2022年高考押题预测卷01（新高考卷）-数学（全解全析）

这是一份2022年高考押题预测卷01（新高考卷）-数学（全解全析），共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022 年高考原创押题预测卷 01【新高考卷】

数学·全解全析
1
2
3
4
5
6
7
8
C
A
A
D
B
A
B
A

一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．





1. 【答案】C
【解析】因为集合 A = {x y =

4 - x} = {x x £ 4} ， B = {1, 2, 3, 4, 5} ，



所以 A I B =
{1, 2, 3, 4}，故选：C



2. 【答案】A
【解析】因 z (1 + i) = 2i ，则 z = 2i

= 2i(1 -i) = 2 + 2i = 1+ i ，则复数 z 在平面内对应点坐标为(1,1) ，所以

1+ i (1+ i)(1- i) 2 复数 z 在平面内对应点所在象限是第一象限.故选：A 3.【答案】A
【解析】依题意 A (2, -2) 在抛物线 y = ax2 (a ¹ 0)上，
所以-2 = a ´ 22 Þ a = - 1 ，所以 y = - 1 x2 , x2 = -2 y ，
2 2
故2 p = 2, p = 1 ，且抛物线开口向下，
2 2
所以抛物线的焦点坐标为æ 0, - 1 ö .故选：A
ç 2 ÷
è ø
4. 【答案】D

【解析】设圆柱的底面半径为 R ，高为h ，

2
∵圆柱的侧面积等于表面积的 3 ，且其轴截面的周长是 16，

ì2pRh = 2 ´ 2pR(h + R)



ìR = 2

î
í
∴ ï 3 ，解得í ，
h = 4
ïî2h + 4R = 16
∴圆柱的体积为V = pR2h = 16p，故选：D．


5. 【答案】B

【解析】当人交谈时的声强级约为50dB， 50 = 10 lg


x
10-12

Þ x
10-12


= 105 Þ x = 10-7 ，

即人交谈时的声强为10-7 ，因为火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为109 ，

所以火箭发射时的声强为：10-7 ´109 = 100 ，

因此火箭发射时的声强级为10 lg 100
10-12

= 10 lg1014 = 10 ´14 = 140 ，故选：B


6. 【答案】A
【解析】因为 f (x) = cos æ2x - 2pö + sin æ2x - 3pö
ç 3 ÷ ç 2 ÷
è ø è ø

+ -
= cos 2x cos 2p + sin 2x sin 2p+ sin(2 x p
2p)

3 3 2

= - 1 cos 2 x +

3 sin 2 x +sin(2x + p

)
2 2 2
= - 1 cos 2 x + 3 sin 2 x + cos 2 x
2 2
)
= 3 sin 2 x + 1 cos 2 x = sin(2 x + p ，

2 2 6
所以 g (x) = é + j) + pù = sin(2 x + 2j+ p ，
sin ê2(x 6 ú 6)
ë û
因为 g(x) 为偶函数，所以2 p kp+ p ， k Î Z ，


所以j= kp+ p， k Î Z ，
2 6
j+ =
6 2

因为j> 0 ，所以k = 0 时，j取最小值p .故选：A.
6

7. 【答案】B

【解析】设事件A 表示从甲箱中随机取出一红球放入乙箱中，事件 B 表示从甲箱中随机取出一白球放入乙箱中，设事件C 表示：从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则取出的球是红球，
则有： P( A) = 3 , P(C A) = 3 = 1 , P(B) = 2 , P(C A) = 2 = 1 ，
5 6 2 5 6 3
所以 P(C) = P( A)P(C A) + P(B)P(C B) = 3 ´ 1 + 2 ´ 1 = 13 ，故选：B
5 2 5 3 30

8. 【答案】A

【解析】 xf ¢( x) - f ( x) > 0 成立设 g (x ) =


f (x ) x

，
则 ¢ é f (x )ù¢ f ¢(x )x - f (x )
，即 x > 0 时 g ( x) 是增函数，

2
g (x ) = ê ú = > 0
x x
ë û
当 x > 2 时， g ( x) > g (2) = 0 ，此时 f (x ) > 0 ；
0 < x < 2 时， g ( x) < g (2) = 0 ，此时 f (x ) < 0 ．
又 f ( x ) 是奇函数，所以-2 < x < 0 时， f ( x ) = - f (- x ) > 0 ；

x < -2 时 f (x) = - f (-x) > 0
则不等式 x × f ( x) > 0 等价为ì f (x) > 0 或ì f (x) < 0 ，
î
î
í x > 0 í x < 0
可得 x > 2 或 x < -2 ，

则不等式 xf ( x) > 0 的解集是(-¥，- 2) È(2，+ ¥)，故选： A ．
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，

全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．

9
10
11
12
ABD
AD
ABD
BCD


9. 【答案】ABD
【解析】A.若“ 1
a


< 1 ”，则a > 1 或a < 0

“ a > 1 ”是“ 1
a
< 1 ”的充分不必要条件.

B.根据存在量词命题的否定是全称量词命题可知，B 正确. C.设 x, y Î R ，若“ x ³ 2 且 y ³ 2 ”，则“ x2 + y2 ³ 4 ”
若 x2 + y2 ³ 4 ，不一定有 x ³ 2 且 y ³ 2 ，比如 x = 3, y = 1也可
“ x ³ 2 且 y ³ 2 ”是“ x2 + y2 ³ 4 ”的充分不必要条件.
D. 若a ¹ 0 ，不一定有ab ¹ 0
若ab ¹ 0 ，则一定有a ¹ 0
“ a ¹ 0 ”是“ ab ¹ 0 ”的必要不充分条件. 10.【答案】AD
【解析】由直方图可知，A 校学生做作业时长大部分在 1—2 小时，而 B 校学生做作业时长大部分在 2.5—3.5

小时，故 A 正确，C 错误；

B 校有学生做作业时长小于 l 小时的，而 A 校有学生做作业时长超过 5 小时的，故 B 错误；B 校学生做作业时长分布相对 A 校更对称，故 D 正确．故选：AD.
11. 【答案】ABD

【解析】在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，P，Q 分别为棱 BC 和棱 CC1 的中点， 如图所示：


对于选项 A：P，Q 分别为棱 BC 和棱 CC1 的中点，

所以 PQ//BC1，由于 PQ⊂平面 APQ，BC1 不在平面 APQ 内， 所以 BC1//平面 APQ，故选项 A 正确.
对于选项 B：连接 AP，AD1，D1Q，

由于 AD1//PQ，D1Q=AP，所以平面 APQ 截正方体所得截面为等腰梯形，故选项 B 正确. 对于选项 C：由于 A1D⊥平面 ABC1D1，平面 ABC1D1 和平面 APQD1 为相交平面，
所以 A1D⊥平面 AQP 是错误的，故选项 C 错误.

对于选项 D：PQ//BC1，△A1BC1 为等边三角形，所以∠A1C1B=60°， 即异面直线 QP 与 A1C1 所成的角为 60°，故选项 D 正确.
故选：ABD.

12. 【答案】BCD
【解析】双曲线的渐近线方程为 y = ± b x ，
a
不妨设过点 F 的直线与直线 y = b x 平行，交于 C 于点 A.
a
对于 A：设双曲线半焦距为 c，
过点 F 与直线 y = b x 平行的直线的方程为 y = b ( x + c)，与 y = - b x 联立，解得
a a a

B æ - c , bc ö ，由


，设 A(x, y) ，所以(x + c, y) = 2(- c - x, bc - y) ，



ç 2 2a ÷
FA = 2AB
2 2a

è ø
可得 A æ - 2c , bc ö ，依题：
ç 3 3a ÷


4c2 9a2
è ø
c2 c2
- = 1，得9a2 a2
c2

= 3, b
2
a2

= 2 ，故渐近线方程为 y = ±

2 x ，A 错误；

对于 B：由 a2 = 3 可得e =
3 ，B 正确；

对于 C：A 到两渐近线距离的乘积d1d2 =
= a2b2 =

bxA - ayA × bxA + ayA
(
a2 + b2 )2
c2
b2
3 ，C 正确



对于 D： kOA
= - b = -
2a
2 , k
2 AB
= b =
a

2, k
OA × kAB
= -1



4c2 + b2c2
9 9a2
6 æ c
2 ö 2
æbc bc ö 2 c

故OA ^ AB,| OA |=
= c,| AB |=
3
ç- + c ÷ + ç - ÷ = ，

2 3
è 2 3
ø è2a
3a ø


故tan ÐAOB = | AB | = 2 ，所以 D 正确． 故选：BCD
| OA | 4
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．

13. 【答案】2n - 4 （答案不唯一）
【解析】前 3 项之和小于第 3 项则a1 + a2 < 0 Þ 2a1 + 2 < 0 Þ a1 < -1 ，设a1 = -2 ，d = 2 ，则an = 2n - 4 .故答案为： 2n - 4 （答案不唯一）
14. 【答案】 9 -84

【解析】由已知可得2n = 512 ，解得n = 9 ，
则(x2 - 1 )9 的展开式的通项为T = (-1)r Cr x18-3r ，令18 - 3r = 9 ，解得r = 3，

x r +1 9

9
\展开式中 x9 的系数为(-1)3 C 3 = -84 ．故答案为：9， -84 ．

15. 【答案】36
【解析】由题意圆 D （后轮）的半径均为 3 ， △ABE ，△BEC ， VECD 均是边长为4 的等边三角形，点 P
为后轮上的一点，如图以 AD 所在的直线为 x 轴，以点 D 为坐标原点建立平面直角坐标系：则 A(-8, 0) ，
B (-6, 2 3 ) ， C (-2, 2 3 ).



圆 D 的方程为 x2 + y2 = 3 ，设 P (
3 cosa, 3 sina) ，

uuur uuur
所以 AC = (6, 2 3 ) ， BP = ( 3 cosa+ 6, 3 sina- 2 3 ) ，

uuur uuur
æ π ö

3
故 AC × BP = 6 sina+ 6 3 cosa+ 24 = 12 sin ça+ ÷ + 24 £ 12 + 24 = 36 .
è ø

故答案为： 36 . 16.【答案】(2, 3)
【解析】不妨设 x1 < x2 < x3 ，由图可得， log2 x1 = log2 x2
所以log2 x1 = - log2 x2 , 即 x1x2 = 1 ，


= -x3 + 3Î(0,1) ，

由 f (x1 ) = f (x2 ) = f (x3 ) 得， x3 Î(2, 3) ，所以 x1x2 x3 的取值范围是(2, 3)
故答案为： (2, 3)


四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. （10 分）
【解析】 (1)由已知及正弦定理，得sin B sin B + C = sin Asin B.
2
因为 B Î(0,p) ，则sin B ¹ 0 ，
所以sin B + C = sin A ，
2
即sin B + C = sin æp - A ö = cos A ，则cos A = 2sin A cos A，

ç ÷
2 2
2 è ø 2
2 2 2

因为 A Î(0,p) ，则 A Îæ 0,pö ， cos A ¹ 0 ，
2 ç 2 ÷ 2
è ø
A 1 A p p

所以sin
= ，得 = ，即 A = .

2 2 2 6 3
(2)选条件①：如图，因为 MA = MB ， A = p，则V ABM 为等边三角形.
3
在△BMC 中，设 MB = x ，则 MC = 2MB = 2x .


因为 BC = a = 2
， ÐBMC = 2p，
7
3

3
由余弦定理得 x2 + (2x)2 - 2x × 2x cos 2p = (2 7 )2 ，


即7x2 = 28 ，得 x = 2

所以 AB = x = 2 ， AC = 3x = 6 ， VABC 的面积S

= 1 AB × AC sin A = 1 ´ 2´ 6´ 3 = 3 .


△ ABC
2 2 2

3
选条件②：如图，因为 MA = MB ， A = p，则V ABM 为等边三角形.
3
3
因为 S = 3 ，则 1 AB2 sin A = 3 AB2 = ，所以 AB = 2 .

△ABM 2 4
7
在VABC 中，因为 BC = a = 2 ，
3
设 AC = x ，由余弦定理得4 + x2 - 2 × 2x cosp = (2 7 )2
即 x2 - 2x - 24 = 0 ，解得 x = 6 ，则 AC = 6 .

所以V ABM 的面积 S
= 1 AB × AC sin A = 1 ´ 2´ 6´ 3 = 3 .


3
V ABM
2 2 2

选条件③：如图，因为 MA = MB ， A = p，则V ABM 为等边三角形，从而ÐBMC = 2p，

3
7
在△BMC 中，由正弦定理，得CM = BC sinÐMBC = 2
sinÐBMC
3
3
7
2
3
´ ´ = 4

3
设 BM = x ，由余弦定理，得 x2 +16 - 2 × 4x cos 2p = (2 7 )2 ，即 x2 + 4x -12 = 0 ，解得 x = 2 .

从而 AB = AM = 2 ， AC = 6


所以V ABM 的面积 S
= 1 AB × AC sin A = 1 ´ 2´ 6´ 3 = 3 .



3
18. （12 分）
V ABM
2 2 2

n n
【解析】 (1)根据等比数列的定义和表格中数据，得到a1 = 2 ， a2 = 4 ， a3 = 8 ， 即数列{a }是首项为2 ，公比为2 的等比数列，故a = 2 ´ 2n-1 = 2n .
(2)因为b = a + (-1)n log a = 2n + (-1)n log 2n = 2n + (-1)n n
n n 2 n 2

n
当n 为偶数时， S = (21 + 22 + L+ 2 n )+
[- 1+ 2- 3+ 4- L- (n - 1)+ n ]

= 2 - 2n+1 + n =

2n+1 + n -2


1- 2 2 2
n
当n 为奇数时， S = (21 + 22 + L+ 2 n )+

[- 1+ 2- 3+ 4- L+ (n - 1)- n ]

n
= 2 - 2n+1 + n -1 - =

n+1+ n -1 - - =

n+1- n - 5


2
n
2 2
1- 2 2 2 2 2

ì 2n+1 + n - 2, n为偶数

=
ï 2
综上所述， Tn í n 5

ï2n+1 - -

, n为奇数


ïî 2 2
19. （12 分）
【解析】 (1)连接 BE ，∵ BC = 1 AD = DE = 2 ， AD ∥ BC ，∴ BC = DE 且 BC / /DE
2
∴四边形 BCDE 为平行四边形；\ BE = CD = 2
∵ PA = PD 且 E 为 AD 的中点，∴ PE ^ AD ，

PE2 + DE2
16 + 4
5
所以 PD = = = 2 ，

∴ PB = PD = 2 5 ，∴ PE 2 + BE 2 = PB2 ，即 PE ^ BE ，
又∵ AD I BE = E ，∴ PE ^ 平面 ABCD
(2)以 E 为原点， EA 为 x 轴， EB 为 y 轴， EP 为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则
A(2, 0, 0), B (0, 2, 0), C (-2, 2, 0), P (0, 0, 4) ,

所以 AB = (-2, 2, 0), PB = (0, 2, -4) ，

r
设平面 PAB 的法向量为n = (x1 , y1 , z1 )，


ì r × AB = 0
ì-2x + 2 y = 0

r
则ín uuuv
，即í 1 1
，取n = (2, 2,1)

în × PB = 0 î2 y1 - 4z1 = 0

设 BM = t(t Î[0, 2]) ，则 M (-t, 2, 0) ，而 N(0,0, 2) ，所以 MN = (t, -2, 2) ，

∵平面 PAB 的法向量为n = (2, 2,1)，设直线 MN 与平面 PAB 所成的角为q，
MN × r
n
MN × n
uuuur
r
2t - 4 + 2
t 2 + 4 + 4 × 9
3
uuuur r

则sinq= cos
MN, n = = =
9


化简得11t 2 - 24t + 4 = 0 ，解得： t = 2 或t = 2 ，满足t Î[0, 2]
11
故线段 BM 的长度为 2 或 2 ．
11



20. （12 分）

【解析】 (1) 2 ´ 2 列联表如下表所示：


男生
女生
合计
了解
6n
5n
11n
不了解
4n
5n
9n
合计
10n
10n
20n
20n ´(6n ´5n - 4n ´5n )2 20n

K 2 = = »

4.040 ，Q n Î N* ，可得n = 20 ，

10n ´10n ´11n ´9n 99
Q P (K 2 ³ 3.841) = 0.05 ，
因此，有95% 的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有关；
(2)①采用分层抽样的方法从抽取的不理解冬季奥运会项目的学生中随机抽取9 人， 这9 人中男生的人数为4 ，女生的人数为5 ，
C3 4 20
C
9
再从这9 人中抽取3 人进行面对面交流，“至少抽到一名女生”的概率为1- 4 = 1- = ；



æ 11 ö

11 11
3 84 21

è ø
②由题意可知 X ~ B ç10, 20 ÷ ，故 E ( X ) = 10´ 20 = 2 .

21. （12 分）
【解析】 (1)由题意得 c = 1 ，则a = 2c ， b =


3c .

a 2
3
V ABF 的面积为 1 (a - c) b = 3 ，则(a - c )b = .
2 2
3
将a = 2c ， b = 3c 代入上式，得c =1，则a = 2 ， b = ，

2
故椭圆 C 的标准方程为 x
2
y
+ = 1 .

4 3
(2)由题意可知直线 PQ 的斜率一定存在，

设直线 PQ 的方程为 y = kx + m ，设 P ( x1, y1 ) ， Q (x2 , y2 ) ，则 M (-x1, - y1 ) ， N (-x1, y1 ) ， E (-x1, 0) ，
ì x2 + y2 =

ï
联立方程í 4 3
îï y = kx + m
1 ，得(3 + 4k 2 ) x2 + 8kmx + 4m2 -12 = 0 ，

∴ x1 + x2
= - 8km ，
3 + 4k 2

∴ y + y = k ( x + x ) + 2m = k æ -
8km ö + 2m = 6m ，



1 2 1 2
ç 3 + 4k 2 ÷
3 + 4k 2

è ø
6m

∴ k = y1 + y2 =

3 + 4k 2
= - 3 ， k = y1 = k

= k ，

MQ x + x
- 8km
4k PE 2x PQ

1 2 1
3 + 4k 2


∵ kMP
= y1 = 2 y1
x 2 x

= 2 kPE

= 2 k，

1 1
∴ k × k = - 3

´2 k = - 3


MP MQ


∴ kMP × kMQ
4k 2
为定值- 3 .
2

22.（12 分）

【解析】(1)当a = 1 时， f ( x) = xex - x +1 ， 则 f '( x) = ( x +1)ex -1.
当 x Î(-¥, 0) 时，因为 x + 1 < 1 ，且0 < ex < 1， 所以( x +1)ex < 1 ，
所以 f '( x ) = ( x +1) ex -1 < 0 ， f ( x ) 单调递减. 当 x Î(0, +¥) 时，因为 x +1 > 1 ，且ex > 1 ， 所以( x +1)ex > 1，
所以 f '( x ) = ( x +1) ex -1 > 0 ， f ( x ) 单调递增.
所以当a = 1 时， f ( x ) 的单调递减区间为(-¥, 0) ，单调递增区间为(0, +¥) .
(2) f ( x) ³ a ln x 恒成立等价于 xex - ax + a - a ln x ≥ 0 (x > 0 ) 恒成立，

min
令h (x ) = xe x - ax + a - a lnx (x > 0 ) ， 则h ( x) ³ 0 .
①当a = 0 时， h ( x) = xex > 0 在区间(0, +¥) 上恒成立，符合题意；
②当a > 0 时， h '( x ) = ( x +1) ex - a - a = ( x +1) ×æ ex - a ö = æ x +1 ö( xex - a ) ，
x ç x ÷ ç x ÷
è ø è ø
0 0 0 0 00
令 g (x) = xe x - a ，g ' (x) = (x +1)e x ，即 g(x) 在(0, +¥) 上单调递增，g (0) = -a < 0, g (a) = ae a - a = a(e a -1) > 0 ， 则存在 x Î (0,a) ，使得 g (x ) = 0 Þ x ex0 - a = 0 ，此时 x ex0 = a ，即 x + ln x = ln a ，
则当 x Î(0, x0 ) 时， h '( x) < 0 ， h ( x) 单调递减；当 x Î( x0 , +¥) 时， h '( x) > 0 ， h ( x) 单调递增.


所以h ( x )
= h (x ) = x e x0 - a (x + ln x )+ a= 2a - aln a .

min
0 0 0 0


令h ( x)min ³ 0 ，得2a - a ln a ≥ 0 .
因为a > 0 ，所以0 < a £ e2 .

综上，实数 a 的取值范围为 éë0, e2 ùû .