数学-2022年高考考前押题密卷（新高考2卷）（全解全析）

这是一份数学-2022年高考考前押题密卷（新高考2卷）（全解全析），共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022 年高考考前押题密卷（新高考 2 卷）
数学·全解全析


1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
C
B
C
D
A
C
D
BCD
ACD
BCD
BD
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．【答案】C
9 + 1
4 4
【解析】因为 A = {x | -2 £ x < 3} ， B = {y | y = 2x , x £ 1} ={ y 0 < y £ 2}，所以 A I B = {x | 0 < x £ 2} ．故选 C． 2．【答案】C

【解析】由 z(i3 -1) = 2i +1 得 z = 2i +1 = 2i +1 = - (2i +1)(1- i) = - 3 - i


，所以 z =
= 10 ，



故选 C．
3. 【答案】B
i3 -1
-i -1 (1+ i)(1- i) 2 2 2

【解析】命题 p：“ $x Îé 1 , 4ù，x2 - ax + 4 > 0 ”，即a < æ x + 4 ö ，设函数 f (x) = x + 4 ，易得 f (x) 在 x = 2 时

êë 2 úû
ç x ÷ x

è ømax
取得最小值为 4，在 x = 1 时取得最大值为17 ，故a < 17 ，故选 B．
2 2 2
4. 【答案】C
【解析】因为aÎ æp, 3pö ，则a+ pÎæ 4p, 11pö ，又tanæa+ pö = -2 < 0，故a+ pÎæ 3p, 11pö ，

ç 2 ÷
ç ÷ ç ÷ ç ÷

è ø 3
è 3 6 ø
è 3 ø
3 è 2 6 ø


则cosæa+ pö = 5 , sin æa+ pö = - 2 5 ，故
ç 3 ÷ 5 ç 3 ÷ 5
è ø è ø
cosæa+ p ö = cos éæa+ pö - pù = cosæa+ pöcos p+ sin æa+ pösin p
ç 12 ÷ êç 3 ÷ 4 ú ç 3 ÷ 4 ç 3 ÷ 4
è ø ëè ø û è ø è ø
2
2
= ´ 5 + ´æ - 2 5 ö = - 10．故选 C．
2 5 2 ç 5 ÷ 10
è ø
5. 【答案】D
【解析】由题意可知 A (a, 0) ，QBF ^ x 轴，当 x = c 时， c2 - y2 = ，解得： y2 = b4 ，又因为直线 AB 的斜


æ b2 ö
a2 b2 1 a2
b2



率为4 ，所以点 B 在第一象限，所以 B ç c,
è
÷ ，k = a = 4
a
ø AB
c - a
，即b2 = 4a (c - a) ，化简得3a2 - 4ac + c2 = 0 ，

两边同时除以a2 后得3 - 4e + e2 = 0 ，解得： e =1（舍去）或e = 3．故选 D． 6．【答案】A
【解析】设点 P (t，t+4) ， C ( x1, y1 )，D ( x2 , y2 ) ，因为 PD，PC 是圆的切线，所以OD ^ PD, OC ^ PC ，


ç
所以 C，D 在以 OP 为直径的圆上，其圆的方程为æ x -
t ö2
÷
+ æ y -
t+4 ö2
÷
t2 +(t+4)2

，又 C，D 在圆 x2 + y2 = 4

ç
è 2 ø è 2 ø 4
=
上，则将两个圆的方程作差得直线 CD 的方程： tx+(t+4) y - 4 = 0 ，即t ( x + y) + 4( y -1) = 0 ，所以直线 CD
恒过定点Q (-1，1) ，又因为OM ^ CD ，M，Q，C，D 四点共线，所以OM ^ MQ ，即 M 在以 OQ 为直径的


æ 1 ö2 æ


1 ö2 1


¢æ 1 1 ö 2


圆上，其圆的方程为ç x+ 2 ÷
+ ç y - 2 ÷
= 2 ，圆心O ç-
， ÷ ，半径为r =
，所以
2






min

AO¢
è ø è ø

æ
ç - 2 + 4÷ + ç 2 ÷
1
ö2
æ 1 ö2
è
ø è ø
AM =
- r =
è

2
- 2 = 2
2
2 2 ø

，所以 AM 的最小值为2


2
，故选 A．




7. 【答案】C
【解析】由题可得任取 4 个数字的数字串，其中偶数个数、奇数个数及数字个数的分类有：0，4，4；1，3，
4；2，2，4；3，1，4；4，0，4．则第一步得到数字串依次为 044，134，224，314，404；第二步得到的数

C1 × C3 + C3 × C1 50 + 50 100 10
字串依次为 303，123，303，123，303．故第二步便进入“黑洞”的概率为 5 5 5 5 = = = ，
C
10
4 210 210 21

故选 C．

8. 【答案】D
【解析】因为 f ( x) = 2 - f (-x) ，所以 f (ax) ³ 2 - f (-2 ln x) = f (2 ln x) ，又 f ( x ) 为定义在 R 上的增函数，
所以ax ³ 2 ln x ，对"xÎ(0,+¥) 恒成立，即a ³ 2 ln x ，设h ( x ) = ln x ，则h¢( x ) = 1- ln x ，当 x Î(0, e) 时，
x x x2

h¢( x) > 0, h ( x) 单调递增，当 x Î(e, +¥) 时， h¢( x) < 0 ， h ( x) 单调递减，则h ( x ) £ h (e) = 1 ，所以a ³ 2 ，即
e e

a Î é 2 , +¥ ö ．故选 D．
ø
êë e ÷

二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9. 【答案】BCD


ìE( X ) = np = 30
î
【解析】对于 A， íD( X ) = np(1 - p) = 20
，解得 p = 1 ，A 错误；
3


对于 B，方差反映的是数据与均值的偏移程度，因此每个数据都加上同一个常数后，每个新数据与新均值的偏移不变，方差恒不变，B 正确；
对于 C，x服从正态分布 N (0,1) ， P(-1 < x£ 0) = P(0 £ x< 1) = 1 - P(x> 1) = 1 - p ，C 正确；
2 2
ìCk 0.8k ´ 0.210-k ³ Ck -10.8k -1 ´ 0.211-k

10
对于 D， X ~ B (10, 0.8) ，则 P( X = k ) = Ck 0.8k ´ 0.210-k ，由í
î
10 10 ，解
10 10
Ck 0.8k ´ 0.210-k ³ Ck +10.8k +1 ´ 0.29-k

得 39 £ k £ 44 ，所以k = 8 ．D 正确．故选 BCD．
5 5
10. 【答案】ACD
【解析】对于 A，函数的定义域为R ,且 f (- x) = f ( x) ,则ln (e-2 x +1)+ a(- x) = ln (e2 x +1 )+ ax ,则ln e2 x +1 = -2ax ,
e-2 x +1

则ln e2x = -2ax ,故2x = -2ax 恒成立,故a = -1 ,故 A 正确；
对于 B，若a = - 1 ,则 f (x) = ln (e2x +1)- 1 x ， f (1) = ln (e2 +1)- 1 > 0 ， f (-1) = ln (e-2 +1)+ 1 > 0 ，
2 2 2 2
f (1) = - f (-1) 不成立，故 B 不正确.

对于 C，当a = -1 时, f (x) = ln(e2 x + 1) - x,可得 f ¢(x) =
2 e2 x

-1 = 1-
2 ，令 f ¢( x) = 0 ,即1- 2


= 0 ,解得

e2x +1 e2x +1 e2x +1
x = 0 ,所以当 x Î(-¥, 0) 时, f ¢( x) < 0 , f (x) 单调递减,当 x Î(0, +¥) 时, f ¢( x) > 0 , f (x) 单调递增,所以
f (x)min = f (0)= ln 2 ,所以 C 正确；


对于 D， f ¢(x) = (2 + a) -
2


e2x + 1
,因为 f (x) 存在极值,则 f ¢( x) = 0 有零点,令 f ¢( x) = 0 ,即(2 + a) -
2


e2x +1
= 0 ,

所以e2x =
-a a + 2
-a
,则 a + 2
> 0 ,即a(a + 2) < 0 ,解得-2 < a < 0 ,所以 D 正确.故选 ACD.

11. 【答案】BCD
【解析】对于 A，由题意知，抛物线的解析式为 y2 = 8x ，所以焦点 F (2, 0) ，故 A 错误；

对于 B，若直线 AB 的斜率kAB = 0 ，显然不合题意；设直线 AB : x = my + n ，代入 y2 = 8x ，得 y2 - 8my - 8n = 0 ，

则 y1 + y2

= 8m
， y1 y2

= -8n

，所以 x1 x2
y2 y2
= 1 × 2 =
8 8

n2 ，所以
kOAkOB
= -8 = y1 × y2 = -8
x1 x2 n

，所以n

= 1 ，所以直线

AB 过定点(1, 0) ，故 B 正确；

对于 C，由直线 AB 过点 F ，可设直线 AB : x = my + 2 ，代入 y2 = 8x ，得 y2 - 8my -16 = 0 ，则 y1 + y2 = 8m ，

y2 y2
y1 y2 = -16 ，所以 x1x2 = 1 × 2 = 4 ，故 C 正确；
8 8

对于 D，由 C 可知，x x = 4 ，x + x = 8m 2 + 4 ，所以 AF × BF = ( x + 2)( x
+ 2) = 16m2 +16 ，所以当m = 0 时，

1 2 1 2 1 2

AF × BF 的最小值为 16，故 D 正确，故选 BCD．

12. 【答案】BD
【解析】如图，

正方体内切球的球心O 即正方体的中心，且球半径 R = 1 ，当G 与 B 重合时， A Î 平面 EFB ，O Ï平面 EFB ， 此时直线OA 与平面 EFG 相交，A 错误；
当G 为 BC 的中点时，EG ^ BD ，EG ^ BB1 ，BD I BB1 = B ，则 EG ^ 平面 BB1D1D ，因为 B1D Ì 平面 BB1D1D ， 所以 EG ^ B1D ；同理，FG ^ B1D ，因为 EG I FG = G ，所以 B1D ^ 平面 EFG ，即OD ^ 平面 EFG ，B 正确；
2
取 EF 的中点 M ，由对称性可知，OE = OF ，则OM ^ EF ．因为OE = ，EM = 1 EF = 1 EC 2 + FC 2 = 6 ，
2
R2 - OM 2
1 - ç
æ
2 ö2
è 2 ø
÷
2
2 2 2


OE2 - EM 2
则OM =
= ，所以直线 EF 的被球O 截得的弦长为2 2
= 2 =
，C 错误；


设截面圆半径为r ，球心O 到截面的距离为d ，则r2 + d 2 = R2 = 1．因为d £ OM = 2 ，则r 2 = 1 - d 2 ³ 1 ，
2 2
所以截面圆面积S = πr 2 ³ π ，D 正确，故选 BD．
2
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13. 【答案】10

r r r r r r
æ 1 ö

2
【解析】因为向量a 和b 的夹角为120° ，且 a = 2 ， b = 2 ，所以agb = a × b cos120° = 2´ 2´ ç- ÷= -2 ，所
è ø

以(2a - b ) × a = 2a

14. 【答案】 21
16
- b × r = 2´ 22 - (-2) = 10 ，故答案为10 ．


r r r2
a
9










r 3r


3 6 æ 1 ö
r 9- r
1 r -

r 1 r 9-


ø
【解析】由题意可得，Cn = Cn ，解得n = 9 ，所以ç x -
è 2
x ÷ 展开式的通项为Tr +1 = C9 x
(- ) x 2 = C9 (- ) x 2 ，
2 2

由9 - 3 r = 0 得， r = 6 ，所以常数项为第七项T

= (- 1 )6 C 6 = 21 ．故答案为 21 ．


2
15. 【答案】36p
7 2 9 16 16

【解析】因为三棱锥 P - ABC 中，底面为等边三角形，侧棱长相等，所以三个侧面均为全等的等腰三角形， 又ÐAPB = 90o ，即三个侧面均为全等的等腰直角三角形，所以 PA、PB、PC 两两互相垂直，且 PA=PB=PC ， 所以可将三棱锥 P - ABC 补形为正方体，则该三棱锥的外接球即为正方体的外接球，


设 PA = PB = PC = a ，则 AB = AC = BC = 2a ，又 P 到底面 ABC 的距离为 2，所以由


1 S ´ 2 = 1 S
´PA ，即 1 ´ ( 2a )2 ´ 2 = 1 ´ 1 a ´ a ´ a，解得a = 2

3
，所以正方体的外接球直径

3
3 V ABC 3 VPBC
3 4 3 2



a2 + a2 + a2
(2 3 )2 + (2 3 )2 + (2
3 )2
2R = =
= 6 ，即 R = 3 ，所以该三棱锥外接球的体积为


V = 4pR3 = 4p´ 33 = 36p，故答案为36p． 3 3
46 -1
16. 【答案】
3
【解析】由 g(n) 的定义易知 g(n) = g(2n) ，且若n 为奇数则 g (n) = n ， 令 f (n) = g(1) + g(2) + g(3) +L+ g (2n -1) ，
则 f (n +1) = g(1) + g(2) + g(3) +L+ g (2n+1 -1) = 1+ 3 + L+ (2 n+1 -1 )+ g(2) + g(4) + L+ g(2 n+1- 2)



2n ´ éë1+ (2n+1 -1)ùû


n = n

(
= +g(1) +g(2) +L +g 2
2
-1)
4 + f (n) ，


即 f (n +1) - f (n) = 4n ，

由此可得 f (1) = 1, f (2) - f (1) = 4, f (3) - f (2) = 42 ,L, f (6) - f (5) = 45 ，


1´(1- 4 )
6
以上各式相加得 f (6) = 1+ 4 + 42 +L45 = =

46 -1 ，


1- 4 3
46 -1
3
即 g (1) + g (2 )+ g (3 )+ ××× + g (2 6 -1 )= ，


故答案为：
46 -1
.
3

四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
ì2a1 + d = 8

+ = +
17．（10 分）【解析】（1）设公差为d ，由题í
î9a1 36d 11a1 33d
，（3 分）


解得a1 = 3， d = 2 ．所以an = 2n + 1．（5 分）


（2）由（1）， an
= 2n + 1，则有 Sn
= n (3 + 2n +1) = n2 + 2n ．（7 分）
2


则 1 = 1 = 1 æ 1 - 1 ö ．
ç ÷
è ø
Sn n (n + 2) 2 n n + 2



所以T
= 1 éæ1- 1 ö + æ 1 - 1 ö + æ 1 - 1 ö + L+ æ 1 -

  
1 ö + æ 1 -


1 öù = 1 æ1+ 1 - 1 -


1 ö < 3



．（10 分）



n 2 êç
3 ÷ ç 2 4 ÷ ç 3 5 ÷ ç n -1
n +1 ÷ ç n n +2 ÷ú 2 ç
2 n +1
n +2 ÷ 4

ëè ø è ø è ø è ø è øû è ø

18．（12 分）【解析】（1）由已知及正弦定理得sinCcosA +sinAcosC = 2sinBcosA. （2 分） 即sin ( A + C ) = 2cosAsinB.
由sin ( A + C ) = sinB ¹ 0 ，可得cosA = 1 ，因为0 < A 0) ，由题意可得í2a + 2c = 8 ，（2 分）


ìa = 3
î
解得íc = 1 ，所以b =

= 2 ，


a2 - c2
2
2
2
因此椭圆C 的方程为 x + y = 1．（6 分）
9 8

（2）因为直线l 过点 F2 (1, 0) 且不与 x 轴重合，所以设l 的方程为 x = my + 1 ，
ìx = my + 1

(
ï
联立方程í x2
ïî 9
+ y2
8
，消去 x 并整理得 8m
= 1
2 + 9) y2
+ 16my - 64 = 0 ，

ï
ì y + y = -
16m



1 2
í1 1 2 2
设M ( x , y ) ， N ( x , y ) ，则
8m2 + 9
，

ï y y = - 64


ïî 1 2
所以 x + x = m ( y + y ) + 2 = 18
8m2 + 9

，

1 2 1 2

8m2 + 9

-72m2 + 9

x x = (my + 1)(my + 1) = m2 y y + m( y + y ) + 1 =
．（9 分）

1 2 1 2 1 2 1 2

8m2 + 9

设T (t, 0) ，则直线TM 与TN 的斜率分别为kTM
y1

=
x - t
， kTN
y2
=
x - t ，


则k × k =
1 2
y1 y2

TM TN
( x1 - t )(x2 - t )
- 64



= y1 y2 =


8m2 + 9

x x - t (x + x )+ t 2
-72m2 + 9 - 18 2


1 2 1 2
8m2 + 9 t × 8m2 + 9 + t


= ．
-64
(8t2 - 72)m2 + 9 -18t + 9t2

所以当8t2 - 72 = 0 ，即
当t = -3 时， "m Î R ， k × k = - 4 ；
TM TN 9
当t = 3 时， "m Î R ， k × k = - 16 ．

TM TN 9
因此，所有满足条件的T 的坐标为(-3, 0) 和(3, 0) ．（12 分）
22．（12 分）【解析】（1）因为 f ( x) = ln2x + ax + 2(x > 0) ，所以 f ¢( x) = 1 + a ．
x
若a ³ 0 ，则 f ¢( x) > 0 恒成立；
若a < 0 ，令 f ¢( x) = 0 ，解得 x = - 1 ，
a
当 x Îæ 0, - 1 ö 时， f ¢( x) > 0 ；当 x Îæ - 1 , +¥ö 时， f ¢( x) < 0 ，（5 分）
ç a ÷ ç a ÷
è ø è ø
综上所述，当a ³ 0 时， f ( x ) 的单调递增区间为(0, +¥) ；
当a < 0 时， f ( x ) 的单调递增区间为æ 0, - 1 ö ，单调递减区间为æ - 1 , +¥ö ．（6 分）
ç a ÷ ç a ÷

è ø
（2） g ( x) = f ( x) - 2 xeax+1 = ln2 x - 2 xeax+1 + ax + 2 = ln( 2 xeax+1)
令t = 2xeax+1,t > 0 ，则ln (2 xeax+1 ) -2 xeax+1 +1 = lnt - t +1 ， 令函数h (t ) = lnt - t + 1(t > 0) ，则h¢(t ) = 1 -1 ，
t
可得h (t ) 在(0,1) 上单调递增，在(1, +¥) 上单调递减，
è ø
- 2 xeax+1 + ，


又由h (1) = 0 ，所以h (t )有且仅有一个零点t = 1，即2xeax+1 = 1，
故函数 g ( x) 有且只有 x , x 两个零点等价于函数j( x ) = 2xeax+1 -1(x > 0) 有且只有 x , x 两个零点，
1 2 1 2


可得j¢( x) = 2 (1+ ax) eax+1 ，（8 分）
若a ³ 0 ，则j¢( x) > 0 恒成立，j( x ) 在(0, +¥) 上单调递增， 则j( x ) 最多只有一个零点，不符合题意；
若a < 0 ，则当 x Îæ 0, - 1 ö 时，j¢( x) > 0,j( x) 单调递增；
ç a ÷
è ø

当 x Îæ - 1 , +¥ö ,j¢( x) < 0,j( x) 单调递减．
ç a ÷
è ø
当 x ® 0 或 x ® +¥ 时，j( x ) < 0 ，故要使j( x ) 有 x1 , x2 两个零点，
则需jæ - 1 ö = - 2 -1 > 0 ，即-2 < a < 0 ，（10 分）
ç a ÷ a
è ø
不妨令0 < x < - 1 < x ，
1 a 2
今函数 H ( x) =j( x) -jæ - 2 - xö =2 xeax+1 +æ 4 +2 xöe-ax-1 æ0 < x < - 1 ö

ç a ÷ ç a ÷ ç
a ÷，

è ø è ø è ø
则 H ¢( x ) = 2 + 2ax é(eax+1 )2 -1ù ，
eax+1 êë úû
因为-2 < a < 0, 0 < x < - 1 ，所以ax +1 > 0, eax+1 >1，
a
故 H ¢( x) > 0, H ( x)在æ 0, - 1 ö 上单调递增，
ç a ÷

è ø
又因为 H æ - 1 ö = 0 ，所以 H ( x ) < 0 ，即j( x ) =j(x


) - 1 ,j( x ) 在æ - 1 , +¥ö 上单调递减，

a 1 a
ç a ÷

è ø
所以 x > - 2 - x ，即 x + x > - 2 ．（12 分）

2 a 1 1 2 a