函数与导数-浙江省温州高考数学三年（2021-2023）模拟题知识点分类汇编

这是一份函数与导数-浙江省温州高考数学三年（2021-2023）模拟题知识点分类汇编，共36页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
函数与导数-浙江省温州高考数学三年（2021-2023）模拟题知识点分类汇编

一、单选题
1．（2023·浙江温州·统考二模）已知，则（    ）
A． B．
C． D．
2．（2023·浙江温州·统考二模）某个函数的大致图象如图所示，则该函数可能是（    ）

A． B．
C． D．
3．（2023·浙江温州·统考二模）已知向量，满足，且对任意实数，，的最小值为，的最小值为，则（    ）
A． B．
C．或 D．或
4．（2023·浙江温州·统考模拟预测）已知P为直线上一动点，过点P作抛物线的两条切线，切点记为A，B，则原点到直线距离的最大值为（    ）
A．1 B． C． D．2
5．（2022·浙江温州·三模）已知函数，的图象如图所示，则函数的解析式可能是（    ）

A． B．
C． D．
6．（2022·浙江温州·三模）已知，则（    ）
A． B． C． D．
7．（2022·浙江温州·统考二模）已知函数，，则图象为如图的函数可能是（    ）

A． B．
C． D．
8．（2022·浙江温州·统考二模）对于数列，若存在正数，使得对一切正整数，恒有，则称数列有界；若这样的正数不存在，则称数列无界，已知数列满足：，，记数列的前项和为，数列的前项和为，则下列结论正确的是（    ）
A．当时，数列有界 B．当时，数列有界
C．当时，数列有界 D．当时，数列有界
9．（2021·浙江温州·统考三模）函数的图象如图所示，则（    ）

A． B．
C． D．
10．（2021·浙江温州·统考二模）已知函数，则函数的图象可能是（    ）
A． B．
C． D．

二、多选题
11．（2023·浙江温州·统考二模）函数，则（    ）
A．，使得在上递减
B．，使得直线为曲线的切线
C．，使得既为的极大值也为的极小值
D．，使得在上有两个零点，且
12．（2023·浙江温州·统考模拟预测）已知实数a,b满足:且,则（    ）
A． B．
C． D．
13．（2023·浙江温州·统考模拟预测）若函数的图象上存在两个不同的点P，Q，使得在这两点处的切线重合，则称函数为“切线重合函数”，下列函数中是“切线重合函数”的是（    ）
A． B．
C． D．

三、填空题
14．（2022·浙江温州·三模）已知函数 若，则实数a的值等于___________.
15．（2022·浙江温州·统考二模）已知，函数有且仅有两个不同的零点，则的取值范围是_________.
16．（2021·浙江温州·统考二模）已知函数，若对任意的，都存在，使得，则实数的最大值为_________．

四、双空题
17．（2023·浙江温州·统考模拟预测）定义在R上的函数满足，，若，则__________，__________．
18．（2021·浙江温州·统考三模）设，则_________，________．

五、解答题
19．（2023·浙江温州·统考二模）已知函数．
(1)若，求方程的解；
(2)若有两个零点且有两个极值点，记两个极值点为，求的取值范围并证明．
20．（2023·浙江温州·统考模拟预测）已知，函数的最小值为2，其中，．
(1)求实数a的值；
(2)，有，求的最大值．
21．（2022·浙江温州·三模）已知，函数.
(1)若恒成立，求t的取值范围；
(2)若方程有两个正实数根.
（i）求t的取值范围；
（ii）证明：.（注：是自然对数的底数）
22．（2022·浙江温州·统考二模）如图，平行四边形的顶点在曲线：上，顶点在曲线：上，直线方程为.

(1)用表示；
(2)求直线在轴上的截距的最大值.
23．（2022·浙江温州·统考二模）已知实数，函数.
(1)（i）若函数在上恰有一个零点，求实数的值；
（ⅱ）当时，证明：对任意的，恒有.
(2)当时，方程有两个不同的实数根，证明：.
24．（2021·浙江温州·统考三模）已知函数．
(1)当时，恒成立，求实数t的取值范围；
(2)当时，对任意的，恒成立，求整数n的最小值．
25．（2021·浙江温州·统考二模）已知函数．
（1）若函数没有极值点，求实数的取值范围；
（2）若对任意的恒成立，求实数和所满足的关系式，并求实数的取值范围．

参考答案：
1．D
【分析】由题设可得，，结合结构特征，先构造函数，利用导数分析单调性，比较出；结合，，进而求解.
【详解】因为，，
即，，
先证明，
设，
则，
令，则；令，则，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
即，即，
所以，
即，即.
而，

所以.
故选：D.
2．B
【分析】根据函数的奇偶性可判断C，根据和即可排除AD.
【详解】4个选项函数定义域均为R，对于A, ，故为奇函数，且
对于B, 故为奇函数，，
对于C, ,故为偶函数，
对于D，故为奇函数，，
由图知为奇函数，故排除C；由，排除A,由，排除D,
故选：B．
3．C
【分析】不妨设向量，，求出，的坐标，表示为关于x的二次函数，根据二次函数的图象与性质可利用最小值列出等式，同理，表示为关于y的二次函数，利用最小值列出等式，两式联立求出m，n，即可求得．
【详解】不妨设向量，，
则，，
所以，
又对任意实数有的最小值为，
所以，化简得．
又，
对任意实数有的最小值为，
所以，所以，即．
由，可得或3，
故或．
故选：C．
【点睛】本题主要考查平面向量与二次函数最小值的综合问题，考查考生分析问题、解决问题的能力以及运算求解能力，属于中档题．本题求解的关键：一是设出向量，的坐标，有利于从“数”的角度加以分析；二是在“平方”变形的基础上，灵活运用二次函数的最小值．
4．B
【分析】设，然后表示出两条切线方程，从而可表示出直线的方程，再利用点到直线的距离公式表示出原点到直线距离，从而可求出其最大值.
【详解】设，切点为，
由，得，则，
所以在点处的切线方程为，即，
因为，所以
在点处的切线方程为，即，
因为，所以
因为两切线都过点，
所以，，
所以直线的方程为，即，
所以原点到直线距离为



，当且仅当时取等号，
所以原点到直线距离的最大值为，
故选：B
5．A
【分析】由图象可知，为奇函数，结合选项判断易得，A、C为奇函数，B、D为偶函数，排除B、D选项；又知时，，令即可判断.
【详解】由图像可知，函数的图象关于原点对称，即为奇函数，可排除B、D项；
对于C选项，有，而图像恒在x轴上方可知C选项错误；
故选：A.
6．D
【分析】根据对数与指数幂的运算结合对数函数的性质即可得出答案.
【详解】解：因为，
所以，故，
，所以.
故选：D.
7．D
【分析】根据函数图象的对称性，结合函数奇偶性、特例法进行逐一判断即可.
【详解】由函数的图象可知：该函数的图象关于原点对称，因此函数是奇函数，且定义域为非零的实数集.
A：，
因为，，
所以，因此该函数不是奇函数，不符合题意；
B：，
因为，，
所以，因此该函数不是奇函数，不符合题意；
C：设，显然定义域为非零的实数集，
因为，
所以该函数是奇函数，因为，
当时，，当时，，与图象不符合，因此不符合题意；
D：设，显然定义域为非零的实数集，
因为，
所以该函数是奇函数，因为，
当时，，当时，函数增长的速度远远大于函数增长的速度，而，所以，与图象符合，因此符合题意，
故选：D
8．B
【分析】当时， 构造新函数，利用导数判断其单调性，进而得出，由此判断A;
构造函数，判断其单调性，推出，进而得到，从而说明，判断B; 当 时，说明成立，从而判断C,D.
【详解】当时，
令，则，
当 时，，故 ，
因为，则，
所以 ，（这是因为），
令 ，则，
故时单调递增函数，
故，则，
假设 ，则，
故由归纳法可得成立，所以 ，
故数列无界，故A错；
又由，
设
则 ，
故递减，则，
所以 ，则 ，
则 ，
故 ，则，
故 ，
即当时，数列有界，故B正确
当 时，，由， ，
假设 ，则 ，即成立，
所以此时 都无界，故C,D错误；
【点睛】本题给定数列的新定义，要求能根据定义去判断数列是否符合要求，其中涉及到构造函数，并判断函数的单调性等问题，较为复杂，比较困难.
9．D
【分析】由函数的奇偶性可求出，再由函数图象不连续即可知分母等于零有解，即可排除AC.
【详解】解：由图象可知，函数的偶函数，即，即，
则，B不正确；由图象可知，有解，即，故AC不正确，
故选:D.
【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
10．B
【分析】利用特殊值代入的方法排除C D，当时，求出，，比较变化情况排除选项A，即可得出结果.
【详解】因为，
由，排除C D；
当时，
，
，
又，
则，
；
，
，
选项A在减的越来越快，不符合题意；
故选：B.
【点睛】方法点睛：本题考查函数图象的识别，此类问题一般利用特殊值代入，根据函数的奇偶性、单调性、函数在特殊点处的函数的符号等来判别.
11．BCD
【分析】根据函数单调由即可求解A，根据切点为的切线，即可求解B,求导，利用导数的正负确定单调性即可确定极小值，结合对称性即可确定极大值，举例求解D.
【详解】A．若，使得在上递减，则，代入得，解得 且，故 不存在，因此不存在，使得在上递减，故A错；
B．当时，，当切点为时，则只需，故B对；
C．注意到，令，
另一方面，时，，
当时，，
当时，
此时时，取极小值，此时为极小值，
由，所以函数的图象关于对称，由对称性可知：为的极大值，此时也为极大值．故C对；
对于D，令，，函数在上有两个零点，，所以，
故D正确；
故选：BCD
【点睛】对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
12．ACD
【分析】构造,求导判断单调性来确定A,D选项的正误,将特殊值代入确定选项B的正误,根据分析确定取值范围,确定选项C的正误即可.
【详解】解:由题知,


当且仅当时取等,
故有:
关于选项A,构造
,
所以在上单调递增,
,
即,
故选项A正确;
关于选项B,
不妨取代入,
可得不成立,
故选项B错误;
关于选项C,

,
,
故选项C正确;
关于选项D,
构造,

令,

在单调递减,
当时，,
,
即
即单调递减,
,
即,
,
,
,
故选项D正确.
故选:ACD
13．ABC
【分析】求出导函数，确定切线斜率，选项AB，过图象最高点（或最低点）处的切线是同一条直线，可判断，选项C，由导函数斜率相等的点有无数组，结合函数单调性，确定斜率为1的切线，可判断结论，选项D，导函数是单调增函数，因此不存在斜率相等的两点，这样易判断结论．
【详解】对A，，
，时，，取得最大值，
直线是函数图象的切线，且过点，所以函数是“切线重合函数”；
对B，，，时，，，，
此时是函数的最大值，直线是函数图象的切线，且过点，函数是“切线重合函数”；
对C，，，
时，，，
过点的切线方程是，即，
因此该切线过图象上的两个以上的点，函数是“切线重合函数”；
对D，，，令，
则，所以即是R上增函数，因此函数图象上不存在两点，它们的切线斜率相等，
也就不存在切线过图象上的两点，因此函数不是“切线重合函数”．
故选：ABC．
【点睛】本题考查导数的几何意义，解题关键是理解新定义，实质仍然是求函数图象上的切线方程，只是要考虑哪些切线重合，因此本题中含有三角函数，对三角函数来讲，其最高点或最低点是首选，对其它与三角函数有关的函数，涉及到其中三角函数的最大值或最小值点也是我们首选考虑的．
14．
【分析】明确自变量所属范围，然后带入对应的解析式计算即可
【详解】①当即时，，则（舍）
②当即时，
Ⅰ：当,即 时,有
Ⅱ:当 时，即 时，有 无解
综上，.
故答案为：
15．
【分析】根据零点的定义，运用转化法，结合导数的性质，利用数形结合思想进行求解即可.
【详解】因为函数有且仅有两个不同的零点，
所以方程有且仅有两个不同的实数根，
由，
设，
问题转化为函数的图象与直线有两个不同的交点，
，显然，
由，
当时，单调递减，当时，单调递增，
当时，单调递增，而，
所以当时，单调递减，当时，单调递增，，
因为，所以直线的斜率为负值且恒过横轴负半轴上一点，
如图所示：

设函数的切点为，过该切点的斜率为，
切线方程为，
当该切线方程为时，有，消去得：
，或（舍去），或，
当时，，此时方程的切线方程为：，
当时，，不符合，
因此要想函数的图象与直线有两个不同的交点，
所以有，
故答案为：
【点睛】关键点睛：利用导数求出曲线的切线方程，运用转化法进行求解是解题的关键.
16．
【分析】当时，问题转化为当时，，由于，，矛盾，故不满足；当时，问题转化为当时，，由于，，进而得，解不等式，进而得实数的最大值
【详解】解：当时，取绝对值得，作出函数的图像如图1，

此时，，，
故对任意的，都存在，使得成立则需满足，
由于，，显然不满足，；
当时，函数图像如图2所示，

此时，，，
故对任意的，都存在，使得成立则需满足，
由于，，
所以当时，才能满足对任意的，都存在，使得成立，
整理不等式得：，解得：，
由于，所以.
由于所求为实数的最大值，故不需要再讨论的情况.
所以，若对任意的，都存在，使得，则实数的最大值为.
故答案为：
【点睛】本题考查分段函数的分类讨论思想，化归转化思想，考查综合分析问题与解决问题的能力，是中档题.本题解题的关键在于分时和时两种情况分别讨论求解.
17．
【分析】依题意可得，即可得到是以为周期的周期函数，再由，可得，即可求出，从而得到且，再根据，即可求出，，，最后利用并项求和法计算可得.
【详解】解：因为，所以，
所以，则，
所以是以为周期的周期函数，
所以，又，所以，
又，所以，
即且，
由，所以，，，
所以
.
故答案为：；
18． 9
【分析】直接由对数转化为指数可得第一个空，由换底公式计算第二个空即可.
【详解】由，得，所以；
.
故答案为：9；.
19．(1)解为
(2)，证明见解析

【分析】（1）用导数研究的单调性与极值，只有在极值点处满足；
（2）由及分别有两个零点，分离参数，数形结合得到的取值范围，由消去代入得，结合进一步转化为证明，结合的范围，考察的最值得证.
【详解】（1），定义域为，
令，设，
故在上单调递减，在上单调递增，，
故方程的解为.
（2）令，得，设，
故在单调递增，在单调递减，，
当时，当时，
若有两个零点，则，故，
，令，得，
设，则，
故在单调递增，在单调递减，，
当时，当时，
若有两个极值点，则，
综上，.
不妨令，因为且，由与图象得，

由为的两根得，
两式分别乘并整理得，
所以，
要证，即证，
即证：，
由于，所以 ，
只需证，即证，（），
令，（），
当时，所以在上单调递减，
所以，故，得证.
【点睛】关键点点睛：由为的两根得……①，
……②，对含参双零点常用处理方法：
①+②得……③，用此式可代入消参，
①－②得……④，也用此式可代入消参，
由③④得，可直接消参.
本题中以上方法均不适合，结合要证的结论要想消参需要在①②两式分别乘构造出代入即可.
20．(1)；
(2)1.

【分析】(1)根据题意求出函数的解析式，利用导数讨论函数的单调性，求出函数的最小值，列出方程，解之即可；
(2)根据题意可得，即在上恒成立且在上恒成立，利用导数分别研究函数和的单调性，进而求出、，由可得，即可求解.
【详解】（1）由题意知，，
则，
令，令，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，又，
所以，解得，
经检验，符合题意.
故.
（2）由，得
，即，
对于，可得不等式在R上恒成立，
即在R上恒成立，
设，则，
若，则，函数在R上单调递增，
且，符合题意；
若，令，令，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
由，得，即①；
对于，可得不等式在上恒成立，
即在上恒成立，
设，则，
若，则，不符合题意；
若，令，令，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
由，得，即②.
当时，由①②得，，即，
设，则，，
故存在零点，故当且仅当，时等号成立.
综上，的最大值为1.
【点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的方法
(1)分离参数法求范围：若或恒成立，只需满足或即可，利用导数方法求出的最小值或的最大值，从而解决问题；
(2)把参数看作常数利用分类讨论方法解决：对于不适合分离参数的不等式，常常将参数看作常数直接构造函数，常用分类讨论法，利用导数研究单调性、最值，从而得出参数范围.
21．(1)
(2)（i）；（ii）证明见解析

【分析】（1）由，恒成立，考虑即可，法一：由恒成立，得，利用指数和对数互化，化简得到，令，用导数法求解；法二：由题意知，考虑即可，利用导数法，由求解；法三：由题意得，考虑，过原点作的切线，设切点，利用导数的几何意义求解；法四：由题意知，令，则，所以，再利用分析法证明；
（2）（i）令有两零点，令，即，由在R上递增，得到，转化为有两零点，用导数法求解；（ii）法一：由（i）知，已知等价于有两个零点，即，得到.将证，转化为证，再分别证明和 即可；法二：分别证和即可.
(1)
法一：考虑即可，得，得，，
令，
则，
函数在递增，递减，又，
所以.
法二：由题意知，考虑即可，，
当时，，矛盾，舍去；
当时，，得，
于是在递减，在递增，则，
得，得，
当时，，于是在递增，所以，
所以当时，所以恒有，综上所述，.
法三：由题意得，考虑，过原点作的切线，设切点，
则，又，得，
所以，得，
又题意知，得.
法四：由题意知，令，则，所以.
下证：当时，.由于在递增，
所以欲证，只需证，
令，则，知，函数在递减，递增，
故，证毕.
(2)
（i）令有两零点，令，
，由在R上递增，则，
所以上述等价于有两零点，
于是，由（1）知，令，则在递增，递减，又，
所以.
另：考虑，由，令，得，得，此时等价于，
所以等价于，
于是，由（1）知，令，则，函数在递增，递减，又，
所以.
（ii）法一：证明：由（i）知，已知等价于有两个零点，
于是，所以.
欲证，只需证
只需证，消t得，
一方面，下证：，等价于证明，
令，则等价于证明，等价于证明，
令，则，所以在递增，
所以，得证.
另一方面，再证，等价于证，
等价于证，等价于证，
等价于证，等价于证，
令，所以在递减，所以，得证.
综上两方面所述，所以.
法二：一方面，，
因为，则，得，
所以，
别一方面，，因为，
所以，由对均知：，
又易证，所以，所以，
综上所述，.
【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：
若在区间D上有最值，则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
若能分离常数，即将问题转化为：（或），则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
22．(1)
(2)

【分析】（1）首先利用临界状态求得的取值范围；设，联立，利用韦达定理求得，，再根据弦长公式即可得出答案；
（2）根据题意可设直线的方程为，，联立，利用韦达定理求得，再根据弦长公式求得，再根据，将用表示，再利用导数求出答案即可.
(1)
当直线过椭圆的左顶点时，，解得：；
当时，直线，即，
由得：，
直线，即；
由得：；由得：；
此时，，
即四边形不是平行四边形，；
当直线过椭圆的右顶点时，，解得：；
同理可知：；
又平行四边形的顶点在曲线：上，顶点在曲线：上，；
设，，联立得：，
则，，
则，
，.
(2)
四边形为平行四边形，；
设直线的方程为：，，，
联立得：，则，；
，
因为，
所以，
即，
，，
令，则，则，，
令，，令，，
则，当时，，在上单调递减；
又为减函数，函数在上单调递减，
，即，解得：，
直线在y轴上的截距的最大值为.
【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆、抛物线的综合应用问题，求解第二问中最值的基本思路是将所求截距表示为关于变量的函数的形式，从而利用导数求得函数的最值，进而得到所求截距的最值.
23．(1)（i）；（ⅱ）证明见解析；
(2)证明见解析.

【分析】（1）（i）由题设可得，根据导函数符号判断的单调性，进而求得极值，结合题设有，即可求参数值；（ⅱ）将问题转化为求证，再将其展开有，利用基本不等式、因式分解，并构造并利用导数研究单调性，即可证明结论.
（2）令并研究其单调性，将问题转化为求证，然后构造，利用导数研究极值点、单调性可得，结合，将问题进一步转化为求证即，讨论、，构造中间函数结合导数研究函数值符号，即可证结论.
（1）
（i）由题设且，则上，上，
所以在上递减，在上递增，而，
要使在上恰有一个零点，只需，即.
（ⅱ），，
要证，即证，
，
则，
需证，
由，且，
由，则，即在上，递减，所以，即，
综上，成立，故得证.
（2）
由等价于，若，需证，
由上，，故时，即递减.
因为等价于，
令且，，则，
又在上递减，趋向正无穷时趋向于，
所以使，则在上，递增；在上，递减；
综上，存在极大值，结合是的两个不同零点，
所以，且，
综上，由的单调性，问题转化为证明即可.
当时，显然成立；
当时，要证，只需即可，
令且，则，故递减，则，即，
所以，
令，则在上递减且，，故使，
所以在上，递增，上，递减，
则，即.
综上，上，得证.
【点睛】关键点点睛：
（1）（ⅱ）将问题转化为，利用基本不等式、因式分解、构造函数研究单调性证明不等式；
（2）利用分析法，构造结合导数研究单调性、极值，将问题转化为求证，注意分类讨论思想的应用.
24．（1）；（2）1．
【分析】(1)构造函数并求导，讨论这个函数的单调性，求出最小值为0时的x的最小值即可得解；
(2)由(1)把给定恒成立的不等式等价转化为新函数不小于0恒成立，进而探讨整数n的范围即可得解.
【详解】(1)设，
令，时，时，在上递减，在上递增，
所以，即，在R上递增，而，即当时，，当时，，
所以实数t的取值范围是；
(2)由(1)知：当时，，当时，且为R上的奇函数，
当时，对任意的，恒成立，
只需当时，对任意的，，
即当时，对任意的，，
时，，，矛盾，即a>0，n≥0，
时，，矛盾，而，即n