2023届江苏省宿迁市沭阳高级中学高三下学期阶段检测一数学试题含解析

这是一份2023届江苏省宿迁市沭阳高级中学高三下学期阶段检测一数学试题含解析，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先求解集合，再求.
【详解】由题意知，，
，解得：或，所以或，
则.
故选:C．
2．若复数满足，为的共轭复数，则（ ）
A．B．5C．D．3
【答案】B
【分析】由共轭复数的概念与复数的乘除法法则求解即可
【详解】因为，
所以，
所以，
故选：B
3．若，，且满足，那么（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据指数函数的单调性判断即可.
【详解】由，可得.
因为函数在上单调递减，所以.
因为函数在上单调递减，所以.
因为函数在上单调递减，所以.
综上，.
故选：C
4．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用基本不等式求得最值，可得答案.
【详解】因为，所以，
所以，当且仅当时取等号，
故的最小值为3.
因为当时，不等式恒成立，
所以.
故选：D.
5．若，则
的值为（ ）
A．1B．-1C．0D．2
【答案】A
【分析】根据赋值法即可求解.
【详解】令，得，．
又令得，，
所以
故选：A
6．某大学共有本科生人，其中一、二、三、四年级的人数比为4∶3∶2∶1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为的样本，则应抽取三年级的学生人数为
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为200的样本，根据一、二、三、四年级的学生比为4：3：2：1，利用三年级的所占的比例数除以所有比例数的和再乘以样本容量即得抽取三年级的学生人数．
【详解】∵要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为200的样本，
一、二、三、四年级的学生比为4：3：2：1，
∴三年级要抽取的学生是 40，
故选C．
【点睛】进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：
（1）；
（2）总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．
7．椭圆具有光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点(如图).已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆E交与点A，B，过点A作椭圆的切线l，点B关于l的对称点为M，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】结合题目所给信息及图形可得，后由椭圆定义及条件可得，.最后由可得答案.
【详解】如图，由椭圆的光学性质可得三点共线.
设，则，.
故，解得.又，所以，.
所以.
故选：A.
8．如图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直于底面，.若E是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】以为基底表示出，利用向量夹角公式计算出异面直线与所成角的余弦值.
【详解】设，则构成空间的一个基底，
，
，
.
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故选：A
【点睛】本小题主要考查异面直线所成角的求法，属于中档题.
二、多选题
9．设是数列的前n项和，且，，则（ ）
A．
B．数列是公差为的等差数列
C．数列的前5项和最大
D．
【答案】AC
【分析】令可得即可求判断A，利用的关系可得即可判断B,C，取求得即可判断D.
【详解】，
，或(舍)，故选项A正确；
又，，，
数列是公差为的等差数列，故选项B错误；
由得，
，数列的前5项和最大，故选项C正确；
当时，，这与矛盾，
故选项D错误，
故选:AC.
10．已知为函数的导函数，若，，则下列结论错误的是（ ）
A．在上单调递增B．在上单调递减
C．在上有极大值D．在上有极小值
【答案】ABC
【分析】将变形得（），构造函数，结合导数讨论正负，即可求出单调性和极值.
【详解】由，可知，则，即．
设，则由得，由得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数取得极小值．
故选：ABC．
11．（多选）给出下列说法其中正确的是（ ）
A．两个相交平面组成的图形叫做二面角
B．异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角相等或互补
C．二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角
D．二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系
【答案】BD
【分析】对于A，由二面角的定义判断，对于B，由线面垂直的性质和二面角的定义判断，对于C，由二面角的平面角的定义判断，对于D，由二面角和平面角的定义判断.
【详解】对于A，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角，故A错误；
对于B，因为a，b分别垂直于两个面，所以也垂直于二面角的棱，但由于异面直线所成的角为锐角或直角，所以应是相等或互补，故B正确；
对于C，因为所作射线不一定垂直于棱，故C错误；
由定义知二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系，所以D正确．
故选：BD．
12．已知向量，，则下列命题正确的是（ ）
A．存在，使得
B．当时，与垂直
C．对任意，都有
D．当时，与方向上的投影为
【答案】BD
【分析】根据平面向量共线、垂直的坐标表示和向量投影的相关知识逐项进行判断.
【详解】对于，若，则有，即，所以不存在这样的，故选项错误；
对于，若，则，即，得，故选项正确；
对于，，，当时，，故选项错误；
对于，，两边同时平方得
，
即，
，解得，
，，
设与的夹角为，
在方向上的投影为，故选项正确，
故选：.
三、填空题
13．已知是定义域为R的奇函数，且当时，则________.
【答案】##－0.5
【分析】根据奇函数的定义．结合对数运算性质计算．
【详解】由，得，又当时，所以.由是奇函数，得，
所以.
故答案为：．
14．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，，则的最小值为_____________.
【答案】8
【分析】先由正弦定理，结合，得到，再结合“1”的代换，利用基本不等式求解.
【详解】解：因为，
由正弦定理得，
因为，所以，
即，
则，
当且仅当时等号成立，
即的最小值为8.
故答案为：8
15．在直角梯形中，，，，E为的中点.将和分别沿折起，使得点A，D重合于点F，构成四面体.若四面体的四个面均为直角三角形，则其外接球的半径为_________.
【答案】
【分析】根据线面垂直的判定定理和性质定理确定垂直关系，再确定外接球的球心所在位置，利用勾股定理求出外接球的半径即可.
【详解】如图.由题意可知，折叠后所构成的四面体中，
不可能为直角.
在中，由可知，为直角，即.
因为平面，
所以平面，因为平面,所以.
又因为，，平面，
所以平面，因为平面,所以.
所以四面体外接球的球心为的中点，半径为.
在直角梯形中，设，
则有.
由，解得(负值已舍去)，则.
因此，四面体外接球的半径为.
故答案为：.
16．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 ________ m.
【答案】
【详解】试题分析:由题设可知在中,,由此可得,由正弦定理可得,解之得,又因为,所以,应填.
【解析】正弦定理及运用．
四、解答题
17．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．
在中，内角、、的对边分别为，，，且满足___________．
(1)求；
(2)若的面积为，为的中点，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选①时，利用正弦定理边化角得，又，代入整理得，化简即可求解；选②时，利用正弦定理边化角得，又，代入整理得，化简即可求解；选③时，利用正弦定理边化角得，即，再利用两角差的余弦公式展开得，化简即可求解；（2）根据面积公式得，再利用余弦定理得，再利用基本不等式求最值即可.
【详解】（1）选①时，，利用正弦定理得：，
由于，所以，故，
又，，整理得，
，故．
选②时，，利用正弦定理得：，
由于，所以，即，
又，，，，故，，故．
选③时，，利用正弦定理得：，
又，，整理得．
所以，整理得，，故．
（2）由于的面积为，所以，，解得．
在中，由余弦定理得：，
故，
当且仅当，即，，的最小值为．
18．设数列的前项的和为且数列满足且对任意正整数都有成等比数列.
（1）求数列的通项公式.
（2）证明数列为等差数列.
（3）令问是否存在正整数使得成等比数列？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.
【答案】（1）（2）见证明；（3）见证明
【分析】（1）利用项和公式求数列的通项公式.(2)由题得，，即，再求出，再利用等差数列的定义证明数列为等差数列.(3) 先求出，所以，根据成等比数列得，即，再求出m，k的值.
【详解】（1）因为数列的前项的和，
所以当时，；
当且时，，
当时，上式也成立，
所以数列的通项公式为.
（2）证明：因为对任意正整数都有成等比数列，
所以，即，
所以，
两式相除得，对任意正整数都有，
即，
当为奇数时，，所以，
当为偶数时，，而，所以，
所以.
所以，
所以数列为等差数列.
(3)因为，
所以，
因此存在正整数，使得成等比数列
，

因为都是正整数，则，
即时，对应的.
所以存在或或使得成等比数列.
【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查等差数列性质的证明，考查等比数列的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
19．如图，四棱锥的底面为矩形，平面平面，是边长为2等边三角形，，点为的中点，点为上一点（与点不重合）．
(1)证明：；
(2)当为何值时，直线与平面所成的角最大？
【答案】(1)证明见解析；
(2)2.
【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可得平面，可得，结合条件可得，然后利用线面垂直的判定定理及性质定理即得；
（2）利用坐标法，表示出平面的法向量，利用向量夹角公式结合基本不等式即得.
【详解】（1）因为三角形是等边三角形，且E是中点，
所以，
又因为平面，平面平面，平面平面，
所以平面，
又因为面，
所以，
因为，，
所以，，
所以，即，
因为平面平面，
所以平面，
又因为平面，
所以；
（2）设F是中点，以E为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
由已知得，
设，则、
设平面的法向量为，
则，
令，有，
设直线与平面所成的角，
所以，
当且仅当时取等号，
当时，直线与平面所成角最大．
20．已知双曲线的左顶点为，右焦点为，动点在双曲线上.当时，.
（1）求双曲线的方程.
（2）设为双曲线上一点，点，在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、四象限，若恰为线段的中点，试判断的面积是否为定值?若为定值，请求出这个定值；若不为定值，请说明理由.
【答案】（1）；（2）是定值，2.
【分析】（1）由可得，求出即可得出方程；
（2）设出点，的坐标，可得点的坐标，代入双曲线的方程，可得，设，利用渐近线方程的斜率得角的正切值，再利用三角函数的基本关系式及二倍角公式得，由，的坐标得，，结合及三角形面积公式即可求出.
【详解】（1）由题意，易得，，
则由，可得，
，即.
又，解得（负值舍去），，
解得，
双曲线的方程为.
（2）由（1）可知双曲线Ｃ的渐近线方程为，
设，，其中，.
为线段的中点，，
将点的坐标代入双曲线的方程得，解得.
设，则.
又，，，
，，
.
又，，
，
的面积为定值2.
【点睛】关键点睛：本题考查双曲线中三角形面积的定值问题，解题的关键是设出点，的坐标，设，得出和.
21．为丰富学生课外生活，某市组织了高中生钢笔书法比赛，比赛分两个阶段进行：第一阶段由评委给出所有参赛作品评分，并确定优胜者；第二阶段为附加赛，参赛人员由组委会按规则另行确定.数据统计员对第一阶段的分数进行了统计分析，这些分数都在内，在以组距为5画分数的频率分布直方图（设“”)时，发现满足.
（1）试确定的所有取值，并求；
（2）组委会确定：在第一阶段比赛中低于85分的参赛者无缘获奖也不能参加附加赛；分数在的参赛者评为一等奖；分数在的同学评为二等奖，但通过附加赛有的概率提升为一等奖；分数在的同学评为三等奖，但通过附加赛有的概率提升为二等奖（所有参加附加赛的获奖人员均不降低获奖等级）.已知学生和均参加了本次比赛，且学生在第一阶段评为二等奖.
（）求学生最终获奖等级不低于学生的最终获奖等级的概率；
（）已知学生和都获奖，记两位同学最终获得一等奖的人数为，求的分布列和数学期望.
【答案】（1）；（2）（）；（）分布列见解析，.
【分析】（1）在内，按组距为5可分成6个小区间，分别是,,，，，.由，，能求出的所有取值和；
（2）（）由于参赛学生很多，可以把频率视为概率.学生的分数属于区间，，，，，的概率分别是，，，，，.用符号或（）表示学生 （或）在第一轮获奖等级为，通过附加赛最终获奖等级为，其中，记“学生最终获奖等级不低于学生的最终获奖等级”为事件，由此能求出学生最终获奖等级不低于学生的最终获奖等级的概率；
（）学生最终获得一等奖的概率是，学生最终获得一等奖的概率是，的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，求出的分布列和.
【详解】（1）根据题意，在内，按组距为5可分成6个小区间，
分别是，
，
由，.
每个小区间的频率值分别是.
由，解得.
的所有取值为，.
（2）（）由于参赛学生很多，可以把频率视为概率.
由（1）知，学生的分数属于区间的概率分别是：，，，，，.
我们用符号（或)表示学生（或）在第一轮获奖等级为，通过附加赛最终获奖等级为，其中.
记“学生最终获奖等级不低于学生的最终获奖等级”为事件，
则
.
（）学生最终获得一等奖的概率是，
学生最终获得一等奖的概率是，
，
，
，
的分布列为：
.
【点睛】本题考查频率分布直方图、条件概率、离散型随机变量的分布列、数学期望，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属于难题.
22．已知函数，为的导函数.
(1)讨论的极值；
(2)若存在，使得不等式成立，求a的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求得，设，求得，分和，两种情况讨论，结合函数的单调性和极值的定义，即可求解；
（2）根据题意转化为存在，使得，构造函数，求得，分、和，结合函数的单调性和极值、最值，即可求解.
【详解】（1）由题意，函数，
可得函数的定义域为，且，
设，则，
①当时，可得，所以在上单调递增，所以没有极值；
②当时，若，则，在上单调递减，
若，则，在上单调递增，
所以在处取得极小值，且极小值为，在上没有极大值，
综上，当时，没有极值；当时，的极小值为，无极大值.
（2）由题意知，存在，使得，
即存在，使得，
构造函数，则，
当，即时，在上恒成立，单调递增，
所以，可得，与矛盾，不满足题意；
当，即时，若，则，单调递减，
若，则，单调递增，此时，
由，可得，所以，
因为，所以不等式不成立；
当，即时，在上恒成立，单调递减，
所以，可得，满足题意.
综上，实数a的取值范围为.
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．