2022-2023学年江苏省盐城市响水县灌江高级中学高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年江苏省盐城市响水县灌江高级中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．下列各式的运算结果为纯虚数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用复数的乘法运算逐一判断即可.

【详解】A，=-1，不是纯虚数；

B，=2i，是纯虚数；

C，=i-1，不是纯虚数；

D，=2，不是纯虚数；

故选：B

2．若向量，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由向量的坐标运算可得答案

【详解】由向量，，则

故选：C

3．函数的最小正周期为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用二倍角的余弦公式化简函数解析式，利用余弦型函数的周期公式可求得结果.

【详解】，因此，该函数的最小正周期为.

故选：B.

4．（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】本题可根据两角和的余弦公式得出结果.

【详解】，

故选：D.

5．一艘海轮从处出发，以每小时60海里的速度沿南偏东15°的方向直线航行，20分钟后到达处，在处有一座灯塔，海轮在处观察此灯塔，其方向是南偏东60°，在处观察，灯塔在其正东方向，那么，两点间的距离是（    ）

A．海里 B．海里 C．海里 D．海里

【答案】C

【分析】由题意画出图形，利用正弦定理即可直接得解.

【详解】如图所示，易知，在中，海里，，，

根据正弦定理得，解得（海里）．

故选：C.

【点睛】本题考查了正弦定理的实际应用，关键是转化出条件，属于基础题.

6．在中，角所对的边分别是，若，则角的大小为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由余弦定理即可求解.

【详解】解：因为，

所以由余弦定理可得，

因为，

所以，

故选：D.

7．在中，若，则的形状是（      ）

A．等边三角形 B．直角三角形

C．等腰三角形 D．等腰直角三角形

【答案】B

【分析】首先根据正弦定理边化角得到，再结合三角函数恒等变换得到，即可得到答案.

【详解】因为，

所以，

所以.

因为，所以.

又因为，所以，为直角三角形.

故选：B

8．在平行四边形中，为的重心，，则（      ）

A． B．2 C． D．1

【答案】C

【分析】由题意作图，根据重心的几何性质，得到线段的比例关系，利用平面向量的运算，可得答案.

【详解】如图，设与相交于点，为的重心，

可得为的中点，,

可得,

故选：C

二、多选题

9．下列各式中值为的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】由余弦的二倍角公式可判断A；由诱导公式和正弦的两角差的正弦公式可判断B；

由正切的两角和公式可判断CD.

【详解】，故A错误；

，故B正确；

，故C正确；    

，故D错误.

故选：BC.

10．(多选)在复平面内，复数a－2i对应的点位于第四象限，则实数a的可能取值为（    ）

A．2 B．1

C．－1 D．无法确定

【答案】AB

【分析】由题意可得复数a－2i对应的点的坐标为(a，－2)，根据条件有，从而可得答案.

【详解】在复平面内，复数a－2i对应的点的坐标为(a，－2)，

因为复数对应的点位于第四象限，所以

所以满足条件的有选项A , B

故选：A B

11．对于任意的平面向量，下列说法错误的是（    ）

A．若且，则

B．

C．若，且，则

D．

【答案】ACD

【分析】根据平面向量共线，平面向量数量积的运算律，依次判断各项正误.

【详解】解：且，当为零向量时，则与不一定共线，即A错误；

由向量数量积的分配律得，即B正确；

因为，则，又，则或，即C错误；

取为非零向量，且与垂直，与不垂直，则，，即D错误．

故选：ACD．

12．如图，已知点为正六边形中心，下列结论中正确的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】根据平面向量的的平行四边形法则和三角形法则，结合平面向量的数量积的定义即可判断.

【详解】对A，，故A错误；

对B，，B正确；

对C，如图，设正六边形边长为1，

， ，C错误；

对D，

同理：，D正确.

故选：BD.

三、填空题

13．平面内单位向量满足则=_____________.

【答案】##

【分析】由题可得，两边平方后结合是单位向量，即可求得结果.

【详解】因为，故可得，

则，则，

又均为单位向量，则，

解得.

故答案为：.

14．已知，且，为虚数单位，则的最大值是__．

【答案】8

【分析】表示以为圆心，3为半径的圆，进而根据复数减法的几何意义求解即可.

【详解】解：因为且，

所以，根据复数模的几何意义，表示以为圆心，3为半径的圆，

所以，表示圆上的点和点的距离，

因为圆心到点的距离为，

，

故答案为：

15．设为实数，已知，则的取值范围是_______.

【答案】

【分析】由，利用的范围可得答案.

【详解】，

因为，所以，

所以，解得，

则的取值范围.

故答案为：.

16．如图，在等腰直角三角形中，，E，F将边BC三等分，则___________.

【答案】.

【分析】由等腰直角三角形，设，又点，将三等分，可得，的值，结合两角差的正切公式直接求解即可.

【详解】设，由为等腰直角三角形，可得，

由点E，F将BC三等分，

故，，

，，

，

故答案为: .

四、解答题

17．已知，，且与夹角为求：

(1)；

(2)与的夹角．

【答案】(1)12；

(2).

【分析】（1）根据平面向量数量积的定义和运算性质进行求解即可；

（2）根据平面向量夹角公式，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可.

【详解】（1），，且与夹角为，

，，

，

；

（2），

，

，

设与的夹角为，

，

又，

所以，即与的夹角为．

18．已知复数，，.

（1）当时，求的值.

（2）若是纯虚数，求的值.

（3）若在复平面上对应的点在第二象限，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【分析】（1）当时，根据复数的乘法运算，即可求解；

（2）化简复数，根据复数为纯虚数，得到，即可求解；

（3）化简复数，根据在复平面上复数对应点位于第二象限点，列出不等式组，即可求解.

【详解】（1）当时，可得；

（2）由复数为纯虚数，可得，解得；

（3）由，

可得在复平面上复数对应点，

因为点位于第二象限点，可得，解得，所以的范围是.

19．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.

在中，分别为内角的对边，且_______.

（1）求C的大小；

（2）若，求的面积.

【答案】条件选择见解析，（1）；（2）.

【分析】（1）若选①：利用正弦定理进行边化角，然后可求的值，则可求；

若选②：利用正弦定理进行边化角，然后结合二倍角公式求解出的值，则可求；

若选③：利用正弦定理进行边化角，由此求解出的值，则可求；

（2）根据余弦定理求解出的值，然后根据三角形面积公式求解出的面积.

【详解】（1）若选①：因为，所以由正弦定理得，

又因为，所以，所以；

若选②：因为，所以由正弦定理得，且，

所以，所以，

因为，所以，

又因为，所以，所以；

若选③：因为，所以由正弦定理得，

又因为，所以，若，等式不成立，所以，则，所以；

（2）因为，

所以，，

所以.

20．已知.

（1）求函数的单调递增区间；

（2）求函数在区间上的最大值和最小值.

【答案】（1）单调递增区间为；（2）的最大值为，的最小值为.

【分析】（1）运用三角恒等变换化简函数，再由正弦函数的单调性可求得答案；

（2）由（1）得，再根据正弦函数的性质可求得函数的最值.

【详解】解：（1）

，

由得，，

所以的单调递增区间为；

（2）由（1）知，

因为，则，

有，即.

所以，的最大值为，的最小值为.

21．已知是同一平面内的三个向量，其中

(1)若，且，求的坐标；

(2)若，且与垂直，求与的夹角θ.

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）设，由和，可得，

解方程组可得答案；

（2）由得， 求出，

代入向量夹角公式可得答案.

【详解】（1）设，∵，∴，

∴，

由和，可得，

解得或，

故或．

（2）∵，∴，

即，

∴，整理得，

∴，又，∴.

22．下图所示的毕达格拉斯树画是由图（i）利用几何画板或者动态几何画板Geogebra做出来的图片，其中四边形ABCD，AEFG，PQBE都是正方形.如果改变图（i）中的大小会得到更多不同的“树形”.

（1）在图（i）中，，且，求；

（2）在图（ii）中，，设，求的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由已知条件结合诱导公式求得，在中，利用余弦定理，即可求解；

（2）由已知条件结合余弦定理，求得，再利用正弦定理、余弦定理及三角函数的性质，即可求解.

【详解】（1）当时，，

则

在中，由余弦定理可得，

所以.

（2）在中，由余弦定理知，，

所以

在中，由正弦定理知，可得，

在中，由余弦定理可得

，

所以当时，的取最大值.

答：（1）；（2）的最大值为.