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浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷（含答案）
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这是一份浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷（含答案），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）以下四个汽车标志中，是中心对称图形的为（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）二次根式中字母x的取值可以是（ ）
A． B．0 C． D．﹣1
3．（3分）某市一周空气质量报告中，某项污染指数的数据是：31，35，31，34，30，32，31，这组数据的中位数是（ ）
A．31 B．31.5 C．32 D．34
4．（3分）用配方法解方程x2+4x﹣6＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x+4）2＝22 B．（x+2）2＝10 C．（x+2）2＝8 D．（x+2）2＝6
5．（3分）如图，若要使平行四边形ABCD成为菱形，需添加的条件是（ ）
A．AB＝CD B．∠ADB＝∠DBC
C．AO＝BO D．AC，BD互相垂直
6．（3分）为执行“均衡教育”政策，某县2014年投入教育经费2500万元，预计到2016年底三年累计投入1.2亿元．若每年投入教育经费的年平均增长 百分率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．2500（1+x）2＝1.2
B．2500（1+x）2＝12000
C．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝1.2
D．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝12000
7．（3分）用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，应先假设（ ）
A．四边形中没有一个角是钝角或直角
B．四边形中至多有一个钝角或直角
C．四边形中没有一个角是锐角
D．四边形中没有一个角是钝角
8．（3分）如图，▱ABCD中，AB＝4，BC＝5，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
9．（3分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，将△ABC沿BC边翻折，若使翻折后得到的四边形是正方形，则AD与BC的应满足怎样的关系（ ）
A．AD＝BC B．AD⊥BC
C．AD＝BC且AD⊥BC D．AD＝BC且AD⊥BC
10．（3分）如图，点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点，若线段PQ长的最大值为8，最小值为8，则菱形ABCD的边长为（ ）
A．4 B．10 C．12 D．16
二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）一个多边形的内角和为360°，则这个多边形是 边形．
12．（4分）在实数范围内，二次根式有意义，则x的取值范围是 ．
13．（4分）关于的x一元二次方程2x2+mx﹣m+3＝0的一个根是﹣1，则m的值是 ．
14．（4分）已知一组数据1，3，5，x，y的平均数是3，则另一组数据﹣1，1，3，x﹣2，y﹣2的平均数是 ．
15．（4分）在▱ABCD中，AB＝3，∠ABC的平分线交平行四边形的边于点E，若DE＝1，则▱ABCD的周长是 ．
16．（4分）如图，在四边形纸片ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠B＝∠D＝90°，∠A＝135°．将纸片先沿直线AC对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平．若铺平后的图形中有一个是面积为的平行四边形，则CD＝ ．
三.解答题（本题有7个小题，共66分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（10分）（1）计算：
①；
②．
（2）解方程：
①x2﹣2x﹣15＝0；
②2x（x+3）+x＝3．
18．（6分）已知，，求下列各式的值：
（1）x2﹣2xy+y2；
（2）x2﹣y2．
19．（8分）已知关于x的方程（a2﹣4a+5）x2+2ax+4＝0，
（1）证明：当a取任何实数时，方程都是一元二次方程：
（2）当a＝2时，解这个方程．
20．（10分）某校举行了主题为“新冠肺炎防护”的知识竞赛活动，对八年级的两班学生进行了预选，其中班上前5名学生的成绩（百分制）分别为：八（1）班86，85，77，92，85；八（2）班79，85，92，85，89．通过数据分析，列表如下：
班级
平均分
中位数
众数
方差
八（1）
85
b
c
22.8
八（2）
a
85
85
d
（1）直接写出表中a，b，c的值：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）求d的值，并根据以上数据分析，你认为哪个班前5名同学的成绩较好？说明理由．
21．（10分）如图，将▱ABCD的边AB延长到点E，使BE＝AB，连接DE，交边BC于点F．
（1）求证：△BEF≌△CDF；
（2）连接BD、CE，若∠BFD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．
22．（10分）如图1，有一张长40cm，宽20cm的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2的有盖纸盒．
（1）若纸盒的高是3cm，求纸盒底面长方形的长和宽；
（2）若纸盒的底面积是150cm2，求纸盒的高．
23．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE．
（1）当BC＝2，AC＝2时，求直线MN到直线AB的距离；
（2）当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？写出证明过程；
（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？直接写出答案．
2022-2023学年浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）以下四个汽车标志中，是中心对称图形的为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形，判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．（3分）二次根式中字母x的取值可以是（ ）
A． B．0 C． D．﹣1
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：根据题意得：x﹣1≥0，
解得x≥1，
只有选项A符合题意．
故选：A．
【点评】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
3．（3分）某市一周空气质量报告中，某项污染指数的数据是：31，35，31，34，30，32，31，这组数据的中位数是（ ）
A．31 B．31.5 C．32 D．34
【分析】根据中位数的定义求解可得．
【解答】解：将这组数据重新排列为：30，31，31，31，32，34，35，
则这组数据的中位数为31，
故选：A．
【点评】本题主要考查中位数，解题的关键是掌握将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
4．（3分）用配方法解方程x2+4x﹣6＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x+4）2＝22 B．（x+2）2＝10 C．（x+2）2＝8 D．（x+2）2＝6
【分析】先把方程变形为x2+4x＝6，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方形式即可．
【解答】解：x2+4x＝6，
x2+4x+4＝10，
（x+2）2＝10．
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
5．（3分）如图，若要使平行四边形ABCD成为菱形，需添加的条件是（ ）
A．AB＝CD B．∠ADB＝∠DBC
C．AO＝BO D．AC，BD互相垂直
【分析】根据菱形的判定方法得出D正确，A、B、C不正确；即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC，BD互相垂直，
∴平行四边形ABCD是菱形，故D选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定方法；注意：菱形的判定定理有：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形，②四条边都相等的四边形是菱形，③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
6．（3分）为执行“均衡教育”政策，某县2014年投入教育经费2500万元，预计到2016年底三年累计投入1.2亿元．若每年投入教育经费的年平均增长 百分率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．2500（1+x）2＝1.2
B．2500（1+x）2＝12000
C．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝1.2
D．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝12000
【分析】设每年投入教育经费的年平均增长百分率为x，根据题意可得，2014年投入教育经费+2014年投入教育经费×（1+增长率）+2014年投入教育经费×（1+增长率）2＝1.2亿元，据此列方程．
【解答】解：设每年投入教育经费的年平均增长百分率为x，
由题意得，2500+2500×（1+x）+2500（1+x）2＝12000．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
7．（3分）用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，应先假设（ ）
A．四边形中没有一个角是钝角或直角
B．四边形中至多有一个钝角或直角
C．四边形中没有一个角是锐角
D．四边形中没有一个角是钝角
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．
【解答】解：用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时第一步应假设：四边形中没有一个角是钝角或直角．
故选：A．
【点评】此题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
8．（3分）如图，▱ABCD中，AB＝4，BC＝5，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
【分析】依据平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质，即可得到△CDE的周长＝CE+DE+CD＝AE+DE+CD＝AD+CD．
【解答】解：∵▱ABCD中，AB＝4，BC＝5，
∴AD＝5，CD＝4，
∵AC的垂直平分线交AD于点E，
∴AE＝CE
∴△CDE的周长＝CE+DE+CD＝AE+DE+CD＝AD+CD＝5+4＝9，
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
9．（3分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，将△ABC沿BC边翻折，若使翻折后得到的四边形是正方形，则AD与BC的应满足怎样的关系（ ）
A．AD＝BC B．AD⊥BC
C．AD＝BC且AD⊥BC D．AD＝BC且AD⊥BC
【分析】由折叠的性质和正方形的性质可得AB＝AC，∠BAC＝90°，由等腰直角三角形的性质可得AD＝BC，AD⊥BC，即可求解．
【解答】解：∵将△ABC沿BC边翻折，若使翻折后得到的四边形是正方形，
∴AB＝AC，∠BAC＝90°，
又∵AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，AD＝BD＝CD，
∴AD＝BC，
∴当AD＝BC，AD⊥BC时，将△ABC沿BC边翻折，若使翻折后得到的四边形是正方形．
故选：D．
【点评】本题考查了翻折变换，正方形的判定，等腰直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
10．（3分）如图，点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点，若线段PQ长的最大值为8，最小值为8，则菱形ABCD的边长为（ ）
A．4 B．10 C．12 D．16
【分析】过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，由题意可得当点P与点A重合，点Q与点C重合时，PQ有最大值，即AC＝8，当PQ⊥BC时，PQ有最小值，即直线CD，直线AB的距离为8，即CH＝8，由勾股定理可求解．
【解答】解：如图，过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝BC，
∵点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点，
∴当点P与点A重合，点Q与点C重合时，PQ有最大值，即AC＝8，
当PQ⊥BC时，PQ有最小值，即直线CD，直线AB的距离为8，即CH＝8，
∴AH＝＝＝16，
∵BC2＝CH2+BH2，
∴BC2＝（16﹣BC）2+64，
∴BC＝10，
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．
二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）一个多边形的内角和为360°，则这个多边形是 四 边形．
【分析】n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
【解答】解：设多边形的边数为，则
（n﹣2）•180＝360，
解得n＝4．
故这个多边形的边数为4．
故答案为：四．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．
12．（4分）在实数范围内，二次根式有意义，则x的取值范围是 x≥2 ．
【分析】根据被开方数大于等于0列式进行计算即可求解．
【解答】解：根据题意得x﹣2≥0，
解得x≥2．
故答案为：x≥2．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
13．（4分）关于的x一元二次方程2x2+mx﹣m+3＝0的一个根是﹣1，则m的值是 ．
【分析】由于x＝﹣1是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出m的值．
【解答】解：∵x＝﹣1是关于x的一元二次方程2x2+mx﹣m+3＝0的一个根，
∴2×（﹣1）2﹣m﹣m+3＝0，
∴m＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了一元二次方程的根的定义，把方程的根代入原方程就可以确定待定系数m的值是解题关键．
14．（4分）已知一组数据1，3，5，x，y的平均数是3，则另一组数据﹣1，1，3，x﹣2，y﹣2的平均数是 1 ．
【分析】平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数．先求数据x与y的和，然后用平均数的定义求新数据的平均数．
【解答】解：∵一组数据1，3，5，x，y的平均数是3，
∴1+3+5+x+y＝15，
∴x+y＝6，
∴另一组数据﹣1，1，3，x﹣2，y﹣2的平均数是（﹣1+1+3+x﹣2+y﹣2）＝（x+y﹣1）＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查的是算术平均数的求法及运用，熟记平均数的计算公式是解题的关键．
15．（4分）在▱ABCD中，AB＝3，∠ABC的平分线交平行四边形的边于点E，若DE＝1，则▱ABCD的周长是 14或10 ．
【分析】分两种情况讨论，由平行四边形ABCD得到AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，再和已知BE平分∠ABC，进一步推出∠ABE＝∠AEB，即AB＝AE＝3，即可求出AB、AD的长，就能求出答案．
【解答】解：如图，当点E在AD上时，
∵BE为∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠EBC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴AE＝AB＝3，
∴AD＝AE+DE＝4，
∴▱ABCD的周长＝2（AB+AD）＝14，
如图，当点E在CD上时，
同理可求BC＝CE＝2，
∴▱ABCD的周长＝2（AB+BC）＝10，
故答案为14或10．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，三角形的角平分线，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识点，解此题的关键是综合运用性质进行证明．
16．（4分）如图，在四边形纸片ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠B＝∠D＝90°，∠A＝135°．将纸片先沿直线AC对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平．若铺平后的图形中有一个是面积为的平行四边形，则CD＝ 2+或2+2 ．
【分析】根据题意结合裁剪的方法得出符合题意的图形有两个，分别利用菱形的判定与性质以及勾股定理得出CD的长．
【解答】解：如图1所示：
延长BE交CD于点N，过点A作AT⊥BE于点T，
当四边形ABED为平行四边形，
∵AB＝AD，
∴四边形ABED是菱形，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAD＝135°，AD∥BN，AB∥DE，
∴∠ABT＝45°，∠BAT＝45°，∠ABT＝∠DEN＝45°，∠END＝90°，
则∠NDE＝45°，
∵四边形ABED面积为2，
∴设AT＝x，则AB＝BE＝ED＝x，
故x•x＝2，
解得：x1＝，x2＝﹣（负数舍去），
则BE＝ED＝2，EN＝，
∴BN＝BE+EN＝2+，
∵∠BNC＝90°，∠BCN＝45°，
∴BN＝NC，
故DC＝DN+NC＝++2＝2+2；
如图2，
当四边形AECF是平行四边形，
∵AE＝AF，
∴平行四边形AECF是菱形，
∵∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝135°，
∴∠BCA＝∠DCA＝22.5°，
∵AE＝CE，
∴∠AEB＝45°，
∴设AB＝y，则BE＝y，AE＝y，
∵四边形AECF面积为2，
∴AB×CE＝y2＝2，
解得：y＝，故CE＝2，BE＝，
则CD＝BC＝2+，
综上所述：CD的值为：2+或2+2．
故答案为：或．
【点评】此题主要考查了翻折变换，剪纸问题以及勾股定理和平行四边形的性质，根据题意画出正确图形是解题关键．
三.解答题（本题有7个小题，共66分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（10分）（1）计算：
①；
②．
（2）解方程：
①x2﹣2x﹣15＝0；
②2x（x+3）+x＝3．
【分析】（1）①先计算乘方，再计算减法；
②先化简二次根式、计算除法，再计算乘法，最后计算加法即可；
（2）①利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可；
②整理为一般式，再利用公式法求解即可．
【解答】解：（1）①原式＝3﹣5＝﹣2；
②原式＝3×+
＝+2
＝3；
（2）①∵x2﹣2x﹣15＝0，
∴（x﹣5）（x+3）＝0，
则x﹣5＝0或x+3＝0，
解得x1＝5，x2＝﹣3；
②∵2x（x+3）+x＝3，
整理得2x2+7x﹣3＝0，
∵a＝2，b＝7，c＝﹣3，
∴Δ＝49﹣4×2×（﹣3）＝73＞0，
则x＝，
即x1＝，x2＝．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算和解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
18．（6分）已知，，求下列各式的值：
（1）x2﹣2xy+y2；
（2）x2﹣y2．
【分析】（1）根据二次根式的减法法则求出x﹣y，再根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可；
（2）根据平方差公式把原式变形，把x+y、x﹣y代入计算，得到答案．
【解答】解：（1）∵x＝+6，y＝﹣6，
∴x﹣y＝（+6）﹣（﹣6）＝12，x+y＝（+6）+（﹣6）＝2，
∴x2﹣2xy+y2
＝（x﹣y）2
＝122
＝144；
（2）x2﹣y2
＝（x+y）（x﹣y）
＝2×12
＝24．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的加法法则、减法法则、完全平方公式、平方差公式是解题的关键．
19．（8分）已知关于x的方程（a2﹣4a+5）x2+2ax+4＝0，
（1）证明：当a取任何实数时，方程都是一元二次方程：
（2）当a＝2时，解这个方程．
【分析】（1）要证明无论a取何实数这个方程都是一元二次方程，只要说明无论a为什么值时a2﹣4a+5的值都不是0，可以利用配方法来证明；
（2）当a＝2时，就可以求出方程的具体形式，解方程就可求出方程的解．
【解答】（1）证明：a2﹣4a+5＝（a2﹣4a+4）+1＝（a﹣2）2+1，
∵（a﹣2）2≥0，
∴（a﹣2）2+1≠0，
∴无论a取何实数关于x的方程（a2﹣4a+5）x2+2ax+4＝0都是一元二次方程；
（2）解：当a＝2时，原方程变为x2+4x+4＝0，
解得x1＝x2＝﹣2．
【点评】本题主要理解配方法，证明一个二次三项式大于或小于0的方法．
20．（10分）某校举行了主题为“新冠肺炎防护”的知识竞赛活动，对八年级的两班学生进行了预选，其中班上前5名学生的成绩（百分制）分别为：八（1）班86，85，77，92，85；八（2）班79，85，92，85，89．通过数据分析，列表如下：
班级
平均分
中位数
众数
方差
八（1）
85
b
c
22.8
八（2）
a
85
85
d
（1）直接写出表中a，b，c的值：a＝ 86 ，b＝ 85 ，c＝ 85 ；
（2）求d的值，并根据以上数据分析，你认为哪个班前5名同学的成绩较好？说明理由．
【分析】（1）根据平均数、中位数、众数的概念解答即可；
（2）先根据方差计算公式，分别求出八（2）班的方差，再结合平均数、中位数、众数与方差的意义求解即可．
【解答】解：（1）八（2）班的平均分a＝（79+85+92+85+89）÷5＝86，
将八（1）班的前5名学生的成绩按从小到大的顺序排列为：77，85，85，86，92，第三个数是85，所以中位数b＝85，
85出现了2次，次数最多，所以众数c＝85．
故答案为86，85，85；
（2）∵八（2）班的方差d＝[（79﹣86）2+（85﹣86）2+（92﹣86）2+（85﹣86）2+（89﹣86）2]÷5＝19.2．
∴由数据可知，两班成绩中位数，众数相同，而八（2）班平均成绩更高，且方差更小，成绩更稳定，
∴八（2）班前5名同学的成绩较好；
【点评】本题考查方差、平均数、众数和中位数，平均数表示一组数据的平均程度．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
21．（10分）如图，将▱ABCD的边AB延长到点E，使BE＝AB，连接DE，交边BC于点F．
（1）求证：△BEF≌△CDF；
（2）连接BD、CE，若∠BFD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．
【分析】（1）先根据平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，再由BE＝AB得出BE＝CD，根据平行线的性质得出∠BEF＝∠CDF，∠EBF＝∠DCF，进而可得出结论；
（2）根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠DCB，再由AB＝BE，可得CD＝EB，进而可判定四边形BECD是平行四边形，然后再证明BC＝DE即可得到四边形BECD是矩形
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝CD，AB∥CD．
∵BE＝AB，
∴BE＝CD．
∵AB∥CD，
∴∠BEF＝∠CDF，∠EBF＝∠DCF，
在△BEF与△CDF中，
∵，
∴△BEF≌△CDF（ASA）；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠DCB，
∵AB＝BE，
∴CD＝EB，
∴四边形BECD是平行四边形，
∴BF＝CF，EF＝DF，
∵∠BFD＝2∠A，
∴∠BFD＝2∠DCF，
∴∠DCF＝∠FDC，
∴DF＝CF，
∴DE＝BC，
∴四边形BECD是矩形．
【点评】此题主要考查的值矩形的判定及平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的对边相等；对角相等；对角线互相平分．
22．（10分）如图1，有一张长40cm，宽20cm的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2的有盖纸盒．
（1）若纸盒的高是3cm，求纸盒底面长方形的长和宽；
（2）若纸盒的底面积是150cm2，求纸盒的高．
【分析】（1）根据纸盒底面长方形的长＝（长方形硬纸片的长﹣2×纸盒的高）÷2，可求出纸盒底面长方形的长；根据纸盒底面长方形的宽＝长方形硬纸片的宽﹣2×纸盒的高，可求出纸盒底面长方形的宽；
（2）设当纸盒的高为xcm时，纸盒的底面积是150cm2，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是150cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答】解：（1）纸盒底面长方形的长为（40﹣2×3）÷2＝17（cm），
纸盒底面长方形的宽为20﹣2×3＝14（cm）．
答：纸盒底面长方形的长为17cm，宽为14cm．
（2）设当纸盒的高为xcm时，纸盒的底面积是150cm2，
依题意，得：×（20﹣2x）＝150，
化简，得：x2﹣30x+125＝0，
解得：x1＝5，x2＝25．
当x＝5时，20﹣2x＝10＞0，符合题意；
当x＝25时，20﹣2x＝﹣30＜0，不符合题意，舍去．
答：若纸盒的底面积是150cm2，纸盒的高为5cm．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE．
（1）当BC＝2，AC＝2时，求直线MN到直线AB的距离；
（2）当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？写出证明过程；
（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？直接写出答案．
【分析】（1）过点C作CG⊥AB，垂足为G，根据垂直定义可得∠CGB＝90°，在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出∠ABC的度数，从而求出CG的长，即可解答；
（2）根据垂直定义可得∠DFB＝90°，从而可得AC∥DE，进而可证四边形ADEC是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可得AD＝CE，再利用线段中点的定义可得AD＝DB，从而得到CE＝DB，进而可证四边形CDBE是平行四边形，最后根据菱形的判定方法即可解答；
（3）根据已知可得AC＝BC，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得CD⊥AB，从而可得∠CDB＝90°，最后再利用（2）的结论，根据正方形的判定方法即可解答．
【解答】（1）解：过点C作CG⊥AB，垂足为G，
∴∠CGB＝90°，
∵∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝2，
∴tan∠ABC＝＝＝，
∴∠ABC＝30°，
∴CG＝BC＝，
∴直线MN到直线AB的距离为；
（2）四边形BECD是菱形，
证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∴∠DFB＝∠ACB＝90°，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴AD＝CE，
∵D为AB中点，
∴AD＝DB，
∴CE＝DB，
∴四边形CDBE是平行四边形，
∵DE⊥BC，
∴四边形BECD是菱形；
（3）当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形，
理由：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝45°，
∴AC＝BC，
∵D为AB中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∵四边形BECD是菱形，
∴四边形BECD是正方形，
∴当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．
【点评】本题考查了菱形的判定，解直角三角形，平行四边形的判定与性质，正方形的判定，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握菱形的判定，以及正方形的判定是解题的关键．
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2022-2023学年浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）以下四个汽车标志中，是中心对称图形的为（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）二次根式中字母x的取值可以是（ ）
A． B．0 C． D．﹣1
3．（3分）某市一周空气质量报告中，某项污染指数的数据是：31，35，31，34，30，32，31，这组数据的中位数是（ ）
A．31 B．31.5 C．32 D．34
4．（3分）用配方法解方程x2+4x﹣6＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x+4）2＝22 B．（x+2）2＝10 C．（x+2）2＝8 D．（x+2）2＝6
5．（3分）如图，若要使平行四边形ABCD成为菱形，需添加的条件是（ ）
A．AB＝CD B．∠ADB＝∠DBC
C．AO＝BO D．AC，BD互相垂直
6．（3分）为执行“均衡教育”政策，某县2014年投入教育经费2500万元，预计到2016年底三年累计投入1.2亿元．若每年投入教育经费的年平均增长 百分率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．2500（1+x）2＝1.2
B．2500（1+x）2＝12000
C．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝1.2
D．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝12000
7．（3分）用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，应先假设（ ）
A．四边形中没有一个角是钝角或直角
B．四边形中至多有一个钝角或直角
C．四边形中没有一个角是锐角
D．四边形中没有一个角是钝角
8．（3分）如图，▱ABCD中，AB＝4，BC＝5，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
9．（3分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，将△ABC沿BC边翻折，若使翻折后得到的四边形是正方形，则AD与BC的应满足怎样的关系（ ）
A．AD＝BC B．AD⊥BC
C．AD＝BC且AD⊥BC D．AD＝BC且AD⊥BC
10．（3分）如图，点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点，若线段PQ长的最大值为8，最小值为8，则菱形ABCD的边长为（ ）
A．4 B．10 C．12 D．16
二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）一个多边形的内角和为360°，则这个多边形是 边形．
12．（4分）在实数范围内，二次根式有意义，则x的取值范围是 ．
13．（4分）关于的x一元二次方程2x2+mx﹣m+3＝0的一个根是﹣1，则m的值是 ．
14．（4分）已知一组数据1，3，5，x，y的平均数是3，则另一组数据﹣1，1，3，x﹣2，y﹣2的平均数是 ．
15．（4分）在▱ABCD中，AB＝3，∠ABC的平分线交平行四边形的边于点E，若DE＝1，则▱ABCD的周长是 ．
16．（4分）如图，在四边形纸片ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠B＝∠D＝90°，∠A＝135°．将纸片先沿直线AC对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平．若铺平后的图形中有一个是面积为的平行四边形，则CD＝ ．
三.解答题（本题有7个小题，共66分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（10分）（1）计算：
①；
②．
（2）解方程：
①x2﹣2x﹣15＝0；
②2x（x+3）+x＝3．
18．（6分）已知，，求下列各式的值：
（1）x2﹣2xy+y2；
（2）x2﹣y2．
19．（8分）已知关于x的方程（a2﹣4a+5）x2+2ax+4＝0，
（1）证明：当a取任何实数时，方程都是一元二次方程：
（2）当a＝2时，解这个方程．
20．（10分）某校举行了主题为“新冠肺炎防护”的知识竞赛活动，对八年级的两班学生进行了预选，其中班上前5名学生的成绩（百分制）分别为：八（1）班86，85，77，92，85；八（2）班79，85，92，85，89．通过数据分析，列表如下：
班级
平均分
中位数
众数
方差
八（1）
85
b
c
22.8
八（2）
a
85
85
d
（1）直接写出表中a，b，c的值：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）求d的值，并根据以上数据分析，你认为哪个班前5名同学的成绩较好？说明理由．
21．（10分）如图，将▱ABCD的边AB延长到点E，使BE＝AB，连接DE，交边BC于点F．
（1）求证：△BEF≌△CDF；
（2）连接BD、CE，若∠BFD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．
22．（10分）如图1，有一张长40cm，宽20cm的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2的有盖纸盒．
（1）若纸盒的高是3cm，求纸盒底面长方形的长和宽；
（2）若纸盒的底面积是150cm2，求纸盒的高．
23．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE．
（1）当BC＝2，AC＝2时，求直线MN到直线AB的距离；
（2）当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？写出证明过程；
（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？直接写出答案．
2022-2023学年浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）以下四个汽车标志中，是中心对称图形的为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形，判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．（3分）二次根式中字母x的取值可以是（ ）
A． B．0 C． D．﹣1
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：根据题意得：x﹣1≥0，
解得x≥1，
只有选项A符合题意．
故选：A．
【点评】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
3．（3分）某市一周空气质量报告中，某项污染指数的数据是：31，35，31，34，30，32，31，这组数据的中位数是（ ）
A．31 B．31.5 C．32 D．34
【分析】根据中位数的定义求解可得．
【解答】解：将这组数据重新排列为：30，31，31，31，32，34，35，
则这组数据的中位数为31，
故选：A．
【点评】本题主要考查中位数，解题的关键是掌握将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
4．（3分）用配方法解方程x2+4x﹣6＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x+4）2＝22 B．（x+2）2＝10 C．（x+2）2＝8 D．（x+2）2＝6
【分析】先把方程变形为x2+4x＝6，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方形式即可．
【解答】解：x2+4x＝6，
x2+4x+4＝10，
（x+2）2＝10．
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
5．（3分）如图，若要使平行四边形ABCD成为菱形，需添加的条件是（ ）
A．AB＝CD B．∠ADB＝∠DBC
C．AO＝BO D．AC，BD互相垂直
【分析】根据菱形的判定方法得出D正确，A、B、C不正确；即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC，BD互相垂直，
∴平行四边形ABCD是菱形，故D选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定方法；注意：菱形的判定定理有：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形，②四条边都相等的四边形是菱形，③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
6．（3分）为执行“均衡教育”政策，某县2014年投入教育经费2500万元，预计到2016年底三年累计投入1.2亿元．若每年投入教育经费的年平均增长 百分率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．2500（1+x）2＝1.2
B．2500（1+x）2＝12000
C．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝1.2
D．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝12000
【分析】设每年投入教育经费的年平均增长百分率为x，根据题意可得，2014年投入教育经费+2014年投入教育经费×（1+增长率）+2014年投入教育经费×（1+增长率）2＝1.2亿元，据此列方程．
【解答】解：设每年投入教育经费的年平均增长百分率为x，
由题意得，2500+2500×（1+x）+2500（1+x）2＝12000．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
7．（3分）用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，应先假设（ ）
A．四边形中没有一个角是钝角或直角
B．四边形中至多有一个钝角或直角
C．四边形中没有一个角是锐角
D．四边形中没有一个角是钝角
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．
【解答】解：用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时第一步应假设：四边形中没有一个角是钝角或直角．
故选：A．
【点评】此题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
8．（3分）如图，▱ABCD中，AB＝4，BC＝5，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
【分析】依据平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质，即可得到△CDE的周长＝CE+DE+CD＝AE+DE+CD＝AD+CD．
【解答】解：∵▱ABCD中，AB＝4，BC＝5，
∴AD＝5，CD＝4，
∵AC的垂直平分线交AD于点E，
∴AE＝CE
∴△CDE的周长＝CE+DE+CD＝AE+DE+CD＝AD+CD＝5+4＝9，
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
9．（3分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，将△ABC沿BC边翻折，若使翻折后得到的四边形是正方形，则AD与BC的应满足怎样的关系（ ）
A．AD＝BC B．AD⊥BC
C．AD＝BC且AD⊥BC D．AD＝BC且AD⊥BC
【分析】由折叠的性质和正方形的性质可得AB＝AC，∠BAC＝90°，由等腰直角三角形的性质可得AD＝BC，AD⊥BC，即可求解．
【解答】解：∵将△ABC沿BC边翻折，若使翻折后得到的四边形是正方形，
∴AB＝AC，∠BAC＝90°，
又∵AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，AD＝BD＝CD，
∴AD＝BC，
∴当AD＝BC，AD⊥BC时，将△ABC沿BC边翻折，若使翻折后得到的四边形是正方形．
故选：D．
【点评】本题考查了翻折变换，正方形的判定，等腰直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
10．（3分）如图，点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点，若线段PQ长的最大值为8，最小值为8，则菱形ABCD的边长为（ ）
A．4 B．10 C．12 D．16
【分析】过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，由题意可得当点P与点A重合，点Q与点C重合时，PQ有最大值，即AC＝8，当PQ⊥BC时，PQ有最小值，即直线CD，直线AB的距离为8，即CH＝8，由勾股定理可求解．
【解答】解：如图，过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝BC，
∵点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点，
∴当点P与点A重合，点Q与点C重合时，PQ有最大值，即AC＝8，
当PQ⊥BC时，PQ有最小值，即直线CD，直线AB的距离为8，即CH＝8，
∴AH＝＝＝16，
∵BC2＝CH2+BH2，
∴BC2＝（16﹣BC）2+64，
∴BC＝10，
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．
二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）一个多边形的内角和为360°，则这个多边形是 四 边形．
【分析】n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
【解答】解：设多边形的边数为，则
（n﹣2）•180＝360，
解得n＝4．
故这个多边形的边数为4．
故答案为：四．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．
12．（4分）在实数范围内，二次根式有意义，则x的取值范围是 x≥2 ．
【分析】根据被开方数大于等于0列式进行计算即可求解．
【解答】解：根据题意得x﹣2≥0，
解得x≥2．
故答案为：x≥2．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
13．（4分）关于的x一元二次方程2x2+mx﹣m+3＝0的一个根是﹣1，则m的值是 ．
【分析】由于x＝﹣1是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出m的值．
【解答】解：∵x＝﹣1是关于x的一元二次方程2x2+mx﹣m+3＝0的一个根，
∴2×（﹣1）2﹣m﹣m+3＝0，
∴m＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了一元二次方程的根的定义，把方程的根代入原方程就可以确定待定系数m的值是解题关键．
14．（4分）已知一组数据1，3，5，x，y的平均数是3，则另一组数据﹣1，1，3，x﹣2，y﹣2的平均数是 1 ．
【分析】平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数．先求数据x与y的和，然后用平均数的定义求新数据的平均数．
【解答】解：∵一组数据1，3，5，x，y的平均数是3，
∴1+3+5+x+y＝15，
∴x+y＝6，
∴另一组数据﹣1，1，3，x﹣2，y﹣2的平均数是（﹣1+1+3+x﹣2+y﹣2）＝（x+y﹣1）＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查的是算术平均数的求法及运用，熟记平均数的计算公式是解题的关键．
15．（4分）在▱ABCD中，AB＝3，∠ABC的平分线交平行四边形的边于点E，若DE＝1，则▱ABCD的周长是 14或10 ．
【分析】分两种情况讨论，由平行四边形ABCD得到AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，再和已知BE平分∠ABC，进一步推出∠ABE＝∠AEB，即AB＝AE＝3，即可求出AB、AD的长，就能求出答案．
【解答】解：如图，当点E在AD上时，
∵BE为∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠EBC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴AE＝AB＝3，
∴AD＝AE+DE＝4，
∴▱ABCD的周长＝2（AB+AD）＝14，
如图，当点E在CD上时，
同理可求BC＝CE＝2，
∴▱ABCD的周长＝2（AB+BC）＝10，
故答案为14或10．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，三角形的角平分线，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识点，解此题的关键是综合运用性质进行证明．
16．（4分）如图，在四边形纸片ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠B＝∠D＝90°，∠A＝135°．将纸片先沿直线AC对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平．若铺平后的图形中有一个是面积为的平行四边形，则CD＝ 2+或2+2 ．
【分析】根据题意结合裁剪的方法得出符合题意的图形有两个，分别利用菱形的判定与性质以及勾股定理得出CD的长．
【解答】解：如图1所示：
延长BE交CD于点N，过点A作AT⊥BE于点T，
当四边形ABED为平行四边形，
∵AB＝AD，
∴四边形ABED是菱形，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAD＝135°，AD∥BN，AB∥DE，
∴∠ABT＝45°，∠BAT＝45°，∠ABT＝∠DEN＝45°，∠END＝90°，
则∠NDE＝45°，
∵四边形ABED面积为2，
∴设AT＝x，则AB＝BE＝ED＝x，
故x•x＝2，
解得：x1＝，x2＝﹣（负数舍去），
则BE＝ED＝2，EN＝，
∴BN＝BE+EN＝2+，
∵∠BNC＝90°，∠BCN＝45°，
∴BN＝NC，
故DC＝DN+NC＝++2＝2+2；
如图2，
当四边形AECF是平行四边形，
∵AE＝AF，
∴平行四边形AECF是菱形，
∵∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝135°，
∴∠BCA＝∠DCA＝22.5°，
∵AE＝CE，
∴∠AEB＝45°，
∴设AB＝y，则BE＝y，AE＝y，
∵四边形AECF面积为2，
∴AB×CE＝y2＝2，
解得：y＝，故CE＝2，BE＝，
则CD＝BC＝2+，
综上所述：CD的值为：2+或2+2．
故答案为：或．
【点评】此题主要考查了翻折变换，剪纸问题以及勾股定理和平行四边形的性质，根据题意画出正确图形是解题关键．
三.解答题（本题有7个小题，共66分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（10分）（1）计算：
①；
②．
（2）解方程：
①x2﹣2x﹣15＝0；
②2x（x+3）+x＝3．
【分析】（1）①先计算乘方，再计算减法；
②先化简二次根式、计算除法，再计算乘法，最后计算加法即可；
（2）①利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可；
②整理为一般式，再利用公式法求解即可．
【解答】解：（1）①原式＝3﹣5＝﹣2；
②原式＝3×+
＝+2
＝3；
（2）①∵x2﹣2x﹣15＝0，
∴（x﹣5）（x+3）＝0，
则x﹣5＝0或x+3＝0，
解得x1＝5，x2＝﹣3；
②∵2x（x+3）+x＝3，
整理得2x2+7x﹣3＝0，
∵a＝2，b＝7，c＝﹣3，
∴Δ＝49﹣4×2×（﹣3）＝73＞0，
则x＝，
即x1＝，x2＝．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算和解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
18．（6分）已知，，求下列各式的值：
（1）x2﹣2xy+y2；
（2）x2﹣y2．
【分析】（1）根据二次根式的减法法则求出x﹣y，再根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可；
（2）根据平方差公式把原式变形，把x+y、x﹣y代入计算，得到答案．
【解答】解：（1）∵x＝+6，y＝﹣6，
∴x﹣y＝（+6）﹣（﹣6）＝12，x+y＝（+6）+（﹣6）＝2，
∴x2﹣2xy+y2
＝（x﹣y）2
＝122
＝144；
（2）x2﹣y2
＝（x+y）（x﹣y）
＝2×12
＝24．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的加法法则、减法法则、完全平方公式、平方差公式是解题的关键．
19．（8分）已知关于x的方程（a2﹣4a+5）x2+2ax+4＝0，
（1）证明：当a取任何实数时，方程都是一元二次方程：
（2）当a＝2时，解这个方程．
【分析】（1）要证明无论a取何实数这个方程都是一元二次方程，只要说明无论a为什么值时a2﹣4a+5的值都不是0，可以利用配方法来证明；
（2）当a＝2时，就可以求出方程的具体形式，解方程就可求出方程的解．
【解答】（1）证明：a2﹣4a+5＝（a2﹣4a+4）+1＝（a﹣2）2+1，
∵（a﹣2）2≥0，
∴（a﹣2）2+1≠0，
∴无论a取何实数关于x的方程（a2﹣4a+5）x2+2ax+4＝0都是一元二次方程；
（2）解：当a＝2时，原方程变为x2+4x+4＝0，
解得x1＝x2＝﹣2．
【点评】本题主要理解配方法，证明一个二次三项式大于或小于0的方法．
20．（10分）某校举行了主题为“新冠肺炎防护”的知识竞赛活动，对八年级的两班学生进行了预选，其中班上前5名学生的成绩（百分制）分别为：八（1）班86，85，77，92，85；八（2）班79，85，92，85，89．通过数据分析，列表如下：
班级
平均分
中位数
众数
方差
八（1）
85
b
c
22.8
八（2）
a
85
85
d
（1）直接写出表中a，b，c的值：a＝ 86 ，b＝ 85 ，c＝ 85 ；
（2）求d的值，并根据以上数据分析，你认为哪个班前5名同学的成绩较好？说明理由．
【分析】（1）根据平均数、中位数、众数的概念解答即可；
（2）先根据方差计算公式，分别求出八（2）班的方差，再结合平均数、中位数、众数与方差的意义求解即可．
【解答】解：（1）八（2）班的平均分a＝（79+85+92+85+89）÷5＝86，
将八（1）班的前5名学生的成绩按从小到大的顺序排列为：77，85，85，86，92，第三个数是85，所以中位数b＝85，
85出现了2次，次数最多，所以众数c＝85．
故答案为86，85，85；
（2）∵八（2）班的方差d＝[（79﹣86）2+（85﹣86）2+（92﹣86）2+（85﹣86）2+（89﹣86）2]÷5＝19.2．
∴由数据可知，两班成绩中位数，众数相同，而八（2）班平均成绩更高，且方差更小，成绩更稳定，
∴八（2）班前5名同学的成绩较好；
【点评】本题考查方差、平均数、众数和中位数，平均数表示一组数据的平均程度．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
21．（10分）如图，将▱ABCD的边AB延长到点E，使BE＝AB，连接DE，交边BC于点F．
（1）求证：△BEF≌△CDF；
（2）连接BD、CE，若∠BFD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．
【分析】（1）先根据平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，再由BE＝AB得出BE＝CD，根据平行线的性质得出∠BEF＝∠CDF，∠EBF＝∠DCF，进而可得出结论；
（2）根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠DCB，再由AB＝BE，可得CD＝EB，进而可判定四边形BECD是平行四边形，然后再证明BC＝DE即可得到四边形BECD是矩形
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝CD，AB∥CD．
∵BE＝AB，
∴BE＝CD．
∵AB∥CD，
∴∠BEF＝∠CDF，∠EBF＝∠DCF，
在△BEF与△CDF中，
∵，
∴△BEF≌△CDF（ASA）；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠DCB，
∵AB＝BE，
∴CD＝EB，
∴四边形BECD是平行四边形，
∴BF＝CF，EF＝DF，
∵∠BFD＝2∠A，
∴∠BFD＝2∠DCF，
∴∠DCF＝∠FDC，
∴DF＝CF，
∴DE＝BC，
∴四边形BECD是矩形．
【点评】此题主要考查的值矩形的判定及平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的对边相等；对角相等；对角线互相平分．
22．（10分）如图1，有一张长40cm，宽20cm的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2的有盖纸盒．
（1）若纸盒的高是3cm，求纸盒底面长方形的长和宽；
（2）若纸盒的底面积是150cm2，求纸盒的高．
【分析】（1）根据纸盒底面长方形的长＝（长方形硬纸片的长﹣2×纸盒的高）÷2，可求出纸盒底面长方形的长；根据纸盒底面长方形的宽＝长方形硬纸片的宽﹣2×纸盒的高，可求出纸盒底面长方形的宽；
（2）设当纸盒的高为xcm时，纸盒的底面积是150cm2，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是150cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答】解：（1）纸盒底面长方形的长为（40﹣2×3）÷2＝17（cm），
纸盒底面长方形的宽为20﹣2×3＝14（cm）．
答：纸盒底面长方形的长为17cm，宽为14cm．
（2）设当纸盒的高为xcm时，纸盒的底面积是150cm2，
依题意，得：×（20﹣2x）＝150，
化简，得：x2﹣30x+125＝0，
解得：x1＝5，x2＝25．
当x＝5时，20﹣2x＝10＞0，符合题意；
当x＝25时，20﹣2x＝﹣30＜0，不符合题意，舍去．
答：若纸盒的底面积是150cm2，纸盒的高为5cm．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE．
（1）当BC＝2，AC＝2时，求直线MN到直线AB的距离；
（2）当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？写出证明过程；
（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？直接写出答案．
【分析】（1）过点C作CG⊥AB，垂足为G，根据垂直定义可得∠CGB＝90°，在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出∠ABC的度数，从而求出CG的长，即可解答；
（2）根据垂直定义可得∠DFB＝90°，从而可得AC∥DE，进而可证四边形ADEC是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可得AD＝CE，再利用线段中点的定义可得AD＝DB，从而得到CE＝DB，进而可证四边形CDBE是平行四边形，最后根据菱形的判定方法即可解答；
（3）根据已知可得AC＝BC，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得CD⊥AB，从而可得∠CDB＝90°，最后再利用（2）的结论，根据正方形的判定方法即可解答．
【解答】（1）解：过点C作CG⊥AB，垂足为G，
∴∠CGB＝90°，
∵∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝2，
∴tan∠ABC＝＝＝，
∴∠ABC＝30°，
∴CG＝BC＝，
∴直线MN到直线AB的距离为；
（2）四边形BECD是菱形，
证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∴∠DFB＝∠ACB＝90°，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴AD＝CE，
∵D为AB中点，
∴AD＝DB，
∴CE＝DB，
∴四边形CDBE是平行四边形，
∵DE⊥BC，
∴四边形BECD是菱形；
（3）当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形，
理由：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝45°，
∴AC＝BC，
∵D为AB中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∵四边形BECD是菱形，
∴四边形BECD是正方形，
∴当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．
【点评】本题考查了菱形的判定，解直角三角形，平行四边形的判定与性质，正方形的判定，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握菱形的判定，以及正方形的判定是解题的关键．
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