
因为，所以；
（2）由第一问可知：，
又，
由余弦定理得：，
解得：，
由三角形面积公式可得：.
5．（江西省宜春市丰城中学2022届高三高考模拟数学（文）试题）在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，，
(1)求角A；
(2)若，求a的最小值.
【答案】(1)
(2)2

【分析】（1）利用诱导公式及正弦定理将边化角，再结合二倍角公式计算可得；
（2）由数量积的定义求出，再由余弦定理及基本不等式计算可得；
(1)
解：在，由，
所以，即，
再由正弦定理得，
，因为，
∴，
因为，所以，
∴.
(2)
解：由，即，所以.
由
当且仅当时，所以的最小值为2.
6．（山西省太原市2022届高三下学期三模文科数学试题）已知锐角中，
(1)求；
(2)若，求的面积.
【答案】(1)
(2)14

【分析】（1）根据正弦的两角和差公式，将已知条件展开求出，再根据，即可求出结果.
（2）由正弦定理可知，结合三角形面积公式可得，在锐角中，由可知，利用两角差的余弦公式即可求出，进而求出结果.
（1）
解：因为
所以①
②，
联立①②，解得 ，
所以.
（2）
解：由正弦定理得，
∴
∴
又∵在锐角中，由
所以，
∴，；
∴
∴
7．（陕西省西安市莲湖区2022届高三下学期高考模拟考试文科数学试题）在①，②这两个条件中任选一个作为已知条件，然后解答问题．
在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，______．
(1)求角A；
(2)若，，求的BC边上的中线AD的长．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）若选①，由已知可得，可求出，进而求出；
若选②：由正弦定理，得，可求出，进而求出；
（2）是的边上的中线，，利用向量法可求的长．
(1)
解：（1）若选①，即，得，
，或（舍去），
，；
若选②：，
由正弦定理，得，
，，，则，，；
(2)
解：是的边上的中线，，


，
，
．
8．（陕西省西安地区八校2022届高三下学期5月联考文科数学试题）如图，在平面四边形ABCD中，E为AD边上一点，，，.

(1)若，求的值；
(2)若，求BE的长.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）作出辅助线，得到，利用正弦的诱导公式进行求解；（2）由余弦定理得到和，利用互补的两个角余弦值和为0，列出方程，求出答案.
（1）过B作于F.∵，，∴，在直角中，，∴，∴.
（2）连接BD.在中，，，，由余弦定理，得在中，，，由余弦定理，得.在中，，，由余弦定理，得.∵，得∴，得，（负值舍去）.∴.
9．（2023·河南信阳·河南省信阳市第二高级中学校联考一模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.
(1)求证：；
(2)若，点D为边AB上的一点，CD平分，，求边长.
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】(1) 解法一：利用余弦定理和题干的条件分别得出，，
然后利用二倍角的余弦即可得出，进而求解；方法二：结合已知条件，利用正弦定理和二倍角公式、两角和与差的余弦公式得出，然后根据正弦函数的性质即可求解；
(2)根据角的余弦值，利用同角三角函数的基本关系分别求出，，再利用三角形内角和定理以及两角和的余弦求出，结合半角公式和两角和的正弦得出，最后利用正弦定理即可求解.
【详解】（1）解法一：∵，由余弦定理有
，.
∴，∴.
又A，B，C为三角形内角，∴.
解法二：因为，由正弦定理可得：，
由二倍角公式可得：，
所以，
则有,
展开整理可得：，
又，∴，
∴，∴或，
又，∴，，∴
（2）∵，∴，，
∴.又，所以.
∴，
∴，∴，∴，
∴.

在中，由正弦定理可得：，
也即
∴，∴.
10．（2022·贵州贵阳·贵阳一中校考模拟预测）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值及三角形ABC的面积；若问题中的三角形不存在，请说明理由.
问题：是否存在它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且___________？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】答案见解析
【分析】先由正弦定理及题设求得，若选①，由余弦定理得关于的方程，方程无解，则三角形不存在；若选②，由余弦定理解出c的值，由面积公式计算三角形ABC的面积即可；若选③，先由正弦定理求得，再由余弦定理解出c的值，由面积公式计算三角形ABC的面积即可.
【详解】，由正弦定理得，，则，，，，
若选①，，所以由余弦定理，即，即.
，所以方程没有实数根，所以问题中的三角形不存在.
若选②，所以由余弦定理，即，
即，（负值舍去），.
若选③，，所以由正弦定理，，又余弦定理，
则，，
11．（广东省潮州市2022届高三下学期二模数学试题）已知在中，A，B，C为三个内角，a，b，c为三边，，．
(1)求角B的大小；
(2)在下列两个条件中选择一个作为已知，求出BC边上的中线的长度．
①的面积为；
②的周长为．
【答案】(1)
(2)答案见解析

【分析】（1）由正弦定理可得，再由和的范围可得答案；
（2）选择（1），由（1）可得，则解得，则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：选择（2）：由（1）可得，设的外接圆半径为R，则由正弦定理可得，则周长解得，由余弦定理可得BC边上的中线的长度．
（1）
∵，则由正弦定理可得，
∴，∵，∴，，
∴，解得．
（2）
若选择（1），由（1）可得，即
则，解得，
则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：
．
若选择（2）：由（1）可得，设的外接圆半径为R，
则由正弦定理可得，，
则周长，解得，则，，
由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：．
12．（贵州省铜仁市2023届高三上学期期末质量监测数学（文）试题）设的三个内角A，B，C所对的边长为a，b，c，的面积为S．且有关系式：．
(1)求C；
(2)求的最小值．
【答案】(1)
(2)．

【分析】(1)根据二倍角公式可得，再根据正弦定理可得再用余弦定理求解；
(2)利用三角形的面积公式和余弦定理可得，再利用基本不等式求解.
【详解】（1）由二倍角公式，得
，
即，
由正弦定理、余弦定理，得
，
，
又因为，所以．
（2）注意到．
由余弦定理，得
，
所以．
当时等号成立，故的最小值为.
13．（广西四市2022届高三4月教学质量检测数学（文）试题）设的内角A、、所对的边分别为、、，且．
(1)证明：；
(2)若，求的值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．

【分析】（1）由正弦定理化边为角，然后由诱导公式、两角和与差的正弦公式变形可证；
（2）把代入（1）中结论，利用正弦的二倍角公式变形后，结合诱导公式、正弦函数的性质可求得，注意角范围．
（1）
因为，由正弦定理得，
所以
；
（2）
若，由（1）得，三角形中，
所以，
所以，
又，，所以，
14．（广西南宁市第十九中学2023届高三数学（文）信息卷（三）试题）在中，内角，，所对的边分别为､､，已知.
(1)求角的大小；
(2)若，，求的面积.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据余弦定理得到，再利用正弦定理得到，计算得到答案.
（2）根据余弦定理计算得到，再利用面积公式计算即可.
【详解】（1），即，
根据正弦定理：，
，，故，，故.
（2），即，或（舍去）

15．（江西省南昌市2022届高三第二次模拟测试数学（文）试题）如图，锐角中，，延长到，使得，，.

(1)求；
(2)求.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）在，直接利用正弦定理可求得的长；
（2）设，则为锐角，可得出、的值，计算出的正弦值和余弦值，然后利用两角和的正弦公式可求得的值.
(1)
解：在中，由正弦定理知，
所以，.
(2)
解：设，则为锐角，，
所以，，
所以，
则，
所以.
16．（江西省重点中学盟校2022届高三第二次联考数学（文）试题）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，从条件①：，条件②：，条件③：这三个条件中选择一个作为已知条件．
(1)求角A；
(2)若，求a的最小值．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据所选条件，利用正弦定理边化角，结合三角函数恒等变形公式即可求得；
（2）根据（1）的结论，利用向量的数量积的定义得到，进而结合余弦定理和基本不等式求得的最小值.
(1)
若选条件①，由正弦定理得，
， ，，
又，，，
；
若选条件②，中，，由正弦定理知，
，，
，，
因为
，
又，；
若选条件③，由，
得，
，所以，
，
，
，
，，，
，．
(2)
由（1）及得，
所以，
当且仅当时取等号，所以a的最小值为．
17．（江西省景德镇市2023届高三上学期第二次质检数学（文）试题）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若且角A为锐角.
(1)求角B；
(2)若的面积为，求b的最小值.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）首先化简可得： ，由角A为锐角， 所以，即可的得解；
（2）由 ，可得，由，代入即可得解.
【详解】（1）由可得：
，

由角A为锐角，所以，
所以，又，所以；
（2），
所以，
由余弦定可得，
当且仅当时取等，满足角A为锐角，
所以由，可得b的最小值为.
18．（宁夏银川一中2022届高三二模数学（文）试题）的内角，，所对的边分别为，，，且的面积.
(1)求；
(2)若、、成等差数列，的面积为，求.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）结合三角形面积公式与切化弦方法得，进而得；
（2）由题知，再结合（1）得，进而结合余弦定理得.
(1)
解：∵，
∴，即，
∵，∴.
(2)
解：∵、、成等差数列，
∴，两边同时平方得：，
又由（1）可知：，∴，
∴，，
由余弦定理得，，解，
19．（宁夏平罗中学2022届高三下学期第三次模拟数学（文）试题）已知函数，向量，，在锐角中内角的对边分别为，
(1)若，求角的大小；
(2)在（1）的条件下，，求的最大值.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用平面向量数量积运算法则和恒等变换公式化简函数的解析式，然后求解即可，要注意角A的取值范围；
（2）利用余弦定理和基本不等式求解即可.
（1）由题所以，即又因为，所以，.
（2）由余弦定理，代入数据得：，整理得到解得，当且仅当时，等号成立.故的最大值为.
20．（内蒙古包头市2022届高三第一次模拟考试文科数学试题（A卷））如图所示，经过村庄B有两条夹角为的公路BA和BC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂F，分别在两条公路边上建两个仓库D和E（异于村庄B），设计要求（单位：千米）.

(1)若，求的值（保留根号）；
(2)若设，当为何值时，工厂产生的噪音对村庄B的居民影响最小（即工厂F与村庄B的距离最远），并求其最远距离.（精确到0.1，取）
【答案】(1)
(2)，千米

【分析】（1）若，得到，在等边中，得到，分别在直角中，求得，再在直角中，求得的长；
（2）若，在中，利用正弦定理求得，在中，利用余弦定理求得，进而求得最大值，即可求解.
(1)
解：若，又由，所以此时，
又因为为边长为3的等边三角形，所以，
在直角中，因为，所以，
在直角中，可得.
(2)
解：若，在中，，所以，
在中，，其中，
所以


，
即，
当且仅当时，即时，取得最大值27，
此时（千米），
所以当时，工厂产生的噪音对村庄B的居民影响最小，
此时工厂距离村庄B的最远距离约为5.2千米.
21．（内蒙古赤峰市2022届高三下学期5月模拟考试数学（文科）试题）的三个内角，，的对边分别为，，且
(1)求；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)；
(2).

【分析】（1）根据已知及正弦定理角边化，再利用余弦定理及角的范围即可求解；
（2）根据余弦定理及三角形的面积公式即可求解.
（1）由及正弦定理，得，即，于是有，由余弦定理，得，
（2）由（1）知，，及，，由余弦定理，得，即，化简整理，得，解得或（舍）.所以.所以的面积为.
22．（山西省晋中市2022届高三下学期5月模拟数学（文）试题）在中，角，，所对的边分别为，，.在①；②；③这三个条件中任选一个作为已知条件.
(1)求角的大小；
(2)若，求周长的最小值.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）选①. ，利用二倍角的余弦公式求解；选②. ，利用正弦定理和余弦定理求解； 选③.，利用正弦定理，结合两角和与差的三角函数求解；
（2）由（1）知，利用余弦定理得到，再结合基本不等式求解.
【详解】（1）解：选①.，
即，
所以，所以.
又因为，所以.
选②.因为，
所以，
即，
由正弦定理得.
由余弦定理知.
又.所以；
选③.因为.
由正弦定理得，
所以，
即.
因为，
所以，
又.所以；
（2）由（1）知，
则由余弦定理得，.
所以，
所以，当且仅当时取等号.
所以周长的最小值为.
23．（陕西省宝鸡中学2022届高三下学期高考模拟文科数学试题）已知，，
(1)求的单调递增区间；
(2)设的内角所对的边分别为，若，且，求的取值范围.
【答案】(1)，
(2)

【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标表示及三角函数恒等变换的应用可求，利用正弦函数的单调性即可求解．
（2）由已知可求，求得，利用余弦定理，基本不等式可求，可得，根据，即可得解．
(1)
解：因为，且，
所以

即，
令，，解得，．
所以函数的单调递增区间为，，
(2)
解：因为，
所以．
因为，所以，所以，所以，
又因为，
所以由余弦定理，
即，即．
而，当且仅当时取等号，
所以，即，
又因为，
所以，即．
24．（广西桂林市第十八中学2020-2021学年高二上学期第一次阶段性考试数学（文）试题）已知的三个内角的对边分别为，若角成等差数列，且，
（1）求的外接圆直径；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）1；（2）.
【分析】（1）由角、、成等差数列，及三角形内角和定理可求，根据正弦定理得的外接圆直径的值；
（2）由（1）知，，，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求，结合范围，利用正弦函数的性质可求的取值范围.
【详解】（1）由角、、成等差数列，
所以，
又因为，
所以，
根据正弦定理得，的外接圆直径.
（2）由（1）知，，
所以，所以，
由（1）知的外接圆直径为1，根据正弦定理得，，


．
，，
，
从而，
所以的取值范围是，
【点睛】本题主要考查了正弦定理、三角函数恒等变换的应用，考查正弦函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
25．（甘肃省天水市田家炳中学2022-2023学年高三下学期开学考试数学（文科）试题）记的内角的对边分别为．已知，为边的中点．
(1)证明：；
(2)若，，求的周长．
【答案】(1)证明见解析；
(2).

【分析】（1）利用正余弦定理求出，再利用三角函数证明出；
（2）利用勾股定理求出，再利用三角函数求出，进而求出周长.
【详解】（1）对于，
因为，所以，所以,即.
利用正弦定理,得.
利用余弦定理,
所以，即.
因为，所以，
利用正弦定理，得：.
因为，所以.
因为，所以，所以.
（2）在中，，，所以，.
所以.
因为为边的中点，所以.
在直角三角形中，利用勾股定理得：，解得：.
所以.
所以的周长.
26．（河南省平顶山市汝州市2022届高三3月联考文科数学试题）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积.
(1)求角A的值；
(2)延长AC至点D，使得CD＝AC，且BD＝2BC，若c＝6，求△ABC的周长.
【答案】(1)；
(2)

【分析】（1）化简即得解；
（2）设，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，解方程即得解.
(1)
解：由题得. 因为.
(2)
解：如图，设，
在中，由余弦定理得，（1）
在中，由余弦定理得，
即，（2），（1）（2）得 .
所以△ABC的周长为.
所以△ABC的周长为.

27．（甘肃省酒泉市2022届高三5月联考文科数学试题）在中，内角、、所对的边分别为、、，已知．
(1)求角的大小；
(2)若，为内一点，，，则从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①；②；③．
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）利用诱导公式、两角差的余弦公式和正弦定理可求得的值，再结合角的取值范围可求得角的值；
（2）分析可知为等边三角形，若选①②证③，利用勾股定理求出，再利用余弦定理求出，可求得的值；
若选①③证②，求出，利用余弦定理可求得，然后利用勾股定理可求得；
若选②③证①，利用余弦定理求出，然后利用勾股定理逆定理可证得.
(1)
解：，
所以，．
由正弦定理可得．
，所以，，所以，，
则，即，，所以，．
(2)
解：且，所以，为等边三角形．
若选①②证③，，，，则，
在中，，
因为，所以，；
若选①③证②，，，则．
在中，由余弦定理得．
在中，，，所以，，
所以，．
若选②③证①，在中，，，，
由余弦定理得．
在中，，，．
所以，，所以，．
28．（青海省海东市第一中学2022届高考模拟（一）数学（文）试题）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
(1)求角A；
(2)若，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）先利用正弦定理及余弦定理求得的值，进而求得角A的值；
（2）先利用余弦定理构造关于的不等式，进而得到的最大值，即可求得面积的最大值．
【详解】（1）由，可得，
得，则，
由于，所以．
（2）由，可得，又，则，
则，（当且仅当时等号成立）
则，（当且仅当时等号成立）
则，
即面积的最大值为．
29．（河南省2022-2023年度高三模拟考试数学（文科）试题）已知的内角所对的边分别为，且.
(1)求角B；
(2)若，求周长的最大值.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，求得，由此求得.
（2）利用正弦定理将的周长用角来表示，结合三角函数的知识求得周长的最大值.
【详解】（1）由正弦定理得，由余弦定理得，
由于，所以.
（2）由正弦定理得，
，
，
的周长为


，
由于，
所以,
当,即时,
所以周长的最大值为.
30．（河南省郑州市2023届高三第一次质量预测文科数学试题）在△ABC中，内角，，所对的边分别是，，，且．
(1)求角的大小；
(2)若是边上一点，且，若，求△ABC面积的最大值．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由正弦定理边化角，可得，结合以及三角恒等变换可得，求得答案；
（2）根据平面向量共线定理可得，因为，，平方后得，结合基本不等式求出，再利用三角形面积公式求得答案．
【详解】（1）解：因为，
所以，
又因为，
所以，
而 ，
所以，即，
又因为，所以，故，解得．
（2）解：如图，

因为，，
由，所以，
，
解得，当且仅当时取“=”，
所以的面积为，
当且仅当时，的面积有最大值为．