函数与导数-广西南宁高考数学三年（2021-2023）模拟题知识点分类汇编

这是一份函数与导数-广西南宁高考数学三年（2021-2023）模拟题知识点分类汇编，共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
函数与导数-广西南宁高考数学三年（2021-2023）模拟题知识点分类汇编

一、单选题
1．（2023·广西南宁·统考二模）某企业为了响应落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量（单位：mg/L）与时间（单位：h）之间的关系为（其中，是正常数），已知经过1h，设备可以过滤掉50%的污染物，则过滤掉80%的污染物需要的时间约为（结果精确到0.01h，参考数据：）（    ）
A．1.53h B．1.60h C．1.75h D．2.33h
2．（2023·广西南宁·统考二模）设，，，则（    ）
A． B．
C． D．
3．（2023·广西南宁·统考二模）已知函数的极值点为1，且，则的极小值为（    ）
A． B． C．b D．4
4．（2023·广西南宁·统考二模）已知集合，，则（    ）
A． B． C． D．
5．（2023·广西南宁·统考二模）函数的图象大致是（    ）
A． B．
C． D．.
6．（2022·广西南宁·统考三模）函数，则的图象在内的零点之和为（    ）
A．2 B．4 C．6 D．8
7．（2022·广西南宁·统考二模）已知函数，，则函数的最大值是（    ）
A． B． C．-1 D．
8．（2021·广西南宁·统考模拟预测）已知若，则的最大值是(    )
A． B． C． D．
9．（2021·广西南宁·统考模拟预测）甲醛通常为无色气体，有刺激性气味．甲醛有很多用途，室内装修常用的板材、油漆、地毯、壁纸等都含有并会释放甲醛，而且甲醛的浓度一旦过高，将会引起中毒，因此新房装修后一般都需要测试甲醛浓度．甲醛的浓度（单位）随温度（单位）的变化的函数关系为，在某次甲醛测试中，当室温为时甲醛的浓度是室温为时甲醛浓度的倍，那么室温为时甲醛的浓度是室温为时甲醛浓度的（    ）
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
10．（2021·广西南宁·统考模拟预测）已知函数若方程有三个不同的解，则a取值范围为（    ）
A． B． C． D．
11．（2021·广西南宁·统考模拟预测）某知名连锁加盟奶茶店进驻学校附近，准备在开业那天开始举行一场为期7天的促销活动．品牌方承诺7天的活动期间第x天的参与人数y与第x天满足的关系是：第x天的参与人数y与（表示不大于t的最大整数）成正比，已知第1天有100人进店购买，则第4天进店购买的人数为（    ）
A．740 B．760 C．780 D．800
12．（2021·广西南宁·统考模拟预测）某制药公司生产某种胶囊，其中胶囊中间部分为圆柱，且圆柱高为l，左右两端均为半球形，其半径为r，若其表面积为S，则胶囊的体积V取最大值时(   )

A． B． C． D．
13．（2021·广西南宁·统考一模）已知函数，则其大致图象为（    ）
A． B．
C． D．

二、填空题
14．（2023·广西南宁·统考一模）已知函数，点是函数图象上不同的两个点，设为坐标原点，则的取值范围是__________.
15．（2023·广西南宁·统考二模）已知，用表示不超过的最大整数，例如，，则函数，在的零点个数是______.

三、解答题
16．（2023·广西南宁·统考二模）已知函数，其中a为常数，e为自然对数底数，…，若函数有两个极值点，.
(1)求实数a的取值范围；
(2)证明：.
17．（2023·广西南宁·统考二模）已知函数，
(1)若过点，求在该点处的切线方程；
(2)若有两个极值点，且，当时，证明：
18．（2023·广西南宁·统考一模），
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明；
(3)证明对于任意正整数，都有.
19．（2023·广西南宁·统考一模）已知函数，．

(1)在给出的坐标系中画出函数的图像；
(2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
20．（2023·广西南宁·统考一模）已知函数，
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数在区间上存在两个不同零点，求实数的取值范围．
21．（2022·广西南宁·统考模拟预测）已知函数的最小值为1．
(1)求实数的值；
(2)过点作图象的两条切线MA，MB，A()，B()是两个切点，证明：>1．
22．（2022·广西南宁·统考三模）已知函数，．
(1)若函数无极值，求的取值范围；
(2)当，证明．
23．（2022·广西南宁·统考二模）设函数，．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若有两个零点，求实数的取值范围．
24．（2021·广西南宁·统考模拟预测）已知函数，在处的切线斜率为．
（1）求的值；
（2）已知，，令，求的单调区间．
25．（2021·广西南宁·统考模拟预测）已知函数．
（1）请在以下网格中画出函数的图象；

（2）求不等式的解集．

参考答案：
1．D
【分析】由给定条件得，进而得，利用指数与对数的关系可得，再用换底公式结合对数的运算性质求解即可.
【详解】依题意，，则，
设过滤的污染物需要的时间为，则，因此，
所以.
故选：D
2．D
【分析】利用三角函数的定义判断大小，构造函数，由导数确定单调性后比较与的大小，同理构造函数比较与的大小后可得结论．
【详解】因为，所以，所以，，可得.
构造函数，则，所以在R上单调递减，当时，，
所以，可知，即，
又，，又，所以，
设函数，则，
当时，，在上单调递减，
则，可知，所以.
综上，.
故选：D．
【点睛】方法点睛：比较幂、对数、三角函数值等大小的方法：
（1）直接利用指数函数、对数函数、三角函数的单调性比较；
（2）借助中间值如0，1等等，利用函数的单调性比较；
（3）构造函数，利用导数确定函数的单调性比较大小．
3．D
【分析】首先求函数的导数，根据条件，列方程组求解，再求函数的极小值.
【详解】，，，
所以，解得：，，

所以，得，时，，，，
所以是函数的极小值点，.
故选：D
4．B
【分析】根据根号下大于等于0求出集合，再利用交集和补集的含义即可得到答案.
【详解】由题意得，解得，故，
因为，
故.
故选：B.
5．C
【分析】确定函数为奇函数排除BD，计算，排除A，得到答案.
【详解】，函数定义域为，
，函数为奇函数，排除BD；
，，故，排除A.
故选：C
6．B
【分析】由题可知函数与函数的图象在内交点的横坐标即为函数的零点，利用数形结合及函数的对称性即得.
【详解】由可得，
则函数与函数的图象在内交点的横坐标即为函数的零点，
又函数与函数的图象都关于点对称，
作出函数与函数的大致图象，

由图象可知在内有四个零点，则零点之和为4．
故选：B.
7．B
【分析】直接求导确定函数的单调性，进而求出最大值.
【详解】依题意函数，，则函数在上递增，在上递减．
因此在上，．
故选：B．
8．C
【分析】利用数形结合，画出的图像可得为定值，再将转化为关于x的函数，最后利用求导求出的最大值.
【详解】如图作出的图象，

依题意，，注意到，且，
因此，其中，
设，当，时，当，时，
因此在上单调递增，在上单调递减，
则，
即的最大值为
故选：C.
【点睛】此题为函数零点相关问题，通常需要先画出函数图像，再结合函数图像得到某一部分为定值，再求出剩余部分的取值范围即可.
9．C
【分析】根据已知函数关系式和倍数关系可求得，代入所求比例中即可求得结果.
【详解】由题意得：，即，，
即室温为时甲醛的浓度是室温为时甲醛浓度的倍.
故选：C.
10．A
【分析】画出函数图象，当时，不符合题意；当时，求出当有唯一解时a的值，即可求解.
【详解】由题意，函数，作出函数图象，如图所示，
当时，显然不符合题意；
当时，根据图象，当与相切时，
即有唯一解，即有唯一解，
设，可得，令，可得，
因此函数在单调递增，单调递减，
根据函数图象性质，可得.
所以符合题意的a取值范围为.
故选：A．

11．C
【分析】设，代入解得，得到解析式，再代入，可求得答案.
【详解】解：由题可设，
当时，代入，解得，所以，
令，代入可得，
故选：C．
12．A
【分析】由圆柱和球的表面积公式将l用r和S表示出来，再代入圆柱体积和球体积公式，表示出胶囊的体积V，利用求导求出V的最大值及此时r的值.
【详解】依题意，，故
，当时，，取最大值．
故选：A
13．B
【分析】通过函数的定义域排除选项D,再通过时的函数值确定选项.
【详解】由题得函数的定义域为，所以选项D错误；
当时，，所以选项B正确，选项A,C错误.
故选：B
【点睛】方法点睛：根据函数的解析式确定函数的图象，一般先找差异，再验证.
14．
【分析】作出函数的图形，求出过原点且与函数的图象相切的直线的方程，以及函数的渐近线方程，结合两角差的正切公式，数形结合可得出的取值范围.
【详解】当时，，则，
所以，函数在上为增函数；
当时，由可得，即，
作出函数的图象如下图所示：

设过原点且与函数的图象相切的直线的方程为
，设切点为，
所以，切线方程为，
将原点坐标代入切线方程可得，
即，构造函数，其中，则，
所以，函数在上单调递减，且，
由，解得，所以，，
而函数的渐近线方程为，
设直线与的夹角为，设直线的倾斜角为，
则，
结合图形可知，.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于求出设过原点且与函数的图象相切的直线的方程以及函数的渐近线方程，再利用两角差的正切公式以及数形结合思想求解.
15．7
【分析】根据已知，利用一次函数、正弦函数的图象以及函数零点与方程的根的关系求解.
【详解】函数的零点等价于方程的根，
当时，方程等价于：，
当时，方程等价于：，
当时，方程等价于：，
当时，方程等价于：，
当时，方程等价于：，
当时，方程等价于：，
当时，方程等价于：，
当时，方程等价于：，
因为方程的根的个数等价于函数与函数的交点个数，
如图，由函数函数，与函数，的图象可知，

函数，在有7个零点.
故答案为：7.
16．(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）二次求导后，根据函数有两个极值点，即可求解；
（2）设，先确定，根据，可得，即，令，，则.令，求导后根据单调性可得，从而得到化简后即可证明.
【详解】（1）解法一：，
令，则.
因有两个极值点，，故有两个零点，
若，则，单调递增，不可能有两个零点，
所以，令得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以
因为有两个零点，所以，则.
又，，
故实数a的取值范围为.
解法二：

由题意知，有两个根，即 ，
设，
即函数与有两个不同交点，
设过点的直线与相切的切点为 ，
，则有 ，
解得：，此时切线斜率为：，
当斜率大于时，与有两个交点，
则, 故有，
故实数a的取值范围为.
解法三：
，
因力有两个极侑点 ，
则有两个零点.
即，
转化为与有2个交点，
时，.
，
当时，，
当时，，
当时，，
在递减，在递增，
要使与有2个交点，即

故实数a的取值范围为.
（2）设，因为，，则，
因为，所以，，
则，取对数得.
令，，则.
令
则，在上单调递增.
则，
则
两边约去后化简整理
得，即.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略：
（1）构造差函数，根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；
（2）根据条件，寻找目标函数，一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.
17．(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）根据题意求得，结合导数的几何意义求切线方程；
（2）根据题意可得：是方程的两正根，方法一：整理得，换元令，构建，，利用导数证明；方法二：分析可得证明，构建，利用导数判断单调性即可证明；方法三：利用对数均值不等式证明.
【详解】（1）已知，，将代入得，解得
所以，则
可得，
即切点坐标为，切线斜率
所以所求切线方程为，即.
（2）由题意可得：，
∵有两个极值点，且，
所以是方程的两正根，整理得，
构建，则，
由，令，解得；令，解得；
所以在单调递减，在单调递增
其大致图像如图所示，由图像可知当，方程有两个正根，符合题意，

方法一：由，两边取对数得，整理得，
若，等价于，可得，
注意到，令，则，
可得，整理得，
故等价于，
构建，，
则对恒成立，
故在上单调递增，则，
故；
方法二：
其大致图像如图所示

由图像可知：当时，可得
∴
要证，等价于证明，
而在单调递减，即证明，
又∵，即证明，
构建，
则，
构建，则对恒成立，
则在上单调递减，
且，则，
可得，即，
注意到，则，
∴在单调递减，则，
即，∴；
方法三：接方法一（用到对数均值不等式）
由，取对数得，
作差得，
由对数均值不等式得：，
∴，即.
以下证明：，
即证明：，
令，，构建，
则，
故在单调递增，从而，
即.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤
(1)作差或变形．
(2)构造新的函数h(x)．
(3)利用导数研究h(x)的单调性或最值．
(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．
特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．
18．(1)，在上单调递增；，在上单调递减，在上单调递增.
(2)证明见解析
(3)证明见解析

【分析】（1）利用导数分类讨论求解单调区间即可.
（2）根据的单调性得到，即可证明.
（3）当且时，有，从而得到，即可得到，再化简即可证明.
【详解】（1）的定义域为，
①若，当时，，所以在上单调递增；
②若，当时，；
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上所述，时，在上单调递增；
时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）当时，由（1）知在上单调递减，在上单调递增，，即证.
（3）由（2）知当且时，，
对于任意正整数，令得，
所以

.
即证：.
19．(1)作图见解析
(2)．

【分析】（1）根据绝对值函数分区间去绝对值后，写成分段函数，即可作出图像；
（2）设，由关于的不等式恒成立，则且，得出，画出的大致图像，则满足即可，解得不等式即可求得答案．
【详解】（1）由题得，，
画出的图像如图所示：

（2）设，
，
，且，
，
画出的大致图像，

由图像知，若恒成立，
则，即，
，
故实数的取值范围为．
20．(1)答案见解析
(2)

【分析】（1）求导后，讨论和0的大小关系，然后利用导数和函数单调性的关系即可；
（2）分离参数后，把零点转化为函数图像的交点，然后根据的图像判断即可.
【详解】（1）
①当时，，此时函数在上单调递增；
②当时，令，得，
当时，，此时函数在上单调递减；
当时，，此时函数在上单调递增．
（2）由题意知：在区间上有两个不同实数解，
即直线与函数的图象在区间上有两个不同的交点，
因为，令，得，
所以当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增；
则，而，且．
所以要使直线与函数的图象在区间上有两个不同的交点，则
所以的取值范围为．
21．(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）定义域为，函数有最小值，必然不单调，易求出极小值即最小值，代入可答案．
（2）利用切线方程，消去得到的等式关系，将>1变形得到，令构造函数，得证．
（1）
，
当≤0时，0时，在()上，0．
在单调递减，在单调递增，
故的最小值为；
（2）
证明：，
同理，，
两式相减得，不妨设，
要证>1．只须证>1．即，
即证，令，即证，
设，恒成立，
故h(t)为增函数，，故原式得证．
【点睛】关键点睛：本题（2）问先通过切线方程得出，然后证明>1，将问题转化成，利用与齐次换元，从而构造函数即可证明．
22．(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）由可得，数形结合依题意可知直线与曲线相离或相切，列式即可求解（2）运用分析法结合切线不等式将所要证明的不等式转化为，构造函数即可证明
（1）
，导数的根，即的根，
亦为等式两边函数的图象的交点横坐标，设，则，
当以及时，；当时，
则函数在和上单调递减，在上单调递增，
大致图象如图所示：
∵函数没有极值点，
∴ ∴

（2）
设，则
当时，；当时，
所以在上单调递增，在上单调递减
所以，所以，所以
要证明，
先把不等式左边看成关于a的一次函数，显然单调递减，，
即证．
再消去对数，由不等式，
则只需证（），
等价于证明
令，
求导，
此时单调递减；单调递增；单调递减．而，
∴，原不等式成立，证毕！
23．(1)增区间为、，减区间为
(2)

【分析】（1）当时，求出函数的定义域与导数，利用函数单调性与导数之间的关系可求得函数的增区间和减区间；
（2）分、、三种情况讨论，利用导数分析函数的单调性以及极值符号，根据函数的零点个数可得出关于实数的不等式（组），即可解得实数的取值范围.
(1)
解：当时，，．
则．
由得，，（舍去）．
当时，成立，则在、上单调递增；
当时，成立，则在上单调递减．
综上，当时，函数的增区间为、，减区间为．
(2)
解：因
求导得，．
①当时，由，可得，函数只有一个零点，不符合题意；
②当时，由可得，由可得，
所以，函数在上递增，在上递减，
由，取，
令，，
则在内成立，
故在上单调递增．
则．
则．
由此得有两个零点等价于，
得，则．
③当时，，
（ⅰ）当时，对任意的恒成立，
在上单调递增，至多只有一个零点，不符合题意；
（ⅱ）当且时，由得，，（舍去），
若，即当时，由可得，由可得或，
此时，函数的递增区间为、，单调递减区间为，
此时，函数有两个极值点；
同理，当时，函数的递增区间为、，单调递减区间为，
此时，函数也有两个极值点；
因为，．
令，，
令，其中，，
当或时，；当时，.
所以，，所以，，故．
又，所以，至多只有一个零点，不符合题意．
综上，实数的取值范围为．
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
24．（1）；（2）答案见解析.
【分析】（1）由已知得出，从而可求得实数的值；
（2）求得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数在上的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间.
【详解】（1）因为，则，则，解得；
（2）由题意，，其中，
所以，其中.
①当时，，
所以当时，，此时，函数单调递增，
当时，，此时，函数单调递减；
②当时，令，解得，，
（i）若，即，
则当时，此时，即函数的单调递增区间为、，
当时，此时，即函数单调递减区间为；
（ii）当即时，此时，且不恒为零，函数在单调递增；
（iii）当时，即当时，则当时，此时，
即函数单调递增递增区间为、，
当时，此时，即函数单调递减区间为.
综上，当时，函数的递增区间为，递减区间为；
当时，函数的递减区间为，递增区间为、；
当时，函数无递减区间，递增区间为；
当时，函数的递减区间为，递增区间为、．
25．（1）作图见解析；（2）.
【分析】（1）用分段函数表示，分段画出图象即可；
（2）令，解得，数形结合即得解
【详解】（1）用分段函数表示可得

分段画出图象如下图；

（2）令，解得
根据图象可得的解集为．