2022-2023学年江苏省扬州中学高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年江苏省扬州中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．复数的模为（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】A

【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可求得结果.

【详解】因为，因此，.

故选：A.

2．若，则

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】分析：由公式可得结果.

详解：

故选B.

点睛：本题主要考查二倍角公式，属于基础题.

3．已知向量满足（2，1），（1，y），且，则＝（    ）

A． B． C．5 D．4

【答案】C

【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程，由此求得，根据向量模的坐标表示求得正确答案.

【详解】根据题意，（2，1），（1，y），且，则有2+y＝0，解可得y＝﹣2，即（1，﹣2），

则（4，﹣3），故 5；

故选：C

【点睛】本小题主要考查向量垂直和模的坐标表示，属于基础题.

4．若函数在上单调递增，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由三角恒等变换化简函数解析式，求出正弦函数的单调增区间，即可得出的最大值.

【详解】由题意可得，令

得，令，得，所以的最大值为.

故选：D

【点睛】本题主要考查了利用正弦型函数的单调性求参数的范围，属于中档题.

5．在中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若，，则的面积是（    ）

A．3 B． C． D．

【答案】C

【分析】由已知结合余弦定理得出的值，即可根据面积公式得出答案.

【详解】，

即，

由余弦定理得，

解得：，

则，

故选：C.

6．设复数满足：，那么（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设，然后根据复数相等计算求解；或变形为两边取模后平方，计算求解即可.

【详解】解法1：设，由已知，

由复数相等可得，解得，故.

解法2：由已知得，①

两边取模后平方可得，

所以，代入①得.

故选：B.

7．在中，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意结合数量积的运算及正弦定理可得，由，求得，进而可得答案.

【详解】∵，

∴，，

∴，，

∴，，

∴，

∵，

又，∴，即，

又，∴.

故选：D.

8．设向量，的夹角为，定义，若平面内互不相等的两个非零向量，满足：，与的夹角为，的最大值为（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】C

【分析】设，则，由题意中，，，外接圆的半径为，设，由正弦定理可得，，，则整理化简后由三角函数的性质求解.

【详解】设，则，

，与的夹角为，

中，，，

由正弦定理可得：，的外接圆的半径为，点B为圆上与OA不重合的动点，

设，

由正弦定理可得，，，

则

，

当时，取得最大值，且为.

故选：C.

二、多选题

9．（多选）关于平面向量，下列说法中错误的是（    ）

A．若且，则 B．

C．若，且，则 D．

【答案】ACD

【分析】A.由向量判断；B.由向量的运算律判断；C.由数量积的运算律判断；D.由向量共线判断.

【详解】A.若向量，则不一定平行，故错误；

B.根据向量的运算律可知，B正确；

C. ，且，所以或，故错误；

D.表示与向量共线的向量，表示与向量共线的向量，与不一定相等，故错误.

故选：ACD

10．已知：函数，若直线与函数的图象有三个交点，，，且，则下列命题中正确的是（    ）

A．函数有两个零点0和2 B．

C．方程有6个不同的根 D．当时，方程有两个不相等的实根

【答案】ABD

【分析】令，求出函数的零点可判断A；作出函数的大致图象，由图结合题意可得，即有，结合对数运算化简即可判断B；方程根的问题转化为图象交点的问题，结合图形可判断C，D.

【详解】由题意，令，

当时，，解得；当时，，解得，

则函数有两个零点0和2，故A正确；

作出函数的大致图象，如图，

由图结合题意可知，，

由，可得，即，故B正确；

由可得或，

由图可知，函数的图象与直线及共有4个交点，则方程有4个不同的根，故C错误；

当时，

当时，令，解得，

且由图象可得当时，与只有一个交点。

综上，直线与函数的图象有两个交点，则方程有两个不相等的实根，故D正确.

故选：ABD.

11．已知复数，满足，，则有（    ）

A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值

【答案】BD

【分析】令，有以及，由绝对值三角不等式求解可得结果.

【详解】由得，

令，有以及，

因此，由绝对值三角不等式得，

，等号在两复数对应的向量反向时成立，

，等号在两复数对应的向量同向时成立，

因此，，则，即有最大值，最小值.

故选：BD.

12．设的内角、、所对的边为、、，则下列命题正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】ABC

【分析】利用余弦定理与基本不等式可判断AB选项的正误；利用反证法结合不等式的基本性质可判断C选项的正误；利用特殊值法可判断D选项的正误.

【详解】对于A选项，由余弦定理可得，

，故，A选项正确；

对于B选项，，则，则，

由余弦定理可得，

，故，B选项正确；

对于C选项，假设，则，则，

所以，，与矛盾，

假设不成立，故，故C选项正确；

对于D，取，，满足，

且，则为锐角，故D选项错误.

故选：ABC.

【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：

（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；

（2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；

（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；

（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；

（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；

（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.

三、填空题

13．已知均为单位向量，它们的夹角为60°，那么__________．

【答案】.         

【详解】.

14．若，则的值为__________.

【答案】

【分析】利用二倍角的正弦公式和平方关系式的逆用公式弦化切可得,利用两角和的正切公式可得,然后相除可得.

【详解】因为,

所以,

,

所以.

故答案为:

【点睛】本题考查了二倍角的正弦公式,两角和的正切公式,属于中档题.

15．正三角形边长等于，点在其外接圆上运动，则的取值范围是_______.

【答案】

【分析】设正三角形的外接圆圆心为，半径为，则，且．设的中点为，设与的夹角为，

把转化为，利用数量积的定义，三角函数求最值.

【详解】解：设正三角形的外接圆圆心为，半径为，则，且．

由题意知

．

设的中点为，则，且，

设与的夹角为，

则．

又因为，所以的范围为.

故答案为：

【点睛】向量的基本运算处理的常用方法：

(1)向量几何化：画出合适的图形，利用向量的运算法则处理；

(2)向量坐标化：建立适当的坐标系，利用向量的坐标运算处理．

四、双空题

16．已知，若存在，满足,则称△A1B1C1是△ABC的

一个“友好”三角形.

(i) 在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是__：（请写出符合要求的条件的序号）

① ；  ②；③.

(ii)若等腰存在“友好”三角形，则其顶角的度数为___.

【答案】     ②    

【详解】（i）对①：因为所以①不存在“友好”三角形；

对②：若，

同理：故②存在“友好”三角形；

对③：若满足，则或

都不能构成三角形，故③不存在“友好”三角形．

（ii）若等腰存在“友好”三角形，则A=B，所以A+A+C=

或，分析知．

所以即

故C=．即顶角的度数为．

五、解答题

17．设，是两个不共线的向量.

(1)判断与是否共线，并说明理由；

(2)已知，，，若A，B，D三点共线，求k的值.

【答案】(1)共线，理由见解析

(2)

【分析】（1）由两个向量共线的条件判断即可；

（2）由A，B，D三点共线，可得与共线，即存在实数，使得，结合平面向量基本定理求解即可.

【详解】（1）当时，显然与共线.

当时，，则与共线.

综上，与共线.

（2），

A，B，D三点共线，与共线，

即存在实数，使得，即，

因为，是两个不共线的向量，由平面向量基本定理得，

∴.

18．设复数z满足.

(1)求复数；

(2)求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据在复数范围内，实系数一元二次方程的求根公式求解；

（2）由，得，代入计算可得结果.

【详解】（1）由，知，

则.

（2）由，得，

所以.

19．已知，．

（1）求证：与互相垂直；

（2）若与的模相等，求．(其中k为非零实数)

【答案】（1）证明见解析 ；（2）．

【分析】（1）利用平面向量的坐标运算，计算并化简，进而可得到答案；

（2）先根据平面向量的坐标运算求出和，令其相等，并根据角的范围求得答案.

【详解】（1）因为

，所以与互相垂直.

（2）因为，

，

所以，

，

因为若与的模相等，所以，而k为非零实数，

所以，

而，则，所以.

20．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D满足，且．

(1)若b＝c，求A的值；

(2)求B的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据，结合，得到，再由b＝c求解；

（2）由，利用余弦定理得到 ，再利用余弦定理，结合基本不等式求解.

【详解】（1）解：因为，

所以，

即，

所以，

因为b＝c，

所以，

因为，

所以．

（2）因为，

由余弦定理得，，

即，

所以，

当且仅当时，即时，取等号．

因为，

所以B的最大值为．

21．如图，海上有A，B两个小岛相距，船O将保持观望A岛和B岛所成的视角为，现从船O上泥下一只小艇沿BO方向驶至C处进行作业，且，设.

(1)用x分别表示和，并求出x的取值范围；

(2)晚上小艇在C处发出一道强烈的光线照射A岛，B岛至光线CA的距离为BD，求BD的最大值.

【答案】(1)，，

(2)10

【分析】（1）应用余弦定理结合基本不等式求出范围即可；

（2）根据面积公式列式表示成函数，根据函数单调性求出最值即得.

【详解】（1）在中，，

由余弦定理得，

又，所以①，

在，中，，

由余弦定理得②，

①+②得，

①-②得，即，

又，所以，即，

又，即，所以；

（2）易知，

故，

又，设，

所以，，

,在上是增函数，

所以的最大值为，即BD的最大值为10.

22．已知定义在上的函数同时满足①（，为实数）；②；③当时，.求：

(1)函数的解析式；

(2)实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意分别令；；，利用加减消元并整理化简可得的解析式；

（2）分，两种情况讨论，结合三角函数的性质列出不等式求解即可.

【详解】（1）在中，

分别令；；，

得

由①+②－③，得，

则，

.

（2）当时，，则.

当时，，即，

又，则，解得；

当时，，即，

又，则，解得，

综上，实数a的取值范围是.