2023届高考数学二轮复习专题十五计数原理作业含答案

专题强化训练(十五)

一、单项选择题

1.(2022·广东汕头二模)二项式的展开式中,有理项共有(　D　)

A.3项    B.4项    C.5项    D.7项

解析:展开式的通项为Tr+1=·=,令6-∈Z,且r=0,1,2,3,…,24,则r=0,4,8,12,16,20,24,所以展开式的有理项共有7项.故选D.

2.(2022·湖南衡阳一模)2022年2月4日,中国北京第24届冬季奥林匹克运动会开幕式以二十四节气的方式开始倒计时,创意新颖,

惊艳了全球观众.某中学为了弘扬我国二十四节气文化,特制作出

“立春”“惊蛰”“清明”“立夏”“芒种”“小暑”六张知识展板,分别放置在六个并排的文化橱窗里,要求“立春”和“惊蛰”两块展板相邻,且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻,则不同的放置方式有(　A　)

A.192种    B.240种    C.120种    D.288种

解析:根据题意,不同的放置方式有-2=192(种).故选A.

3.将“福”“禄”“寿”三个汉字填入到如图所示的4×4小方格内,每格内只填入一个汉字,且任意的两个汉字既不同行也不同列,则不同的填写方法有(　C　)

A.288种    B.144种    C.576种    D.96种

解析:第一步,先从16个格子中任选一格放一个汉字有16种方法;第二步,任意的两个汉字既不同行也不同列,剩下的只有9个格子可以放,有9种方法;第三步,第三个汉字只有4个格子可以放,有4种方法,由分步乘法计数原理知共有16×9×4=576(种)填写方法.故选C.

4.(2022·河南新乡三模)已知(+ax2)的展开式中各项的系数之和为2,则展开式中含x-1项的系数为(　C　)

A.-20    B.-10    C.10    D.40

解析:令x=1,则展开式的各项系数和为(1+a)·(2-1)5=2,解得a=1,

所以二项式(+x2)·的展开式中含x-1的项为x2·(2x)1·

=10x-1,所以x-1的系数为10.故选C.

5.(2022·江苏海安高二期中)2022年北京冬奥会和冬残奥会给世界人民留下了深刻的印象,其吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”的设计好评不断,这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合.为了弘扬奥林匹克精神,某学校安排甲、乙等5名志愿者将吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”安装在学校的体育广场,每人参与且只参与一个吉祥物的安装,每个吉祥物都至少由两名志愿者安装,若甲、乙必须安装不同的吉祥物,则不同的分配方案种数为(　C　)

A.8    B.10    C.12    D.14

解析:甲和乙必须安装不同的吉祥物,则有=2种情况,剩余3人分两组,一组1人,一组2人,有=3种情况,然后分配到参与两个吉祥物的安装,有=3×2=6种情况,则共有2×6=12(种)分配方案.故选C.

6.(2022·山西晋城二模)第13届冬残奥会于2022年3月4日在北京开幕,带着“一起向未来”的希冀,给疫情下的世界带来了信心.为了奥运会的顺利举行,组委会组织了一些志愿者协助奥运会的工作.有来自某大学的2名男老师,2名女老师和1名学生的志愿者被组织方分配到某比赛场馆参加连续5天的协助工作,每人服务1天,如果2名男老师不能安排在相邻的两天,2名女老师也不能安排在相邻的两天,那么符合条件的不同安排方案共有(　B　)

A.24种    B.48种    C.96种    D.120种

解析:分两种情况讨论:①当学生在2名男老师中间时,则有=2种排法,再将2名女老师插空,则符合条件的不同安排方案有2=24种;②当学生不在2名男老师中间时,则2名男老师中间必有1名女老师,再将另外1名女老师插空,则符合条件的不同安排方案有2=24种.即符合条件的不同安排方案共有24+24=48种.故选B.

7.(2022·江苏徐州高二期中)如果今天是星期五,经过7天后还是星期五,那么经过82 022天后是(　D　)

A.星期三    B.星期四    C.星期五    D.星期六

解析:因为82 022=(7+1)2 022=×72 022+×72 021+…+×71+

,所以82 022除以7的余数为1,所以经过82 022天后是星期六.故选D.

8.有一支医疗小队由3名医生和6名护士组成,现要将他们分配到三家医院,每家医院分到医生1名和护士1至3名,其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院,则不同的分配方法有(　D　)

A.252种    B.540种    C.792种    D.684种

解析:6名护士按人数可分为2,2,2或者1,2,3,先安排医生,再安排护士.安排医生的方法有=6种,由于“护士甲和护士乙必须分到同一家医院”,故安排护士的方法有×+(×+××)=114(种),

其中×表示护士甲和护士乙一组的分配方法种数,××表示护士甲和护士乙与另一人共3人一组的分配方法种数.所以总的分配方法有6×114=684(种).故选D.

二、多项选择题

9.(2022·福建三明模拟预测)的二项展开式中,第5项和第6项的二项式系数相等,则(　AC　)

A.n=9

B.常数项为84

C.各项系数的绝对值之和为512

D.系数最小项为第5项

解析:由题意得=,所以n=9,A正确;的展开式的通项

为Tr+1=·=(-1)r,令=0,解得r=3,

故T4=(-1)3=-84,B错误;各项系数的绝对值之和为29=512,C正确;由二项式展开式的通项公式可知,奇数项的系数为正数,偶数项的系数为负数,故系数最小项不可能为第5项,D错误.故选AC.

10.A,B,C,D,E五个人并排站在一起,则下列说法正确的有(　BCD　)

A.若A,B两人站在一起有24种排法

B.若A,B不相邻共有72种排法

C.若A在B左边有60种排法

D.若A不站在最左边,B不站在最右边,有78种排法

解析:对于A,先将A,B排列,再看成一个元素,和剩余的3人,一共4个元素进行全排列,由分步乘法计数原理可知,共有=48种排法,所以A不正确;对于B,先将A,B之外的3人全排列,产生4个空,再将A,B两元素插空,所以共有=72种排法,所以B正确;对于C,5人全排列,而其中A在B的左边和A在B的右边是等可能的,所以A在B的左边的排法有=60(种),所以C正确;对于D,对A分两种情况:一是若A站在最右边,则剩下的4人全排列有种排法,另一个是A不站在最左边也不站在最右边,则A从中间的3个位置中任选1个,然后B从除最右边的3个位置中任选1个,最后剩下3人全排列即可,由分类加法计数原理可知,共有+=78(种)排法,所以D正确.故选BCD.

11.(2022·福建龙岩模拟)已知二项式的展开式中各项系数之和是,则下列说法正确的有(　CD　)

A.展开式共有7项

B.二项式系数最大的项是第4项

C.所有二项式系数之和为128

D.展开式的有理项共有4项

解析:令x=1可得=,解得n=7,故该二项式为,故展开式中共7+1=8项,故A错误;二项式系数最大的项为中间的第4,5项,故B错误;所有二项式系数之和为27=128,故C正确;展开式的通项为Tk+1=··,k=0,1,2,…,7,当k=1,3,5,7时,为有理项,故D正确.故选CD.

12.(2022·广东茂名模拟)已知的展开式共有13项,则下列说法中正确的有(　BD　)

A.所有奇数项的二项式系数和为212

B.所有项的系数和为312

C.二项式系数最大的项为第6项或第7项

D.有理项共有5项

解析:由的展开式共有13项,得n=12.对于选项A,展开式的二项式系数和为212,则所有奇数项的二项式系数和为211,即选项A错误;对于选项B,令x=1,得=312,即所有项的系数和为312,即选项B正确;对于选项C,由的展开式共有13项,则二项式系数最大的项为第7项,即选项C错误;对于选项D,由展开式的通项为Tr+1=212-r,又0≤r≤12,且r∈N,则r=0,3,6,9,

12时,12-∈Z,即展开式的有理项共有5项,即选项D正确.故选BD.

三、填空题

13.(2022·湖北荆门一模)在(1+x)5+(1+x)6的展开式中,含x3的项的系数是　　　　. 

解析:(1+x)5的展开式的通项为Tr+1=xr,故该展开式中x3的项的系数为=10,(1+x)6的展开式的通项为Tk+1=xk,故该展开式中x3的项的系数为=20,故在(1+x)5+(1+x)6的展开式中,含x3的项的系数为30.

答案:30

14.(2022·河北保定一模)2022年北京冬奥会的某滑雪项目中有三个不同的运动员服务点,现需将10名志愿者分配到这三个运动员服务点处,每处需要至少2名至多4名志愿者,则不同的安排方法一共

有　　　　种. 

解析:根据题意,分2步进行分析:①将10名志愿者分为3组,若分为2,4,4的三组,有种安排方法,若分为3,3,4的三组,有种安排方法,则有+种安排方法;②将分好的三组安排到三个运动员服务点处,有种安排方法,则有(+)×=

22 050(种)不同的安排方法.

答案:22 050

15.将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的4个小方格内,每格涂一种颜色,相邻两格涂不同的颜色,如果颜色可以反复使用,

共有　　　　种不同的涂色方法. 

解析:依题意,可分两类情况:①④不同色;①④同色.第一类:①④不同色,则①②③④所涂的颜色各不相同,我们可将涂色工作分成四步来完成.第1步涂①,从5种颜色中任选一种,有5种涂法;第2步涂②,从余下的4种颜色中任选一种,有4种涂法;第3步涂③与第4步涂④时,分别有3种涂法和2种涂法.由分步乘法计数原理得,不同的涂法有5×4×3×2=120(种).

第二类:①④同色,则①②③不同色,我们可将涂色工作分成三步来完成.第1步涂①④,有5种涂法;第2步涂②,有4种涂法;第3步涂③,有3种涂法.由分步乘法计数原理得,不同的涂法有5×4×3=60(种).综上可知,所求的涂色方法共有120+60=180(种).

答案:180

16.(2022·浙江温州三模)设(x+2)2(x+3)3=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+

a3(x+1)3+a4(x+1)4+,则a0+a1+a2+a3+a4+a5=　　　       　,

a5=　　     　　. 

解析:令x=0,则a0+a1+a2+a3+a4+a5=22×33=108.设y=x+1,则原式可变为(y+1)2·(y+2)3=a0+a1y+a2y2+…+a5y5.(y+1)2展开式的通项为Tr+1=y2-r,(y+2)3展开式的通项为Tk+1=2ky3-k,则(y+1)2(y+2)3的通项为2ky2-r·y3-k=2ky5-r-k,令5-r-k=5,则r+k=0⇒r=k=0,所以a5=20=1.

答案:108　1