2023届湖北省随州市第一中学、荆州市龙泉中学高三下学期四月联考数学试题含解析

这是一份2023届湖北省随州市第一中学、荆州市龙泉中学高三下学期四月联考数学试题含解析，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．设集合，，则（ ）
A．A=BB．C．D．
【答案】D
【分析】化简集合，再判断各选项的对错.
【详解】因为，，
所以且，所以A错，B错，
，C错，
，D对，
故选：D.
2．法国著名的数学家棣莫弗提出了公式：．据此公式，复数的虚部为（ ）．
A．B．C．D．16
【答案】A
【分析】根据题意求出对应的复数，再根据虚部的定义即可得解.
【详解】依题意，
，
故所求复数的虚部为．
故选：A.
3．设是向量，则“”是“”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【详解】试题分析：由无法得到，充分性不成立；由，得，两向量的模不一定相等，必要性不成立，故选D.
【解析】充要条件,向量运算
【名师点睛】由向量数量积的定义(为，的夹角)可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近几年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法.
4．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车的半径为，筒车每秒转动，如图1所示，盛水桶在处距水面的距离为，后盛水桶到水面的距离近似为(取)（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设为水平方向与的夹角，可知水桶到水面的距离为，由处的值可构造方程求得，根据所求距离为，利用三角恒等变换公式计算可得结果.
【详解】由题意知：水桶到水面的距离为：(为水平方向与的夹角)
由得：，则，
则后水桶距离水面的距离为：，
即.
后水桶距离水面的距离约为.
故选：B.
5．据美国的一份资料报道，在美国总的来说患肺癌的概率约为0.1%，在人群中有20%是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.4%，则不吸烟患肺癌的概率为（ ）
A．0.025%B．0.032%C．0.048%D．0.02%
【答案】A
【分析】根据全概率公式求得正确答案.
【详解】设不吸烟患肺癌的概率为，
则，
解得.
故选：A
6．已知直线l：和圆C：，若直线l与圆C的公共点均为整点（点的横纵坐标均为整数），则满足条件的直线有（ ）条
A．78B．66C．60D．72
【答案】C
【分析】先找出圆上横、纵坐标均为整数的点共有12个，经过其中任意两点的割线为12个点中任取2点，再加上过每一个点的切线，再减去经过坐标原点,垂直x轴,垂直于y轴的直线，即可得到答案.
【详解】由已知可得直线的横、纵截距都不为零，即与坐标轴不垂直，不过坐标原点.上的整点有12个：、、，
符合题意的直线可能同时经过上述12个整点中的2个点或者为圆上过上述12个整点中的1个点的切线，
再排除掉其中经过坐标原点的6条，其中有6条直线垂直x轴，有6条垂直于y轴,
即得答案为.
故选：C.
7．设，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】构造函数，利用导数研究的单调性，由此确定正确答案.
【详解】设，，
所以在区间递减；
在区间递增.
，，
，
由于，
所以，
即.
故选：C
8．在三棱锥中，，，，二面角的大小为．若三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，则当三棱锥的体积最大时，球O的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作二面角的平面角，确定三棱锥的高，根据条件证明，建立坐标系，
根据条件确定球心位置，求出球的半径，由此可得球O的体积.
【详解】设点P在平面ABC内的射影为H，连接AH，
考虑到二面角P-AB-C的大小为，则点H与点C在直线AB的两侧．
因为平面，平面，
所以，又，，平面，
所以平面，平面，
所以为二面角的平面角的补角，
所以，又，
所以，从而三棱锥的高为1．
又的面积，
所以当时，的面积最大，最大值为，
所以当时，三棱锥的体积最大，
因此点C和点P在图中两全等长方体构成的大长方体的体对角线的顶点上．
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz．
因为球O的球心O与的外接圆的圆心的连线垂直平面，
为为斜边的直角三角形，所以其外接圆的圆心为的中点，
所以球O的球心O在底面ABC内的射影为线段AC的中点，
于是设．又，，
由，得，
解得，则球O的半径，
所以球O的体积．
故选：D.
【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，求出球心的位置，再求球的半径.
二、多选题
9．下列结论正确的有（ ）
A．若随机变量，满足，则
B．若随机变量，且，则
C．若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越强
D．按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27，30，37，m，40，50；乙组：24，n，33，44．48，52，若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数都分别对应相等，则
【答案】BC
【分析】由方差的性质判断A；由正态分布的对称性判断B；由相关系数的定义判断C；根据百分位数的定义判断D.
【详解】对于A，由方差的性质可得，故A错误；
对于B，由正态分布的图象的对称性可得，故B正确；
对于C，由相关系数知识可得：线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越强，故C正确；
对于D，甲组：第30百分位数为30，第50百分位数为，
乙组：第30百分位数为，第50百分位数为，则，
解得，故，故D错误；
故选：BC
10．中国国家大剧院的外观被设计成了半椭球面的形状，如图，若以椭球的中心为原点建立空间直角坐标系，半椭球面的方程为（，a，b，，且a，b，c全相等）
若该建筑的室内地面是面积为的圆，则下列结论正确的是（ ）
A．；B．；
C．；D．若，则
【答案】AD
【分析】令 得底面曲线方程结合已知条件分别判断A,B,D选项，根据反证法判断C选项即可.
【详解】已知,令 得底面曲线方程为,
建筑的室内地面是面积为的圆，
,且得 ,故A正确；
,不全相等， ，故B错误；
由得 ，即 ，则 与 不全相等矛盾，故C错误；
若，即则，故D正确.
故选:AD.
11．在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“曼哈顿距离”，则下列说法正确的是（ ）
A．若点在线段上，则有
B．若、、是三角形的三个顶点，则有
C．若为坐标原点，点在直线上，则的最小值为
D．若为坐标原点，点满足，则所形成图形的面积为
【答案】AD
【分析】根据定义结合绝对值三角不等式分别判断各选项.
【详解】A选项：若点在线段上，设点，，则在，之间，在，之间，则，故A正确；
B选项：在中， ，故B错误；
C选项：设，则，即的最小值为，C选项错误；
D选项：由，则点的轨迹如图所示，面积为，D选项正确.
故选：AD.
12．已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．在上是增函数
B．，不等式恒成立，则正实数a的最小值为
C．若有两个零点，，则
D．若，且，则的最大值为
【答案】ABD
【分析】A选项，由题，，判断在上的单调性即可；
B选项，由单调性，；
C选项，由有两个零点，，构造函数应用极值点偏移可解；
D选项，因，及在上单调递增，结合B选项分析可判断选项.
【详解】对于A选项，，.
又当时，，则在上是增函数，故A正确；
对于B选项，时，，又为正实数，所以，又时，，
所以在单调递增，故，即.
令，知，所以在上递增，在上递减，所以，
得正实数的最小值为，故B正确；
对于C选项，有两个根，，等价于函数有两个零点，.
注意到，则在上单调递减，在上单调递增，
因函数有零点，则.
设，
令，，
因为，
所以，
当时，，单调递减；
所以在上单调递减，所以，即当时，，
由题意，，，且在上单调递增，
所以，即．故C错误；
对于D选项，由AB选项分析可知，在上单调递增，
又，，
则.由，即，即有，
又，在上单调递增，所以，即，所以，
其中.由B选项分析可知，，其中时取等号，则，
其中时取等号，所以，故D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：对于复杂函数，常利用导数求单调区间.对于恒成立问题，常利用分离参数法将问题转化为求最值.
对于双变量问题，常结合题目条件寻找变量间关系，将双变量转化为单变量.
三、填空题
13．的展开式中，常数项为________．
【答案】
【分析】将问题转化成的常数项及含的项，利用二项展开式的通项公式求出第项，令的指数为，求出常数项及含的项，进而相加可得答案．
【详解】先求的展开式中常数项以及含的项；

由得，由得；
即的展开式中常数项为，
含的项为
的展开式中常数项为
故答案为：
14．已知是第三象限角，，则________．
【答案】
【分析】利用二倍角公式可得，再由同角三角函数的基本关系即可求解.
【详解】因为，
整理可得，
解得，或，由于是第三象限角，（舍去）
所以，．
故答案为：．
15．已知等比数列中，，，则满足成立的最大正整数的值为______．
【答案】3
【分析】设的公比为，由，，解得和，
由数列是等比数列，用公式法求和，解不等式求出n.
【详解】已知为等比数列，设其公比为，由得，，，解得，又．∴．
因为，所以数列也是等比数列，其首项为，公比为．
∴，从而有．
∴．故．
故答案为：3.
【点睛】等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换和灵活运用性质．
16．已知抛物线，圆与y轴相切，直线l过抛物线的焦点与抛物线交于A，D两点，与圆交于B，C两点（A，B两点在x轴的同一侧），若，，则弦长的取值范围为________．
【答案】
【分析】先求得，设直线的方程为，然后根据的取值范围求得的取值范围，再利用弦长公式求得弦长的取值范围.
【详解】抛物线的焦点为，
圆的圆心为，半径为，
由于圆与轴相切，所以，
抛物线方程为，圆，
设直线的方程为，
由消去并化简得，
设，不妨设在第象限，在第象限，
则，，
由于，所以，
则，
即，则，，
所以，
，
函数，根据对勾函数的性质可知，
函数在上单调递增，
所以，，
，即的取值范围是.
所以.
故答案为：
【点睛】在抛物线中，求解过焦点的弦长问题，可设出直线方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，然后利用弦长公式来进行求解.
四、解答题
17．已知在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，．
(1)若BC边上的高等于，求；
(2)若，求AB边上的中线CD长度的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求得（用表示），然后利用余弦定理求得.
（2）先求得，利用向量法求以及基本不等式求得长度的最小值.
【详解】（1）过作，垂足为，则，
，
，
在三角形中，由余弦定理得.
（2），
，两边平方得
，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为.
18．已知正三棱锥的底面边长等于，顶点P在底面ABC内的投影为O，点O在侧面PAB内的投影为D，连接PD与棱AB交于点E．
(1)证明：点E是棱AB的中点；
(2)若点D是的重心，求直线CD与平面PAC所成角的正弦值．
【答案】(1)证明详见解析
(2)
【分析】（1）根据线线垂直、线面垂直、等腰三角形的知识证得点E是棱AB的中点；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线CD与平面PAC所成角的正弦值.
【详解】（1）由于平面平面，所以.
由于平面，平面，所以.
由于平面，所以平面，
由于平面，所以，
由于，即三角形是等腰三角形，所以是棱的中点.
（2）由（1）可知单点共线，连接，
以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，
，
设，则，
由于是三角形的重心，所以，，
由于平面，平面，所以.
所以（负根舍去），
则，
，
设平面的法向量为，
则，故可设，
设直线CD与平面PAC所成角为，
则.
19．某数学兴趣小组为研究本校学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从学校抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下：
(1)根据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？
(2)在人工智能中常用表示在事件发生的条件下事件发生的优势，在统计中称为似然比.现从该校学生中任选一人，表示“选到的学生语文成绩不优秀”，表示“选到的学生数学成绩不优秀”请利用样本数据，估计的值.
(3)现从数学成绩优秀的样本中，按分层抽样的方法选出8人组成一个小组，从抽取的8人里再随机抽取3人参加数学竞赛，求这3人中，语文成绩优秀的人数的概率分布列及数学期望.
附：
【答案】(1)认为数学成绩与语文成绩有关；
(2)；
(3)分布列见解析，.
【分析】（1）零假设后，计算的值与比较即可；
（2）根据条件概率公式计算即可；
（3）分层抽样后运用超几何分布求解.
【详解】（1）零假设：数学成绩与语文成绩无关.
据表中数据计算得：
根据小概率值的的独立性检验，我们推断不成立，而认为数学成绩与语文成绩有关；
（2）∵，
∴估计的值为；
（3）按分层抽样，语文成绩优秀的5人，语文成绩不优秀的3人，随机变量的所有可能取值为.
，，
，，
∴的概率分布列为：
∴数学期望.
20．已知数列的前n项和为，．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)若（1）中数列满足，，令，记，证明
【答案】(1)证明详见解析
(2)证明详见解析
【分析】（1）利用以及等差数列的定义证得结论成立.
（2）先求得，利用裂项求和法求得，进而证得.
【详解】（1）依题意，，
当时，；
当时，由得，
两式相减并化简得，
则，两式相减得，
即，由于，
所以，
所以数列是等差数列；
（2）设等差数列的公差为，依题意，，
所以，解得，所以.
，
所以
.
21．已知双曲线的离心率为2，顶点到渐近线的距离为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)双曲线E的左、右顶点分别为、，过点作斜率为k的直线交双曲线E的右支于M、N两点，直线、分别与直线l：交于点P、Q，，试探究的取值是否与k有关？若有关，求与k的关系式；若无关，求的值．
【答案】(1)
(2)的取值与k无关，
【分析】（1）利用离心率公式和点到直线距离公式即可求出方程；
（2）设出直线方程，并与双曲线方程联立，由韦达定理得出点横坐标关系式；再分别写出直线、方程，并与直线联立得点坐标；由，得出表达式，并化简出定值.
【详解】（1）由题意知，双曲线的渐近线方程为，顶点为，离心率，
所以，.由顶点到渐近线的距离为知，，
解得.故双曲线的标准方程为.
（2）由题知, ，，，直线方程为.
设，，
由，得，
则有，，，.
直线方程为，与直线联立得点；
直线方程为，与直线联立得点；
因为，所以
，其中.
由，得，
代入上式得
.
所以的取值与k无关，.
22．设是定义在区间上的函数，其导函数为．如果存在实数a和函数，其中对任意的都有，使得，则称函数具有性质．
(1)设函数，其中b为实数．
（i）求证：函数具有性质；
（ii）求函数的单调区间．
(2)已知函数具有性质.给定，，设m为实数，
，，且，，若，求m的取值范围．
【答案】(1)（i）见解析；（ii）见解析
(2)
【分析】（1）（i）对求导，可得恒成立，即可证明函数具有性质；（ii），与的符号相同，分，，和，讨论的正负，即可得出函数的单调区间.
（2）对求导，，分析可知其在恒成立，分，和三种情况讨论求解m的取值范围．
【详解】（1）（i），
因为，恒成立，所以函数具有性质；
（ii）设，与的符号相同.
当即时，，，
故此时在区间上递增；
当时，对于，有，所以此时在区间上递增；
当时，的图象开口向上，对称轴，而，
对于，总有，，所以此时在区间上递增；
当时，的图象开口向上，对称轴，方程的两根为：
，且，，
当时，，，此时在区间上递减；
同理得：在区间上递增.
综上所述：当时，在区间上递增；
当时，在区间上递减，在上递增.
（2）由题意，得：，
又对任意的都有，
所以对任意的都有，在上递增.
又，
当时，，且，
所以，所以或，
若，则，
所以不合题意.
所以，即，解得：，，
当时，，，符合题意.
当时，，且，
同理有，即，解得：，，
综合以上讨论，所求m的取值范围时.
【点睛】本题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识、考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力.
语文成绩
合计
优秀
不优秀
数学成绩
优秀
50
30
80
不优秀
40
80
120
合计
90
110
200
0
1
2
3