2022-2023学年上海市浦东新区高二下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年上海市浦东新区高二下学期期中数学试题

一、填空题

1．直线的倾斜角为__________．

【答案】

【详解】试题分析：由直线方程可知斜率

【解析】直线倾斜角与斜率

2．双曲线的焦距为_________.

【答案】

【分析】根据双曲线的标准方程，求出基本量，再求得结果.

【详解】由双曲线得，则，

所以双曲线的焦距为，

故答案为：.

3．过点且与直线平行的直线方程为_________.

【答案】

【分析】根据直线平行，设所求直线为，由点在直线上求参数，即可得直线方程.

【详解】令所求直线为，且在直线上，

所以，即，故所求直线为.

故答案为：

4．已知椭圆的焦点分别为，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长为_________.

【答案】8

【分析】由图形及椭圆定义可得答案.

【详解】由椭圆方程可得，又由图可得的周长为

.

故答案为：8

5．若抛物线上一点A的横坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为_________.

【答案】6

【分析】根据抛物线定义求抛物线上点到焦点的距离即可.

【详解】由题设，抛物线准线为，故点A与抛物线焦点的距离为.

故答案为：6

6．如果方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为_________.

【答案】

【分析】根据方程表示焦点在y轴上双曲线有，即可求参数范围.

【详解】由题设，可得.

故答案为：

7．已知圆：和圆：外切，则实数m的值为_________.

【答案】3

【分析】由圆心距等于半径之和求解．

【详解】圆的标准方程为.圆：，∴ .

又∵两圆外切，∴，解得m=3.

故答案为：3．

8．若直线与直线的夹角为，则实数a的值为_________.

【答案】/

【分析】分别求两直线的斜率，结合夹角公式运算求解.

【详解】由题意可知：直线，的斜率分别为，

设直线与直线的夹角为，则，

可得，所以，

∵，即，解得.

故答案为：.

9．已知动点在直线上，则的最小值为_________.

【答案】2

【分析】根据题意可知表示动点到坐标原点，利用点到直线的距离求最小值.

【详解】因为表示动点到坐标原点，

所以的最小值为到线的距离.

故答案为：2.

10．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：“平面内到两个定点A、B的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，，则点P的轨迹方程为_________.

【答案】

【分析】设点P坐标由条件计算化简即可.

【详解】设点，则化简得：.

故答案为：

11．如图所示，为完成一项探月工程，某月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在P点处变轨进入以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为R，圆形轨道Ⅲ的半径为r，则椭圆轨道Ⅱ的离心率为_________.（用R、r表示）

【答案】

【分析】由题设可得即可求出椭圆参数，根据离心率定义求椭圆轨道Ⅱ的离心率.

【详解】由F为椭圆轨道Ⅱ的焦点，若分别为长轴长、焦距，则，故，

所以椭圆轨道Ⅱ的离心率为.

故答案为：

12．已知点M、N分别是椭圆上两动点，且直线的斜率的乘积为，若椭圆上任一点P满足，则的值为_________.

【答案】1

【分析】设，由得，由表示出坐标，代入椭圆方程，可求得的值.

【详解】设，

，

，又P在椭圆上，

，

，

，

，

，

，

.

故答案为：1

【点睛】方法点睛：椭圆上任一点P满足的处理方法：用表示出的坐标，代入椭圆方程，结合化简即可.

二、单选题

13．若直线l经过点、，则以下不是直线l的方程的为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先求直线l的一般方程，逐项分析判断.

【详解】直线l的方程为，整理得，故C正确；

对于A：由整理得，故A正确；

对于B：由整理得，故B正确；

对于D：由整理得，故D错误；

故选：D.

14．在下列双曲线中，与共渐近线的为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用渐近线方程为计算的渐近线方程，后与各选项对应渐近线比较即可得答案.

【详解】的渐近线方程为：.

A选项，渐近线为，故A错误；

B选项，渐近线为，故B正确；

C选项，渐近线为，故C错误；

D选项，渐近线为，故D错误.

故选：B

15．已知椭圆，直线，则直线l与椭圆C的位置关系为（    ）

A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定

【答案】A

【分析】根据直线方程可得直线过定点，判断点与椭圆C的位置关系即可得结果.

【详解】对于直线，整理得，

令，解得，

故直线过定点.

∵，则点在椭圆C的内部，

所以直线l与椭圆C相交.

故选：A.

16．小明同学在完成教材椭圆和双曲线的相关内容学习后，提出了新的疑问：平面上到两个定点距离之积为常数的点的轨迹是什么呢？又具备哪些性质呢？老师特别赞赏他的探究精神，并告诉他这正是历史上法国天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，这类曲线被称为“卡西尼卵形线”.在老师的鼓励下，小明决定先从特殊情况开始研究，假设、是平面直角坐标系内的两个定点，满足的动点P的轨迹为曲线C，从而得到以下4个结论：①曲线C既是轴对称图形，又是中心对称图形；②动点P的横坐标的取值范围是；③的取值范围是；④的面积的最大值为1.其中正确结论的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【分析】设，由题设可得曲线C为，将、、代入即可判断①；令，由在上有解，结合二次函数性质求P的横坐标的取值范围判断②；由②分析可得，进而求范围判断③；由基本不等式、余弦定理确定范围，再根据三角形面积公式求最值判断④.

【详解】令，则，

所以，则，

将、、代入上述方程后，均有，

所以曲线C既是轴对称图形，又是中心对称图形，①正确；

令，则，

对于，对称轴为，

所以在上递增，要使在上有解，只需，

所以，即，可得，②正确；

由，由中，，

所以，其中负值舍去，

综上，，又，即，

所以，则，③正确；

由，仅当时等号成立，

的面积，

而，所以，

所以的面积的最大值为1，④正确.

综上，正确结论的个数为4个.

故选：D

【点睛】关键点点睛：②③通过换元，构造，利用根的分布求P的横坐标、的取值范围.

三、解答题

17．已知直线：与直线：.

(1)若与垂直，求实数m的值；

(2)若与平行，求实数m的值.

【答案】(1)

(2)或2

【分析】（1）利用直线垂直的充要条件计算即可；

（2）利用直线平行的充要条件计算即可.

【详解】（1）由两直线垂直的充要条件可知：；

（2）由两直线平行的充要条件可知：且，解方程得或.

18．已知圆，点.

(1)求过点P的圆C的切线l的方程；

(2)若直线m过点P且被圆C截得的弦长为8，求直线m的方程.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）当直线斜率不存在时，直线方程为：，由圆心到直线的距离等于半径判断；当直线的斜率存在时：设直线方程为，由圆心到直线的距离等于半径求解；

（2）直线斜率不存在时，直线方程为：，圆心到直线的距离为，直线被截的弦长为判断；当直线的斜率存在时：设直线方程为，再由直线被截的弦长为求解.

【详解】（1）解：当直线斜率不存在时，直线方程为：，

圆心到直线的距离为，不成立；

当直线的斜率存在时：设直线方程为，即，

圆心到直线的距离等于半径为：，

解得，所以直线方程为：，

即；

（2）当直线斜率不存在时，直线方程为：，

圆心到直线的距离为，则直线被截的弦长为，成立；

当直线的斜率存在时：设直线方程为，即，

圆心到直线的距离为：，

直线被截的弦长为，解得，

所以直线方程为：，

即，

综上：直线方程为：或

19．已知抛物线，其焦点F到准线的距离为2.

(1)求抛物线的标准方程；

(2)若O为坐标原点，斜率为2且过焦点F的直线l交此抛物线于A、B两点，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题设可得，即可得写出抛物线标准方程；

（2）由已知有直线为，联立抛物线，应用韦达定理、弦长公式求，点线距离公式求O到直线的距离，进而求的面积.

【详解】（1）由焦点F到准线的距离为2，即，故抛物线的标准方程为；

（2）由（1）知：，则直线为，即，

联立抛物线可得：，则，，

所以，

又O到直线的距离，

所以.

20．已知双曲线的实轴长为，离心率为.动点P是双曲线C上任意一点.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)已知点，求线段的中点Q的轨迹方程；

(3)已知点，求的最小值.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据实轴长，离心率求出基本量，得出双曲线C的标准方程；

（2）利用相关点代入法求出点Q的轨迹方程；

（3）设，点P是双曲线C上任意一点，则满足双曲线方程，表示，利用换元法求二次函数的最值.

【详解】（1）依题意，，

又离心率为，即，则.

所以，

双曲线C的标准方程.

（2）设动点，点，由线段的中点为Q，

则，代入双曲线C的方程得，

所以Q的轨迹方程.

（3）动点P是双曲线C上任意一点，设，则，

则，，或，

，

，

当时，取最小值，最小值为.

21．已知椭圆的右顶点为，短轴长为是椭圆的两个焦点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知P是椭圆C上的点，且，求△的面积；

(3)若过点且斜率不为0的直线l交椭圆C于M、N两点，O为坐标原点.问：x轴上是否存在定点T，使得恒成立.若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)

(2)

(3)存在，

【分析】（1）根据题设易得，即可得椭圆标准方程；

（2）令，则，在焦点△中应用余弦定理求参数m，进而求△的面积；

（3）设直线l为且，联立椭圆，根据判别式可得且，应用韦达定理有，，令在轴上方且，假设存在则有，代入化简求，即可判断存在性.

【详解】（1）由右顶点为，短轴长为，则，故椭圆C的方程；

（2）令，则，而，，

所以，

整理得，即，此时，

所以△的面积.

（3）

由题设，可设直线l为且，联立椭圆方程，

整理得：，则，

所以，即且，

所以，，

若存在使恒成立，则，

由椭圆对称性，不妨令在轴上方且，显然，

所以，即，

所以，即，

综上，，

所以，存在使恒成立.

【点睛】关键点点睛：第三问，设直线并联立椭圆，根据交点情况有求斜率范围，再应用韦达定理、椭圆对称性并假设存在，得到为关键.