2023届高考数学二轮复习专题四函数的图象与函数的应用综合练习作业（C）含答案

2023届新高考数学高频考点专项练习：

专题四函数的图象与函数的应用综合练习（C卷）

1.有一组实验数据如表所示：

下列所给函数模型较适合的是(   )

A. B. C. D.

2.函数的图象大致为(   )

A. B.

C. D.

3.已知函数.若存在2个零点，则a的取值范围是(   )

A. B. C. D.

4.果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度.已知某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t（天）满足的函数关系式为.若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%.那么采摘下来的这种水果在多长时间后失去50%的新鲜度（已知，结果取整数）(   )

A.23天 B.33天 C.43天 D.50天

5.意大利画家列奥纳多·达·芬奇的画作《抱银鼠的女子》(如图所示)中，女士颈部的黑色珍珠项链与她怀中的银鼠形成对比.光线和阴影衬托出人物的优雅和柔美.达·芬奇提出:固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么?这就是著名的“悬链线问题”.后人研究得出，悬链线并不是抛物线，而是与解析式为的“双曲余弦函数”相关的曲线.则下列选项为“双曲余弦函数”图像的是(   )

A. B.

C. D.

6.若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值范围是(   )

A.  B.

C.  D.

7.已知函数的定义域为R，且对任意的都满足，当时，若函数与的图象恰有两个交点，则实数m的取值范围是(   )

A.或 B. C. D.

8.(多选)函数的零点个数可能为(   )

A.1 B.2 C.3 D.4

9.(多选)如图所示的是某受污染的湖泊在自然净化的过程中某种有害物质的剩余量y与净化时间t（月）之间满足的函数关系：（，，）的图象.若有害物质的初始量为1，则以下说法中正确的是(   )

A.第4个月时，剩余量就会低于

B.每月减少的有害物质的量都相等

C.有害物质每月的衰减率为

D.当剩余量为，，时，所经过的时间分别是，，，则

10.(多选)已知函数则以下结论正确的有(   )

A.

B.方程有三个实数根

C.当时，

D.若函数在上有8个零点，则的取值范围为

11.某种病毒经30分钟繁殖为原来个数的2倍，且知病毒的繁殖规律为(其中k为常数，t表示时间，单位：时，y表示病毒个数，开始时病毒个数为1)，则_______，经过5时，1个病毒能繁殖为___________个.

12.已知函数在区间上有两个零点，，若，则实数m的取值范围为_________.

13.已知函数，若直线与函数的图象交于A，B两点，且满足，其中O为坐标原点，则k值的个数为__________.

14.若函数在区间上有两个零点，则实数a的取值范围是________________.

15.已知函数.

（1）讨论的零点个数；

（2）当时，设的极值点为，一个零点为，证明：.

答案以及解析

1.答案：C

解析：由所给数据可知y随x的增大而增大，且增长速度越来越快，而A，D中的函数增长速度越来越慢，B中的函数增长速度保持不变，故选C.

2.答案：D

解析：解法一：由，排除A；

由，排除C；因为，

所以，排除B.故选D.

解法二：当时，，，排除B；

由，排除A，C.故选D.

3.答案：C

解析：函数存在2个零点，函数的图像与的图像有2个交点.如图，平移直线，可以看出当且仅当即时，直线与的图像有2个交点.故选C.

4.答案：B

解析：由题意可得故，故，令，则，即，故，故选B.

5.答案：C

解析：令，则函数的定义域为R.又函数为偶函数，故排除B选项;由基本不等式可得，当且仅当时取等号，从而可得函数的最小值为，故排除A，D选项.故选C.

6.答案：B

解析：函数，

，不是函数的零点，

当时，由，得，令，则，，

则，，，

作出的图象如图中实线部分所示，

函数在区间内恰有一个零点函数与函数，的图象有且只有一个交点，

由图可知，，故选B.

7.答案：A

解析：由题意知函数的图象关于直线对称，结合时的解析式作出函数的图象，如图所示，函数的图象是过定点的折线，当时，函数的图象是过定点且“开口向上”的折线，只有当直线与在上的图象相切时，函数与的图象恰有两个交点，此时设切点为，根据，有，所以.

当时，函数的图象是过定点“开口向下”的折线，则恒与函数的图象有两个交点.

当时，函数，则其图象恒与函数的图象有两个交点.

综上，若函数与的图象恰有两个交点，则或，故选A.

8.答案：AB

解析：函数的零点个数等于函数和函数的图象的交点个数，如图所示.

数形结合可得，当时，函数的零点个数为2；

当时，函数的零点个数为1.故选AB.

9.答案：ACD

解析：根据图象过点，可知，，解得或（舍去），

函数关系是.令，得，故A正确；

当时，，减少了，当时，，减少了，每月减少的有害物质的量不相等，故B不正确；因为，所以有害物质每月的衰减率为，故C正确；分别令，，，解得，，，则，故D正确.故选ACD.

10.答案：ACD

解析：，A正确；

的图象和直线如图所示，

由图象知方程有四个实数根，B错误；当时，，依题意得，C正确；由题意得，，

不妨设，则，

，又，

，D正确.故选ACD.

11.答案：，1024

解析：当时，，，，.当时，.

12.答案：

解析：设，，

绘制函数在区间上的图象，如图.当时，直线与函数在区间上的图象有三个交点，不合乎题意.

由题意得函数的图象与函数的图象有两个不同的交点，

且交点的横坐标、满足，则和为临界条件，

由图可得，解得，故实数m的取值范围为.

故答案为：.

13.答案：2

解析：由题意知，函数的图象上有关于原点O对称的点，

因此存在，使得，即函数与的图象有公共点.

当时，，

作出，在上的图象如图所示，

则当时，与的图象的交点个数即所求，

数形结合可知，当时，与的图象有2个交点，所以k值的个数为2.

14.答案：

解析：当时，，因此不是的零点.

当时，，由，得，

若，则另一根；

若，则另一根.符合题意.

若在内有两个零点，则

即解得.综上所述，a的取值范围是.

15.解析：（1）由题意得的定义域为，，

当时，，在上单调递增，

易知有且仅有一个零点.

当时，有唯一解，

易知在上，，单调递减，

且，，

所以在上有一个零点，

在上，，单调递增，结合，可得在上有一个零点，

故在，上各有一个零点.

当时，令，得，易知在上，，单调递减，在上，，单调递增，故的最小值为，故仅有一个零点.

当时，有唯一解，

易知在上，，单调递减，且，所以在上有一个零点，

在上，，单调递增，且，，所以在上有一个零点，

故在，上各有一个零点.

综上，当或时，仅有一个零点；当或时，有两个零点.

（2）由（1）知有和两个零点，

因为，所以，.

要证，即证，

因为在上单调递增，，

所以只需证，

易知，代入上式并整理，得，

即证，

令，则，

所以在上单调递减，，

故，得证.

将代入，

得，即，

易知当时，，

所以，得.

综上，.