2022-2023学年江苏省扬州市江都区丁沟中学高一下学期期中热身训练数学试题含解析

2022-2023学年江苏省扬州市江都区丁沟中学高一下学期期中热身训练数学试题

一、单选题

1．中，已知，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用正弦定理和三角形的大边对大角即可得出答案.

【详解】由正弦定理：可得：，

因为，，故.

故选：A.

2．已知向量，不共线，且，，若与方向相反，则实数k的值为（    ）

A． B． C．1或 D．或

【答案】A

【分析】由平面向量的共线定理列方程求出的值，再讨论的值是否满足与反向．

【详解】由，，且与方向相反，

所以，

即，

解得或，

当时，，，与反向，

当时，，，与同向，

所以实数的值为．

故选：A．

3．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则

A．3 B． C． D．12

【答案】C

【分析】先根据正弦定理得，再根据余弦定理列方程解得结果.

【详解】因为，所以由正弦定理得,

因此，选C.

【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.

4．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用诱导公式以及平方关系，二倍角的正弦公式即可求解.

【详解】

故选C.

【点睛】本题主要考查了三角函数的化简和求值，主要是利用诱导公式以及平方关系，二倍角的正弦公式来求解.

5．在中，角、、所对的边的长分别为、、，若，，则等于（    ）

A． B． C． D．2

【答案】C

【分析】由正弦定理得出对边长度和对角正弦值的比值，然后换元作比即可得出答案.

【详解】由正弦定理，，

所以，

则

故选：C.

6．已知非零向量满足，且，则与的夹角为

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由得出向量的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．

【详解】因为，所以=0，所以，所以=，所以与的夹角为，故选B．

【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为．

7．已知，则的值是

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题意化简所给的三角函数式，然后结合同角三角函数基本关系求解的值即可.

【详解】由题意可得：，则：，

平方可得：，故.

本题选择A选项.

【点睛】本题主要考查三角函数式的化简，同角三角函数基本关系及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

8．在中，角，，所对的边分别为，，满足，，，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由余弦定理可得，再由数量积可得，再由正弦定理可得，由的范围和三角函数的值域可得．

【详解】解：由题意可得，

，

，，

又，为钝角，

，，

由正弦定理可得，

，

，，

，

，即；

故选：B．

二、多选题

9．下面是关于复数的四个命题，其中的真命题为（    ）

A． B．

C．的共轭复数为 D．的虚部为

【答案】BD

【分析】化简复数，结合复数的基本概念、复数的模，以及共轭复数概念，逐项判定，即可求解.

【详解】由题意，复数，则，

其中复数的虚部为.

故选：BD.

10．已知函数，，则（    ）

A． B．在区间上只有1个零点

C．的最小正周期为 D．为图象的一条对称轴

【答案】ACD

【分析】利用二倍角公式和三角函数的性质对每一个选项进行判断即可．

【详解】解：已知函数，，

则、正确，

、当，，即，， 在区间上只有2个零点，则 在区间上只有1个零点错误，

、 的最小正周期为，正确

、当时，函数，，

所以为图象的一条对称轴，正确．

故选：ACD．

【点睛】本题考查二倍角公式和三角函数的性质，属于中档题．

11．下列说法正确的是（    ）

A．对于任意两个向量，若，且同向，则

B．已知，为单位向量，若，则在上的投影向量为

C．在所在平面内，若，则是的重心

D．若，则与的夹角是钝角

【答案】BC

【分析】根据向量不能比较大小可判定选项A；利用投影向量的计算公式可判定选项B；利用向量运算以及重心的定义即可判定选项C；若，则与的夹角是钝角或角，可判定选项D.

【详解】选项A：向量是既有大小又有方向的量，但向量不能比较大小，故选项A错误；

选项B：在单位向量上的投影向量为，

故选项B正确；

选项C：如下图所示：

分别取中点分别为，由，得，

而，则，所以三点共线，即在中线上，

同理可得，也在上，所以是三角形中线的交点，即重心，选项C正确；

选项D：若，则与的夹角是钝角或角，故选项D错误；

故选：BC.

12．在中，角所对的边分别为，给出下列四个命题中，其中正确的命题为（    ）

A．若，则；

B．若，则；

C．若，则这个三角形有两解；

D．当是钝角三角形.则.

【答案】BCD

【解析】A，求出，即可由正弦定理求出；B，由得出，即得，由正弦定理即可判断；C，由正弦定理解三角形即可判断；D，由和的正切个数化简可判断.

【详解】对于A，若，，，由正弦定理可得，故A错误；

对于B，，且在单调递减，若，则，由三角形中大边对大角得，再由正弦定理得，故B正确；

对于C，由正弦定理得，则，因为，故有两解，故C正确；

对于D，在中，，则，当是钝角三角形，若或为钝角，则，满足；若为钝角，则，即，满足，故D正确.

故选：BCD.

【点睛】本题考查正弦定理的应用，考查和的正切公式的应用，属于基础题.

三、填空题

13．已知单位向量的夹角为，则_______．

【答案】

【分析】把模平方，由数量积的运算求模．

【详解】，

故答案为：．

14．在△ABC中，已知tanA，tanB是方程3x2-7x+2=0的两根，求tanC=___________.

【答案】-7

【分析】利用韦达定理结合诱导公式和两角和与差的三角公式求解即可.

【详解】由题意可得tanA+tanBtanAtanB=，所以tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)==-7，

故答案为：-7.

15．如图，平面四边形中，，，，则的长为__________．

【答案】

【详解】连接,如图所示：

因，故，

在中运用余弦定理可得：，

则，

所以，

在中运用正弦定理可得：，应填答案．

点睛：解答本题的思路是先运用余弦定理求出，进而借助平方关系求出，然后依据求出，最后在中运用正弦定理可得：，使得问题获解．

16．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为，这一数值也可以表示为.若，则___________.(用数字作答)

【答案】

【分析】根据同角三角函数基本关系以及二倍角公式化简即可求解.

【详解】因为，，

所以，

所以，

故答案为：.

四、解答题

17．已知复数（i是虚数单位）．

（1）复数z是纯虚数，求实数m的值；

（2）若z对应复平面上的点在第四象限，求m的取值范围．

【答案】（1）m＝3；（2）．

【分析】（1）结合纯虚数的定义可知0且m2﹣2m﹣15≠0，再求出m的值；

（2）结合复数的几何意义可建立关于m的不等式，得到m的取值范围．

【详解】解：（1）复数z是纯虚数，则且m2﹣2m﹣15≠0⇒m＝3，

（2）z对应复平面上的点在第四象限，则或

且m2﹣2m﹣15＜0⇒，所以

所以m的取值范围为．

18．已知向量在同一平面上，且.

（1）若，且，求向量的坐标﹔

（2）若，且与垂直，求的值.

【答案】（1）或；（2）.

【解析】（1）由条件设，则，求出，即可得出答案.

(2)由条件可得，，则，由此可得答案.

【详解】（1），设

，即 ，则.

，

或.

（2），

，，即

即则

19．在中，若

(1)求角的大小

(2)若，，求的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据余弦定理得到，再次利用余弦定理得到，得到答案.

（2）根据余弦定理得到，再利用面积公式计算得到答案.

【详解】（1）由余弦定理得，化简得：，

，，故.

（2），故，，

.

20．已知，且，．

（1）求的值；

（2）求的值．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）利用同角三角函数和二倍角公式可求得，，根据，利用两角和差正弦公式可求得结果；

（2）根据同角三角函数可求得，由，结合两角和差余弦公式和的范围可求得结果.

【详解】（1），，，

，

，

；

（2），，，

；

，，.

21．在平行四边形中，，，．若分别是边上的点．

（1）若分别是边的中点，与交于点，用和表示；

（2）若满足，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）过点E作EG//AB，交BF于点G，根据题意得出，通过向量加减法即可得到答案；

（2）设，按照向量加减法表示出，进而得出数量积的范围.

【详解】（1）如图，

过点E作EG//AB，交BF于点G.

因为E是BC中点，所以，

因为F是CD中点，所以，

因为EG//AB，所以，

所以.

（2）设，，

则，

所以

，

所以的取值范围为.

22．某中学在学校大门处设计有巨型校徽标志，整体为半圆形，其直径长为4米（如图），徽标的核心部分为梯形，它由三个区域构成：区域Ⅰ为等边三角形，区域Ⅱ为，区域Ⅲ为等腰三角形，其中，点、都在半圆弧上，点在半径上，记．

（1）试用表示区域Ⅱ的面积，并写出的取值范围；

（2）若区域Ⅲ的面积为平方米，求区域Ⅱ的面积（用表示），并求徽标核心部分面积的最大值．

【答案】（1）；（2），；．

【分析】（1）首先利用正弦定理表示出，再根据面积公式计算可得；

（2）依题意可得，根据三角恒等变换将化简，设，则，则，从而得到，，再根据二次函数的性质计算可得；

【详解】解:（1）题意得，在中由正弦定理得

所以

所以

因为，解得

所以

（2）由题意得，即

，，则

又

设，则，

所以，，显然

，

当时，即时最大值为