2023届安徽省蚌埠市高三第三次教学质量检查考试数学试题含解析

2023届安徽省蚌埠市高三第三次教学质量检查考试数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出集合,即可求出.

【详解】函数的定义域为，

所以，

结合交集的定义可得.

故选：B.

2．已知为虚数单位，复数满足，则（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】C

【分析】由可得，利用复数的代数形式的乘除法运算化简，进而根据复数的乘方求解即可.

【详解】由，

可得，

所以.

故选：C.

3．已知，则（    ）

A． B． C．-2 D．2

【答案】B

【分析】根据两角和的正切公式计算直接得出结果.

【详解】由，

得，

解得.

故选：B

4．直线与圆的位置关系是（    ）

A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定

【答案】A

【分析】判断出直线的定点坐标，然后判断定点与圆的位置关系，进而可得直线与圆的位置关系.

【详解】已知直线过定点，

将点代入圆的方程可得，

可知点在圆内，

所以直线与圆相交.

故选：A.

5．已知某地区中小学生人数如图①所示，为了解该地区中小学生的近视情况，卫生部门根据当地中小学生人数，用分层抽样的方法抽取了10%的学生进行调查，调查数据如图②所示，则估计该地区中小学生的平均近视率为（    ）

A．50% B．32% C．30% D．27%

【答案】D

【分析】先利用扇形统计图求出抽取的样本容量及小学生、初中生、高中生的人数，再利用条形统计图求出样本容量中近视的学生人数，从而求出平均近视率，得出结果.

【详解】根据题意，抽取的样本容量为，其中小学生、初中生、高中生抽取人数分别为：350，450，200，根据图②知抽取的小学生、初中生、高中生中，近视的人数分别为：35，135，100，

所以该地区学生的平均近视率为，

故选：D.

6．若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（    ）

A．6 B．或 C． D．或

【答案】D

【分析】根据离心率的计算公式，分焦点的位置，讨论即可求解．

【详解】当焦点在轴时，由，解得，符合题意，此时椭圆的长轴长为；

当焦点在轴时，由，解得，符合题意，此时椭圆的长轴长为．

故选：D．

7．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据的解析式先判断奇偶性，代入特殊值即可求解.

【详解】依题意，

因为，

所以，

所以，所以为奇函数，所以D选项错误；

因为，所以C选项错误；

因为，所以B选项错误；

因此排除了BCD选项，而A选项图象符合函数的性质.

故选：A.

8．在中，为上一点，且，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据条件转化边角的关系，计算即可.

【详解】法一、相似转化边的关系

如图所示，在和中，有,

故,设，则，,所以

设则根据相似比：得

又，由余弦定理可得：

则，，故

法二、正弦定理边化角.

设，则,

在和中,有，由正弦定理有：，

两式相除得：

由三角恒等变换公式得：

由弦化切，构造齐次式得：，

即，解之得：或

在中，则，故

故选：D

【点睛】本题考察向量与解三角形的综合，属于压轴题.方法一通过已知找到边之间的关系是关键，在根据余弦定理即可解得答案；方法二是根据“爪”型三角形，通过两次正弦定理转化边角关系，解有关角的方程，颇考验计算功底.

二、多选题

9．已知等差数列的前项和为，等比数列的前项积为，则下列结论正确的是(    )

A．数列是等差数列 B．数列是等差数列

C．数列是等比数列 D．数列是等差数列

【答案】ABC

【分析】设等差数列的公差为，设等比数列的公比为，求出，利用等差数列的定义可判断选项；利用等比数列定义可判断C选项．

【详解】设等差数列的公差为，则，∴．

对于A选项，，∴为等差数列，A正确；

对于B选项，令，

∴，

故数列是等差数列，B正确；

设等比数列的公比为，

对于C选项，令，则，故数列是等比数列，C正确；

对于D选项，∵不一定为常数，故数列不一定是等差数列，故D错误；

故选：ABC．

10．已知是抛物线的焦点，，是抛物线上相异两点，则以下结论正确的是（    ）

A．若，那么

B．若，则线段的中点到轴的距离为

C．若是以为直角顶点的等腰三角形，则

D．若，则直线的斜率为

【答案】BCD

【分析】对于选项A，B，根据抛物线定义与性质判断选项A，B；

对于选项C，D，用直线的倾斜角为表示，进一步计算判断C，D选项.

【详解】对于A，只有当直线过焦点时，根据抛物线性质得，此题不一定过焦点，故A错误.

对于选项B，，根据抛物线性质得：，即，设中点横坐标为则线段的中点到轴的距离为，故B正确.

对于选项C，D，用直线的倾斜角为表示，

如图，过点作轴，垂足为，作垂直于准线的直线，垂足为.

设直线的倾斜角为.，则，即，同理可得.

若是以为直角顶点的等腰三角形, 或，

当时，

当时，故C正确.

对于选项D，得：（A上B下）或（B上A下）解得：或则直线的斜率为，故D正确；

故选：BCD

【点睛】结论点睛：抛物线焦点弦的几个常用结论

设是过抛物线的焦点的弦，若，，则：

（1），；

（2）若点在第一象限，点在第四象限，则，，

弦长，（为直线的倾斜角）；

（3）；

（4）以为直径的圆与准线相切；

（5）以或为直径的圆与轴相切.

11．已知为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于，的一点，为的中点，，圆锥的侧面积为，则下列说法正确的是（    ）

A．圆上存在点使平面

B．圆上存在点使平面

C．圆锥的外接球表面积为

D．棱长为的正四面体在圆锥内可以任意转动

【答案】AD

【分析】对于选项A，通过找面面平行得到线面平行，从而判断出选项A正确；对于选项B，通过假设存在点，从则得出面SBC应与面平行，与题意不符，从而判断出B错误；对于选项C，可以直接求出外接球的半径，求出球的表面积，从而判断出C错误；对于选项D，转化成正四面体的外接球能否在圆锥内任意转动，进而去判断圆锥轴截面内切圆半径与球半径的关系，从而判断出选项D的正误.

【详解】对于选项A，如下图，过作，交劣弧与点，连接，

由于分别为的中点，所以，

由于面，面，面，面，

所以面，面，面，面，

又因为，所以面面，

由于面，所以面，所以选项A正确；

选项B， 假设在点M使面SBC，面SBC，所以，

由圆锥易得底面圆，底面圆，

所以，，面，面，

所以面，

故面SBC应与面平行，与题意显然不符，即选项B错误；

选项C，如下图，依题意可知，所以，又，所以，

不妨设圆锥外接球心为，半径为，则，

即，将代入，解得，

所以球的表面积，即选项C错误；

选项D，棱长为的正四面体如下图所示，

正方体的边长为，体对角线长为，

所以棱长为的正四面体的外接球半径为，

设内切圆的半径为，则，解得，

所以，所以棱长为的正四面体在圆锥内可以任意转动，即选项D正确．

故选：AD.

12．已知，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】分别构造函数，求导确定这些函数的单调性，即可利用单调性求解.

【详解】令故当时，，故在单调递增，

由于，故，即，进而，故A正确，

令，当时， ，所以在单调递减，在时，此时单调递增，

由于的大小关系无法确定，故的大小关系也无法确定，故 B错误，

令，，

令，则，

在上单调递增，，

，在上单调递减，

，

，故C不正确；

构造函数，

记，所以在单调递增，所以，

因此，所以在单调递增，由于，所以，进而，即，故D正确，

故选：AD

【点睛】方法点睛：本题考查了导数的综合运用，利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.

三、填空题

13．已知，，，则___________.

【答案】

【分析】求出向量的坐标，利用平面向量垂直的坐标表示可得出关于实数的等式，解之即可.

【详解】由已知可得，

由题意可得，解得.

故答案为：

14．已知，则___________.

【答案】

【分析】设，利用赋值法求出即可求解.

【详解】设，

则，

，

所以

故答案为：.

15．已知实数，且，则的最小值为___________.

【答案】##0.5

【分析】运用基本式中的“1”的活用，即可得出结果.

【详解】，

，

，

当且仅当时，取等号.

故答案为：.

四、双空题

16．已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则当时，___________；若对都有，则实数的取值范围为___________.

【答案】         

【分析】先根据奇函数的特征求出的值，利用奇函数和的解析式，可求时的解析式，根据对称性和二次函数的值域可求实数的取值范围.

【详解】因为为定义在上的奇函数，所以，解得；

当时，，，

因为为奇函数，所以，所以；

当时，为增函数，所以时，为增函数；

因为，所以的图象关于直线对称；

令，得，根据对称性可知时，可得.

因为，所以，即的周期为4，

所以的解集为.

设，因为，所以，；

其图象的对称轴为，且开口向下；

当时，在上单调递增，，解得；

当时，，解得；

当时，，解得；

当时，在上单调递减，，无解；

综上可得，即实数的取值范围为.

故答案为：；

【点睛】易错点点睛：本题易错点有三个方面：一是忽略奇函数的特点，没有求出的值；

二是对二次函数区间最值求解时讨论分类不全面；

三是不讨论直接利用得出错误结论.

五、解答题

17．某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团．为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如表所示：

(1)根据所给数据完成上表，依据的独立性检验，能否认为该校学生喜欢足球与性别有关？

(2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门．已知这两名男生进球的概率均为，这名女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数的分布列和数学期望．

附：

【答案】(1)列联表见详解，能

(2)分布列见详解，

【分析】（1）根据已知条件完普列联表，然后计算的值，进一步由独立性检验的方法即可求解；

（2）依题意得3人进球总次数的所有可能取值为，根据独立事件的概率公式求得，，，，从而得到的分布列，进而得到的数学期望．

【详解】（1）列联表如下：

则，

所以依据的独立性检验，能认为该校学生喜欢足球与性别有关．

（2）依题意得3人进球总次数的所有可能取值为，

，

，

，

，

所以的分布列如下：

所以的数学期望为．

18．已知函数.

(1)若，求函数的最小正周期；

(2)若图象在内有且仅有一条对称轴，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用恒等变换得到，再由，利用周期公式求解；

（2）由，得，根据题意，由，求得的范围，进而得到的范围，利用正弦函数的性质求解.

【详解】（1）解：，

，

，

，

由，得，

则；

（2）由，得，

因为图象在内有且仅有一条对称轴，

所以，解得，

因为，且，

所以，

所以的取值范围是.

19．已知数列满足，，.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求证：.

【答案】(1)

(2)证明见解析.

【分析】（1）由题意,证得是等比数列，求得的通项公式，再由求得的通项公式.

（2）方法一：由（1）得，利用放缩转化为裂项求和得证.

方法二：,利用放缩得可证得结论.

【详解】（1）由题意,

所以,

因为,所以数列是首项为2,公比为2的等比数列,

所以,即,

而,

所以

（2）方法一：由得

方法二：因为

所以.

20．如图，在四面体中，为的重心，，分别在棱，上，平面平面.

(1)求的值；

(2)若平面，，且，求平面与平面的夹角的大小.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）延长交于点，连接，由已知的面面平行可得，为的重心，所以 ，可求的值；

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的大小.

【详解】（1）延长交于点，连接，

因为为的重心，所以为的中点且 ，

因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，

所以 ， 所以 .

（2）因为平面，平面BCD，所以，，

因为，，，平面，所以平面，

如图，以BA为x轴，BC为y轴，过B与CD平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系，

由(1)同理可得，则 ，

所以

所以 ， ，   

设平面的法向量为，则

令，则，，则，

设平面的法向量为则

  ，令，则，，则，

设平面与平面的夹角为，则 ，

所以平面与平面的夹角的大小为.

21．已知，是双曲线的左､右顶点，为双曲线上与，不重合的点.

(1)设直线，的斜率分别为，，求证：是定值；

(2)设直线与直线交于点，与轴交于点，点满足，直线与双曲线交于点（与，，不重合）.判断直线是否过定点，若直线过定点，求出该定点坐标；若直线不过定点，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)直线MN过定点

【分析】（1）设，表示出，，为双曲线上的点，化简为定值；

（2）设，，BN的斜率为，由已知可得，设MN：，与双曲线联立，利用韦达定理代入，化简得，可知直线MN过定点.

【详解】（1）设，由题意，且 ，

 所以

（2）设，，，BN的斜率为，由 知：

  ，由(1)知： 所以

设MN：，与双曲线 联立，

得：，

所以 ，

所以 ，

即﹐

则

整理得，解得或（舍），

故直线MN过定点.

【点睛】方法点睛：解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．

22．已知函数，，.

(1)若，求证：；

(2)若函数与函数存在两条公切线，求实数的取值范围.

【答案】(1)证明见详解

(2)

【分析】（1）记，利用二次导数讨论的单调性，然后可证；

（2）设两函数切点坐标，利用导数求斜率，可得切线方程，根据切线方程斜率和截距分别相等列方程组，消元后转化为两个函数图象有两个交点问题，结合图象可解.

【详解】（1）当时，

记，

则，

记，

因为，所以在上单调递增

又

所以当时，，单调递减，

当时，，单调递增

所以当时，取得最小值，即

所以当时

（2）设函数与函数的公切线分别相切于点和点

因为，，

所以l的方程可表示为或

则有...①，...②

由①可得，代入②可得：

即

记，，则

记，

因为，所以单调递减

又，

所以当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

由上可知，要使函数与函数存在两条公切线，只需直线与函数图象有两个交点，

因为，

由图可知a的取值范围为