2023年福建省福州十九中中考数学模拟试卷（4月份）（含解析）

2023年福建省福州十九中中考数学模拟试卷（4月份）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  为起草党的二十大报告，党中央开展了深入的调查研究，有关部门组织了党的二十大相关工作网络征求意见活动，收到留言约条数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图所示的几何体左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图所示，直线，，，则(    )

A.
B.
C.
D.

6.  九年级某班位同学的体育素质测试成绩统计如表所示，其中两个数据被遮盖，下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是(    )

A. 平均数，方差 B. 中位数，方差 C. 中位数，众数 D. 平均数，众数

7.  已知、是关于的方程的两根，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  在锐角中，，，所对的边分别为，，，有以下结论：其中为的外接圆半径成立在中，若，，，则的外接圆面积为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  某商品经过两次降价，售价由原来的每件元降到每件元，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  二次函数的图象的顶点为且另有一点也在该函数图象上，则下列结论一定正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共28.0分）

11.  若代数式有意义，则的取值范围是______ ．

12.  因式分解：        ．

13.  关于，的方程的解为        ，        ．

14.  在中，，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点则与的数量关系是______ ．

15.  如图，菱形的一边在轴的正半轴上，是坐标原点，，反比例函数的图象经过点，与交于点，若的面积为，则的值等于______ ．

16.  如图，在矩形中，，，是边上一点，与关于直线对称，连接并延长交于点，过点作，垂足为点，设，若点为的中点，则的长为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
已知关于的一元二次方程．
求证：方程总有两个实数根；
若该方程有一个根大于，求的取值范围．

19.  本小题分
先化简，再求值，，其中．

20.  本小题分
如图，已知是的直径，是半上一点不与点、重合．
用尺规过点作的切线交于延长线于点保留作图痕迹，不写作法；
在的条件下，若，，求的直径．

21.  本小题分
新修订的未成年人保护法是一部全方位保障未成年人权益的综合性、基础性法律某中学为了让学生学习并进行测试，现分别从七、八两个年级各随机抽取名学生的测试成绩分，并对其统计、整理如下：
七年级名学生测试成绩扇形统计图如下，其测试成绩在之间的是：、、、、；
八年级名同学测试成绩统计如下：、、、、、、、、、；
两个年级测试成绩的平均数、中位数、众数如表：

根据以信息，回答下列问题：
填空：______；______；
若该校八年级共有年学生，请根据上述调查结果估计八年级测试成绩在之间的人数；
已知七年教本次测试成绩中排在前四名的学生是名男生和名女生，若从他们中任选两人作为代表进行普法演讲，试求恰好选中两个男生的概率．

22.  本小题分
年我国建成基站超万个，建设跑出“中国速度”某地有一个信号塔，小敏想用所学的数学知识测量信号塔的高度，如图，为了测量信号塔的高度，在地平面上点处测得信号塔顶端的仰角为，从点向点方向前进米到点，从点测得信号塔底端的仰角为，已知楼房的高度为米求信号塔的高度结果精确到米参考数据，，，，，

23.  本小题分
红星公司销售一种成本为元件产品，若月销售单价不高于元件，一个月可售出万件；月销售单价每涨价元，月销售量就减少万件其中月销售单价不低于成本设月销售单价为单位：元件，月销售量为单位：万件．
直接写出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
当月销售单价是多少元时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？
为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售件产品便向大别山区捐款元已知该公司捐款当月的月销售单价不高于元件，月销售最大利润是万元，求的值．

24.  本小题分
如图，在正方形中，点、分别在、上，且，、分别与交于点、，过点作，垂足为，交于点．
求证：；
若，求证：；
如图，过点作，垂足为，交于点，若，求的值．
 

25.  本小题分
如图，抛物线与轴交于、两点点在点的左侧，与轴交于点．
请直接写出、、的坐标；
若点是下方抛物线上的点，且，求点的坐标；
在的条件下，为轴上一点，求点最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查的是倒数的定义，乘积是的两数互为倒数．
根据倒数的定义解答即可．
【解答】
解：的倒数是．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：用科学记数法表示为．
故选：．
科学记数法：把一个大于的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数，是正整数，这种记数法叫做科学记数法，由此即可得到答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，关键是掌握用科学记数法表示数的方法．
 

3.【答案】 

【解析】解：从几何体的左面看，是一列两个矩形，矩形的中间用虚线隔开．
故选：．
找到从几何体的左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握左视图所看的位置．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
故A不符合题意；
，
故B不符合题意；
，
故C符合题意；
，
故D不符合题意，
故选：．
根据算术平方根，负整数指数幂，幂的乘方运算法则分别判断即可．
本题考查了算术平方根，负整数指数幂，幂的乘方运算，熟练掌握这些知识是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
，

，
故选：．
根据三角形外角的性质，欲求，需求根据平行线的性质，由，得，从而解决此题．
本题主要考查平行线的性质、三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质、三角形外角的性质是解决本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：这组数据中成绩为、的人数和为，
则这组数据中出现次数最多的数，即众数，
第、个数据分别为、，
则中位数为，
故选：．
根据众数和中位数的定义求解可得．
本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握众数和中位数的概念．
 

7.【答案】 

【解析】解：是关于的方程的根，
，
，
，
、是关于的方程的两根，
，
．
故选：．
先根据一元二次方程根的定义得到，则可化为，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
，
故选：．
已知，所以求出的度数即可使用题中的结论，得到关于的方程，再求圆的面积即可．
本题考查了特殊角的锐角三角函数值，三角形的内角和定理，实数的运算，解题的关键是：求出的度数，使用题中的结论，得到关于的方程．
 

9.【答案】 

【解析】解：设每次降价的百分率为，
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去．
故选：．
设每次降价的百分率为，利用经过两次降价后的价格原售价降价的百分率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出每次降价的百分率．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：二次函数的图象的顶点为，
，
整理得：，
，
和都在抛物线上，可得：
，，
得：

，
，
，
，
，
或，
或，
，
故选：．
先根据抛物线的顶点坐标写出抛物线的顶点式再划为一般式得出，再根据、都在抛物线上，把两坐标代入抛物线得出两个方程，把两个方程相减，化简即可得出结论．
本题考查二次函数的图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用和都在抛物线上进行解题．
 

11.【答案】 

【解析】解：代数式有意义，
，
．
故答案为：．
根据式子有意义的条件为得到，然后解不等式即可．
本题考查了二次根式有意义的条件：式子有意义的条件为．
 

12.【答案】 

【解析】解：

，
故答案为：．
先提取公因式，再用公式法因式分解即可．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
 

13.【答案】  

【解析】解：，
，得，
解得：，
把代入，得，
解得：．
故答案为：，．
得出，求出，再把代入求出即可．
本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，
，
由作图可知平分，
，
，
，
，
，
故答案为：．
证明，可得结论．
本题考查作图基本作图，直角三角形角的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是求出各个角的度数，属于中考常考题型．
 

15.【答案】 

【解析】解：作，，设，

四边形为菱形，
，，
，
，
同理，
，
，
，
，
，
，
，解得：，
，，
点坐标为，
反比例函数的图象经过点，
代入点得：，
故答案为：．
易证，再根据的值即可求得菱形的边长，即可求得点的坐标，代入反比例函数即可解题．
本题考查了菱形的性质，考查了菱形面积的计算，本题中求得是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点，则，
点是的中点，于点，
四边形是矩形，，，
，，
，
由对称得，，
在中，，
，
解得：或舍，
，
故答案为：．
过点作于点，则，由点为的中点，得到点是的中点，即可得到、的长，由对称得，，，然后利用勾股定理列出方程求得的取值，即可得到的长．
本题考查了矩形的判定与性质、轴对称的性质、勾股定理，解题的关键是熟知对称的性质．
 

17.【答案】解：


． 

【解析】首先计算乘方、负整数指数幂和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
 

18.【答案】证明：关于的一元二次方程，


，
无论为何值，方程总有两个实数根．
解：关于的一元二次方程，
设方程的两个根分别为，，
，
，，
该方程有一个根大于，
，
，
的取值范围． 

【解析】先求出方程的判别式的值，利用配方法得出，根据判别式的意义即可解答；
设方程的两个根分别为，，利用公式法求方程的解，然后根据一元二次方程根与系数的关系即可求得的取值范围．
本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握并正确运用一元二次方程根的判别式是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式


，
当时，原式． 

【解析】先算括号里面的，再算除法，最后把的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，在解答此类题目时要注意把原式化为最简形式，再代入求值．
 

20.【答案】解：如图，直线即为所求；


是切线，的半径，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
是直径，
，
，
的直径为， 

【解析】过点作交的延长线于点即可；
证明是等边三角形，即可解决问题．
本题考查作图复杂作图，切线的判定，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题不，属于中考常考题型．
 

21.【答案】   

【解析】解：的人数为人，的人数为人，
七年级中位数在中，
由题意知七年级中位数，
八年级众数，
故答案为：，；
估计八年级测试成绩在之间的人数为人；
列表如下：

由表知，共有种等可能结果，其中恰好选中两个男生的有种结果，
所以恰好选中两个男生的概率为．
根据中位数和众数的定义求解即可；
用总人数乘以八年级测试成绩在之间的人数所占比例即可；
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

22.【答案】解：由题意得，在中，，，
，
米，
米，
在中，，，
，
米，
米，
米，
答：信号塔的高度约为米． 

【解析】在中，，米，根据三角函数的定义得到，在中，，米，根据三角函数的定义得到，于是得到结论．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

23.【答案】解：由题知，当时，，
当时，，
整理得；
与之间的函数关系式为：

设月销售利润为，由题知，
当时，时利润最大，
此时万元；
当时，
，
当时，有最大值为，
即当月销售单价是元时，月销售利润最大，最大利润是万元；
由知，当月销售单价是元时，月销售利润最大，
即，
解得，
的值为． 

【解析】根据题意写出销售量和销售单价之间的关系式即可；
根据销售量和销售单价之间的关系列出销售利润和单价之间的关系式求最值即可；
根据中的函数和月销售单价不高于元件的取值范围，确定值即可．
本题主要考查一次函数性质和二次函数的性质及方程的应用，熟练应用二次函数求最值是解题的关键．
 

24.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
；
证明：连接，

在正方形中，，，
，
，
在正方形中，，
∽，
；
解：由知，，

，
，，
设，，
，
，，，
，
，
，
又，
∽，
，
即，
，
，，
∽，
． 

【解析】根据证≌，得，再证得，又得证结论即可；
连接，证∽即可得证结论；
设，，则，，，证∽得，再证∽，根据线段比例关系即可得出的值．
本题属于相似形的综合题，考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
 

25.【答案】解：对于，令，则，即点，
令，则或，即点、的坐标分别为：、，
即点、、的坐标分别为：、、；

如图，作的角抛物线，交轴于点，过点作于点，

则设，
则，
由点、的坐标知，，，
则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
则，
则直线的表达式为：，
联立得：，
解得：，
即点；

过点作直线使和轴负半轴的夹角为，
则直线的表达式为：，
过点作交轴于点，则此时，为最小，
和轴负半轴的夹角为，则和轴正半轴的夹角为，
故直线的表达式为：，
联立和，并解得：，
则点，
由点、的坐标得，，
即最小值为． 

【解析】对于，令，则，即点，令，则或，即可求解；
在中，由勾股定理得：，求出，进而求解；
过点作交轴于点，则此时，为最小，进而求解．
本题属于二次函数综合题，考查了抛物线与坐标轴的交点坐标、待定系数法求函数的解析式、勾股定理、二次函数的性质等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．