2022-2023学年福建省福州市连江县七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省福州市连江县七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在平面直角坐标系中，点在(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2.  下列各数是无理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列各图中，与是对顶角的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  的算术平方根是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图是某学校的平面示意图，图中小方格都是边长为个单位长度的正方形，分别以正东、正北方向为轴，轴的正方向建立平面直角坐标系，且艺术楼的坐标为，教学楼的坐标，则体育馆的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，点在的延长线上，下列条件中能判定的是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  下列命题中是假命题的是(    )

A. 若两个角的和等于平角，则这两个角互为补角
B. 同角等角的补角相等
C. 邻补角是互补的角
D. 互补的角是邻补角

8.  如图，直线，直角三角板的直角顶点在直线上，一锐角顶点在直线上，若，则的度数与的关系为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  已知是整数，且，那么的值为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，直线，下列结论正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  实数的相反数是______．

12.  如图，利用直尺和三角尺过直线外一点画已知直线的平行线，这种画法依据的是______．

13.  在平面直角坐标系中，已知点在第三象限，点到轴的距离为，到轴的距离为，则点坐标是______ ．

14.  共享单车为市民的绿色出行提供了方便图是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图是其示意图，其中，都与地面平行，，，，则是______ 用含，的式子表示
 

15.  如图，直角三角形沿方向平移得到三角形，，，平移距离为，则图中阴影部分面积为______ ．

16.  如图，在平面直角坐标系中，正方形和正方形的面积分别是与，正方形沿轴向右平移，若平移后正方形与正方形重叠部分的面积为，则点移动后的坐标是______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：
；
．

18.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，两点的坐标分别为和，过点作轴，垂足为点，连接，．
请按题目要求补全图形，并写出点的坐标______ ；
将三角形三个顶点的横坐标都减去，纵坐标都加上，分别得到，，，画出三角形，并写出三角形是由三角形如何平移得到？

19.  本小题分
完成下列证明：
已知：如图，直线与，分别相交于点，，与，分别相交于点，，，求证：．
证明：已知，
又______ ，
等量代换，
______ ，
______ ，
又已知，
等量代换，
______

20.  本小题分
如图，直线，相交于点，，垂足为．
若，求的度数；
若：：，求的度数．

21.  本小题分
小丽同学想用一块面积为，长与宽之比为：的长方形纸片，沿着边的方向剪出一块面积为正方形纸片，试判断小丽同学能否剪出符合要求的纸片？并说明理由．

22.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知，，，将线段平移至，点与点是对应点，连接，，点是直线上一动点点是直线上一动点．
点的坐标是______ ；在点运动过程中，长度的最小值等于______ ，此时三角形的面积是______ ；
点从点出发向点方向运动，速度为每秒个单位长度，点从点出发向点方向运动，速度为每秒个单位长度，若点、点同时出发，运动为秒后轴，求的值．

23.  本小题分
实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等如图，一束光线射到平面镜上，被平面镜反射到平面镜上，又被平面镜反射出光线则，．
若被平面镜反射出的光线与入射光线平行，且，求的度数；
请你猜想：当两平面镜，的夹角为多少度时？可使任何射到平面镜上的光线，经过平面镜，的两次反射后，入射光线与反射光线平行，并说明理由．

24.  本小题分
如图，在数轴上，点表示的数，若把点向左平移个单位得到的点为，设点所表示的数为
实数的值是______ ；
求的值；
在数轴上有一点表示的实数是，若，求实数的值．

25.  本小题分
如图，直线分别与直线，相交于点，，，平分，且．

求证：；
当时，求的度数；
如图，延长交直线于，平分交于点，求的度数．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：点的横坐标为正数，纵坐标为负数，
在平面直角坐标系中，点在第四象限．
故选：．
根据平面直角坐标系中各象限的点的坐标的符号特点判断即可．
本题主要考查了点的坐标，熟练掌握点的坐标特征是解题关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限正，正；第二象限负，正；第三象限负，负；第四象限正，负．
 

2.【答案】 

【解析】解：因为是无限循环小数，是有理数，所以不符合题意；
因为是无理数，所以符合题意；
因为是有理数，所以不符合题意；
因为是分数，属于有理数，所以不符合题意．
故选：．
根据无理数的定义逐项判断即可．
本题主要考查了无理数的判断，掌握定义是解题的关键．即无限不循环小数是无理数．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据两条直线相交，才能构成对顶角进行判断，
A、、、都不是由两条直线相交构成的图形，错误，
C、是由两条直线相交构成的图形，正确．
故选：．
根据对顶角的定义判断即可．
本题主要考查了对顶角的定义，掌握有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角是关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据算术平方根的定义，的算术平方根是．
故选：．
根据算术平方根的定义解决此题．
本题主要考查算术平方根的定义，熟练掌握算术平方根的的定义是解决本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题中条件确定点即为平面直角坐标系原点，
体育馆的坐标为；
故选：．

由题中已知条件确定平面直角坐标系原点位置，再确定体育馆的坐标．
本题考查根据已知条件确定平面直角坐标系原点位置，再确定另一点的坐标，解题的关键是明确平面直角坐标系轴、轴的正方向以及确定点的坐标．
 

6.【答案】 

【解析】解：、，可以判定，符合题意；
B、，可以判定，不能判定，不符合题意；
C、，可以判定，不能判定，不符合题意；
D、，可以判定，不能判定，不符合题意．
故选：．
根据平行线的判定方法直接判定．
本题考查的是平行线的判定定理，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是答题此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：互补的角是邻补角是假命题，例如平行四边形的两个邻角互补但不是邻补角，
故选：．
判断是假命题举出反例即可．
本题考查了真假命题，熟记概念是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
故选：．

根据余角的定义，得到，再根据平行线的性质，得到，即可得到答案．
本题考查了余角，平行线的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
是整数，且，
，
故选：．
根据，推出，即可求出的值．
本题考查了估算无理数的大小，熟练运用“夹逼法”是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，


，
，，
，
即．
故选：．
由平行线的性质得到，，进一步运算即可得到结论．
此题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：符号相反，绝对值相等的两个数互为相反数，
实数的相反数是；
故答案为：．
根据互为相反数的定义即可解答．
此题主要考查相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数．
 

12.【答案】同位角相等，两直线平行 

【解析】解：在图中画两个相等的同位角，则可判断所画直线与原直线平行．
故答案为同位角相等，两直线平行．
利用同位角相等，两直线平行画一条直线与原直线平行．
本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
 

13.【答案】 

【解析】解：点在第三象限，点到轴的距离为，到轴的距离为，
点的横坐标为，纵坐标为，
点坐标是．
故答案为：．
根据第三象限内点的横坐标是负数，纵坐标是负数，点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值，据此即可得到答案．
本题考查了点的坐标，掌握点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，
，，
，
，
．
故答案为：．
由得到，代入，得到，由即可得到．
本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：由平移的性质可得，，，，
，，
，
故答案为：．
根据，计算求解即可．
本题考查了平移的性质．解题的关键在于正确表示阴影部分的面积．
 

16.【答案】或 

【解析】解：正方形与正方形的面积为和，
，
设平移后的正方形为，
分两种情况：
如图，当在正方形中点时，重叠部分的面积为，
此时，则；

如图，当在中点时，，重叠部分的面积为，
此时，则，
故答案为：或．

先由题意得出两个正方形的边长，然后再由平移后的正方形沿轴向右平移与正方形重叠部分的面积为，分两种情况进行讨论，即可得出所求点的坐标．
本题考查了正方形的性质，坐标与图形变化平移，运用分类讨论、数形结合是解题的关键．
 

17.【答案】解：

；


． 

【解析】先分别求算术平方根、绝对值、立方根，然后进行加减运算即可；
分别计算二次根式的乘法与算术平方根，然后进行加法运算即可．
本题主要考查了算术平方根、绝对值、立方根、二次根式的乘法．解题的关键在于正确的运算．
 

18.【答案】 

【解析】解：补图如图；
根据图形可知，点的坐标为，
故答案为：；

三角形如图；
根据平移性质可知，三角形是由三角形向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到．

根据题意补全图形即可，再根据图形即可得到点的坐标；
根据题意画出图形即可，再根据平移的性质即可得到答案．
本题考查了作图平移变换，在直角坐标系中准确找出各点的位置是解题关键．
 

19.【答案】对顶角相等  同位角相等，两直线平行  两直线平行，同位角相等  内错角相等，两直线平行 

【解析】证明：已知，
对顶角相等，
等量代换，
同位角相等，两直线平行，
两直线平行，同位角相等．
又已知，
等量代换，
内错角相等，两直线平行．
故答案为：对顶角相等，同位角相等，两直线平行，两直线平行，同位角相等，内错角相等，两直线平行．
求出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的判定得出即可．
本题考查了平行线的判定与性质，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
 

20.【答案】解：，
，
，
，
，

设，则，
，
，
解得，
，
． 

【解析】由题意易得，然后根据角的和差关系可进行求解；
设，则，然后可得方程，进而问题可求解．
本题主要考查角的和差关系、对顶角相等及一元一次方程的应用，熟练掌握角的和差关系、对顶角相等及一元一次方程的应用是解题的关键．
 

21.【答案】解：不能剪出符合要求的纸片，理由如下：
设长方形纸片的长为，宽为，
根据题意得：，
，
，
，
，
，，
即面积为的长方形纸片的长为，宽为，
面积为的正方形纸片边长为，
，，，
长方形纸片的宽小于正方形纸片的边长，
小丽不能用这块长方形纸片裁出符合要求的正方形纸片． 

【解析】设长方形纸片的长为，宽为，根据正方形的面积公式，求得，即面积为的长方形纸片的长为，宽为，又因为面积为的正方形纸片边长为，比较大小后可知长方形纸片的宽小于正方形纸片的边长，据此即可得到答案．
本题考查了算术平方根的实际应用，实数的大小比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题关键．
 

22.【答案】     

【解析】解：点到点的平移先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点，点的坐标为；长度的最小值即为点到直线的最小值，垂线段最短，其长度是点与点横坐标的差；，；
故答案为：，，；
点，与点的横坐标相同，点与点的横坐标相同，
轴，轴，
运动秒时，，，
轴，
点与点的纵坐标相同，
，
解得，．
利用平移确定点的坐标；长度的最小值即点到直线的最小值，垂线段最短，其长度是点与点横坐标的差；三角形的面积代入公式计算即可；
用时间表示出点、点的坐标，由轴确定点与点的纵坐标相同，列关于的等量关系式进行求解．
本题考查平面直角坐标系中线段的平移、点到直线的最短距离、求三角形面积、动点问题，熟练掌握以上知识是解题的关键，解题难点是利用时间表示移动距离和方向，确定动点坐标，以及平行于轴的点的纵坐标相同．
 

23.【答案】解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
当时，总有，理由如下：
，
，
，，
，
，
，
，
． 

【解析】由题意得，则，由平行线的性质得到，则由平角的定义可得；
当时，总有，根据三角形内角和定理可得，进而得到，即可推出，则．
本题主要考查了平行线的性质与判定，正确理解题意是解题的关键．
 

24.【答案】 

【解析】解：实数的值是；
故答案为：；
当时，



；
由平移可得，，
，
，
点表示的数为，
当点在点右边时，点表示的实数是为；
当点在点左边时，点表示的实数是为．
减去即得；
把第小问中求得的的值代入中化简即得；
根据平移求出的长度，根据与的关系求出的长度，根据点在点的左边或右边两种情况分类计算，求出实数．
本题主要考查了数轴上的点的平移，求代数式的值等，熟练掌握数轴上的点和实数的一一对应的关系，“左减右加”的平移规律，实数混合计算的顺序和各种计算的法则是解决本题的关键．
 

25.【答案】证明：平分，
，
，
，
；
解：如图，过点作，

，
，
，
，，
，
，
，
，
平分，
，
；
解：设，过点作，

，
，
，
，，
，
，
平分，
，
，
，
，
平分，
，
． 

【解析】根据角平分线的定义，得到，进而推出，再利用平行线的判定条件即可证明结论；
过点作，根据平行线的性质，得到，，进而得到，，再根据角平分线的定义，得到，然后根据两直线平行，内错角相等即可求出的度数；
设，过点作，由同理可得，，，，进而得到，再根据平行线的性质和角平分线的定义，得到，最后利用三角形内角和定理即可求出的度数．
本题考查了角平分线的定义，平行线的判定和性质，三角形内角和定理，利用平行线找出角度之间的数量关系是解题关键．