2022-2023学年浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  下列多项式中能用平方差公式分解因式的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图所示，下列说法中错误的是(    )

A. 与是内错角
B. 与是内错角
C. 与是同旁内角
D. 与是同位角

4.  下列式子变形是因式分解的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图，点在的延长线上，下列条件能判断的是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  若且，则代数式的值等于(    )

A.  B.  C.  D.

7.  解方程组时，一学生把看错而得到，而正确的解是，那么的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  若关于、的方程组的解为整数，则满足条件的所有整数的值的和为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  用如图中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图的竖式和横式的两种无盖纸盒现有张正方形纸板和张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，则的值可能是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，，点为上方一点，、分别为、的角平分线，若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  方程是关于，的二元一次方程，则 ______ ， ______ ．

12.  已知，，，比较，，的大小关系，用“”号连接为______ ．

13.  已知，，则 ______ ， ______ ．

14.  如图，长方形纸带中，，将纸带沿折叠，，两点分别落在，处，若，则的大小是______ ．

15.  关于，的方程组，满足、和等于，则 ______ ．

16.  冬季奥运主题活动中，某班设计如图的“红色徽章”，其设计原理是：如图，在边长为的正方形四周分别放置四个边长为的小正方形，构造了一个大正方形，并画出阴影部分图形，形成了“红色徽章”的图标现将阴影部分图形面积记作，每一个边长为的小正方形面积记作，若，则的值是______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
化简：
；
．

18.  本小题分
因式分解或解方程组
因式分解；
解方程组．

19.  本小题分
如图，在所给的网格图每个小格均为边长是的正方形中完成下列各题：
作出三角形向右平移格，向下平移格后所得的三角形；
求出的面积．
 

20.  本小题分
如图，是由两个宽为、长为的长方形和两个边长分别为、的小正方形围成的图形，若两个小正方形的边长的差是，面积的差．
求围成后的正方形的面积；
求宽为，长为的长方形的面积．

21.  本小题分
如图，于，于，．

求证：；
若，：：，求的度数．

22.  本小题分
某校准备组织七年级名学生参加夏令营，已知满员时，用辆小客车和辆大客车每次可运送学生人；用一辆小客车和辆大客车每次可运送学生人．
辆小客车和辆大客车都坐满后一次可送多少名学生？
若学校计划租用小客车辆，大客车辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满；
请你设计出所有的租车方案；
若小客车每辆需租金元，大客车每辆需租金元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金．

23.  本小题分
如图，直线，直线与，分别交于点，，，小安将一个直角三角形按如图放置，使点、分别在直线、上，，．

试比较与的大小关系，并说明理由；
若的平分线交直线于点，如图．
当，时，求的度数；
小安将三角形沿直线左右移动，保持，点、分别在直线和直线上移动，在平移过程中求的度数用含的式子表示．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、原式，故选项正确；
B、原式不能合并，故选项错误；
C、原式，故选项错误；
D、原式，故选项错误．
故选：．
A、原式利用积的乘方及幂的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断；
B、原式不能合并，错误；
C、原式利用完全平方公式展开得到结果，即可作出判断；
D、原式利用幂的乘方法则计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了积的乘方及幂的乘方运算、合并同类项、完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：不能使用平方差公式分解因式，不符合题意；
B.不能使用平方差公式分解因式，不符合题意；
C.不能使用平方差公式分解因式，不符合题意；
D.能使用平方差公式分解因式，符合题意；
故选：．
能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．
此题主要考查了平方差公式分解因式，关键是正确把握平方差公式的特点：．
 

3.【答案】 

【解析】解：与是内错角，说法正确，不符合题意；
B.与是不是内错角，说法错误；符合题意；
C.与是同旁内角，说法正确；不符合题意；
D.与不是同位角，说法正确；不符合题意；
故选：．
依据内错角，同位角以及同旁内角的定义进行判断，即可得出结论．
本题主要考查了内错角，同位角以及同旁内角的定义，解题时注意：同位角的边构成““形，内错角的边构成““形，同旁内角的边构成“”形．
 

4.【答案】 

【解析】解：、右边不是整式积的形式，故不是分解因式，故本选项错误；
B、右边不是整式积的形式，故不是分解因式，故本选项错误；
C、是整式的乘法，故不是分解因式，故本选项错误；
D、，故本选项正确．
故选：．
根据因式分解的定义：就是把整式变形成整式的积的形式，即可作出判断．
本题考查的是因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据内错角相等，两直线平行即可证得，不能证；
B.根据内错角相等，两直线平行即可证得；
C.根据内错角相等，两直线平行即可证得，不能证；
D.根据同旁内角互补，两直线平行，即可证得，不能证．
故选：．
根据平行线的判定定理即可直接作出判断．
本题考查了平行线的判定定理，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了整式的混合运算和求值的应用，能正确运用整式的运算法则进行化简是解此题的关键，用了整体代入得思想，难度适中．
先算乘法，再变形，最后整体代入求出即可．
【解答】
解：，，




，
故选D．  

7.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
把，代入得：，
解得：，
．
故选：．
利用方程组解的定义，代入得新的方程组求解．
本题考查了二元一次方程组的解的概念，解方程组是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：对方程组
，得，
，
关于、的方程组的解为整数，
，即、、、，
满足条件的所有的值的和为．
故选：．
先把看作已知数求出，然后结合方程组的解为整数即可求出的值，进而可得答案．
本题考查了二元一次方程组的解法，正确理解题意、熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：设可以做成个竖式的无盖纸盒，个横式的无盖纸盒，
依题意得：，
得：．
又，均为整数，
为的倍数，
的值可能为．
故选：．
设可以做成个竖式的无盖纸盒，个横式的无盖纸盒，根据恰好将纸板用完，即可得出关于，的二元一次方程组，两方程相加后可得出，结合，均为整数可得出为的倍数，再对照四个选项即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：过作，

，
，
，
，
，
、分别为、的角平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
过作，根据平行线的性质可得，，进而可得，再利用平行线的性质进行等量代换可得，求出的度数，然后可得答案．
此题主要考查了平行线的性质，关键是正确作出辅助线，掌握两直线平行同位角相等，内错角相等．
 

11.【答案】   

【解析】解：由题意，得：，，
解得：，；
故答案为：，．
根据二元一次方程定义：一个含有两个未知数，并且未知数的都指数是的整式方程，叫二元一次方程，求出，的值即可得出答案．
此题主要考查二元一次方程的定义，解题的关键是根据二元一次方程的概念得出，的值．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
；
故答案为：．
根据有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂的法则，进行计算，再比较大小即可．
本题考查比较有理数的大小．熟练掌握有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂的法则，是解题的关键．
 

13.【答案】   

【解析】解：，
．
故答案为：，．
逆用同底数幂的乘法，幂的乘方，可得答案．
本题主要考查了同底数幂乘法和幂的乘方，解题的关键是熟练掌握运算法则：同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，
，
将纸带沿折叠，
，
；
故答案为：．
根据两直线平行，内错角相等，求出，折叠求出，再利用平角的定义，进行求解即可．
本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
由得：，
由、和等于得到，
联立、得方程组：，
解之得：，
把代入得：，
解得．
故答案为：．
由得：，由、和等于得到，联立、得方程组：，解得，代入即可得到的值．
本题考查了二元一次方程组的解和解法，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图所示，对需要的交点标注字母：

，


，
，
，
，
，
，
化简得：，
，
故答案为：．
根据图形中阴影部分均为三角形，利用三角形面积公式，找到底和高可求出与面积，求面积使用正方形面积减去三个三角形面积，可求得，，利用已知条件进行多项式的化简即可得出答案．
本题考查了整式的混合运算，利用面积差求阴影部分面积是解题关键．
 

17.【答案】解：

．
． 

【解析】根据同底数幂乘法和积的乘方计算后，再合并同类项即可；
利用多项式除以单项式法则计算即可．
此题考查了整式的混合运算和多项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
 

18.【答案】解：

；
，
原方程组可变为，
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
原方程组的解为：． 

【解析】先提公因式，然后再用完全平方公式分解因式即可；
先将方程组变形为，再利用加减消元法解方程组即可．
本题主要考查了因式分解和解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和解二元一次方程组的一般方法，准确计算．
 

19.【答案】解：如图，即为所求；

的面积． 

【解析】本题考查了作图平移变换，解决本题的关键是掌握平移的性质．
根据平移的性质即可作出三角形向右平移格，向下平移格后所得的三角形；
根据网格利用割补法即可求出的面积．
 

20.【答案】解：由题意得：，，
因为，
所以，
，
所以正方形的面积为．
，
由得：，，
，
所以长方形的面积为． 

【解析】由题意可知，，，再结合平方差公式解答；
由，结合中，，代入计算即可．
本题考查平方差公式与几何图形的面积，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
 

21.【答案】证明：，，
，
，
，
．
，
；
解：：：，
设，，
，
，
，
即，解得，
． 

【解析】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
根据，，可得，得，即可得出结论；
根据：：，可以设，，根据，可得，求出的值，进而可得的度数．
 

22.【答案】解：设每辆小客车能坐名学生，每辆大客车能坐名学生
根据题意，得
解得
，
答：辆小客车和辆大客车都坐满后一次可送名学生．

由题意得：，
，
、为非负整数，
或 或，
租车方案有三种：
方案一：小客车车、大客车辆，
方案二：小客车辆，大客车辆，
方案三：小客车辆，大客车辆；

方案一租金：元，
方案二租金：元，
方案三租金：元，
方案三租金最少，最少租金为元． 

【解析】每辆小客车能坐名学生，每辆大客车能坐名学生，根据用辆小客车和辆大客车每次可运送学生人；用辆小客车和辆大客车每次可运送学生人；列出方程组，再解即可；
根据题意可得小客车辆运的人数大客车辆运的人数，然后求出整数解即可；根据所得方案和小客车每辆租金元，大客车每辆租金元分别计算出租金即可．
此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
 

23.【答案】解：，过点作，
，
，
，
，
；
，，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
；
点在的右侧时，如图，
，，
，
，
，
，
平分，
，
，
；
点在的左侧时，如图，
，，
，
，
，
，，
平分，
，
，
综上所述，的度数为或． 

【解析】过点作，根据平行线的性质可得，，进而可求解；
由平行线的性质可得，结合角平分线的定义可得，再利用平行线的性质可求解；
可分两种情况：点在的右侧时，点在的左侧时，利用平行线的性质及角平分线的定义计算可求解．
本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，分类讨论是解题的关键．