比和比例——小学数学六年级下册苏教版小升初专项突破学案

小升初七大专题：比和比例（专项突破）-小学数学六年级下册苏教版

一、选择题

1．从甲车间调出的人到乙车间，甲、乙两车间的人数就相等了。原来甲、乙两车间的人数比是（    ）。

A．9∶5 B．5∶9 C．7∶9

2．修一条路，若每天修180m，则40天可以完成；若每天修200m，则x天可以完成。正确的比例是（    ）。

A．180x＝200×40 B．200x＝180×40 C．＝

3．用一批纸装订练习本，每本25页，可以装订400本，如果每本400页，那么可以装订（    ）本。

A．20 B．25 C．30

4．用一根长48厘米的铁丝围成一个长方体，长方体的长、宽、高的比为，长方体的体积是（    ）立方厘米。

A．48 B．3072 C．88

5．一段路，甲4小时走完，乙5小时走完，甲乙两人的速度比是（    ）。

A． B． C．

6．下列选项中不能与组成比例的是（    ）。

A． B． C．

7．如图将四边形AEFG变换到四边形ABCD，其中E、G分别是AB、AD的中点，下列叙述不正确的是（    ）。

A．这种变换是相似变换 B．面积扩大到原来的2倍

C．各对应角的大小不变

8．一杯糖水，糖与水的比是1∶10，喝了一半后，糖与水的比是（    ）。

A． B． C．

二、填空题

9．在一幅比例尺为1∶5000000的地图上，量得杭州到上海的距离是3.4cm，杭州到上海的实际距离是(        )km。

10．下表中，x、y是两种相关联的量，x、y是成(        )比例。

11．一个三角形的三个内角的度数比是2∶3∶5，最大的内角是(        )°，这是一个(        )三角形。

12．把3∶4的前项加上9，要使比值不变，后项应扩大到原来的(        )，这是应用了(        )知识解答的。

13．下图是甲乙两城在地图上的位置，从图上可知，乙城在甲城的(        )方向，实际距离是(        )千米。

14．＝6∶(        )＝(        )÷15＝(        )%＝(        )（填小数）。

15．大正方形的边长是5cm，小正方形的边长是3cm。大、小正方形边长的比是(        )比值是(        )；大、小正方形周长的比是(        )；大、小正方形面积的比是(        )。

16．看图填空。

(1)图中(        )号图形是①号长方形放大后的图形，它是按(        )∶(        )的比放大的。

(2)图中(        )号图形是①号长方形缩小后的图形，它是按(        )∶(        )的比缩小的。

三、判断题

17．如果3A＝5B（A、B均不为0，那么A∶B＝5∶3。(        )

18．三角形三个内角度数的比是1∶1∶2时，这个三角形是等腰直角三角形。(        )

19．被减数一定，减数和差成正比例。(      )

20．如果3a＝5b（a、b≠0），那么＝。(        )

21．线段比例尺和比例尺1∶60表示的意义相同。(            )

四、计算题

22．化简。

（1）5.6∶7    （2）5∶    （3）∶

23．解方程或比例。

4＋0.7x＝102                  

五、解答题

24．小林读一本书，已读的页数和未读的页数之比是5∶4，如果再读25页，已读的页数和未读的页数之比是2∶1。这本书共有多少页？

25．地球的总面积是51000万平方千米。陆地面积与海洋面积的比是5∶12。地球上陆地面积和海洋面积分别是多少万平方千米？

26．如图表示的是王老师汽车所行路程和耗油量的情况。如果王老师的汽车油箱容积是50升，他要去350千米的地方出差，中途需要加油吗？请用比例相关的知识解决。

27．明明在美术课上设计一个图案（如图），圆的周长是50.24厘米，火焰部分的面积与白色背景部分的面积的比是2∶3，这两部分面积分别是多少平方厘米？

28．有两张不同的图纸，1号图纸的比例尺是1∶2000，2号图纸的比例尺是1∶50000。如果在2号图纸的图上距离是8厘米，那么在1号图纸的图上距离是多少？

29．如图，宁宁家距书店1000米。

（1）这幅图的比例尺是多少？

（2）宁宁家到学校的实际距离是多少米？

（3）现要在宁宁家南偏西45°方向1500米处建一个体育馆，请在图中画出体育馆的位置。

30．某造纸厂生产情况如下表，根据表格回答问题。

（1）在下图中描出表示时间与生产量相对应的点，然后将它们连起来。

（2）该造纸厂6月份的产量是（    ）吨。

（3）根据上图，该造纸厂的生产量与时间成什么比例？请写出你的理由。

参考答案：

1．A

【分析】把原甲车间人数看作单位“1”，从甲车间调出的人到乙车间，甲.乙两车间的人数就相等了。说明乙车间现有原甲车间人数的，再减去从甲车间调入的，即为乙车间原来人数－＝，1∶即是甲、乙两车间的人数比，据此求解即可。

【详解】把原甲车间人数看作单位“1”

乙车间人数：

原来甲、乙两车间的人数比是：1∶＝9∶5。

故答案为：A

【点睛】解答此题的关键：判断出单位“1”，转化为同一单位“1”下求比，注意应化为最简整数比。

2．B

【分析】根据工作总量＝工作效率×工作时间；由于这条路的长度不变，工作效率和工作时间成反比例，设x天可以完成，x天修的长度等于40天修的长度；列方程：200x＝180×40，据此解答。

【详解】根据分析可知，修一条路，若每天修180m，则40天可以完成；若每天修200m，则x天可以完成。正确的比例是200x＝180×40。

故答案为：B

【点睛】解答本题的关键是求出工作效率和工作时间成成什么比例，进而进行解答。

3．B

【分析】根据题意知道一批纸的数量一定，每本的页数×本数＝一批纸的数量（一定），所以每本的页数与装订的本数成反比例，由此列出比例解答即可。

【详解】解：设可以装订x本

400x＝25×400

400x＝10000

x＝25

可以装订25本。

故答案为：B

【点睛】关键是根据题意，先判断哪两种相关联的量成何比例，即两个量的乘积一定则成反比例，两个量的比值一定则成正比例，再解答。

4．A

【分析】长方体的棱长总和是由4条长、4条宽和4条高组成的，因此首先求出一组长宽高的和，再把这个数按照1∶2∶3的比进行比例分配，求出长是多少，宽是多少，高是多少，然后利用V＝abh计算出体积即可。

【详解】48÷4＝12（厘米）

12÷（1＋2＋3）

＝12÷6

＝2（厘米）

长：2×1＝2（厘米）

宽：2×2＝4（厘米）

高：2×3＝6（厘米）

体积：

2×4×6

＝8×6

＝48（立方厘米）

长方体的体积是48立方厘米。

故答案为：A

【点睛】本题易错的地方是直接把棱长总和进行比例分配。

5．B

【分析】求甲乙两人的速度比，首先求出各自的速度是多少，把这段路看作“1”，用路程除以时间等于速度求出速度后，再根据比的意义，比出来化简比即可得到答案。

【详解】甲的速度：

乙的速度：

甲乙两人的速度比：

故答案为：B

【点睛】此题考查比的意义，关键是根据甲乙的时间，分别求出它们的速度，再利用比的性质化简比。

6．B

【分析】利用比的意义进行判断，先求出0.6∶0.36的比值是多少，再把下面选项中的比的比值求出来，比值一样的就可以组成比例。

【详解】利用求比值的方法验证：

选项A中

比值一样，可以组成比例；

选项B中

，比值不一样，所以不能组成比例；

选项C中

，比值一样，可以组成比例。

故答案为：B

【点睛】比例的意义：表示两个比相等的式子，叫做比例。

7．B

【分析】如图，图将四边形AEFG变换到四边形ABCD，其中E、G分别是AB、AD的中点，这种变换只改变图形的大小，不改形状，即各对应角的大小不变，属于相似变换，也可以说是把原图把2∶1放大，即对应边扩大到原来的2倍；一个图形扩大到原来的n倍，其面积将扩大到原来的n2倍；据此判断前三项答案都正确，最后选项不正确。

【详解】如图，

将四边形AEFG变换到四边形ABCD，其中E、G分别是AB、AD的中点，叙述不正确的：面积扩大到原来的2倍。

故答案为：D

【点睛】本题是考查图形的放大与缩小，图形放大或缩小后不改形状，即各对应角的大小不变，属于相似变换。注意，一个图形扩大或缩小n倍，其面积将扩大或缩小n2倍。

8．A

【分析】糖与水的比是1：10，喝掉一半后，水的甜度不会变，因此糖和水的比也不变，据此解答。

【详解】一杯糖水，糖与水的比是1∶10，喝掉一半后，糖与水的比是1∶10。

故答案为：A

【点睛】解答本题关键是理解：喝掉一半后，糖与水的比是不变的。

9．170

【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，据此进行计算即可。

【详解】3.4÷

＝3.4×5000000

＝17000000（cm）

＝170（km）

则杭州到上海的实际距离是170km。

【点睛】本题考查比例尺，明确图上距离、实际距离和比例尺之间的关系是解题的关键。

10．反

【分析】两个相关联的量，若它们的乘积一定，则它们成反比例关系；若它们的比值一定，则它们成正比例关系。据此填空即可。

【详解】因为0.5×12＝6

1×6＝6

所以x和y的乘积一定，则它们成反比例。

【点睛】本题考查正反比例的判定，明确正反比例的定义是解题的关键。

11．     90     直角

【分析】三角形的内角和是180°，角的度数比是2∶3∶5，按照按比例分配的方法，求出最大的角的度数，据此判断是什么类型的三角形。

【详解】180°×

＝180°×

＝90°

最大的角是90°，是直角三角形。

一个三角形的三个内角的度数比是2∶3∶5，最大的内角是90°，这是一个直角三角形。

【点睛】解答本题的关键是按比例分配的方法求出三角形的最大角，再判断三角形的类型。

12．     4倍     比的基本性质

【分析】根据比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以一个不为0的数，比值不变，据此解答。

【详解】（3＋9）÷3

＝12÷3

＝4

把3∶4的前项加上9，要使比值不变，后项应扩大到原来的4倍，这是应用了比的基本性质知识解答的。

【点睛】熟练掌握比的基本性质是解答本题的关键。

13．     东偏北30°     180

【分析】根据图上确定方向的方法：上北下南、左西右东，以甲城为观测点，即可确定乙城的方向，量得甲城到乙城的图上距离是3厘米，然后根据图上1厘米表示实际60千米，求出甲城到乙城的实际距离。

【详解】3×60＝180（千米）

乙城在甲城的东偏北30°方向；实际距离是180千米。

【点睛】此题主要考查依据方向（角度）和距离确定物体位置的方法。

14．     10     9     60     0.6

【分析】比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变；分数化成百分数，用分数的分子除以分母化成小数，然后把小数的小数点向右移动两位，再加上百分号。

【详解】＝（3×2）∶（5×2）＝6∶10；

＝（3×3）÷（5×3）＝9÷15；

＝3÷5＝0.6＝60%；

所以＝6∶10＝9÷15＝60%＝0.6。

【点睛】此题主要是考查小数、分数、除法、比、百分数之间的关系及转化。利用它们之间的关系和性质进行转化即可。

15．     5∶3          5∶3     25∶9

【分析】根据正方形的周长和面积公式，分别计算出这两个正方形的周长和面积，即可求出它们的比，再化简求值即可。

【详解】大正方形与小正方形的周长比是

（5×4）∶（3×4）

＝20∶12

＝5∶3

比值是：

5∶3

＝5÷3

＝

大正方形与小正方形的面积之比是：

（5×5）∶（3×3）

＝25∶9

比值是：

25∶9

＝25÷9

＝

【点睛】此题主要考查正方形的周长与面积公式的计算应用以及求比值的方法。

16．(1)     ⑤     2     1

(2)     ③     1     2

【分析】（1）要找几号图形是①号图形放大后的图形，先找出比①号长方形大的图形，看看长和宽扩大的倍数是否一样，据此即可确定出要找的图形，然后数出扩大后的图形的长是几个格，同时数出原图的长是几个格，即可求出放大的比例；

（1）要找几号图形是①号图形缩小后的图形，先找出比①号长方形小的图形，看看长和宽缩小的倍数是否一样，据此即可确定出要找的图形，然后数出缩小后的图形的长是几个格，同时数出原图的长是几个格，即可求出缩小的比例。

【详解】（1）①号长方形的长是6，宽是2，④号长方形的长是6，宽是3，⑤号长方形 的长是12，宽是4，所以图中⑤号图形是①号长方形放大后的图形。

12∶6＝2∶1

4∶2＝2∶1

即它是按2∶1的比放大的。

（2）①号长方形的长是6，宽是2，②号长方形的长是3，宽是2，③号长方形 的长是3，宽是1，所以图中③号图形是①号长方形缩小后的图形。

3∶6＝1∶2

即它是按1∶2的比缩小的。

【点睛】本题考查图形的放大或缩小，明确放大或缩小图形是把原图形的各个边长进行放大或缩小是解题的关键。

17．√

【分析】如果3A＝5B（A、B均不为0），我们可以把3A和5B看做比例里两外项和两内项乘积，根据比例A∶B＝5∶3，利用比例的基本性质求出两外项的积是3A，两内项积是5B，和原题答案一致，因此说法正确。

【详解】A∶B＝5∶3

A与3是比例的外项，乘积是3A；B和5是比例的两个内项，乘积为5B，和原题答案一致。

故答案为：√

【点睛】比例的性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质。

18．√

【分析】三角形的内角和为180°，进一步直接利用按比例分配分别求出三种情况下份数最大的角，然后根据三角形的分类进行判断即可。

【详解】最大角为：°

有一个角是直角的三角形是直角三角形，又因为三角形中有2个角相等

所以该三角形是等腰直角三角形，原题说法正确。

故答案为：

【点睛】此题主要利用三角形的内角和与按比例分配来解答问题。

19．×

【分析】根据正比例和反比例的判断方法进行解答，两个数的乘积一定，这两个数成反比例，两个数的比值一定，这两个数成正比例。

【详解】被减数＝减数＋差，被减数一定，但是减数与差的比值不一定是定值，不一定成正比例；减数与差的积不一定是定值，不一定成反比例；所以被减数一定，减数与差不一定成比例。

故答案为：×

【点睛】本题考查了辨别正、反比例的量，牢记两种相关联的量，积一定为反比例关系，比值一定为正比例关系。

20．×

【分析】逆用比例的基本性质作答，即在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，据此解答即可。

【详解】因为3a＝5b（a、b≠0），

即a∶b＝5∶3

所以＝，原题说法错误。

故答案为：×

【点睛】本题主要是灵活利用比例的基本性质解决问题。

21．×

【分析】本题线段比例尺中图上1厘米代表实际距离单位是千米；数值比例尺中的图中1厘米代表实际距离单位是厘米，据此解答即可。

【详解】表示图上1厘米代表实际距离60千米；1∶60表示图上1厘米代表实际距离60厘米。所以原题说法错误。

故答案为：

【点睛】本题考查线段比例尺和数值比例尺的意义。

22．（1）4∶5；（2）9∶1；（3）3∶4

【分析】比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，依据比的基本性质化简比。

【详解】（1）5.6∶7

＝（5.6×10÷7）∶（7×10÷7）

＝8∶10

＝4∶5

（2）5∶

＝（5×9）∶（×9）

＝45∶5

＝9∶1

（3）

＝（×21）∶（×21）

＝12∶16

＝3∶4

23．x＝140；；

【分析】（1）根据等式的性质，在方程两边同时减去4，再在方程两边同时除以0.7即可；

（2）根据比例的基本性质，化比例式为方程式，再在方程两边同时除以即可；

（3）先计算方程的左边，把原方程化为，再根据等式的性质，在方程两边同时除以即可。

【详解】4＋0.7x＝102

解：4＋0.7x－4＝102－4

0.7x＝98

0.7x÷0.7＝98÷0.7

x＝140

解：

解：

24．225页

【分析】把总页数看作单位“1”，已读的占，再读25页，已读的就占，也就是说这本书页数的与的差是25，根据一个数除以分数的意义即可解答。

【详解】25÷（－）

＝25÷

＝25×9

＝225（页）

答：这本书共有225页。

【点睛】本题是考查比的应用，关键是把比转化成分数，根据分数除法的应用来解答。

25．陆地面积是15000万平方千米，海洋面积36000万平方千米

【分析】把地球的总面积看作单位“1”，由题意可知，陆地面积占，海洋面积占，根据分数乘示的意义即可分别求出地球上陆地面积和海洋面积。

【详解】51000×

＝51000×

＝15000（万平方千米）

51000×

＝51000×

＝36000（万平方千米）

答：地球上陆地面积是15000万平方千米，海洋面积36000万平方千米。

【点睛】此题是考查比的应用，关键是把比转化成分数，再根据分数乘法的意义解答。

26．不需要

【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。观察题意可知，总路程÷耗油量＝每升油可以经过的路程，每升汽油可以经过的路程一定，也就是总路程和耗油量的比值一定，所以它们成正比例，据此求出每升油可以经过的路程；然后根据乘法的意义，求出50升汽油可以经过的路程，最后和350千米比较即可。

【详解】15÷2＝7.5（千米/升）

30÷4＝7.5（千米/升）

45÷6＝7.5（千米/升）

75÷10＝7.5（千米/升）

所以总路程和耗油量的比值一定，它们成正比例；

总路程÷耗油量＝7.5千米/升

50×7.5＝375（千米）

375千米＞350千米

答：王老师的汽车油够用，不用中途加油。

【点睛】本题考查了正比例的意义、辨识和应用。

27．火焰部分的面积是80.384平方厘米，白色背景部分的面积是120.576平方厘米。

【分析】首先根据圆的周长公式：C＝2r，那么r＝C÷÷2，求出半径，再根据圆的面积公式：S＝r2，求出圆的面积，然后利用按比例分配的方法解答。

【详解】50.24÷3.14÷2

＝16÷2

＝8（厘米）

3.14×82

＝3.14×64

＝200.96（平方厘米）

2＋3＝5

200.96÷5×2

＝40.192×2

＝80.384（平方厘米）

200.96÷5×3

＝40.192×3

＝120.576（平方厘米）

答：火焰部分的面积是80.384平方厘米，白色背景部分的面积是120.576平方厘米。

【点睛】此题主要考查圆的周长公式、面积公式的灵活运用，按比例分配的方法及应用。

28．200厘米

【分析】用2号图纸的图上距离8厘米除以对应的比例尺，求出实际距离。将实际距离乘1号图纸的比例尺，求出在1号图纸的图上距离。

【详解】8÷×

＝8×50000×

＝400000×

＝200（厘米）

答：那么在1号图纸的图上距离是200厘米。

【点睛】本题考查了比例尺，比例尺＝图上距离∶实际距离，那么图上距离＝实际距离×比例尺，实际距离＝图上距离÷比例尺。

29．（1）1∶50000；

（2）2000米；

（3）见详解

【分析】（1）通过直尺测量，宁宁家到书店的图上距离是2厘米，宁宁家距书店1000米，统一单位后，根据比例尺的意义，比例尺＝图上距离∶实际距离，代入数据求出这幅图的比例尺。

（2）经测量，宁宁家到学校的图上距离是4厘米，根据实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据即可求出宁宁家到学校的实际距离是多少米。

（3）统一单位后，用实际距离×比例尺＝图上距离，求出体育馆和宁宁家两地之间的图上距离，再以宁宁家为观测点，利用地图上的方向“上北下南，左西右东”，根据方向、角度、距离确定体育馆的位置，并在图上标注出来。

【详解】（1）1000米＝100000厘米  

2∶100000＝1∶50000

答：这幅图的比例尺是1∶50000。

（2）4÷

＝4×50000

＝200000（厘米）

200000厘米＝2000米

答：宁宁家到学校的实际距离是2000米。

（3）1500米＝150000厘米

150000×＝3（厘米）

如图：

【点睛】此题主要考查比例尺的意义以及根据方向、角度、距离确定物体的位置。

30．（1）见详解；

（2）2100；

（3）正比例；见详解

【分析】（1）折线统计图的绘制方法是：先整理数据；利用纵轴和横轴上的长度单位所表示的数量，根据数量的多少描出各点，再把各点用线段顺次连接起来。

（2）根据统计表上的数据，造纸厂的生产量为140吨，工作时间是2天，用工作总量÷工作时间＝工作效率，求出造纸厂1天的生产量，6月份共有30天，再用1天的生产量乘30，即可求出该造纸厂6月份的产量。

（3）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。

【详解】（1）如图：

（2）140÷2×30

＝70×30

＝2100（吨）

即该造纸厂6月份的产量是2100吨。

（3）（吨）

说明生产量与时间的比值一定，符合正比例的意义。

答：该造纸厂的生产量与时间成正比例，因为生产量与时间的比值一定，所以它们之间成正比例。

【点睛】此题考查折线统计图的应用以及辨识成正、反比例的量，主要看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。