浙江省杭州市北苑实验教育集团2022-2023学年下学期八年级期中数学试卷

这是一份浙江省杭州市北苑实验教育集团2022-2023学年下学期八年级期中数学试卷，共20页。试卷主要包含了全题答一答解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年浙江省杭州市北苑实验教育集团八年级（下）期中数学试卷
一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母填在答题卷中相应的格子内，注意可以用多种不同的方法来选取正确答案。
1．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）下列所给图形是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）已知m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式2m2﹣2m﹣3的值等于（　　）
A．﹣2 B．0 C．﹣1 D．1
4．（3分）小杭同学将自己前7次体育模拟测试成绩（单位一分）统计如表，第8次测试的成绩为a分，若这8次成绩的众数不止一个，则a的值为（　　）
次数
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
第6次
第7次
成绩
27
28
30
28
29
29
28
A．27 B．28 C．29 D．30
5．（3分）已知平行四边形ABCD中，∠B＝4∠A，则∠C＝（　　）
A．18° B．36° C．72° D．144°
6．（3分）为响应国家“双减政策”，某校2021年第三季度平均每周作业时长为600分钟，经过2021年第四季度和2022年第一季度两次整改后，平均每周作业时长为350分钟．设每季度平均每周作业时长的下降率为a，则可列方程为（　　）
A．600（1﹣a）＝350 B．350（1+a）＝600
C．600（1﹣a）2＝350 D．350（1+a）2＝600
7．（3分）四边形的内角和等于x°，五边形的外角和等于y°，则下列关系成立的是（　　）
A．x＝y B．x＝2y C．x＝y+180 D．y＝x+180
8．（3分）已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，BD⊥AC，若AB＝6，AC＝8，则对角线BD的长是（　　）
A．2 B．2 C．4 D．4
9．（3分）下列关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的命题中，真命题有（　　）
①若a﹣b+c＝0，则b2﹣4ac＞0；
②若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）两根为1和﹣2，则a﹣b＝0；
③若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一个根是﹣c（c≠0），则b＝ac+1．
A．①②③ B．①② C．②③ D．①③
10．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；②OD＝AB；③S▱ABCD＝AC•CD；④S四边形OECD＝S△AOD，其中成立的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）要注意以真看清楚题目的要求和要填写的内容，尽量完整地填写否聚。
11．（4分）比较大小：﹣3　 　﹣2．
12．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x+4＝0 有两个相等实数根，则m＝　 　．
13．（4分）已知一组数据1，5，2，4，x的平均数是3，则x＝　 　；这组数据的方差为 　 　．
14．（4分）已知O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，AC＝20，BC＝30，OD＝24，则△OBC的周长为 　 　．
15．（4分）已知（m﹣3）≤0．若整数a满足m+a＝5，则a＝　 　．
16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为边向下做正方形ADEB，过点E作EF∥BC交AC于点F，过点C作CG∥BE交EF于点G，连接DG，若AF＝3，DE＝15，则线段AD与CG的数量关系是 　 　；四边形CGEB的面积为 　 　．

三、全题答一答（本题有7个小题，分值为6+8+8+10+10+12+12，共66分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，如果觉得有的题目有困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以。
17．（6分）计算：
（1）（3）+；
（2）．
18．（8分）解方程：
（1）x2﹣x＝0；
（2）．
19．（8分）弘扬中华传统文化，感受中华诗词的独特魅力，校团委会举办首届“校园诗词大会”，初赛共10道题，每题10分，王敏从初赛名单中随机抽取部分同学的成绩，绘制出如下的统计图（1）和图（2）．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）图（1）a的值为 　 　，补全条形统计图；
（2）求被抽取的初赛成绩的平均数，众数和中位数；
（3）如果初赛成绩在90分或90分以上的同学进入复赛，请估计参加初赛的200位同学中有多少同学可以参加复赛．

20．（10分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OB，OD的中点，连接AE，AF，CE，CF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AB⊥AC，AB＝3，BC＝5．
①求AC的长；
②求BD的长．

21．（10分）作图：

（1）直接写出AC的长为 　 　．
（2）在图1中找到格点D，画出以点A、B、C、D为顶点的平行四边形，画出所有的情况的平行四边形．
（3）在图2中找到格点D，画出以点A、B、C、D为顶点且周长最小的平行四边形，直接写出周长最小值．
（4）在（3）条件下，直接写出平行四边形的面积．
22．（12分）对于向上抛的物体，如果空气阻力忽略不计，有下面的关系式：h＝v0t﹣gt2（h是物体离起点的高度，v0是初速度，g是重力系数，取10m/s2，t是抛出后经过的时间）．杂技演员抛球表演时，以10m/s的初速度把球向上抛出，球的起点离开地面2m．
（1）1.2秒时球离起点的高度是多少？
（2）几秒后球离起点的高度达到2.55m？
（3）球经过多少时间才落地？
23．（12分）如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90，BC＝4，∠ABC＝60°，点P、Q是边AB，BC上两个动点，且BP＝4CQ，以BP，BQ为邻边作平行四边形BPDQ，PD，QD分别交AC于点E，F，设CQ＝m．
（1）直接写出BQ＝　 　；CE＝　 　．（用含m的代数式表示）
（2）当平行四边形BPDQ的面积为时，求m的值；
（3）求证：△DEF≌△QCF；
（4）如图2，连接AD，PF，PQ，当AD与△PQF的一边平行时，求△PQF的面积．


2022-2023学年浙江省杭州市北苑实验教育集团八年级（下）期中数学试卷
（参考答案与详解）
一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母填在答题卷中相应的格子内，注意可以用多种不同的方法来选取正确答案。
1．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A，，被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
B，，是最简二次根式，故此选项符合题意；
C，被开方数不是整数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
D，＝，被开方数含有开的尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意．
故选：B．
2．（3分）下列所给图形是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、此图形不是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
B、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；
C、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
D、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意．
故选：D．
3．（3分）已知m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式2m2﹣2m﹣3的值等于（　　）
A．﹣2 B．0 C．﹣1 D．1
【解答】解：∵m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，
∴m2﹣m﹣1＝0，
∴m2﹣m＝1，
∴2m2﹣2m﹣3＝2（m2﹣m）﹣3＝2×1﹣3＝﹣1．
故选：C．
4．（3分）小杭同学将自己前7次体育模拟测试成绩（单位一分）统计如表，第8次测试的成绩为a分，若这8次成绩的众数不止一个，则a的值为（　　）
次数
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
第6次
第7次
成绩
27
28
30
28
29
29
28
A．27 B．28 C．29 D．30
【解答】解：∵前7次体育模拟测试成绩27和30出现了1次，28出现了3次，29出现了2次，这8次成绩的众数不止一个，
∴第8次测试的成绩为29分，
∴a＝29．
故选：C．
5．（3分）已知平行四边形ABCD中，∠B＝4∠A，则∠C＝（　　）
A．18° B．36° C．72° D．144°
【解答】解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C＝∠A，BC∥AD，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠B＝4∠A，
∴∠A＝36°，
∴∠C＝∠A＝36°，
故选：B．
6．（3分）为响应国家“双减政策”，某校2021年第三季度平均每周作业时长为600分钟，经过2021年第四季度和2022年第一季度两次整改后，平均每周作业时长为350分钟．设每季度平均每周作业时长的下降率为a，则可列方程为（　　）
A．600（1﹣a）＝350 B．350（1+a）＝600
C．600（1﹣a）2＝350 D．350（1+a）2＝600
【解答】解：设每季度平均每周作业时长的下降率为a，
∵2021年第三季度平均每周作业时长为600分钟，
∴2021年第四季度平均每周作业时长为600（1﹣a）分钟，
2022年第一季度平均每周作业时长为600（1﹣a）2分钟，
∴600（1﹣a）2＝350，
故选：C．
7．（3分）四边形的内角和等于x°，五边形的外角和等于y°，则下列关系成立的是（　　）
A．x＝y B．x＝2y C．x＝y+180 D．y＝x+180
【解答】解：∵四边形的内角和等于x°，
∴x°＝（4﹣2）•180°＝360°．
∵五边形的外角和等于y°，
∴y°＝360°，
∴x＝y．
故选：A．
8．（3分）已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，BD⊥AC，若AB＝6，AC＝8，则对角线BD的长是（　　）
A．2 B．2 C．4 D．4
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，OA＝OC＝AC＝4
∵AC⊥BD，
∴由勾股定理得：OB＝＝＝2，
∴BD＝2OB＝4．
故选：D．
9．（3分）下列关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的命题中，真命题有（　　）
①若a﹣b+c＝0，则b2﹣4ac＞0；
②若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）两根为1和﹣2，则a﹣b＝0；
③若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一个根是﹣c（c≠0），则b＝ac+1．
A．①②③ B．①② C．②③ D．①③
【解答】解：①当a﹣b+c＝0时，b＝a+c，
则b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0，本小题说法是真命题；
②∵程ax2+bx+c＝0（a≠0）两根为1和﹣2，
∴﹣＝1+（﹣2）＝﹣1，
∴a﹣b＝0，本小题说法是真命题；
③∵方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一个根是﹣c，
∴ac2﹣bc+c＝0，
∵c≠0，
∴ac﹣b+1＝0，
∴b＝ac+1，本小题说法是真命题；
故选：A．
10．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；②OD＝AB；③S▱ABCD＝AC•CD；④S四边形OECD＝S△AOD，其中成立的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∠ADC＝60°，
∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，OB＝OD，
∴∠DAE＝∠AEB，∠BAD＝∠BCD＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB
∴△ABE为等边三角形，
∴∠BAE＝∠AEB＝60°，AB＝BE＝AE，
∵AB＝BC，
∴EC＝AE，
∴∠EAC＝∠ECA＝30°，
∴∠CAD＝30°，故①正确；
∵∠BAD＝120°，∠CAD＝30°，
∴∠BAC＝90°，
∴BO＞AB，
∴OD＞AB，故②错误；
∴S▱ABCD＝AB•AC＝AC•CD，故③正确；
∵∠BAC＝90°，BC＝2AB，
∴E是BC的中点，
∴S△BEO：S△BCD＝1：4，
∴S四边形OECD：S△BCD＝3：4，
∴S四边形OECD：S▱ABCD＝3：8，
∵S△AOD：S▱ABCD＝1：4，
∴S四边形OECD＝S△AOD，故④正确．
故选：C．
二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）要注意以真看清楚题目的要求和要填写的内容，尽量完整地填写否聚。
11．（4分）比较大小：﹣3　＜　﹣2．
【解答】解：∵（3）2＝18，（2）2＝12，
∴﹣3＜﹣2．
故答案为：＜．
12．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x+4＝0 有两个相等实数根，则m＝　6或﹣2　．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣（m﹣2）x+4＝0 有两个相等实数根，
∴Δ＝[﹣（m﹣2）]2﹣4×1×4＝0，
解得m＝6或m＝﹣2，
故答案为：6或﹣2．
13．（4分）已知一组数据1，5，2，4，x的平均数是3，则x＝　3　；这组数据的方差为 　2　．
【解答】解：由平均数的公式得：（1+5+2+4+x）÷5＝3，
解得x＝3；
则方差＝[（1﹣3）2+（5﹣3）2+（2﹣3）2+（4﹣3）2+（3﹣3）2]＝2．
故答案为：3；2．
14．（4分）已知O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，AC＝20，BC＝30，OD＝24，则△OBC的周长为 　64　．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC＝10，OB＝OD＝24，BC＝AD＝30，
△OBC的周长＝OB+OC+AD＝10+24+30＝64．
故答案为：64．

15．（4分）已知（m﹣3）≤0．若整数a满足m+a＝5，则a＝　5　．
【解答】解：∵（m﹣3）≤0，
∴，
∴2≤m≤3，
∵整数a满足m+a＝5，
∴m＝5﹣a，
∴2≤5﹣a≤3，
∴5﹣3≤a≤5﹣2，
∵7＜5＜8，
∴4＜a＜6
∴a是整数，
∴a＝5，
故答案为：5．
16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为边向下做正方形ADEB，过点E作EF∥BC交AC于点F，过点C作CG∥BE交EF于点G，连接DG，若AF＝3，DE＝15，则线段AD与CG的数量关系是 　AD∥CG且AD＝CG　；四边形CGEB的面积为 　81　．

【解答】解：∵四边形ADEB是正方形，
∴AD＝BE＝AB＝DE＝15，AD∥BE，
∵EF∥BC，CG∥BE，
∴四边形CBEG是平行四边形，AD∥CG，
∴CG＝BE＝AD＝15，
∴CG＝AB，
∵∠AFH＝∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠AHF＝90°，∠FEB+∠EHB＝90°，
∵∠AHF＝∠EHB，
∴∠CAB＝∠FEB，
∵∠FGC＝∠FEB，
∴∠CAB＝∠FGC，
在△GFC和△ACB中，
，
∴△GFC≌△ACB（AAS），
∴CF＝BC，
设AC＝b，CF＝BC＝a，则b﹣a＝AC﹣CF＝AF＝3，
∴（b﹣a）2＝32＝9，
∴b2+a2﹣2ab＝9，
∵b2+a2＝AC2+BC2＝AB2＝152＝225，
∴225﹣2ab＝9，
∴2ab＝216，
∴（b+a）2＝b2+a2+2ab＝225+216＝441＝212，
∴b+a＞0，
∴b+a＝21，
由得，
∴CF＝BC＝9，
∵CF⊥BC，且四边形CBEG是平行四边形，
∴S四边形CGEB＝BC•CF＝9×9＝81，
∴四边形CBEG的面积是81，
故答案为：AD∥CG且AD＝CG，81．

三、全题答一答（本题有7个小题，分值为6+8+8+10+10+12+12，共66分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，如果觉得有的题目有困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以。
17．（6分）计算：
（1）（3）+；
（2）．
【解答】解：（1）（3）+
＝3
＝3；
（2）
＝2
＝．
18．（8分）解方程：
（1）x2﹣x＝0；
（2）．
【解答】解：（1）x2﹣x＝0，
x（x﹣1）＝0，
x＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝0，x2＝1；
（2）∵a＝3，b＝﹣2，c＝﹣，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×3×（﹣）＝7＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
19．（8分）弘扬中华传统文化，感受中华诗词的独特魅力，校团委会举办首届“校园诗词大会”，初赛共10道题，每题10分，王敏从初赛名单中随机抽取部分同学的成绩，绘制出如下的统计图（1）和图（2）．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）图（1）a的值为 　25　，补全条形统计图；
（2）求被抽取的初赛成绩的平均数，众数和中位数；
（3）如果初赛成绩在90分或90分以上的同学进入复赛，请估计参加初赛的200位同学中有多少同学可以参加复赛．

【解答】解：（1）根据题意得：2÷10%＝20（人），a%＝5÷20＝25%，即a＝25，
20×20%＝4，
补全条形统计图：

故答案为：25；
（2）∵＝＝82（分），
∴这组数据的平均数是82分；
∵这组数据中，90分出现了6次，出现次数最多，
∴这组数据的众数为90分；
∵将这组数据按照从小到大顺序排列，其中处于中间的两个数都是80分，＝80，
∴这组数据的中位数为80分；
（3）根据题意得：×200＝90（位），
答：估计参加初赛的200位同学中有90位同学可以参加复赛．
20．（10分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OB，OD的中点，连接AE，AF，CE，CF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AB⊥AC，AB＝3，BC＝5．
①求AC的长；
②求BD的长．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵E，F分别是OB，OD的中点，
∴OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴AC＝，
∴OA＝AC＝2，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB＝，
∴BD＝2OB＝2．
21．（10分）作图：

（1）直接写出AC的长为 　　．
（2）在图1中找到格点D，画出以点A、B、C、D为顶点的平行四边形，画出所有的情况的平行四边形．
（3）在图2中找到格点D，画出以点A、B、C、D为顶点且周长最小的平行四边形，直接写出周长最小值．
（4）在（3）条件下，直接写出平行四边形的面积．
【解答】解：（1）由勾股定理得；AC＝＝，
故答案为：；
（2）如图1：▱ABCD，▱AD′BC即为所求；

（3）▱ABCD即为所求，
▱ABCD的周长为：6+4；
（4）▱ABCD的面积为：8×5﹣3×3﹣2×5＝40﹣9﹣10＝21．
22．（12分）对于向上抛的物体，如果空气阻力忽略不计，有下面的关系式：h＝v0t﹣gt2（h是物体离起点的高度，v0是初速度，g是重力系数，取10m/s2，t是抛出后经过的时间）．杂技演员抛球表演时，以10m/s的初速度把球向上抛出，球的起点离开地面2m．
（1）1.2秒时球离起点的高度是多少？
（2）几秒后球离起点的高度达到2.55m？
（3）球经过多少时间才落地？
【解答】解：由题意，将g＝10，v0＝10分别代入函数关系式，y＝﹣5t2+10t
（1）当t＝1.2时，代入解得y＝，
∴1.2秒时球离起点的高度是；
（2）当y＝2.55时，2.55＝﹣5t2+10t，
解得t1＝1.7，t2＝0.3．
故0.3秒或1.7秒后球离起点的高度达到2.55m．
（3）当球落地时h＝﹣2，
﹣2＝﹣5t2+10t
解得t1＝（舍去），t2＝．
故球经过秒后落地．
23．（12分）如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90，BC＝4，∠ABC＝60°，点P、Q是边AB，BC上两个动点，且BP＝4CQ，以BP，BQ为邻边作平行四边形BPDQ，PD，QD分别交AC于点E，F，设CQ＝m．
（1）直接写出BQ＝　4﹣m　；CE＝　2m　．（用含m的代数式表示）
（2）当平行四边形BPDQ的面积为时，求m的值；
（3）求证：△DEF≌△QCF；
（4）如图2，连接AD，PF，PQ，当AD与△PQF的一边平行时，求△PQF的面积．

【解答】（1）解：∵CQ＝m，BC＝4，
∴BQ＝BC﹣CQ＝4﹣m；
过点P作PH⊥BC于点H，如图1，
则∠PHB＝∠PHC＝90°，

∵四边形BPDQ是平行四边形，
∴PD∥BC，
∴∠EPH＝∠PHB＝90°＝∠PHC＝∠ECH，
∴四边形CEPH是矩形，
∴CE＝PH，
在Rt△BPH中，BP＝4CQ＝4m，∠ABC＝60°，
∴PH＝BP•sin∠ABC＝4m•sin60°＝2m，
∴CE＝2m，
故答案为：4﹣m；2m．
（2）解：∵S▱BPDQ＝BQ•CE＝2m（4﹣m）＝6，
解得：m＝1或3，
在Rt△ABC中，AB＝＝＝8，
∵点P、Q是边AB，BC上两个动点，
∴，
解得：0＜m≤2，
∴m的值为1；
（3）证明：由（1）（2）知：CQ＝m，BQ＝4﹣m，BP＝4m，AB＝8，
∵四边形BPDQ是平行四边形，
∴PD＝BQ＝4﹣m，PD∥BC，
∴∠AEP＝∠ACB＝90°，∠APE＝∠ABC＝60°，
∵AP＝AB﹣BP＝8﹣4m，
∴PE＝AP•cos∠APE＝（8﹣4m）•cos60°＝4﹣2m，
∴DE＝PD﹣PE＝4﹣m﹣（4﹣2m）＝m，
∴DE＝CQ，
∵PD∥BC，
∴∠FED＝∠FCQ，∠FDE＝∠FQC，
∴△DEF≌△QCF（ASA）；
（4）解：当AD∥PQ时，如图2，

∵四边形BPDQ是平行四边形，
∴BP∥DQ，BP＝DQ＝4m，
∴四边形APQD是平行四边形，
∴AP＝DQ＝4m，
∴AB＝AP+BP＝4m+4m＝8m，
∵AB＝8，
∴8m＝8，
解得：m＝1，
∴BQ＝4﹣m＝4﹣1＝3，CE＝2m＝2，
由（3）知：△DEF≌△QCF，
∴DF＝FQ，
S△PQF＝S△DPQ＝S▱BPDQ＝BQ•CE＝×3×2＝；
当AD∥PF时，如图3，

∵四边形BPDQ是平行四边形，
∴BP∥DQ，
∴四边形APFD是平行四边形，
∴AP＝DF＝DQ＝2m，
∴AB＝AP+BP＝2m+4m＝6m，
∴6m＝8，
解得：m＝，
∴BQ＝4﹣m＝4﹣＝，CE＝2m＝，
∴S△PQF＝S△DPQ＝S▱BPDQ＝BQ•CE＝××＝；
综上所述，△PQF的面积为或．