鲁教版 (五四制)5 一元一次不等式与一次函数导学案

鲁教版（五四制）数学七年级下册导学案

11.5  一元一次不等式与一次函数

知 识 梳 理

知识点1  函数、不等式、方程间的关系

对于一次函数y＝kx＋b，当_________时，形成方程kx＋b＝0；当________或_________时，形成不等式，即kx＋b＞0或kx＋b＜0。

知识点2  一元一次不等式与一次函数的关系

对于一次函数y＝kx＋b（k≠0）:

1.当kx＋b＞0，即y＞0，取图象在x轴__________的部分。

2.当kx＋b＜0，即y＜0，取图象在x轴__________的部分。

3.当kx＋b＝0，即y＝0，取图象在x轴上的_________。反之也成立。

知识点3  当一次函数的自变量取某一值时，比较两个函数值的大小

例:y1＝k1x＋b1（k1≠0），y2＝k2x＋b2（k2≠0）.当x取何值时，①y1＞y2；②y1＜y2。

有两个方法:①解不等式；②利用图象。

知识点4  一元一次不等式的应用

一元一次不等式的应用就是由实际问题中的不等关系列出不等式，把实际问题转化为数学问题，通过解不等式得到实际问题的答案。

考 点 突 破

考点:  一次函数与一元一次不等式的关系

典例1  已知函数y＝－2x＋4。

（1）画出它的图象；

（2）求出当x＝时，y的值；

（3）求出当y＝2时，x的值；

（4）观察图象回答:当x取何值时，y＞0，y＝0，y＜0；

（5）观察图象回答:当x取何值时，y＞2，y＜－2。

思路导析:  解决这些问题的关键是正确地画出函数图象，准确理解图象所表示的信息。

解:（1）列表:

图象如图所示:

（2）当x＝时，y＝－2×＋4＝－1。

（3）当y＝2时，由－2x＋4＝2，得x＝1。

（4）观察图象可知，当x＜2时，函数图象在x轴上方，y＞0；当x＝2时，y＝0；当x＞2时，函数图象在x轴下方，y＜0。

（5）观察图象可知，当x＜1时，y＞2；当x＞3时，y＜－2。

友情提示  注意体会一次函数、一元一次方程和一元一次不等式的关系:（1）一元一次方程ax＋b＝0是一次函数y＝ax＋b（a≠0）的函数值为0时的特殊情况，即直线y＝ax＋b与x轴交点的横坐标即为方程的解，x＝－.（2）一元一次不等式ax＋b＞0或ax＋b＜0（a≠0）是一次函数不等于0的情形:直线y＝ax＋b上，使函数值为y＞0，即x轴上方的图象的x的取值范围是ax＋b＞0的解集，使函数值y＜0，即x轴下方图象的x取值范围是ax＋b＜0的解集。

变式1  如图所示，一次函数y＝kx＋m的图象过点（－3，2），则关于x的不等式kx＋m≤2的解集是（    ）

A.x＜－3      B.x＞－3       C.x≤－3       D.x≥－3

变式2  如图所示，观察图象回答问题。

（1）当x________时，函数值y＞0。

（2）当x________时，函数值y＝5。

（3）当x________时，函数值y＜0。

典例2  如图所示，l1和l2分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用y（费用＝灯的售价＋电费，单位:元）与照明时间x（小时）的函数图象。假设两种灯的使用寿命相同，照明效果一样。

（1）根据图象分别求出y1和y2的函数关系式；

（2）当照明时间（使用寿命）超过多少小时，使用节能灯可以节省费用？

思路导析:（1）求关系式，用待定系数法，设解析式分别为y1＝k1x＋2和y2＝k2x＋20即可。

（2）当y2＜y1时，即x＞1000时，使用节能灯省电。

解:（1）

设直线l1的解析式为y1＝k1x＋2，由图象得17＝500k1＋2，解得k1＝0.03。所以y1＝0.03x＋2。

设直线l2的解析式为y2＝k2x＋20，由图象得26＝500k2＋20，解得k2＝0.012.所以y2＝0.012x＋20.

（2）当y2＜y1时，0.012x＋20＜0.03x＋2，解得x＞1000。所以，当照明时间超过1000小时，使用节能灯省钱。

友情提示  y与x的一次函数关系式，可以由待定系数法求出解析式。

变式3  某市某医药公司要把药品运往外地，现有两种运输方式可供选择:

方法一:使用快递公司的邮车运输，装卸收费400元，另外每公里再加收4元；

方法二:使用铁路运输公司的火车运输，装卸收费820元，另外每公里再加收2元。

（1）请分别写出邮车、火车运输的总费用y1（元），y2（元）与运输路程x（公里）之间的函数关系式；

（2）你认为选用哪种运输方式较好，为什么？

典例3  某造纸集团按新规定要购买10台污水检测设备、现有A，B两种型号设备，价格分别为每台15万元、12万元，经预算，该企业购买设备的资金不超过130万元。

（1）该企业有几种购买方案？

（2）A，B两种型号设备每台月检测量分别为250吨、220吨。若企业每月需要检测总量为2260吨，为了尽可能节省资金，应选择哪种购买方案？

思路导析:  （1）我们可设购买其中一种型号x台，另一种型号的数量用含x的式子表示，根据“资金不超过130万元”构建不等式，解读“企业有几种购买方案”发现，我们要在求得解集范围内选取符合要求的“非负整数解”。（注意:某种型号可能为0台）

解:（1）设购买A种型号设备x台，则购买B种型号设备（10－x）台

根据题意，得15x＋12（10－x）≤130。解得x≤。

因为x为非负整数，所以x可取0，1，2，3。

所以有四种购买方案:

方案1:购买A种设备1台，B种设备9台；

方案2:购买A种设备2台，B种设备8台；

方案3:购买A种设备3台，B种设备7台；

方案4:只购买B种设备10台。

（2）根据题意，得250x＋220（10－x）≥2260。解得x≥2，所以x可取2或3。

当x＝2时，购买资金为:15×2＋12×8＝126（万元）；

当x＝3时，购买资金为:15×3＋12×7＝129（万元）。

所以选择方案2，即购买A种设备2台，B种设备8台.

变式4  某种铂金饰品在甲、乙两个商店销售，甲店标价477元/克，按标价出售，不优惠，乙店标价530元/克，但若买的铂金饰品重量超过3克，则超出部分可打八折出售。

（1）分别写出到甲、乙商店购买该种铂金饰品所需费用y（元）和重量x（克）之间的函数关系式；

（2）李阿姨要买一条重量不少于4克且不超过10克的此种铂金饰品，到哪个商店购买最合算？

巩 固 提 高

1.直线y＝kx＋3经过点A（2，1），则不等式kx＋3≥0的解集是（    ）

A.x≤3      B.x≥3       C.x≥－3      D.x≤0

2.如图所示是一次函数y＝kx＋b的图象，当y＜2时，x的取值范围是（     ）

A.x＜1      B.x＞1      C.x＜3       D.x＞3

3.若点A（m，n）在一次函数y＝3x＋b的图象上，且3m－n＞2，则b的取值范围为（    ）

A.b＞2       B.b＞－2        C.b＜2       D.b＜－2

4.如图所示，直线y1＝－x＋a与y2＝bx－4相交于点P，已知点P的坐标为（1，－3），则关于x的不等式－x＋a＜bx－4的解集是______________。

5.如图所示，正比例函数y1＝k1x和一次函数y2＝k2x＋b的图象相交于点A（2，1），当x＜2时，y1_____y2。（填“＞”或“＜”）

6.一次函数y＝3x＋m－2的图象不经过第二象限，则m的取值范围是___________。

7.如图所示，直线y＝x＋b与直线y＝kx＋6交于点P（3，5），则关于x的不等式x＋b＞kx＋6的解集是______________。

8.如图所示，一次函数y＝kx＋b（k＜0）的图象经过点A，当y＜3时，x的取值范围是__________。

9.当b______时，一次函数y＝x＋b与y＝2x＋3的图象的交点在y轴的右边。

10.（1）作函数y＝3x－2和函数y＝2x－3的图象。

（2）根据图象，求x等于什么值时，函数y＝3x－2和y＝2x－3有相同的值？

（3）用图象法求不等式3x－2＜2x－3的解集。

11.一次函数y＝2x－a与x轴的交点是点（－2，0）关于y轴的对称点，求一元一次不等式2x－a≤0的解集。

12.“五·一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游。

根据以下信息，解答下列问题:

（1）设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需要费用为y1元，租用乙公司的车所需费用为y2元，分别求出y1，y2关于x的函数表达式。

（2）请你帮助小明计算并选择哪个出游方式合算。

13.水是人类生命之源.为了鼓励居民节约用水，相关部门实行居民生活用水阶梯式计量水价政策.若居民每户每月用水量不超过10立方米，每立方米按现行居民生活用水水价收费（现行居民生活用水水价＝基本水价＋污水处理费）；若每户每月用水量超过10立方米，则超过部分每立方米在基本水价基础上加价100％，每立方米污水处理费不变.甲用户4月份用水8立方米，缴水费27.6元；乙用户4月份用水12立方米，缴水费46.3元.（注:污水处理的立方数＝实际生活用水的立方数）

（1）求每立方米的基本水价和每立方米的污水处理费各是多少元？

（2）如果某用户7月份生活用水水费计划不超过64元，该用户7月份最多可用水多少立方米？

真 题 训 练

1.（2018·葫芦岛）如图所示，直线y＝kx＋b（k≠0）经过点A（－2，4），则不等式kx＋b＞4的解集为（    ）

A.x＞－2      B.x＜－2       C.x＞4       D.x＜4

2.（2018·遵义）如图所示，直线y＝kx＋3经过点（2，0）.则关于x的不等式kx＋3＞0的解集是（   ）A.x＞2       B.x＜2       C.x≥2       D.x≤2

3.（2018·十堰）如图所示，直线y＝kx＋b交x轴于点A，交y轴于点B，则不等式x（kx＋b）＜0的解集为__________。

参考答案及解析

知识梳理

知识点1:y＝0     y＞0      y＜0

知识点2:1.上方     2.下方     3.点

考点突破

1.C     2.（1）＜3    （2）＝0    （3）＞3

3.解:（1）由题意，得y1＝4x＋400；y2＝2x＋820；

（2）令4x＋400＝2x＋820，解得x＝210。

所以当运输路程小于210千米时，y1＜y2，选择邮车运输较好；

当运输路程等于210千米时，y1＝y2，两种方式一样；

当运输路程大于210千米时，y1＞y2，选择火车运输较好。

4.解:（1）y甲＝477x，y乙＝；

（2）由y甲＝y乙，得477x＝424x＋318.解得x＝6；

由y甲＞y乙；得477x＞424x＋318.解得x＞6.

由y甲＜y乙；得477x＜424x＋318.解得x＜6.

所以当x＝6时，到甲、乙两个商店购买费用相同，当4≤x＜6时，到甲商店购买合算，当6＜x≤10时，到乙商店购买合算。

巩固提高

1.A   2.C   3.D     4.x＞1    5.＜    6. m≤2     7. x＞3     8. x＞2     9. ＞3

10.（1）如图所示:

（2）图象的交点为（－1，－5），即x＝－1时，有相同的值。

（3）由图象知x＜－1.

11.解:由题意得点（2，0）在y＝2x－-a上，所以0＝4－a。所以a＝4。

当a＝4时，2x－4≤0，所以x≤2。

12.解:（1）由题意可知y1＝k1x＋80，且图象过点（1，95），

则有95＝k1＋80，∴k1＝15。∴y1＝15x＋80（x≥0）.

由题意知y2＝30x（x≥0）；

（2）当y1＝y2时，解得x＝；当y1＞y2时，解得x＜；当y1＜y2时，解得x＞。

∴当租车时间为小时时，选择甲、乙公司一样合算；当租车时间小于小时时，选择乙公司合算；当租车时间大于小时时，选择甲公司合算。

13.解:（1）设每立方米的基本水价是x元，每立方米的污水处理费是y元。

根据题意，得，解得。

答:每立方米的基本水价是2.45元，每立方米的污水处理费是1元。

（2）设该用户7月份生活用水是m立方米，根据题意，

得10（2.45＋1）＋（m－10）［（1＋100％）×2.45＋1］≤64，解得m≤15。

答:该用户7月份最多可用水15立方米。

真题训练

1.A    2.B     3.－3＜x＜0