2022-2023学年江西省赣州市十六县（市）二十校高一下学期期中联考数学试题含解析

2022-2023学年江西省赣州市十六县（市）二十校高一下学期期中联考数学试题

一、单选题

1．把快了10分钟的手表校准后，该手表分针转过的角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】手表分针旋转为顺时针，但快了10分钟校准就需要逆时针旋转，角度为为一圈的.

【详解】分针旋转为顺时针，但快了10分钟校准就需要逆时针旋转，角度为为周角的六分之一，

所以该手表分针转过的角为：.

故选：B.

2．定义运算：.若集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】运用集合的新定义和交集运算即可.

【详解】由题意得，

所以.

故选：C.

3．若的内角的对边分别为外接圆的半径为5，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】应用正弦定理，结合充分、必要性定义判断条件间的推出关系即可得答案.

【详解】当时，由正弦定理，得；

当时，由正弦定理，得，得或.

故“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

4．为了得到函数的图象，只需将函数的图象（    ）

A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度

C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度

【答案】A

【分析】根据三角函数图象平移变换的知识可得答案.

【详解】函数，只需将函数的图象向右平移个单位长度，即可得到函数的图象.

故选：A.

5．如图，在正方形网格中，蚂蚁甲从点爬到了点，蚂蚁乙从点爬到了点，则向量与夹角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】建立合适的坐标系后，使用夹角公式求解即可.

【详解】如图，以为原点，为2个单位长度，建立直角坐标系，则，，，，，

所以向量，夹角的余弦值为.

故选：C

6．若为第二象限角，则（    ）

A．-2 B． C． D．

【答案】B

【分析】运用同角三角函数的基本关系可求得结果.

【详解】由，得，

代入，得或，

因为为第二象限角，

所以，

所以，

所以.

故选：B.

7．若甲､乙､丙在10分钟之内独立复原魔方的概率分别为，则甲､乙､丙至多有一人在10分钟之内独立复原魔方的概率为（    ）

A．0.26 B．0.29 C．0.32 D．0.35

【答案】D

【分析】应用对立事件概率，结合互斥事件加法、独立事件乘法公式求甲､乙､丙至多有一人在10分钟之内独立复原魔方的概率.

【详解】甲､乙､丙至多有一人在10分钟之内独立复原魔方的概率为.

故选：D

8．赣南脐橙，江西省赣州市特产，中国国家地理标志产品.赣南脐橙年产量达百万吨，原产地江西省赣州市已经成为脐橙种植面积世界第一，年产量世界第三，全国最大的脐橙主产区.假设某赣南脐橙种植区的脐橙产量平均每年比上一年增长，若要求该种植区的脐橙产量高于当前脐橙产量的6倍，则至少需要经过的年数为（    ）（参考数据：取）

A．9 B．10 C．11 D．12

【答案】B

【分析】先根据条件建立对数不等式，从而得到，再利用换底公式即可求出的值，进而求出的范围得到结果.

【详解】假设当前该种植区的脐橙产量为1，经过年该种植区的脐橙产量为，

由题意得，得到，

又因为，

所以，故至少需要经过的年数为10.

故选：B.

二、多选题

9．若向量，，，则（    ）

A． B．在方向上的投影数量为

C． D．

【答案】ABD

【分析】根据平面向量的数量积的坐标运算判断选项A；根据投影的定义判断选项B；根据平面向量共线的坐标运算判断选项C；根据平面向量的数量积的坐标运算判断选项D．

【详解】由题意得，，故A正确；

在方向上的投影数量为，故B正确；

因为，且，所以与不平行，C错误；

因为，，所以，D正确．

故选：ABD

10．若函数，则（    ）

A．的最小正周期为

B．的定义域为

C．在上单调递增

D．的图象关于点对称

【答案】BC

【分析】A选项，由求出最小正周期；B选项，整体法得到，求出定义域；C选项，得到，得到在上单调递增；D选项，整体法求解出函数的对称中心.

【详解】A选项，的最小正周期为，A错误；

B选项，由，得，B正确；

C选项，由，得，因为在上单调递增，

所以在上单调递增，C正确；

D选项，由，得，当时，，

所以的图象关于点对称，错误.

故选：BC

11．2016年至2022年，我国全社会研究与试验发展（R&D）经费投入持续上升，经费投入强度情况如图所示，则（    ）

A．2016年至2022年，我国每年R&D经费与GDP之比的极差为

B．2016年至2022年，我国每年R&D经费总量的分位数为22144亿元

C．2016年至2022年，我国R&D经费总量的平均数大于20000亿元

D．2016年，我国GDP小于783850亿元

【答案】ACD

【分析】根据极差的计算公式，可判定A正确；根据中位数的计算方法，可判定B错误；根据平均数的计算公式，可判定C正确；根据GDP的计算方法，可判定D正确.

【详解】由2016年至2022年，我国每年R&D经费与GDP之比的极差为，所以A正确.

因为，所以2016年至2022年，我国每年R&D经费总量的分位数为24393亿元，所以B错误；

从2016年至2022年我国每年经费总量的数据，可得2016年至2022年我国R&D经费总量的平均数为，所以C正确；

因为，所以2016年我国GDP小于783850亿元，所以D正确.

故选：ACD.

12．质点和在以坐标原点为圆心，1为半径的上做匀速圆周运动，同时出发.逆时针运动，角速度大小为，起点为与轴正半轴的交点；顺时针运动，角速度大小为，起点为射线与的交点.当与重合时，的坐标可以为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】设时刻两点重合，则满足，根据任意角的正弦函数､余弦函数的定义与三角函数的周期性逐一判断各选项.

【详解】由题意得的初始位置的坐标为，锐角，

设时刻两点重合，则，即，

此时点，

即.

当时，，，即，故A正确.

当时，，得，

即，故B正确.

当时，，即，故D正确.

由三角函数的周期性可知，其余各点均与上述三点重合，故C错误.

故选：ABD.

三、双空题

13．已知一扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的弧长为___________，面积为___________.

【答案】         

【分析】根据扇形的弧长和面积公式，准确计算，即可求解.

【详解】因为扇形的圆心角为，半径为，

由扇形的弧长公式，可得，

又由扇形的面积公式，可得.

故答案为：；.

四、填空题

14．已知是偶函数，函数，若，则___________.

【答案】0

【分析】利用奇偶性和诱导公式得，从而求出.

【详解】由，

得，

所以.

故答案为：0.

15．若，则的取值范围是______.

【答案】

【分析】将化简得到求解.

【详解】解：由，

得，

得，

因为，

所以的取值范围是.

故答案为：

16．和谐钟塔位于江西省赣州市章贡区赣州大桥东岸引桥南侧，有四个直径达12.8米的钟面.小赵同学经过和谐钟塔时，想利用正弦定理的知识测量该钟塔的高度，他在该钟塔塔底点的正西处的点测得该钟塔塔顶点的仰角为，然后沿着东偏南的方向行进了后到达点（三点处于同一水平面），且点在点北偏东的方向上，则该钟塔的高度为___________.（参考数据：取）

【答案】113

【分析】先利用正弦定理求出BC，再求出AB.

【详解】

由题意做上图，

，则.

由正弦定理，得，

所以；

故答案为：113m.

五、解答题

17．已知.

(1)求的值；

(2)求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由已知得出，再将分式的分子和分母同时除以，化简计算即可；

（2）利用诱导公式和＂＂的代换化简，再将分式的分子和分母同时除以，并将代入求值即可．

【详解】（1）由题意得，

故．

（2）．

18．已知函数.

(1)写出图象的一条对称轴的方程；

(2)求的单调递减区间；

(3)求在上的值域.

【答案】(1)（答案不唯一，只要方程满足即可）

(2)

(3)

【分析】（1）令，求得，进而得到图象的一条对称轴方程；

（2）令，即可求得的单调递减区间；

（3）由，可得，结合三角函数的性质求得函数的最值，即可求解.

【详解】（1）解：由题意可得令，解得，

取，可得，所以图象的一条对称轴方程可以为.

（2）解：令，解得，

所以的单调递减区间为.

（3）解：由，可得，

当时，即时，取得最大值，最大值为；

因为，

当时，即时，取得最小值，最小值为，

所以在上的值域为.

19．在平行四边形中，点和点关于点对称，.

(1)用，表示，；

(2)若为线段上一点，且，求.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）结合图形，由向量的加法和减法、数乘运算求解即可；

（2）由向量的运算得出，再由，得出的值.

【详解】（1）由题意，可得，

.

（2）设，，

则

，

因为，所以

所以.

20．记的内角的对边分别为，向量，且.

(1)求；

(2)若，求面积的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由平面向量共线的坐标运算公式列方程，结合正弦定理化简得出角；

（2）由已知结合由余弦定理，得出关于的方程，利用不等式化简得出的范围，进而得出面积的最大值．

【详解】（1）由题意得，，

得，

由正弦定理得.

因为，所以，

得，因为，所以．

（2）由余弦定理得，

由，得，代入上式得，即，解得，

当且仅当时，等号成立，

所以，

即面积的最大值为.

21．已知函数的部分图象如图所示，且图中的.

(1)求的解析式；

(2)判断函数在上的零点个数，并说明理由.

【答案】(1)

(2)在上有个零点，理由见解析

【分析】（1）根据函数图象得到，再求出函数的一条对称轴，即可求出函数的周期，从而求出，最后根据函数的最大值求出，即可求出函数解析式.

（2）问题等价于的图象与直线在上的交点个数，分析函数的取值及画出函数图象，数形结合即可判断.

【详解】（1）由图可知，又图象的一条对称轴为直线，

由，得，所以，

因为，所以，

得，

又，所以，

故.

（2）在上有个零点.

理由如下：在上的零点个数等于的图象与直线在上的交点个数，

令，得，当时，，当时，，

，与，的函数图象如下所示：

由图可知两函数有且只有个交点，故在上有个零点.

22．如图，记的内角，，的对边分别为，，，.

(1)求；

(2)若为边上的中线，为的重心，为的外心，且，，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意及正弦定理得，然后利用余弦定理求出.

（2）作，得出，，从而得到.由题意得，最后求出.

【详解】（1）由题意及正弦定理得，

即，

由余弦定理得.

（2）如图，过点作于点.

因为为的外心，所以为的中点，

则，

同理.

因为为的重心，

所以，

又，

所以

由，，得.

由，得，

因为为的外心，所以为外接圆的半径，则，

则，

得.