文科数学-2022年高考考前押题密卷（全国甲卷）（全解全析）

这是一份文科数学-2022年高考考前押题密卷（全国甲卷）（全解全析），共12页。
2022 年高考考前押题密卷（全国甲卷）
文科数学·全解全析


1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
C
C
A
B
B
D
D
A
D
D
B
1. 【答案】B
【解析】∵ A = {x | -1 £ x £ 2} ， B = {x x > 0} ，\ A U B = {x | x ³ -1} ．故选 B．


2. 【答案】C


ìm + 2 = 0
4 -i 4 -i 4i -i2 1

【解析】依题意， í
î
m ¹ 0
，解得m = -2 ，故
z
= -2i =
-2i2
= + 2i ．
2

故选 C.

3. 【答案】C
【解析】根据等比中项得a2 = a a ，所以log a
+ log a
= log
(a a ) = log
a2 = log 81 = log 34 = 4 .

5 4 6
3 4 3 6
3 4 6
3 5 3 3


故选 C.

4. 【答案】A

【解析】A.由于 2015 年移动电话普及率比 2014 年的普及率低，所以近十年以来移动电话普及率逐年递增是错误的，所以该选项错误；
B.近十年以来固定电话普及率逐年递减，所以该选项正确；

C.2021 年移动电话普及率为 116.3 部/百人，2020 年移动电话普及率为 112.9 部/百人，所以 2021 年比上

年末提高 3.4 部/百人，所以该选项正确；

D.2021 年固定电话普及率为 12.8 部/百人，2020 年固定电话普及率为 12.9 部/百人，2021 年比上年末降低 0.1 个百分点，所以该选项正确.
故选 A.


5. 【答案】B
sin(π -a)
sina 1

【解析】
= = tana = ，从而


cosa cosa 3
2 2 2 sinacosa+ cos2 a- sin2 a


sin 2a+ cos 2a= 2 sinacosa+ cos a- sin a=
cos2a+ sin2a

2 2 +1 - 1
= 2 tana+ 1- tan a = 3 9 = 7

.
1+ tan2 a

故选 B.
1+ 1 5
9


6. 【答案】B

【解析】对于命题 p，点( a , b ) 在圆C : x2 + y2 = 1 内，则a2 + b2 < 1，故圆心（0，0）到直线 ax + by = 1的


a2 + b2
距离d =
1 > 1 ，则直线 ax + by = 1与圆 C 相离， p 为真命题，


对于命题 q， l 与a的位置关系不确定， q为假命题. 选项中只有 p Ù (Øq) 为真命题．故选 B.
7. 【答案】D
【解析】三棱锥 P - ABC 如图所示，作 DE ^ AB ，垂足为 E，连接 PE, PD ，易知ÐEDP 就是直线 PD 与 AC
所成的角.



22 + 42
因为 PA ^ 平面 ABC, AB = 4, AC = 3, PA = 4 ，所以 DE = 3 , PE =
2
= 2 .

5
tan ÐEDP = 2 5 = 4 5
因为 AC ^ 平面 PAB ，所以 DE ^ 平面 PAB ，所以 3 3 .
2
故选 D.

8. 【答案】D

【解析】对 f ( x) = - x x ，其定义域为 R ，且 f (-x) = x x = - f ( x) ，故 f ( x) 为 R 上的奇函数；
又当 x > 0 时， f ( x) = -x2 ，其在(0, +¥) 上单调递减；当 x < 0 时， f ( x) = x2 ，其在(-¥, 0) 上单调递减； 又 f ( x) 是连续函数，故 f ( x) 在 R 上都是单调减函数.

所以 f (m + 2) + f (2m -1) < 0 ，即 f (m + 2) < f (1- 2m) ，
所以m + 2 > 1- 2m ，解得m > - 1 .
3
故选 D.


9. 【答案】A

Sn
【解析】由2

= + Sn-1 (n ³ 2) 知：{


Sn }为等差数列，


Sn+1
S1
a1
S2
a1 + a2
又 = = 1 ， = = 2 ，则公差d = 1 ，

Sn
n
所以 = n ，故 S = n2 ，

则 S = (n -1)2 (n ³ 2) ，可得a = S - S = n2 - (n -1)2 = 2n -1，而 a = 1也满足，
n-1 n n n-1 1

所以an = 2n -1，则 a2022 = 2 ´ 2022 -1 = 4043 .

故选 A.

10. 【答案】D
【解析】由题意 f ( x ) 的图象关于直线 x = π 对称，所以3´ π +j= kπ + π , k Î Z ，即j= kπ - π , k Î Z ，
4 4 2 4
又- π 0 时，由 x ³ 1，m emx - 6x5 ln x ≤ 0 ，可得mx emx - 6x6 ln x ≤ 0 ，即mx emx ≤ x6 ln x6 ，mx emx ≤ ln x6 eln x6 ，令 f (x) = x ex (x ³ 0 ) ，则 f ¢(x) = ( x +1) ex > 0 ，所以 f (x) 在[0, +¥) 上单调递增，又mx > 0, ln x6 ³ 0，

所以mx emx ≤ ln x6 eln x6 ，即 f (mx) £ f (ln x 6) ，即mx £ ln x6 ，m £ 6 ln x ，即$x Î[1, +¥) 使m £ 6 ln x 成立，
x x
令 g (x) = 6 ln x ，则 g¢(x) = 6 - 6 ln x ，当 x Î[1, e) 时， g¢(x) > 0, g (x) 单调递增，当 x Î(e, +¥) 时，

x x2

g¢(x) < 0, g(x) 单调递减，故 g(x)
= g(e) = 6 ，故0 < m £ 6 .


综上： m £ 6 .故选 B.
e
max e e

二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13. 【答案】0

【解析】由a = (2 2 sin 45o, 2 cos 60o) 知a = (2,1) ，由b = (2 sin 30o, 4 3 cos 30o ) 知b = (1, 2) ，故
3
a + b = (3, 3) ， a - b = (1, -1) ，故(a + b) × (a - b) = 0.
14. 【答案】41.5
【解析】由频率分布直方图知：0.010 ´10 + 0.015 ´10 + 0.030 ´10 + a ´10 + 0.010 ´10 = 1，解得a = 0.035 ， 因此，各组的频率依次为：0.1，0.15，0.35，0.3，0.1，
x = 0.1´ 20 + 0.15 ´ 30 + 0.35 ´ 40 + 0.3´ 50 + 0.1´ 60 = 41.5，
所以参与者的平均年龄约为 41.5.故答案为 41.5.

15. 【答案】3

【解析】如图，设双曲线 C 的左焦点为 F1 .

因为ÐAFB = 90° ，所以由正比例函数图象和双曲线的对称性，可知ÐAF1B = 90° ，即四边形 AF1BF 为矩


形，且 AF
= BF1 ，






设 AF
= m, BF
= n ， 则 AF - BF
= BF1 - BF
= m - n = 2a ，



∵△OAF 的面积为4a2 ，

∴△ABF 的面积为 S△ABF

ìm - n = 2a


= 2S




△OAF

= 1 m × n = 8a 2 ，且m2 + n2 =
2


AB 2 = 4c2 ，

í
联立三式： ïmn = 16a 2
î
ïm2 + n2 = 4c2
∴ c2 = 9a2 ，即e = 3 .
故答案为3 . 16．【答案】12π
，得4c2 = 4a2 + 32a2 ，

【解析】如图，连接 AC, BD ，交于点O ，取 AD 的中点 M ，连接 PM ，


因为 PA = PD = AB = 2 ，所以 PM ^ AD ，
因为等腰Rt△PAD 所在平面与矩形 ABCD 所在平面垂直，且平面 PAD I平面 ABCD = AD ， 所以 PM ^ 平面 ABCD ，
连接OM ， OP ，则 PM ^ OM .
8 + 4
3
在等腰Rt△PAD 和矩形 ABCD 中， PA = PD = AB = 2 ，


所以 AD = 2 2, PM =
2, AC = BD =
= 2 ，


所以OA = OB = OC = OD = 3, MO = 1 ，

PM 2 + OM 2
3
所以OP = = ，

3
所以OP = OA = OB = OC = OD = ，

所以点O 为四棱锥 P - ABCD 的外接球的球心，则球的半径为 3 ，
所以四棱锥 P - ABCD 的外接球的表面积为 4π×( 3)2 = 12π ，

故答案为：12π .
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。

17．（12 分）

【解析】（1）若选①：
3a
由正弦定理及sin ( A + C ) = cos A 得， sin ( A + C ) = cos A ，

b
cos A
3 sin A
则sin B = ，
sin B
所以tan A = sin A = 3 ．
cos A 3
sin B
3 sin A

∵ A Î(0, π) ，∴ A = π ．（6 分）
6

若选②： 由b (2 -

3 cos A) = a sin B 和正弦定理得，得2 sin B = sin A sin B +


3 sin B cos A ．

∵在△ABC 内， sin B > 0 ，∴ sin A +

即sin æ A + π ö = 1，


3 cos A = 2 ．

ç 3 ÷
è ø

∵ 0 < A < π ，∴ π < A + π < 4π ，∴ A + π = π ，
3 3 3 3 2
∴ A = π ．（6 分）
6

b a 4 3 = 4 3



（2）由正弦定理得sin B = sin A ，即sin B

∵ 0 < B < π ，则 B = π 或 B = 2π ，
sin π ，则sin B = 2 ，
6

3 3
3
若 B = π ，则C = π ，则 S = 1 ab sin C = 8 ；

3 2 △ ABC 2
3
若 B = 2π ，则C = π ，则 S = 1 ab sin C = 4 ．

3 6 △ABC 2


∴△ABC 的面积为8 3 或4 3 ．（12 分）

18．（12 分）
【解析】（1）因为 AC, BC, CD 两两垂直， BC I CD = C ， 所以 AC ^ 平面 BCDE ，所以 AC ^ DE .
在直角梯形 BCDE 中， ÐBCD = ÐCBE = π , BC = BE = 1, CD = 2 ，
2

所以CE = DE = 2, CE 2 + DE 2 = CD2 ，

所以 DE ^ CE ，
由于 AC I CE = C ，所以 DE ^ 平面 ACE ，
由于 DE Ì 平面 ADE ，所以平面 ACE ^ 平面 ADE.（6 分）
AC2 + CE2
（2）由 DE ^ 平面 ACE ，得 DE ^ AE ，


因为 DE =
2, CE =
2, AE =
= 1 + 2 = 3，



所以 S
= 1 ´ AE ´ DE = 1 ´ 3´ = 6 ，


2
△ADE
2 2 2


VE - ACD
= 1 ´ BC ´ 1 ´ AC ´ CD = 1 ´1´ 1 ´1´ 2 = 1 ,
3 2 3 2 3

设点C 到平面 ADE 的距离为d ，



由V = V
得 1 ´ d ´ S

= 1 Þ d = 1

= = 6

.（12 分）

C - ADE E - ACD 3
△ADE 3
S△ADE 3

2
6
19．（12 分）
【解析】（1）设v =
x ，则 $y = b$ × v + a$ ，

y = 5.16 ， v = 1.68 ， å v =å x
5 5
i i
2 =15 ，

5
å vi yi - 5v × y
i=1
i=1
45.10 - 5 ´1.68 ´5.16 1.756

5
所以b$ = i=1 = = »

1.98 ，

i
å
i=1
v2 - 5× v 2
15 - 5 ´1.682
0.888

a$ = y - b$ v = 5.16 -1.98´1.68 » 1.83 .


x
所以 y 关于 x 的回归方程为 $y = 1.98
+1.83 .（6 分）


（2）因为中国在线直播购物用户选择在品牌官方直播间购物与不在品牌官方直播间购物的人数之比为

4：1，
按照分层抽样从这两类用户中抽取 5 人，则选择在品牌官方直播间购物的用户为4 人，记作1, 2, 3, 4 ， 不在品牌官方直播间购物的用户为1人，记作5 ，
从这5 人随机抽取2 人，结果有：

(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5) ，共10 种， 其中2 人全是选择在品牌官方直播间购物用户的结果为：
(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4) ，共6 种，
所以这 2 人全是选择在品牌官方直播间购物用户的概率为 6 = 3 .（12 分）
10 5

20．（12 分）

【解析】（1） f ¢(x) = ex + a ， f ¢(0) = 1 + a ，所以1+ a = 0 ， a = -1 ，（1 分）所以 f ¢(x) = ex -1，
当 x < 0 时， f ¢(x) < 0 ，当 x > 0 时， f ¢(x) > 0 ，
所以 f ( x) 的单调减区间是(-¥, 0) ，单调增区间是(0, +¥) .（3 分）
（2） x > 0 时， ex > 1 ， (m - x)ex < m + 2 Þ (ex -1)m < xex + 2 ，
xex + 2
m < ex -1 ，

设 g (x) =
xex + 2 ex -1
，则 g¢(x) =
ex (ex - x - 3) (ex -1)2 ，

由（1）知 f (x) = ex - x - 3 ， f (x)min =
f (0) = -2，


f (1) = e - 4 < 0 ， f (2) = e2 - 5 > 0，

0 0 0
所以 f (x) 在(1, 2) 上存在唯一零点 x ，则 x Î (1, 2) ， ex0 = x + 3 ，

所以当0 < x < x0 时， g¢(x) < 0 ， g(x) 单调递减，当 x > x0 时， g¢(x) > 0 ， g(x) 单调递增，


x ex0 + 2

0

= x0 (x0 + 3) + 2 = + Î



g(x)min = g(x0 ) =
ex0 -1
x0 + 2
x0 1 (2, 3) ，


所以m < x0 +1，所以满足题意的m 的最大整数为 2．即[m]max = 2．（12 分）

21．（12 分）

【解析】（1）由题意知 A(0, b) ， F (c, 0) ，

1
因为△AOF 的面积为 1，所以 S△AOF = 2 bc = 1 ． 又直线 AF 的方程为 x + y = 1，即bx + cy - bc = 0 ，
c b
因为点 O 到直线 AF 的距离为 2 5 ，
5


c2 + b2
所以 bc
= 2 5 ，解得c = 2 ， b =（1 b < 2）， a = ，
5
5




所以椭圆 C 的标准方程为
x2 + 2


y
5
= 1 ．（4 分）

（2）依题意，当直线 MN 的斜率为 0 时，不符合题意；
当直线 MN 的斜率不为 0 时，设直线 MN 的方程为 x = my + 2(m ¹ 0) ，
ì x = my + 2
ï 2 2

联立í x2
ïî 5

+ y2 = 1
，得(m
+ 5) y
+ 4my -1 = 0 ，

易知D= 16m2 + 4 (m2 + 5) = 20 (m2 +1) > 0 ．
设 M ( x , y ) ， N ( x , y ) ，则 y + y = - 4m ， y × y = - 1 ，


1 1 2 2
1 2 m2 + 5 1 2
m2 + 5

因为 ME ^ x 轴， NQ ^ x 轴，所以 E ( x1, 0) ， Q( x2 ,0) ，


所以直线 QM： y =
y1 x1 - x2
( x - x2 ) ①，

直线 NE： y =
y2 x2 - x1
(x - x1 ) ②，


联立①②解得 x
= x1 y2 + x2 y1 = (my1 + 2) y2 + (my2 + 2 )y1 = 2+ 2my1 y2 = 5 ，


p
y1 + y2 y1 + y2 y1 + y2 2
因为 ME∥NQ ，ME 与直线 x = 5 平行，
1
2
2

所以 S
= S - S
= NQ × x - x =
y × | 5 - x


|= 1 1



- my y |，

△PMN

1 2
my1 y2


1
8
1
8
(
y + y - 4 y y
)
2
1 2
1 2
因为 y + y
△PNQ

= 1 ，
4
△MNQ
P 1 2 2
|
1
2
1 2 2
y2 1 2

1 1 1
m2 +1

2
所以 S△PMN = | y2 -

( y1 + y2 ) |=

y1 - y2 =
= ´ ，

5
2 2 4
4 m + 5


由 ，得 4 2 ，

5
m2 + 1
5
4 ´ m2 + 5 = 16
m - 6m
+ 9 = 0

3
解得m = ± ，

故存在直线 l 的方程为 x -



3 y - 2 = 0 或 x +

3 y - 2 = 0 ，使得△PMN 的面积等于 5 ．（12 分）
16

（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修 4–4：坐标系与参数方程]（10 分）
【解析】（1）由rsin2 q= 2a cosq(a > 0) 两边同乘以r得r2 sin2q= 2arcosq， 又由 x = rcosq, y = rsinq，得曲线 C 的直角坐标方程为 y2 = 2ax ，

ì
ïx = -2 +
由直线 l： í
2 t
2 (t 为参数），消去 t，得直线 l 的普通方程为 x - y + 2 = 0 .（5 分）

ï
ï y = 2 t
î 2

ì
ïx = -2 +
（2）将í
2 t
2 代入 y2 = 2ax 得， t 2 - 2 2at + 8a = 0 ，

ï
ï y = 2 t
î 2

由D> 0 得a > 4 ，设 M (-2 + 2 t , 2 t ), N (-2 +
2 t , 2 t )，

2 1 2 1

则t1 + t2 = 2 2a ， t1t2 = 8a ，

因为| PM |,| MN |,| PN |成等比数列，所以 t - t
2 2 2 2



2 =| t t |，

1 2 1 2

所以(2 2a)2 - 4 ´8a = 8a ，所以a = 5 .（10 分）

23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
【解析】（1）因为 2x +1 + 2 x -1 ³ (2x +1) - 2 ( x -1) = 3 ，
所以3 ³ a +1 ，即-4 £ a £ 2 .所以实数 a 的取值范围为[-4, 2].（5 分）

2a +1 1
（2）由 2a + b +1 = 3ab 可得b = > 0 ，所以
3a -1 3
< a £ 2 .

5 5
5a + b = 5a + 2a +1 = 5a + 3 + 2 = 5 (3a -1 )+ 3 + 7 = 5[ (3a -1 )+ 1 ] + 7 .

3a -1 3a -1 3 3 3a -1 3 3 3a -1 3
(3a -1)× (
1
3a -1)
5 7 17

故5a + b ³ ´ 2
3
+ = .
3 3

当且仅当3a -1 =
1


2
3a -1
即a = 时， 5a + b 取最小值17 3 3
.（10 分）