2023届高考数学二轮复习专题四函数的图象与函数的应用综合练习（B卷）含答案

2023届新高考数学高频考点专项练习：

专题四函数的图象与函数的应用综合练习（B卷）

1.生物学家为了了解滥用抗生素对生态环境的影响，常通过检测水中生物体内抗生素的残留量来做出判断.已知水中某生物体内抗生素的残留量y（单位：mg）与时间t（单位：年）近似满足数学函数关系式，其中为抗生素的残留系数.经测试发现，当时，，则抗生素的残留系数的值约为（）(   )

A.10 B. C.100 D.

2.函数的图象大致为(   )

A. B.

C. D.

3.三个变量，，随着变量x的变化情况如下表：

则关于x呈对数型函数、指数型函数、幂函数变化的变量依次是(   )

A.，，  B.，，

C.，，  D.，，

4.已知函数的部分图像如图，则函数的解析式最可能为(   )

A. B. C. D.

5.已知函数则函数的零点个数为(   )

A.4 B.5 C.6 D.7

6.若函数恒有2个零点，则a的取值范围是(   )

A. B. C. D.

7.已知，方程有三个不等实根，则a的取值范围为(   )

A.  B.

C.  D.

8.(多选)在一次社会实践活动中，某数学调研小组根据车间持续5个小时的生产情况画出了某种产品的总产量y（单位：千克）与时间x（单位：小时）的函数图象，则以下关于该产品生产状况的正确判断是(   )

A.在前3小时内，每小时的产量逐步增加
B.在前3小时内，每小时的产量逐步减少
C.最后1小时内的产量与第3小时内的产量相同
D.最后2小时内，该车间没有生产该产品

9.(多选)函数，若函数只有一个零点，则实数a的可能取值为(   )

A.2 B.-2 C.1 D.0

10.(多选)已知函数，若，则，那么下列说法一定正确的有(   )

A.有且只有一个零点

B.的零点在内

C.的零点在内

D.的零点在内

11.设函数那么函数的零点的个数为_______.

12.某新能源汽车公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2018年全年投入研发资金5300万元，在此基础上，以后每年投入的研发资金比上一年增长8%，则该公司全年投入的研发资金开始超过7000万元的年份是_______年.(参考数据：，，)

13.汽车从A地出发直达B地，途中经过C地，假设汽车匀速行驶，5 h后到达B地.汽车与C地的距离s（单位：km）关于时间t（单位：h）的函数关系如图所示，则汽车从A地到B地行驶的路程为___________km.

14.已知函数若关于x的方程有8个不同的实根，则a的取值范围为_____________.

15.已知函数.
(1)判断函数的零点个数；
(2)设，若，是函数的两个极值点，求实数a的取值范围及判断，，之间的关系.

答案以及解析

1.答案：B

解析：当时，，则，则，则，即，故.故选B.

2.答案：D

解析：解法一：由，排除A；由，排除C；

因为，所以，排除B.故选D.

解法二：当时，，排除B；

由，排除A，C.故选D.

3.答案：C

解析：从题中表格可以看出，三个变量，，都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量的增长速度最快，应呈指数型函数变化，变量的增长速度最慢，应呈对数型函数变化.故选C.

4.答案：D

解析：根据函数的图像，得函数为偶函数，值域为，且.A选项中，当时，为增函数，所以A不符合题意.B选项中，当时，为减函数，，所以B不符合题意.C选项中，当时，的值域为，所以C不符合题意.D选项中，为偶函数，且的值域为，，所以D符合题意.故选D.

5.答案：D

解析：函数的零点个数就是方程的根的个数，即为函数与图像的交点个数.当时，，则；以此类推，当时，；…；在平面直角坐标系中作出函数与的部分图像如图所示.

由图像可知，与的图像有7个不同的交点，即函数有7个零点.故选D.

6.答案：A

解析：由，得.令，则函数恒有2个零点等价于函数与的图象有2个交点，，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以.作出函数与的图象，如图所示，数形结合可得，解得，故选A.

7.答案：B

解析：由题意知（且），令，得，所以当时，；当时，.所以函数在，上单调递减，在上单调递增，所以当时，有极小值，且极小值为e，则函数的大致图象如图所示.由方程得或，若方程有三个不等实根，则有或解得或.故选B.

8.答案：BD

解析：由该车间持续5个小时的生产总量y（单位：千克）与时间x（单位：小时）的函数图象得，前3小时内的产量逐步减少，故A不正确，B正确；后2小时均没有生产，故C不正确，D正确.故选BD.

9.答案：ABD

解析：只有一个零点，曲线与直线只有一个交点，作函数的图象如图所示，

结合图象，可知当时，曲线与直线有一个交点；

当时，设，则，令，可得，若直线与曲线有一个交点，则直线与曲线相切，此时，可得.综上，或.故选ABD.

10.答案：AB

解析：因为，均为上的增函数，所以为上的增函数.因为，，由函数零点存在性定理可知有且只有一个零点，且零点在内，故AB正确.因，故，，的符号为两正一负或全负，而，故，，或，，.若，，，则零点在内；若，，，则零点在内.故CD不一定正确.

11.答案：2

解析：当时，；

当时，；

当时，.

所以由得或4，即函数有两个零点.

12.答案：2022

解析：设n年开始超过7000万元，则，化为，即.

则，因此开始超过7000万元的年份是2022年.

13.答案：500

解析：设汽车的速度为，

则从A地到C地，，

又时，，

，解得.

从C地到B地，，

时，.

，故汽车从A地到B地行驶的路程为500 km.

14.答案：

解析：当时，仅一根，故有8个不同的实根不可能成立.当时，画出的大致图象如图所示，

令，则即，解得，，.

又有8个不同的实根，且有3个根，有2个根，所以有3个根.所以，解得.

综上可知，实数a的取值范围为.

15.解析：(1)由题知函数的定义域为，
对任意恒成立，当且仅当时，，所以在上单调递增.
又，所以函数有且仅有1个零点.
(2)因为，
所以.
由题意知，是方程在内的两个不同的实数解.
令，
又，且函数图像的对称轴为直线，
所以只需
解得，即实数a的取值范围为.
由，是方程的两根，得，，
故
.
又，所以.