第十二讲不规则及组合平面图形的周长和面积——2022-2023学年小升初数学典型题（原卷版+解析版）

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2022-2023学年小升初数学典型例题系列之第十二讲不规则及组合图形的周长和面积（解析版） 编者的话：《2022-2023学年小升初数学典型例题系列》是基于教材知识点和历年真题总结与编辑而成的，该系列主要包含典型例题和专项练习两大部分。典型例题部分主要分为计算篇和应用篇两大篇章，每篇章皆按讲次顺序进行编辑，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。专项练习部分是从常考题和小升初真题中选取对应练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。本专题是第十二讲不规则及组合图形的周长和面积。本部分内容是求不规则及组合图形的周长和面积，题目综合性强，难度较大，一共划分十个考点，欢迎使用。    【考点一】平移法求图形的周长。【方法点拨】平移法是求不规则图形周长的常用方法，通过平移，往往可以把不规则图形转变为已学的规则图形，进而求出图形的周长。【典型例题】计算下面图形的周长。解析：（4＋2＋1）×2＝7×2＝14（厘米）所以，这个图形的周长是14厘米。【对应练习1】计算周长。 解析：（1）（50＋30）×2＝80×2＝160（米）（2）（48＋14＋48）×2＝110×2＝220（米）【对应练习2】求下面图形的周长。 解析：24×4＝96（厘米）12×2＝24（厘米）   96＋24＝120（厘米）所以，图形的周长是120厘米。【对应练习3】木匠有32米的木材，想要在花圃周围做边界。他考虑将花圃设计成以下造型（见下图）。在这四个花圃设计中，能用32米木材来围的是（       ）。（接口处忽略不计） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④解析：C【考点二】组合法求图形的周长。【方法点拨】组合法常常用来求组合图形的周长，关键在于找到该组合图形是由哪些线或图形组合而成的，再分别求出它们的长度，最后相加即可。【典型例题1】如图，这个图形的周长是(      )米。解析：这个图形的周长是：40＋25＋16＋16＝97（米）【对应练习1】求下面图形的周长。解析：3.14×10÷2＋3.14×6÷2＋10＋6＝15.7＋9.42＋10＋6＝41.12（厘米）【对应练习2】计算下面图形的周长。       解析：50×3.14÷2＋50×3＝157÷2＋150＝78.5＋150＝228.5（cm）【对应练习3】计算下面图形的周长（单位：厘米）。解析：3.14×8＋12×2＝25.12＋24＝49.12（cm）【对应练习4】一根铁丝恰好可以焊接成一个长5厘米，宽3厘米，高4厘米的长方体框架。若这根铁丝也恰好能焊接成一个正方体框架。（1）这个正方体框架的棱长是多少厘米？（2）给这个正方体框架的表面焊接上铁皮，铁皮的面积是多少平方厘米？解析：（1）（5＋3＋4）×4＝12×4＝48（厘米）48÷12＝4（厘米）答：这个正方体框架的棱长是4厘米。（2）4×4×6＝16×6＝96（平方厘米）答：铁皮的面积是96平方厘米。【考点三】稍复杂的不规则图形的周长。【方法点拨】求不规则图形的周长，寻找该图形是由那些边组合而成的，将这些边的长度相互加起来，注意观察弧形是否可以组合一起构成半圆或整圆。【典型例题】求阴影部分的周长。解析：3.14×10×2=62.8（cm）【对应练习1】计算阴影部分的周长。解析：3.14×6=18.84（cm）【对应练习2】求图中阴影部分的周长是多少？解析：3.14×8÷2+3.14×4÷2+4=22.84（cm）【对应练习3】求阴影部分的周长。解析：3.14×2×2=12.56（cm）【对应练习4】求阴影部分的周长。解析：3.14×8÷2+3.14×（8+3）÷2+1.5×2=32.83（cm）【对应练习5】求阴影部分的周长。解析：3.14×8÷2+8×2=28.56（cm）【考点四】复杂的不规则图形的周长。【方法点拨】求不规则图形的周长，寻找该图形是由那些边组合而成的，将这些边的长度相互加起来，注意观察弧形是否可以组合一起构成半圆或整圆。【典型例题】下图中每个小圆的半径都是1cm，求阴影部分的周长。解析：7个小圆周长之和加上大圆的周长，即2×3.14×7+2×3×3.14=62.8（厘米）有七根直径5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们勒紧一捆（如左下图），此时橡皮筋的长度是多少厘米?  【对应练习1】哥哥到商店买了4瓶啤酒，售货员用绳子将4瓶啤酒捆扎在一起(如图所示)，捆2圈至少用绳子多少厘米？(不包括连接部分)解析：3.14×4.5×2+4.5×2×4=64.26（厘米）64.26×2=128.52（厘米）答：略。【对应练习2】求图形的周长。解析：如图所示，可把橡皮筋划分为6条线段AB和6条弧BC，其中AB等于圆的直径，6条弧BC等于一个圆的周长。6×5+3.14×5=45.7（厘米）【对应练习3】求图形的周长。解析：3.14×4×2+4×4=41.12 【对应练习4】求下图中阴影部分的周长。解析：3.14×8÷2+3.14×8×2×+8=26.84（cm）【考点五】加法分割思路求图形的面积：S=S1+S2。【方法点拨】加法分割思路是把所求图形面积分割成几块能用公式计算的规则图形（三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形、圆、扇形），然后分别计算出面积，最后相加得出所求图形的面积。【典型例题1】计算组合图形的面积。（单位：分米） 解析：16×6＝96（平方分米）（16－8）×（14－6）÷2＝8×8÷2＝64÷2＝32（平方分米）96＋32＝128（平方分米）【对应练习1】看图求面积（单位：厘米）解析：12×10÷2＋（8＋12）×10÷2＝12×10÷2＋20×10÷2＝120÷2＋200÷10＝60＋100＝160（平方厘米）则面积是160平方厘米。【对应练习2】计算下面组合图形的面积。（单位：厘米）解析：（4＋2＋2＋4）×（10－8）÷2＋8×（4＋2＋2）＝12×2÷2＋8×8＝12＋64＝76（平方厘米）  【对应练习3】计算下面图形的面积。（单位：厘米）解析：如下图，添加辅助线：8×3.5＋（8＋9）×（6－3.5）÷2＝28＋17×2.5÷2＝28＋42.5÷2＝28＋21.25＝49.25（平方厘米）【考点六】减法拓展思路求图形的面积：S=S整体-S空白。【方法点拨】减法拓展思路是把不规则图形阴影部分面积拓展到包含阴影部分的规则图形中进行分析，通过计算这个规则图形的面积和规则图形中除阴影部分面积之外多余的面积，运用“总的”减去“部分的”方法解得答案。【典型例题1】计算组合图形的面积。（单位：cm）解析：＝86×60－60×10（cm2）【对应练习1】计算下面图形中阴影部分的面积。（单位：米）解析：（平方米）【对应练习2】计算下面图形的面积。（单位：厘米）解析：20×12－（8＋20）×4÷2＝240－28×4÷2＝240－56＝184（平方厘米）答：图形的面积为184平方厘米。【对应练习3】如图求长方形铁片截去一个小口后剩下的面积。（单位：cm）解析：5.4×12－（2.4＋3.6）×1.8÷2＝64.8－6×1.8÷2＝64.8－5.4＝59.4（cm2）【考点七】稍复杂的求阴影部分图形的面积。【方法点拨】1.圆柱的侧面积=底面周长×高，用字母表示为：S侧=πdh(或2πrh)　2.圆柱的表面积=底面积×2+侧面积，用字母表示为：S= 2πr2+2πrh　　【典型例题】圆柱的侧面积。下图是由两个正方形拼成，求图中阴影部分的面积。（提示：正方形面积和－空白部分面积＝？）解析：10×10＋5×5－10×10÷2－5×（10＋5）÷2＝100＋25－100÷2－5×15÷2＝125－50－75÷2＝75－37.5＝37.5（cm2）答：阴影部分面积是37.5cm2。【对应练习1】如图，大正方形的边长是8厘米，小正方形的边长是6厘米，求阴影部分面积是多少？（简便算法得）解析：8×8＋6×6－8×（8＋6）÷2－6×6÷2－（8－6）×8÷2＝64＋36－8×14÷2－36÷2－2×8÷2＝64＋36－112÷2－18－16÷2＝64＋36－56－18－8＝100－56－18－8＝44－18－8＝26－8＝18（平方厘米）答：阴影部分面积是18平方厘米。【对应练习2】如图，大正方形的边长是10厘米，小正方形的边长是6厘米。求涂色部分的面积。解析：10×10＋6×6－（10＋6）×6÷2－10×10÷2＝100＋36－48－50＝38（平方厘米）答：涂色部分的面积是38平方厘米。【对应练习3】大正方形边长是20.4厘米，小正方形边长是10.2厘米，求阴影部分面积。解析：（20.4＋10.2）×20.4＝30.6×20.4＝624.24（平方厘米）20.4×20.4÷2＋（20.4＋10.2）×10.2÷2＋（20.4－10.2）×10.2＝208.08＋156.06＋104.04＝468.18（平方厘米）624.24－468.18＝156.06（平方厘米）答：阴影部分面积是156.06平方厘米。【考点八】容斥原理求图形的面积。【方法点拨】重叠、分层思路是图形中不规则的阴影部分看作几个规则图形用不同的方法重叠的结果，利用分层把重叠部分分出来，组成重叠图形各项个规则图形的面积总和减去分掉的那面积，就是剩下所求那部分面积。【典型例题1】圆柱的体积。如图是两个相同的直角梯形叠在一起，阴影部分是一个不规则的图形。（1）利用“转化思想”你知道阴影部分面积和图中哪部分图形的面积相等吗？请将它涂色。（2）请求出阴影部分的面积。（单位：厘米）解析：（1）阴影部分的面积和BFGI的面积相等。如图：（2）（13－3＋13）×4÷2＝23×4÷2＝46（平方厘米）答：阴影部分的面积是46平方厘米。【对应练习1】两个完全一样的直角三角形如下图叠放，求阴影部分的面积。（单位：厘米）解析：（8－2＋8）×4÷2＝14×4÷2＝56÷2＝28（平方厘米）答：阴影部分的面积是28平方厘米。【对应练习2】如图，有两个边长是8cm的正方形卡片叠在一起，求重叠部分的面积。解析：（8－4）×（8－4）＝4×4＝16（cm2）答：重叠部分面积是16cm2【对应练习3】两个完全一样的直角三角形重合部分是三角形HEC（如图）。已知：AB＝10cm，HE＝5cm，CF＝6cm，图中阴影部分面积是多少？解析：S阴影＝S三角形DEF－S三角形HEC＝S三角形ABC－S三角形HEC＝S梯形ABEH因为BE＋EC＝CF＋EC，所以BE＝CF（5＋10）×6÷2＝15×6÷2＝45（平方厘米）答：阴影部分的面积是45平方厘米。   【考点九】平移法求图形的面积。【方法点拨】通过平移法，我们往往可以把不规则图形转变为已学的规则图形，进而求出图形的面积。【典型例题1】圆锥的体积。如下图，是一块长方形草地，长方形的长是20米，宽是12米，中间有两条宽2米的道路，一条是长方形，一条是平行四边形，那么有草部分（阴影部分）的面积有多大？解析：（20－2）×（12－2）＝18×10＝180（平方米）答：有草部分的面积有180平方米。【对应练习1】四季公园里有一块长方形地，长15.6米，宽10米。图中白色部分是一条小路，宽是2米。园林工人计划在阴影部分种上鲜花，栽种鲜花的面积是多少平方米？解析：如图：把空白部分分为两部分，蓝色部分向上平移得到一个长15.6米，宽2米的长方形；黄色部分向右平移得到一个长（10－2）米，宽2米的长方形；栽种鲜花的面积＝长方形地的面积－空白部分小路的面积，据此解答。空白部分的面积：15.6×2＋（10－2）×2＝15.6×2＋8×2＝31.2＋16＝47.2（平方米）栽种鲜花的面积：15.6×10－47.2＝156－47.2＝108.8（平方米）答：栽种鲜花的面积是108.8平方米。【对应练习2】求阴影部分面积。（单位：m）   解析：30×20－2×30－2×20＋2×2＝600－60－40＋4＝504（平方米）答：阴影部分面积的面积为504平方米。【考点十】差不变原理。【方法点拨】差不变思想，即利用等式的性质来求面积：如果S甲=S乙，那么S甲+S空白=S乙+S空白，反之亦可。【典型例题1】圆锥的体积。如下图，正方形ABFD的边长为6cm，FC＝7.5cm，涂色部分甲的面积比涂色部分乙的面积大多少？（单位：厘米）解析：6×（6＋7.5）÷2－6×6＝6×13.5÷2－36＝40.5－36＝4.5（平方厘米）答：涂色部分甲的面积比涂色部分乙的面积大4.5平方厘米。【对应练习】看图计算。如下图，ABCD是边长为10厘米的正方形，三角形ABF比三角形CEF的面积大20平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？解析：10×10÷2－20＝50－20＝30（平方厘米）答：阴影部分的面积是30平方厘米。