2022-2023学年陕西省咸阳市旬邑县中学高二下学期期中数学（文）试题含解析

2022-2023学年陕西省咸阳市旬邑县中学高二下学期期中数学（文）试题

一、单选题

1．复数的虚部为（　　）

A．3 B． C．3i D．

【答案】B

【分析】直接求出虚部即可.

【详解】虚部为.

故选：B.

2．为了调查中学生近视情况，某校160名男生中有90名近视，150名女生中有75名近视，在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力（    ）

A．平均数 B．方差 C．回归分析 D．独立性检验

【答案】D

【分析】近视与性别时两类变量，根据分类变量的研究方法即可确定答案.

【详解】解：近视与性别时两类变量，

在检验两个随机事件是否相关时，最有说服力的方法时独立性检验.

故选：D.

3．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据题中给出的散点图，先判断是正相关还是负相关，然后根据散点图的集中程度分析相关系数的大小

【详解】解：由图可知，图2和图3是正相关，图1和图4是负相关，

囷1和图2的点相对更加集中，所以相关性更强，所以接近于，接近1，

所以，

故选：A

4．下列的三句话，若按照演绎推理的“三段论”模式，排列顺序正确的应是（   ）

①是周期函数；②是三角函数；③三角函数是周期函数；

A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③②①

【答案】D

【分析】本题可根据“三段论”的相关性质得出结果.

【详解】由“三段论”易知：

三角函数是周期函数，

是三角函数，

是周期函数，

故选：D.

5．用反证法证明命题“a，b，，若，则a，b，c中至少有一个正数”时，假设应为（    ）

A．a，b，c均为负数 B．a，b，c中至多一个是正数

C．a，b，c均为正数 D．a，b，c中没有正数

【答案】D

【分析】由反证法的概念判断即可.

【详解】由题，“至少有一个”相对的情况就是“一个都没有”，

故应假设a，b，c中没有正数，

故选：D

6．已知x，y的取值如下表所示：

如果与呈线性相关，且线性回归方程为，则等于（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出、的值，将点的坐标代入回归直线方程，即可求得实数的值.

【详解】由表格中的数据可得，，

将点的坐标代入回归直线方程得，解得.

故选：B.

7．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件．在第一次摸到正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据给定条件，以第一次摸到正品的事件为样本空间，利用古典概率公式计算作答.

【详解】用A表示事件“第一次摸到正品”，B表示“第二次摸到正品”，

在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，相当于以A为样本空间，事件B就是积事件AB，显然，，

所以在第一次摸到正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是.

故选：B

8．设，“复数是纯虚数”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件； B．必要不充分条件；

C．充分必要条件； D．既不充分也不必要条件.

【答案】A

【分析】根据纯虚数的定义，结合充分性、必要性的定义进行求解即可.

【详解】当是纯虚数时，一定有，但是当时，只有当时，才能是纯虚数，所以“复数是纯虚数”是“”的充分而不必要条件，

故选：A

9．已知复数，在复平面内对应的点分别为，，则复数在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】由，代入复数，利用复数的除法运算和几何意义可得答案.

【详解】因为复数，在复平面内对应的点分别为，，

所以，

则复数，

在复平面内对应的点位于第四象限.

故选：D.

10．若实数满足，则的最小值为

A． B．2 C． D．4

【答案】C

【详解】，（当且仅当时取等号），所以的最小值为，故选C.

【解析】基本不等式

【名师点睛】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．

11．如图所示的是某小朋友在用火柴拼图时呈现的图形，其中第1个图形用了3根火柴，第2个图形用了9根火柴，第3个图形用了18根火柴，，按此规律，则第2022个图形用的火柴根数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据已知条件，进行归纳推理即可求解.

【详解】由图可知第1个图形用了根火柴

第2个图形用了根火柴，

第3个图形用了根火柴，

……

归纳得，第n个图形用了根火柴，

当时，.

故选：D.

12．学校开设了多种体有类的校本选修课程，以更好的满足学生加强体有锻炼的需要.该校学生小明选择确定后，有三位同学根据小明的兴趣爱好，对他选择的体育类的校本课程进行猜测.甲说“小明选的不是游泳，选的是武术”，乙说“小明选的不是武术，选的是体操”，丙说“小明选的不是武术，也不是排球”，已知这三人中有两个人说的全对，有一个人只说对了一半，则由此推断小明选择的体育类的校本课程是（    ）

A．游泳 B．武术 C．体操 D．排球

【答案】C

【分析】根据题意，分别分析甲乙说的全对，甲丙全对，乙丙全对三种情况，分析即可得答案.

【详解】若甲说的全对，则小明选的是武术，若乙说的全对，则小明选的是体操，矛盾，

若甲说的全对，则小明选的是武术，若丙说的全对，则小明选的不是武术，矛盾，

若乙说的全对，则小明选的是体操，若丙说的全对，不是武术也不是排球，满足题意，

此时甲说的不是游泳正确，是武术错误，所以甲说的半对，满足题意，

所以小明选择的是体操，

故选：C

二、填空题

13．若复数，是其共轭复数，则_______.

【答案】/

【分析】根据复数的四则运算法则化简计算，再由共轭复数的概念写出.

【详解】化简，

所以.

故答案为：

14．在等差数列中，若，则有成立．类比上述性质，在等比数列中，若，则存在的等式为______．

【答案】

【分析】由，利用类比推理即可得出.

【详解】利用类比推理，借助等比数列的性质可知，

即，

可知存在的等式为.

故答案为：

15．执行下面的程序框图，若输入的，，则输出的为_______.

【答案】

【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可求得答案.

【详解】输入，，则第一次循环：，，

不符合判断框条件，继续循环；

第二次循环：，，不符合判断框条件，继续循环；

第三次循环：，，不符合判断框条件，继续循环；

第四次循环：，，

此时满足判断框条件，退出循环，输出.

故答案为：

16．在复平面内，平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C对应的复数分别是1+3i,-i,2+i,则点D对应的复数为_________

【答案】3+5i

【详解】试题分析：三点对应的复数分别是，，

设，则：，

在平行四边形中，有，即，

，即对应的复数为：.

故答案应填：．

【解析】复的几何意义．

三、解答题

17．计算：

（1）；

（2）

【答案】（1）（2）

【分析】（1）根据复数的运算法则可得结果；

（2）根据复数的除法运算和乘法运算可得结果.

【详解】（1）原式.

（2）原式

.

18．当实数m取何值时，在复平面内复数对应的点满足下列条件：

(1)在实轴上；

(2)z是纯虚数.

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）由虚部为得出的值；

（2）由纯虚数的定义得出的值.

【详解】（1）复数在复平面内的坐标为

因为复数对应的点在实轴上，所以，解得或

即或

（2）因为z是纯虚数，所以且，解得（舍）或

故

19．某机械厂制造一种汽车零件，已知甲机床的正品率是0.9，乙机床的次品率是0.2，现从它们制造的产品中各任意抽取一件.

(1)求两件产品都是正品的概率；

(2)求恰好有一件是正品的概率；

(3)求至少有一件是正品的概率.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.

（2）根据相互独立事件、互斥事件概率计算公式，计算出所求概率.

（3）由（1）（2）求得至少有一件是正品的概率.

【详解】（1）两件产品都是正品的概率为.

（2）恰好有一件是正品的概率为.

（3）由（1）（2）得至少有一件是正品的概率为

20．证明：

(1)用分析法证明：；

(2)如果则.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）由不等式的性质结合分析法证明即可；

（2）由基本不等式结合的单调性证明即可.

【详解】（1）证明：要证

只需证

只需证

即证

即证

即证

因为显然成立，所以成立

（2）当时，，即，当且仅当时，等号成立

在上单调递增

即

21．甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别抽查了两台机床生产的产品，产品的质量情况统计如下表：

(1)请将上述列联表补充完整；

(2)能否有99.9%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？

附：，其中．

【答案】(1)列联表见解析

(2)有99.9%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异

【分析】（1）直接计算补充列联表即可；

（2）先计算，再和10.828比较作出判断即可.

【详解】（1）补充完整的列联表如下：

（2）∵，

∴有99.9%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异．

22．“俯卧撑”是日常体能训练的一项基本训练，坚持做可以锻炼上肢､腰部及腹部的肌肉.某同学对其“俯卧撑”情况作了记录，得到如表数据.分析发现他能完成“俯卧撑”的个数(个)与坚持的时间(周)线性相关.

（1）求关于的线性回归方程；

（2）预测该同学坚持10周后能完成的“俯卧撑”个数.

参考公式：，，其中，表示样本平均值.

【答案】（1）；（2）69个.

【分析】（1）根据数据求得均值，代入公式求得回归方程；（2）令代入预测出函数值.

【详解】（1）由所给数据计算得，，

所以，

故关于的线性回归方程是

（2）令，得

故预测该同学坚持10周后能完成69个“俯卧撑”.

23．已知函数．

(1)若，求曲线在点处的切线方程；

(2)若的最小值为，求a的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求得答案.

（2）利用函数的导数判断函数的单调性，求得函数的最小值并令其等于-2，得到，构造函数,利用导数确定a的值.

【详解】（1）∵，∴ ,

∴当时，，,

∴,

∴所求切线方程为．

（2）由（1）知， ，．

当时，，在上单调递增，此时无最小值；

当时，令，得，

当时，；当时，,

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴的最小值为，则．

令，则，

∴当时，；当时，．

∴在上单调递减，在上单调递增，

∵，∴有一个根，∴，即．