函数与导数-浙江省嘉兴市高考数学三年（2021-2023）模拟题知识点分类汇编

这是一份函数与导数-浙江省嘉兴市高考数学三年（2021-2023）模拟题知识点分类汇编，共30页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
函数与导数-浙江省嘉兴市高考数学三年（2021-2023）模拟题知识点分类汇编

一、单选题
1．（2023·浙江嘉兴·统考二模）设函数的定义域为，其导函数为，若，则下列结论不一定正确的是（    ）
A． B．
C． D．
2．（2023·浙江嘉兴·统考二模）已知集合，则（    ）
A． B．
C． D．
3．（2023·浙江嘉兴·统考二模）已知，则（    ）
A． B．
C． D．
4．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）定义在上的函数满足，若，且对，，均有，则（    ）
A． B． C． D．
5．（2022·浙江嘉兴·模拟预测）如图为函数的部分图象，则的值可能是（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1
6．（2022·浙江嘉兴·模拟预测）平面直角坐标系中，若两点，满足或，则称点S和点T保持了合理间距．正方形中，顶点，动点P，Q都在正方形内（包括边界），且点P在抛物线上，则下列说法错误的是（    ）
A．若点P与点O，A，B都保持了合理间距，则点P的横坐标的取值范围是
B．若点Q与点O，A，B都保持了合理间距，则点Q的轨迹所形成的面积为6
C．若点Q与点P，O，A，B都保持了合理间距，则点Q的轨迹所形成的面积最大值为6
D．若点Q与点P，O，A，B都保持了合理间距，则点Q的轨迹所形成的面积最小值为
7．（2022·浙江嘉兴·模拟预测）设，则“”是“”的（    ）.
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（2022·浙江嘉兴·统考二模）设a，，若时，恒有，则（    ）
A． B． C． D．
9．（2022·浙江嘉兴·统考二模）已知集合，，则（    ）
A． B． C． D．
10．（2022·浙江嘉兴·统考二模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（    ）（是自然对数的底数）

A． B．
C． D．
11．（2021·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知函数，存在互不相等的实数，使得，，，则（ ）
A． B．
C． D．
12．（2021·浙江嘉兴·统考模拟预测）函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
13．（2021·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知a，b为实数，若对任意的，函数有2个零点，则b的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
14．（2021·浙江嘉兴·统考模拟预测）若，，且，则下列不等式错误的是（    ）
A． B．
C． D．
15．（2021·浙江嘉兴·统考模拟预测）函数的图象可能是（    ）
A． B．
C． D．
16．（2021·浙江嘉兴·统考二模）函数的图象可能是（    ）
A． B．
C． D．

二、多选题
17．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知函数，，则下列说法正确的是（    ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．方程有唯一实根

三、填空题
18．（2023·浙江嘉兴·统考二模）已知直线与曲线和均相切，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积为___________.
19．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是______.
20．（2022·浙江嘉兴·模拟预测）已知函数，若方程有4个不同的实数解，则实数a的取值范围为_________．
21．（2021·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知，是以为圆心，为半径的圆周上的任意两点，且满足，设平面向量与的夹角为()，则平面向量在方向上的投影的取值范围是_____.

四、双空题
22．（2022·浙江嘉兴·统考二模）已知函数的定义域为R，且满足，当时，若，则实数___________，___________.
23．（2021·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知函数则______；若，则______.

五、解答题
24．（2023·浙江嘉兴·统考二模）已知.
(1)若存在实数，使得不等式对任意恒成立，求的值；
(2)若，设，证明：
①存在，使得成立；
②.
25．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知函数，.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数有三个零点，，，求证：.
26．（2022·浙江嘉兴·模拟预测）已知函数．（注：是自然对数的底数）
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若只有一个极值点，求实数a的取值范围；
(3)若存在，对与任意的，使得恒成立，求的最小值．
27．（2022·浙江嘉兴·统考二模）已知函数（是自然对数的底数）.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数有3个极值点，，
（i）求实数m的取值范围；
（ii）证明：.
28．（2021·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若关于的不等式在上恒成立.求的取值范围；
（3）若实数b满足且，证明：.
29．（2021·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知.
（1）求在处的切线方程；
（2）若恒成立，求a的取值范围.

参考答案：
1．C
【分析】根据题意令可得，即函数图象关于对称，即可判断A；根据抽象函数的奇偶性和对称性可得函数的周期为2，即可判断BD；由知函数图象关于直线对称，举例说明即可判断C.
【详解】A：
令，得，则函数图象关于点对称.
若，则函数图象关于点对称，符合题意，故A正确；
B：由选项A的分析知，等式两边同时求导，
得，即①，
又，为偶函数，所以②，
由①②得，所以函数的周期为2.
所以，即，故B正确；
C：由选项B的分析知，则函数图象关于直线对称.
令，若，
则函数图象关于直线对称，不符合题意，故C错误；
D：由选项B的分析可知函数的周期为2，则，
所以，故D正确.
故选：C.
2．C
【分析】解不等式求得两个集合，再根据交集计算即可.
【详解】由题意，可得；
，
则.
故选：C.
3．B
【分析】利用中间值比较a,b的大小，再让b，c与中间值比较，判断b,c的大小，即可得解.
【详解】，又因为通过计算知，所以，即，
又，所以，所以.
故选：B
4．C
【分析】利用赋值法求得，根据抽象函数关系式找到规律求得.
【详解】由，
令得①，
由，
令得；
令得，
即或，
当时，代入①得，无解；
当时，代入①得，
解得（负根舍去），则.
由，
令得，解得；
令得，解得；
令得，解得，
……以此类推，
由于，所以.
故选：C
【点睛】根据抽象函数关系式求函数值，特别是与年份有关的函数值，可以利用赋值法进行求解.在求解的过程中，要多次尝试，找到规律，从而求得所求的函数值.
5．D
【分析】根据图象判断函数的奇偶性，代入特殊值，判断函数值的大小，利用排除法求解即可.
【详解】解析：由图可知为偶函数，因为为奇函数，所以也为奇函数，排除A和C，如果，即，则，与图不符，所以不能取3，故排除B项.
故选：D．
6．D
【分析】对于A：可得和（或）且（或）且（或），求解即可；对于B：根据几何意义理解即可；对于C、D：若点Q与点P保持了合理间距，则以P为中心、边长为2的正方形EFQH内的点是不符合题意，且，结合图像分情况讨论．
【详解】设点，动点P在正方形内（包括边界），则，解得
若P与点O，A，B都保持了合理间距，则（或）且（或）且（或），解得
点P的横坐标的取值范围是，故A正确．
如图， 点Q与点O，A，B都保持了合理间距，图中阴影部分是不符合题意，点Q的轨迹所形成的面积为6，故B正确．

若点Q与点P保持了合理间距，则以P为中心、边长为2的正方形EFQH内的点是不符合题意，且
设点Q的轨迹所形成的面积为，
当时，如图，阴影部分是不符合题意，在上单调递减
则．

当时，如图，阴影部分是不符合题意，


当恒成立
在上单调递减，则．

当时，如图，阴影部分是不符合题意，，则．
综上．所以C正确，D错误．

故选：D．
7．A
【分析】根据对数的运算性质，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.
【详解】由且且，
故选：A．
8．C
【分析】利用特殊值及解决恒成立问题常用分离参数转化为求最值问题即可求解.
【详解】当时，恒有，
当时，原式化为；
当时，原式化为，即，
.
又时，恒成立；
，即恒成立；
恒成立；
当时，恒成立，
令，则
由二次函数的性质，知在单调递增；
，即，
又，，则.
对于A，，故A不正确；
对于B，，故B不正确；
对于C，，故C 正确；
对于D，，故D不正确.
故选：C.
9．A
【分析】先解出集合，再计算即可.
【详解】，故.
故选：A.
10．B
【分析】根据函数的奇偶性可排除A，根据函数的定义域可排除CD.
【详解】解：对于A，函数的定义域为，
由，
所以函数为奇函数，不符合题意；
对于B，函数的定义域为，
由，
所以函数为偶函数，符合题意；
对于C，函数，
则，得且，
故函数的定义域为且，
结合函数图像可知，不符题意；
对于D，函数的定义域为且，
结合函数图像可知，不符题意.
故选：B.
11．A
【分析】把已知三个等式相加，移项配方后可得．
【详解】由题意：，，，
三式相加得：，
所以，即，
因为，互不相等，，
所以，即．
故选：A．
12．B
【分析】分析函数的奇偶性、的值以及函数在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】函数的定义域为，，
函数为奇函数，排除D选项；
，排除A选项；
当时，，则，排除C选项.
故选：B.
13．A
【分析】由题设，问题转化为与在上有两个交点，结合函数的性质画出、的草图，易知上两函数相切时只有一个交点，要使存在两个交点，则切点处的函数值，即可求参数范围.
【详解】由题设，函数有2个零点，即与在上有两个交点，
∵的对称轴为且在上单调递减，的值域为且，
∴它们的图象如下图示，

在上，，即，而，
∴若时，在处有切点，此时.
∴只需在处有，则与在上有两个交点，
∴，整理得，又，
∴.
故选：A
【点睛】关键点点睛：问题转化为与在上有两个交点，应用数形结合，找到两函数的切点，进而确定切点处函数值的大小关系.
14．C
【分析】A利用基本不等式结合已知即可判断正误，B完全平方公式得，由已知构造二次函数确定的范围，即可判断正误，C应用基本不等式“1”的代换求最值即可，D根据B中的范围，结合对数的运算性质可判断正误.
【详解】A：，当且仅当时等号成立，正确；
B：，由，则，即，又，得，当，时等号成立，正确；
C：，当且仅当时等号成立，而，错误；
D：由B知，故，当，时等号成立，正确；
故选：C
15．D
【分析】由解析式，利用函数奇偶性定义判断的奇偶性，再根据正弦函数、对数函数的性质判断时符号，即可确定大致图象.
【详解】令，则，故为奇函数，排除A、B；
在上，有，，即，故只有D符合要求.
故选：D
16．C
【分析】根据函数奇偶性及函数在区间范围内的取值，判断函数图像.
【详解】由知，
函数为奇函数，又，
当时，.
故选：C.
17．AC
【分析】根据导数的运算法则，复合函数求导，基本初等函数的导数判断ABC，由数形结合判断D.
【详解】，故，故A正确；
因为，所以，故B错误；
因为，故C正确；
，即，作出与图象，如图

由图象可知，与图象有两个不同的交点，故方程有两个实根，故D错误.
故选：AC
18．2
【分析】由基本初等函数的导数及其的几何意义解得直线的解析式即可求得结果.
【详解】由已知得的导函数分别为：，设上的切点分别为，则有：，
解之得：，故：，
与坐标轴交点分别为，围成的三角形面积为：.
故答案为：2.
19．
【分析】求出函数的导数，问题转化为和在上有2个交点，根据函数的单调性求出的范围，从而求出的范围即可．
【详解】，
若函数有两个极值点，
则和在上有2个交点，
，
时，即，递增，时，，递减，
故（1），而时，恒成立，时，恒成立，
所以，
故答案为：．
20．
【分析】方程有4个不同的实数解，则方程有4个不同的实数解，即直线与曲线有4个公共点，利用数形结合处理．
【详解】由题知：方程有4个不同的实数解，即有4个不同的实数解．
作出图像（如图所示），即直线与曲线有4个公共点．
易知：．
故答案为：．

21．
【分析】作出示意图，首先利用BA⊥BC将问题转化为求在上的投影，先考虑为钝角（或直角）的情况，由投影概念可知即求，然后通过余弦定理求出AB，进而求出和，最后通过函数求值域的角度，接下来考虑为锐角（或直角）的情况，最后得到答案.
【详解】如图，由BA⊥BC知A在BC上的投影点为B，所以在上的投影即为在上的投影，即为.

在中，由余弦定理知，所以，
所以，
令，则， ，
设，，则函数在上单调递减，于是在上单调递增.
时，时，所以，
同理，当C位于C1处时，投影为.
所以在上的投影的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】本题非常复杂，用的方法较多，注意两个问题：①如果没有思路，那么就按照定义和定理方向走，需要什么就求出什么；②“”这一步接下来的处理方式，“设”，分式型函数的换元法一般情况下换掉次数较低的，自己注意归纳总结，接下来用导数或者对勾函数处理即可.
22． /
【分析】①先由得到，再由解析式分别求出，由解出即可；
②直接代入对应解析式计算即可.
【详解】①由可知，又故，
又，故，；
②.
故答案为：；.
23． 16
【分析】根据函数的解析式，先求出，再将该值代入对应的函数式，求得；因为当时，，则由函数值为可知， ，故，则，再解方程得出的值.
【详解】由该分段函数的解析式可得：
则；
由函数解析式可知，当时，，
则由知，
且，
所以，
则，解得.
故答案为：；.
24．(1)
(2)①证明见解析；②证明见解析

【分析】（1）构造函数，求导，研究函数的单调性，利用极值点得，从而利用指对运算即可求解；
（2）①记，构造函数，求导，研究函数单调性，找到隐零点，即可证明；
②先用分析法及把不等式证明转化为，
结合式子结构，转化为证明，
构造函数，即证，利用主元法，
构造函数，求导，研究单调性，利用最值即可证明.
【详解】（1）构造，则，
令，则，所以在递增，
又，所以存在，使得，
且在上单调递减，在上单调递增，
所以对任意恒成立，此时.
（2）①令，显然，则.
令，则，
因为在递增，趋向于0时，趋向于，趋向于正无穷大时，趋向于正无穷大，所以存在，使得，即.
于是在递减，在递增.因为，所以.
②要证，
即证
，
因为，
所以只要证，
即证，
即证，
令，即证，
即证，
令，则.
构造，
则，
，
因为，
所以，所以，
所以成立，原命题成立.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
25．(1)答案见解析
(2)证明见解析

【分析】（1）求得，对进行分类讨论，由此求得的单调区间.
（2）先判断出，将转化为，利用构造函数法，结合导数证得不等式成立.
【详解】（1）由，可知定义域，
，令，则，
①当时，，则成立，即成立，
所以在上单调递增；
②当时，令，得，记，
，当变化时，，的变化情况如下表







+
0
-
0
+

↗
极大值
↘
极小值
↗
所以在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增.
（2）因为函数有三个零点，，，
不妨设，所以，
即在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增.
由，知，故，
因为，
所以，即，
因此，
令，
所以，令，
则在上单调递减，且，
，成立，
所以在上单调递减，且，因此，
则，
所以.
【点睛】利用导数研究函数的单调区间，首先要求函数的定义域，要在定义域的范围内求解单调性.当导函数含有参数时，要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏，分类标准的制定可结合二次函数的知识来进行.
26．(1)
(2)
(3)

【分析】（1）根据导数的几何意义，结合点斜式求切线方程；（2）讨论的符号，判断的单调性，进而确定的零点；（3）要使取到最小值，则，分析可得结合零点代换处理．
（1）
当时，，故，
故在点处的切线方程为，化简得．
（2）
由题意知有且只有一个根且有正有负．
构建，则
①当时，当时恒成立，在上单调递增，
因为，
所以有一个零点，即为的一个极值点；
②当时，当时恒成立，即无极值点；
③当时，当；当，
所以在单调递减，在上单调递增，
故，
若，则即.
当时，，
当时，,
设，故，
故在上为增函数，故，
故，
故当时，有两个零点，此时有两个极值点．
当时，当时恒成立，即无极值点；
综上所述：．
（3）
由题意知，对与任意的，使得恒成立，则，又要使取到最小值，则．
当时，，故，所以的最小值为e；
当时，当时，，
所以无最小值，即无最小值；
当时，由（2）得只有一个零点，即且
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，，
此时，因，所以代入得，
令，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
，此时，
所以的最小值为．
27．(1)；
(2)（i）；（ii）证明见解析.

【分析】（1）把代入，求出函数的导数，利用导数的几何意义求解作答.
（2）（i）根据给定条件可得有三个不同的解，构造函数，探讨其性质即可推理作答.
（ii）由（i）确定的取值或范围，并且有，两边取对数并换元，对不等式作等价变形，构造函数，利用导数推理作答.
【详解】（1）当时，，则，
求导得，有，于是得，
所以所求切线方程为：.
（2）（i）依题意，，因函数有3个极值点，即有三个不同的解，
由，得或，则有不等于-1的两个不同的解，
令，求导得，当时，，当时，，
于是函数在上是增函数，在上是减函数，则，
又当时，，且，当时，，因此方程有两解时，即，
所以实数m的取值范围是；
（ii）由（i）知，，，，，两边取自然对数得，
整理得，令，则且，，，
显然，等价于，，
令，，则，令，则，
从而得函数在上单调递增，则有，因此函数在上单调递增，总有，
所以不等式成立.
【点睛】思路点睛：涉及双变量的不等式证明，将所证不等式等价转化，借助换元构造新函数，再利用导数探讨函数的单调性、极(最)值问题处理.
28．（1）的单调增区间为；单调减区间为；（2）；（3）证明见解析.
【分析】（1）分情况讨论，然后用导数法求单调区间即可；
（2）由得，令，则问题可转化为成立，利用导数法求解的最值即可求解；
（3）结合题意与（1）可得，故问题可转化为证成立即可，即证，令，即要证，即，再用导数法求解即可.
【详解】当时，，
，由解得，由解得，
故的单调增区间为，单调减区间为；
当时，由，得的定义域为，
，
令解得，
由解得，由解得，
故的单调增区间为，单调减区间为；
经验证，时，的单调增区间也符合，单调减区间也符合；
综上可知：的单调增区间为，单调减区间为；
（2），
令，
则，
令，则，
由解得，由解得，
故在递增，在递减，，
，所以，
在上单调递增，
，
的取值范围；
（3），
又，在上递增，
所以，
下面证明：，
即证

，
，

在递减，

所以原命题成立
29．（1）；（2）.
【分析】（1）根据解析式求导数，再求时值以及值，写出切线方程即可.
（2）由题设知在上恒成立，令、，讨论、，结合导数研究函数的单调性，在函数的极值点处，恒有即可求参数范围.
【详解】（1），，
∴，则有，而，
∴在处的切线方程为，即.
（2）由题意，在上恒成立，
令，则，易知：，
令，则，易知：，
∴当时，在上，单调递减，在上，单调递增；在上，单调递增，在上，单调递减；要使恒成立，
∴，得，
令，则，当知，
∴上，单调递减，而，
∴上恒成立，即在上恒成立.
当时，，而，显然，不合题意.
综上，有a的范围.
【点睛】关键点点睛：第二问，令、，将不等式恒成立问题转化为上，在函数的极值点处恒有成立，求参数范围.