比和比例——小学数学六年级下册北师大版小升初专项突破

这是一份比和比例——小学数学六年级下册北师大版小升初专项突破，共20页。学案主要包含了选择题，填空题，判断题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
小升初七大专题：比和比例（专项突破）-小学数学六年级下册北师大版 一、选择题1．下列各式中（a，b均不为0），a和b成反比例的是（    ）。A．ab＝1∶3 B．1.2a＝8b C．5a＝b D．＝0.72．与∶能组成比例的是（    ）。A．∶ B．2∶5 C．5∶2 D．∶3．在比例尺是1∶6000000的地图上，量得南京到北京的距离是15厘米，南京到北京的实际距离大约是（    ）千米。A．800 B．90 C．900 D．12004．实验小学新建一个长方形游泳池，长50米，宽30米。选用比例尺（    ）画出的平面图最大；选用比例尺（    ）出的平面图最小。（    ）A．1∶1000；1∶1500 B．1∶1500；1∶500C．1∶500；1∶100 D．1∶100；1∶15005．2022年10月，中国共产党第二十次全国代表大会在北京召开，大会应出席代表2296名。据川观新闻2022年10月13日报到，四川省各行各业、各个领域、各条战线的优秀分子和杰出代表共72人抵京参会，雅安市有2名代表参加会议。雅安市参会代表人数与四川省参会代表的比值是（    ）。A．2∶72 B．1∶36 C． D．6．如图，阴影部分的面积相当于甲圆面积的，相当于乙圆面积的，那么乙的空白部分与甲的空白部分的面积比是（    ）。A．6∶1 B．5∶4 C．4∶5 D．5∶67．已知4a＝3b（a、b均不为0），那么a∶b＝（    ）。A．4∶3 B．3∶4 C．1∶ D．∶18．一种碘酒是把碘和酒按1∶60的质量比混合配制而成的。现有10克碘，再准备（    ）克酒可以配成这种碘酒。A．6 B．60 C．600 D．610 二、填空题9．美术组有男生15人，女生20人，男生人数与女生人数的最简整数比是(        )，男生人数占美术组人数的(        )。10．正方形A、B的边长分别是6cm和3cm，则它们的边长比是(        )，周长比是(        )，面积比是(        )。11．一辆普通自行车的前齿轮齿数是26，后齿轮齿数是16。当后齿轮转数是13转时，前齿轮转数是(        )转。12．在比例尺的地图上，量得南京到北京的距离是15厘米。南京到北京的实际距离大约是(        )千米。13．在实验小学新校区的规划图上，长方形的操场长27.5厘米，宽20厘米。如果规划图的比例尺是。这个操场实际占地(        )平方米。在操场四周建造护栏，护栏长(        )米。14．（    ）%＝8÷（    ）（    ）∶25＝（    ）成（    ）（填小数）。15．甲、乙、丙三位同学的体重总和是110千克，他们的体重比是，甲的体重为(        )千克，乙的体重为(        )千克，丙的体重为(        )千克。16．如图，将一张三角形纸按照1∶3缩小。(1)求缩放前后两张三角形纸的面积比：S①∶S②＝(      )∶(      )。(2)将两张三角形纸（阴影部分）分别绕AC、A1C1旋转后会得到两个圆锥，求它们的体积比：V①∶V②＝(      )∶(      )。 三、判断题17．如果把比例写成分数的形式，等号两端的分子和分母分别交叉相乘，它们的积相等。(        )18．a和b是两种相关联的量，且ab＝100，a和b成反比例。(        )19．总工作量一定，已经完成的工作量和没有完成的工作量成反比例。(        )20．实际距离一定比相对应的图上距离要大。(        )21．一个直角三角形的两条直角边分别是3m，4m，把这个三角形按1∶2缩小，得到的图形面积是原三角形面积的倍。(      ) 四、计算题22．化简比。               23．解方程。                                                            五、解答题24．如图表示配制一种混凝土所用的材料的份数。如果这三种材料各有24吨，配制这种混凝土，当沙子全部用完时，水泥还有多少吨？石子已经增加了多少吨？   25．下图是某社区平面图，已知快乐书店到广场的实际距离是300米。（1）求出这幅平面图的比例尺。（2）肯德基到广场的实际距离是多少米？   26．甲、乙两筐苹果的质量比是4∶1，从甲筐中取出30千克放入乙筐后，甲、乙两筐的质量比是3∶2。两筐苹果一共重多少千克？   27．100千克黄豆可以榨豆油13千克，照这样计算，要榨豆油6.5吨，需黄豆多少吨？（用比例解决问题）28．在比例尺是地图上，量得两地相距10厘米。甲、乙两车同时从两地出发，相向而行，经过4小时相遇。已知甲、乙两车的速度比是3∶2，求甲车的速度是多少？   29．一本书，小仙女第一天读了全书的，第二天读的页数与第一天读的页数的比是6∶5，两天后还剩下54页没读，这本书一共有多少页？   30．在方格纸上画一画，算一算。（1）①把正方形的边长放大到原来的2倍；②所得的图形周长是原图形周长的（    ）倍，面积是原图形的（    ）倍。（2）①把长方形各边都缩小到原来的；②所得图形周长是原图形周长的（    ），面积是原图形的（    ）。
参考答案：1．A【分析】判断两种相关联的量成不成比例，成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例，如果是其它的量一定或乘积、比值不一定，就不成比例。【详解】A．ab＝1∶3，即ab＝（一定），a和b成反比例；符合题意；B．1.2a＝8b，a∶b＝8∶1.2，a∶b＝（一定），a和b成正比例，不符合题意；C．5a＝b，a∶b＝∶5，a∶b＝（一定），a和b成正比例，不符合题意；D．＝0.7（一定），a和b成正比例，不符合题意。下列各式中（a，b均不为0），a和b成反比例的是ab＝1∶3。故答案为：A【点睛】本题属于辨识正反比例关系，就看这两个量是对应的比值一定，还是乘积一定，再做判断。2．C【分析】根据比例的基本性质“两外项的积等于两内项的积”，分别计算求出两内项的积和两外项的积，如果等于，就说明两个比能组成比例，不等于就不能组成比例。【详解】A．因为×≠×，所以∶和∶不能组成比例；B．因为×5≠×2，所以∶和2∶5不能组成比例；C．因为×2＝×5，所以∶和5∶2能组成比例；D．它们是同一个比，不合题意。故答案为：C【点睛】此题考查用比例的性质辨识两个比能否组成比例，关键是看这两个比的内项与外项的乘积，如果能组成比例，它的两内项的积等于两外项的积。3．C【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据，即可解答。【详解】15÷＝15×6000000＝90000000（厘米）90000000厘米＝900（千米）在比例尺是1∶6000000的地图上，量得南京到北京的距离是15厘米，南京到北京的实际距离大约是900千米。故答案为：C【点睛】本题考查实际距离和图上距离的换算，注意单位名数的换算。4．D【分析】图上距离∶实际距离＝比例尺，比例尺越大，即后项越小，表示的内容越详细，比例尺越小，即后项越小，表示的内容越简略，据此即可判断。【详解】要画出的平面图最大，即要比例尺最大，所以选用比例尺1∶100画出的平面图最大；要画出的平面图最小，即要比例尺最小，所以选用比例尺1∶1500画出的平面图最小。故答案为：D【点睛】本题考查比例尺的意义，明确比例尺、图上距离、实际距离之间的关系是解题的关键。5．D【分析】先写出雅安市参会代表人数与四川省参会代表的比，再求出比值即可。【详解】2∶72＝2÷72＝雅安市参会代表人数与四川省参会代表的比值是。故答案为：D【点睛】本题主要考查了比的应用及求比值，解题的关键是写出雅安市参会代表人数与四川省参会代表的比。6．C【分析】根据题意“阴影部分的面积相当于甲圆面积的”可得：甲圆面积是阴影部分面积的6倍，由“阴影部分的面积相当于乙圆面积的”可得：乙圆面积是阴影部分面积的5倍，然后根据题意，进行比即可。【详解】由分析知：甲圆面积是阴影部分面积的6倍，则甲圆空白部分是阴影部分的（6－1）倍，乙圆面积是阴影部分面积的5倍，则乙圆的空白部分是阴影部分的（5－1）倍，则乙的空白部分与甲的空白部分的面积比是（5－1）∶（6－1）＝4∶5。故答案为：C【点睛】解答此题应进行转化，转化为都是一个数的几倍，然后在统一标准下进行比即可。7．B【分析】根据比例的基本性质：内项积＝外项积，由于求的是a∶b，则把4a中的4和a看作外项，那么3和b是内项，即a∶b＝3∶4，据此即可选择。【详解】由分析可知：4a＝3b（a、b均不为0），那么a∶b＝3∶4故答案为：B【点睛】本题主要考查比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质并灵活运用。8．C【分析】根据题意可知，碘的质量÷碘占酒质量的分率＝需要的酒的质量，据此列式解答。【详解】10÷＝600（克）故答案为：C。【点睛】根据比和分数的关系，把比转分为分数，再利用分数除法进行计算是解答的关键。9．     3∶4     【分析】根据比的性质：比的前项和后项同时乘或除以同一个数（0除外），比值不变，将男生与女生的比化简即可；求一个数是另一个数的几分之几，用除法，据此解答即可。【详解】15∶20＝（15÷5）∶（20÷5）＝3∶415÷（15＋20）＝15÷35＝即男生人数与女生人数的最简整数比是3∶4，男生人数占美术组人数的。【点睛】本题考查比的基本性质，以及求一个数是另一个数的几分之几，用除法计算，要重点掌握。10．     2∶1     2∶1     4∶1【分析】根据比的意义，求它们的边长比，用正方形A的边长∶正方形B的边长，化简即可；求它们的周长比；根据正方形周长公式：周长＝边长×4，代入数据，分别求出正方形A和正方形B的周长，再用正方形A的周长∶正方形B的周长，化简即可；求它们的面积比；根据正方形面积公式：面积＝边长×边长；代入数据，分别求出正方向A的面积和正方形B的面积，再用正方形A的面积∶正方形B的面积，化简即可。【详解】6∶3＝（6÷3）∶（3÷3）＝2∶1（6×4）∶（3×4）＝24∶12＝（24÷12）∶（12÷12）＝2∶1（6×6）∶（3×3）＝36∶9＝（36÷9）∶（9÷9）＝4∶1正方形A、B的边长分别是6cm和3cm，则它们的边长比是2∶1，周长比是2∶1，面积比是4∶1。【点睛】熟练掌握比的意，比的基本性质，正方形周长公式，正方形面积公式是解答本题的关键。11．8【分析】因为在路程一定的情况下，则齿轮的齿数与转的圈数的乘积是一定的，即齿轮的齿数与转的圈数成反比例，据此即可列比例求解。【详解】解：设前齿轮转数是x转。26x＝13×1626x＝20826x÷26＝208÷26x＝8前齿轮转数是8转。【点睛】解答此题，关键要明白齿轮的齿数与转的圈数成反比例。12．900【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据，即可解答。【详解】15÷16000000＝15×6000000＝90000000（厘米）90000000厘米＝900（千米）在比例尺是1∶6000000的地图上，量得南京到北京的距离是15厘米，南京到北京的实际距离大约是900千米。【点睛】本题考查实际距离和图上距离的换算，注意单位名数的换算。13．     8800     380【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据，分别求出长方形操场的长和宽的实际距离，再根据长方形面积公式：面积＝长×宽；长方形周长公式：周长＝（长＋宽）×2，代入数据，即可求出这个操场的实际占地面积和护栏长。【详解】长：27.5÷＝27.5×400＝11000（厘米）11000厘米＝110米宽：20÷＝20×400＝8000（厘米）8000厘米＝80米占地面积：110×80＝8800（平方米）围栏长：（110＋80）×2＝190×2＝380（米）在实验小学新校区的规划图上，长方形的操场长27.5厘米，宽20厘米。如果规划图的比例尺是。这个操场实际占地8800平方米。在操场四周建造护栏，护栏长380米。【点睛】熟练掌握实际距离和图上距离的换算，长方形面积公式，长方形周长公式的应用。14．10；40；20；10；四；0.4【分析】5＋25＝30，根据分数的基本性质，的分子、分母都乘6就是，12＝2＋10，30＝5＋25，即；根据分数与除法的关系，＝2÷5，再根据商不变的性质被除数、除数都乘4就是8÷20；根据比与分数的关系，＝2∶5，再根据比的基本性质比的前、后项都乘5就是10∶25；2÷5＝0.4；把0.4的小数点向右移动两位添上百分号就是40%；根据成数的意义，40%就是四成。【详解】＝＝40%＝8÷20＝10∶25＝四成＝0.4。【点睛】此题主要是考查除法、小数、分数、百分数、比、成数之间的关系及转化。利用它们之间的关系和性质进行转化即可。15．     30     45     35【分析】根据题意，他们的体重比是6∶9∶7，即把总体重平均分成（6＋9＋7）份，用总体重除以总份数，求出1份是多少，即可求出甲、乙、丙的体积。【详解】110÷（6＋9＋7）＝110÷（15＋7）＝110÷22＝5（千克）甲的体重：5×6＝30（千克）乙的体重：5×9＝45（千克）丙的体重：5×7＝35（千克）甲、乙、丙三位同学的体重总和是110千克，他们的体重比是，甲的体重为30千克，乙的体重为45千克，丙的体重为35千克。【点睛】熟练掌握按比例分配的计算方法是解答本题的关键。16．(1)     9     1(2)     27     1 【分析】（1）根据三角形的面积＝底×高÷2，计算出两个图形的面积，根据比的意义写出比，化简比即可；（2）根据题意，图①旋转得到的圆锥的底面半径是30cm，高是40cm；图②旋转得到的圆锥的底面半径是（30÷3）cm，高是（40÷3）cm，根据公式：圆锥的体积＝底面积×高×计算出结果，根据比的意义写出比，化简比即可。【详解】（1）图①的面积：30×40÷2＝1200÷2＝600（cm2）图②的面积：（30÷3）×（40÷3）÷2＝10××＝（cm2）所以，S①∶S②＝600∶＝9∶1（2）V①：30×30×π×40×＝900××π×40＝300×40×π＝12000π（cm3）V②：（30÷3）×（30÷3）×π×（40÷3）×＝10×10×π××＝100π×＝π（cm3）12000π∶π＝27∶1所以V①∶V②＝27∶1【点睛】此题考查了三角形与圆锥的计算，关键能够灵活运用公式计算出结果再求比。17．√【分析】根据比例基本性质的内容直接解答。【详解】在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质；如果把比例写成分数形式，等号两端的分子和分母分别交叉相乘，它们的积相等。故答案为：√【点睛】此题考查学生对比例基本性质的内容理解和记忆。18．√【分析】判断两种相关联的量成不成比例，成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例，如果是其它的量一定或乘积、比值不一定，就不成比例。【详解】ab＝100（一定），所以a和b成反比例。a和b是两种相关联的量，且ab＝100，a和b成反比例。原题干说法正确。故答案为：√【点睛】本题属于辨识正反比例关系，就看这两个量是对应的比值一定，还是乘积一定，再做判断。19．×【分析】此题中的三个量关系式为：已经完成的工作量＋剩下的工作量＝一项工程的总量，但是已经完成的工作量与剩下的工作量的比值和乘积都不一定，所以它们不成比例，由此即可判断。【详解】因为已经完成的工作量与剩下的工作量的比值和乘积都不一定，所以已经完成的工作量与剩下的工作量不成比例。故答案为：×【点睛】此题主要利用正比例与反比例的意义解决问题，关键看两种量的关系式，是否符合＝k（一定）成正比例，符合xy＝k（一定）成反比例。20．×【分析】地图相当大，要画在纸上就要将其缩小，此时，图上距离一定比相对应的实际距离要小；有的零件比较小，画在纸上时要将起适当放大，此时，图上距离一定比相对应的实际距离要大，据此解答。【详解】根据分析可知，实际距离不一定比相对应的图上距离要大。原题干说法错误。故答案为：×【点睛】比例尺分为缩小比例尺和放大比例尺，在看地图时，应用的是缩小的比例尺；在研究较小的零件时，应用的是放大比例尺。21．×【分析】三角形面积＝底×高÷2，先计算缩小后三角形的两条直角边，然后分别计算出两个三角形的面积并计算得到的图形面积是原三角形面积的几分之几即可。【详解】3÷2＝1.5（cm）4÷2＝2（cm）（1.5×2÷2）÷（3×4÷2）＝（3÷2）÷（12÷2）＝1.5÷6＝因此原题说法错误。故答案为：×【点睛】图形的放大和缩小是生活中常见的现象，把一个图形放大或缩小后所得到的图形与原图形相比，形状相同，大小不同。22．2∶3；3∶2；12∶1【分析】根据比的性质作答，即比的前项和后项同时乘或除以一个数（0除外）比值不变，把比化成最简比即可。【详解】（1）＝2∶3（2）＝3∶2（3）3.6∶0.3＝（3.6÷0.3）∶（0.3÷0.3）＝12∶123．；；；；；【分析】（1）根据比例的基本性质，原式化成x＝12×，再根据等式的性质，方程两边同时除以求解；（2）根据比例的基本性质，原式化成x＝×，再根据等式的性质，方程两边同时除以求解；（3）根据比例的基本性质，原式化成3x＝36×0.4，再根据等式的性质，方程两边同时除以3求解；（4）先化简方程，再根据等式的性质，方程两边同时除以40%求解；（5）根据等式的性质，方程两边同时除以40%，再两边同时加上15求解；（6）根据比例的基本性质，原式化成1.6x＝0.8×4，再根据等式的性质，方程两边同时除以1.6求解。【详解】（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：（5）解：（6）解：24．16吨；16吨【分析】观察图直接得出水泥、沙子、石子的比是：1：3：5。当沙子3份全部用完，求出每份的量，然后求出则水泥用去1份对应的量，石子用去5份对应的量，进而可以求出水泥剩的吨数和石子缺的吨数。【详解】（吨）24－1×8＝24－8＝16（吨）5×8－24＝40－24＝16（吨）答：水泥还有16吨，石子已经增加了16吨。【点睛】此题考查了按比例分配应用题的结构特征和解答规律。25．（1）1∶10000；（2）500米【分析】先分别量出快乐书店到广场的图上距离，再据“比例尺＝图上距离：实际距离”，即可求出这幅图的比例尺；进而依据“实际距离＝图上距离÷比例尺”即可求解。【详解】（1）快乐书店到广场的图上距离是3厘米。 300米＝30000厘米3∶30000＝1∶10000答：这幅平面图的比例尺是1∶10000。（2）肯德基到广场的图上距离是5厘米。 5×10000＝50000（厘米）50000厘米＝500米答：肯德基到广场的实际距离是500米。【点睛】此题主要考查比例尺的意义以及图上距离、实际距离和比例尺的关系。26．150千克【分析】设甲、乙两筐原来分别是4x千克和x千克，分别表示出现在甲、乙两筐的重量，根据现在的比是3∶2列比例求解即可。【详解】解：设原来甲筐有4x千克苹果，乙筐有x千克苹果。（4x－30）∶（x＋30）＝3∶23（x＋30）＝2（4x－30）3x＋90＝8x－608x－3x＝90＋605x＝150x＝150÷5x＝304x＝4×30＝120（千克）120＋30＝150（千克）答：两筐苹果一共重150千克。【点睛】本题要注意列方程时表示清楚现在两筐的重量，再列比例求解。27．50吨【分析】根据题意，知道每榨1千克的油所需的黄豆一定，即黄豆的重量和油的重量成正比例，由此列式解答即可。【详解】解：设需黄豆x吨。13x＝100×6.513x＝650x＝650÷13x＝50答：需黄豆50吨。【点睛】解答此题的关键是，根据题意，正确判断出两种相关联的量成什么比例，找出对应量，注意单位统一，列式解答即可。28．120千米【分析】先依据“图上距离÷比例尺＝实际距离”求出两地的实际距离，把实际的路程化为千米，再据“路程÷相遇时间＝速度和”求出两车的速度和，甲、乙两车的速度比是3∶2，则甲的速度是甲、乙两车速度和的，用乘法计算即可求得甲车的速度。【详解】（厘米）80000000厘米千米（千米时）（千米时）答：甲车的速度是120千米每小时。【点睛】本题主要应用的知识点是：实际距离＝图上距离÷比例尺，速度和×相遇时间＝路程。29．120页【分析】根据题意，第二天读的页数是第一天读的页数的，那么第二天读了全书的×＝，还剩全书的（1－－），又知两天后还剩下54页没读，那么，这本书的页数为：54÷（1－－），解决问题。【详解】54÷（1－－）＝54÷＝54×＝120（页）答：这本书一共120页。【点睛】此题解答的关键是求出第二天读了全书的几分之几，进而求出54页占总页数的几分之几，解决问题。30．（1）①（2）①见详解（1）②2；4；（2）②；【分析】（1）①把正方形边长放大到原来的2倍，就是把正方形的边长扩大原来的2倍，观察图形，原来正方形的边长是3格，扩大后的边长是2×3格，据此求出扩大后正方形的边长，画出扩大后的正方形；②再根据正方形周长公式：周长＝边长×4，正方形面积公式：面积＝边长×边长，代入数据，分别求出原来正方形的周长、面积，和扩大后正方形的周长、面积，再用扩大后正方形的周长除以原来正方形的周长；扩大后正方形的面积除以原来正方形的面积，即可解答；（2）把长方形的各边缩小的原来的，就是把原来长方形的长和宽缩小到原来的；原来长方形的长是16格，缩小后长是16×格；原来长方形的宽是8格，缩小后的宽是8×格，求出缩小后的长与宽，画出缩小后的长方形；再根据长方形周长公式：周长＝（长＋宽）×2；面积＝长×宽，分别求出原来长方形的周长、面积以及缩小后长方形的周长和面积；再用缩小后的长方形的周长除以原来长方形周长；缩小后长方形面积除以原来长方形的面积，即可解答。【详解】（1）①3×2＝6（格）作图如下：②（6×4）÷（3×4）＝24÷12＝2（6×6）÷（3×3）＝36÷9＝4所得的图形周长是原图形周长的2倍，面积是原图形的4倍；（2）①长：16×＝4（格）宽：8×＝2（格）作图如下：（2）[（4＋2）×2]÷[（16＋8）×2]＝[6×2]÷[24×2]＝12÷48＝（4×2）÷（16×8）＝8÷128＝所得图形周长是原图形周长的，面积是原图形的。【点睛】本题考查图形的放大和缩小，以长方形的周长公式、面积公式的应用，以及求一个数占另一个数的几分之几的计算方法进行解答。