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2021年陕西省榆林市横山区中考数学二模试卷
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这是一份2021年陕西省榆林市横山区中考数学二模试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年陕西省榆林市横山区中考数学二模试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）一个数a的绝对值等于它本身，则a的值不可能是（ ）
A．1 B．﹣1 C．0 D．2
2．（3分）如图4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）如图，CD⊥AB于点D，点E为CD上一点，过点E作EF∥AB，连接CF，若∠C＝50°，则∠F的度数为（ ）
A．40° B．35° C．45° D．50°
4．（3分）化简x2﹣（x+2）（x﹣2）的结果是（ ）
A．2x2﹣2 B．x2﹣4 C．2x2﹣4 D．4
5．（3分）如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，若OA＝3，AC＝5，则△OAB与△OCD的面积比为（ ）
A．3：5 B．3：8 C．9：64 D．9：25
6．（3分）已知直线y＝﹣x﹣2沿x轴向左平移m个单位后，所得直线与直线y＝x+4关于x轴对称，则m的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．（3分）如图，⊙O的半径为3，点A为⊙O上一点，连接OA，以OA为一条直角边Rt△OAB，使∠AOB＝90°，OB＝4，AB交⊙O于点C，则BC的长为 （ ）
A． B． C． D．
8．（3分）若P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣4ax上两点，当|x1﹣2|＞|x2﹣2|时，则下列表达式正确的是（ ）
A．y1+y2＞0 B．a（y1+y2）＞0 C．y1﹣y2＞0 D．a（y1﹣y2）＞0
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
9．（3分）写出一个无理数，使这个无理数的绝对值小于4： ．
10．（3分）据悉，世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有0.00000009克，数据0.00000009用科学记数法表示为 ．
11．（3分）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则点F的坐标为 ．
12．（3分）用灰色和白色的正方形卡片按照如图所示的规律拼图案，则第⑧个图形中灰色正方形卡片有 张．
13．（3分）已知正比例函数y＝kx的图象与反比例函数的图象交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，则2x1y2﹣4x2y1的值为 ．
14．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝8，点H在CD上，且CH＝2，点E绕着点B旋转，且BE＝2，在CE的上方作正方形EFGC，连接AF、FH，则线段AF的长为 ，线段FH的最小值是 ．
三、解答题（共12小题，计78分.解答应写出过程）
15．（5分）计算：（﹣2）0+2sin60°﹣．
16．（5分）解方程：＝+1．
17．（5分）已知x＝1是一元二次方程（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0的一个根，求m的值．
18．（5分）如图，在△ABC中，∠A＝80°，∠C＝60°，请利用尺规作图法在AB边上求作一点D，连接CD，使∠BCD＝40°．（保留作图痕迹，不写作法）
19．（6分）如图，已知AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC，请问图中有哪几对全等三角形并任选其中一对给予证明．
20．（6分）“东方红号”旅游专列以“革命圣地延安红色大讲堂•移动的爱国教育”为主题，宣传展示党中央在延安十三年奋斗历程，助力传承延安艰苦奋斗的革命精神．某校七、八年级学生搭乘“东方红号”，开启为期一周的红色研学之旅．旅行结束后参加该次活动的同学需写一篇关于此次旅行的作文，老师对每篇作文进行评分（满分100分），评分结束后，随机抽取两个年级各20名学生的成绩进行调查统计，过程如下：
【收集数据】
20名七年级学生成绩如下：
79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，59，83，77．
20名八年级学生成绩如下：
92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41．
【整理数据】
按如表分数段整理这两组样本数据：
40≤x≤49
50≤x≤59
60≤x≤69
70≤x≤79
80≤x≤89
90≤x≤100
七年级（人数）
0
1
0
a
7
1
八年级（人数）
1
0
0
7
10
2
【分析数据】
两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如表所示：
平均数
众数
中位数
七年级
78
75
b
八年级
78
c
80.5
两组样本数据的平均数、众数、中位数如表所示：根据以上信息回答下列问题：
（1）由表格填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）若七、八年级各有400名学生参加此次活动，估计七、八年级学生成绩在90分以上的共有多少人？
（3）通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？请说明理由．
21．（6分）唐桥陵神道南端有一对华表，它们高大雄伟、朴实无华．某学习小组把测量这对华表柱的高度作为一次课题活动，同学们制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如表：
课题
测量华表柱的高度
测量工具
一副自制三角板（一个是等腰直角三角形，另一个是含34°角的直角三角形）、一根米尺
测量示意图
两位同学分别站在一根华表柱的东西两侧同一地平线上，他们用手平托三角板，保持三角板的一条直角边与地平面平行，然后前后移动各自位置，使目光沿着三角板的斜边正好经过华表柱的最高点A处，这时，他们的位置分别为点C和点D，CE⊥CD，DF⊥CD，AB⊥CD，C、B、D在一条直线上．
测量数据
α的度数
β的度数
CD的长度
两位同学的眼睛距离地面的高度CE和DF
45°
34°
17.5米
CE、DF相等，均为1.5米
请你根据表中的测量数据，帮助该小组求出这根华表柱的高度．（参考数据：tan34°≈）
22．（6分）“低碳生活，绿色出行”的理念已深入人心，现在越来越多的人选择骑自行车上下班或外出旅游．一天，亮亮从家骑自行车出发，沿着一条直路到相距2400m的邮局办事，亮亮出发的同时，他的爸爸以96m/min速度从邮局同道路步行回家，亮亮在邮局停留2min后沿原路以原速返回，设他们出发后经过tmin时，亮亮与家之间的距离为s1m，爸爸与家之间的距离为s2m，图中折线OABD、线段EF分别表示s1、s2与t之间的函数关系．
（1）图中m的值为 ，点D的坐标为 ；
（2）求s2与t之间的函数关系式；
（3）求亮亮返回途中与爸爸相遇时，他们距离家还有多远？
23．（7分）2021年4月13日，东京奥运会女足预选赛附加赛次回合，中国女足击败韩国女足，挺进东京奥运会决赛圈！为了给中国女足培养更多的人才，某市甲、乙两所学校之间预进行一场女子足球比赛，九年级的一位足球迷设计了如下的游戏规则，并规定哪一方获胜，就由哪一方开球．
游戏规则：在一个不透明的口袋中放入1个红球、2个白球、1个黑球，这些球除颜色外都相同，现将这些球摇匀，甲校派一名同学从袋子中随机摸出一个球，不放回，乙校再派一名同学从袋子中剩下的小球中随机摸出一个，若摸出的两个球中有一个是红球，则甲校获胜；若摸出的两个球中没有红球，则乙校获胜．
（1）求甲校摸球结束，即可确定自己获胜的概率；
（2）请用列表法或画树状图的方法判断，这个游戏规则对甲、乙两所学校是否公平？
24．（8分）如图，四边形AMBD是⊙O的内接四边形，点M是的中点，∠AMB＝90°，延长AD到点C，连接BC，作∠ACB的平分线，交BD于点F，∠OAD＝∠DBC．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若OA＝3，∠MBD＝105°，求DF的长．
25．（9分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知OA＝OC＝4OB＝4．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连接BC，AC，若点D在x轴的下方，以A、B、D为顶点的三角形与△ABC全等，平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点B与点D，请求出平移后所得抛物线的函数表达式，并写出平移过程．
26．（10分）【问题提出】
（1）如图①，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若S△ABC＝3，则△ABD的面积为 ；
【问题探究】
（2）如图②，已知BC＝6，点A为BC上方的一个动点，且∠BAC＝120°，点D为BA延长线上一点，且AD＝AC，连接CD，求△BCD面积的最大值；
【问题解决】
（3）如图③，四边形ABCD是规划中的休闲广场示意图，AC、BD为两条人行通道，根据规划要求，人行通道AC的长为500米，∠DBC＝30°，AD∥BC，为了容纳更多的人，要求该休闲广场的面积尽可能大，请问休闲广场ABCD的面积是否存在最大值，如果存在，求出四边形ABCD的最大面积，如果不存在，请说明理由．（结果保留根号）
2021年陕西省榆林市横山区中考数学二模试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）一个数a的绝对值等于它本身，则a的值不可能是（ ）
A．1 B．﹣1 C．0 D．2
【解答】解：∵一个数a的绝对值等于它本身，则a的值不可能是负数，
∴a的值不可能是﹣1．
故选：B．
2．（3分）如图4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：选项A、B、C的汉字均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项D的汉字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
3．（3分）如图，CD⊥AB于点D，点E为CD上一点，过点E作EF∥AB，连接CF，若∠C＝50°，则∠F的度数为（ ）
A．40° B．35° C．45° D．50°
【解答】解：∵CD⊥AB，EF∥AB，
∴CD⊥EF，
∴∠CEF＝90°，
∵∠C＝50°，
∴∠F＝90°﹣∠C＝90°﹣50°＝40°．
故选：A．
4．（3分）化简x2﹣（x+2）（x﹣2）的结果是（ ）
A．2x2﹣2 B．x2﹣4 C．2x2﹣4 D．4
【解答】解：x2﹣（x+2）（x﹣2）＝x2﹣（x2﹣4）＝x2﹣x2+4＝4．
故选：D．
5．（3分）如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，若OA＝3，AC＝5，则△OAB与△OCD的面积比为（ ）
A．3：5 B．3：8 C．9：64 D．9：25
【解答】解：∵以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，
∴△OAB∽△OCD，
∴＝（）2＝（）2＝．
即△OAB与△OCD的面积比为9：64．
故选：C．
6．（3分）已知直线y＝﹣x﹣2沿x轴向左平移m个单位后，所得直线与直线y＝x+4关于x轴对称，则m的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】解：直线y＝﹣x﹣2沿x轴向左平移m个单位后，所得直线为y＝﹣（x+m）﹣2＝﹣x﹣m﹣2，
∵直线y＝x+4关于x轴对称的直线为﹣y＝x+4，即y＝﹣x﹣4，
∴﹣m﹣2＝﹣4，
∴m＝2．
故选：C．
7．（3分）如图，⊙O的半径为3，点A为⊙O上一点，连接OA，以OA为一条直角边Rt△OAB，使∠AOB＝90°，OB＝4，AB交⊙O于点C，则BC的长为 （ ）
A． B． C． D．
【解答】解：过点O作OH⊥AB于H，
则AH＝HC，
在Rt△AOB中，OA＝3，OB＝4，
则AB＝＝＝5，
∵S△AOB＝OA•OB＝AB•OH，
∴OH＝＝，
∴AH＝＝，
∴AC＝2AH＝，
∴BC＝AB﹣AC＝，
故选：A．
8．（3分）若P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣4ax上两点，当|x1﹣2|＞|x2﹣2|时，则下列表达式正确的是（ ）
A．y1+y2＞0 B．a（y1+y2）＞0 C．y1﹣y2＞0 D．a（y1﹣y2）＞0
【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣4ax＝a（x﹣2）2﹣4a，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝2，
∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|，
则说明数轴上x1到2的距离比x2到2的距离大，
当a＞0时，图象开口向上，图象上横坐标是x1的点比横坐标是x2的点离对称轴远，
∴y1＞y2，
则C、D正确，A、B不确定；
当a＜0时，图象开口向下，图象上横坐标是x1的点比横坐标是x2的点离对称轴远，
故y1＜y2，
则D正确，C错误，A、B不确定，
故选：D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
9．（3分）写出一个无理数，使这个无理数的绝对值小于4： π（答案不唯一） ．
【解答】解：无理数π的绝对值小于4，
故答案为：π（答案不唯一）．
10．（3分）据悉，世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有0.00000009克，数据0.00000009用科学记数法表示为 9×10﹣8 ．
【解答】解：0.00000009＝9×10﹣8．
故答案为：9×10﹣8．
11．（3分）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则点F的坐标为 （﹣2，） ．
【解答】解：作FH⊥x轴于H．
∵∠OAF＝（6﹣2）×180°÷6＝120°，
∴∠FAH＝60°，∠AFH＝30°，
∵AF＝2，
∴AH＝1，AO＝1，FH＝，
∴HO＝2，
∴点F的坐标为 （﹣2，）．
故答案为：（﹣2，）．
12．（3分）用灰色和白色的正方形卡片按照如图所示的规律拼图案，则第⑧个图形中灰色正方形卡片有 22 张．
【解答】解：观察第①～⑤个图形，知图形中灰色正方形卡片分别有1，4，7，10，13个，后面一个图形中灰色正方形卡片张数比前面一个多3个，
由此可知，第n个图形中灰色卡片张数为1+3（n﹣1）＝3n﹣2（张），
因此，第⑧个图形中灰色正方形卡片有3×8﹣2＝22（张）．
故答案为：22．
13．（3分）已知正比例函数y＝kx的图象与反比例函数的图象交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，则2x1y2﹣4x2y1的值为 ﹣10 ．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx的图象与反比例函数的图象交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，
∴x1y1＝﹣5，x2y2＝﹣5，且x1＝﹣x2，y1＝﹣y2，
∴2x1y2﹣4x2y1＝﹣2x1y1+4x1y1＝2×（﹣5）＝﹣10，
故答案为：﹣10．
14．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝8，点H在CD上，且CH＝2，点E绕着点B旋转，且BE＝2，在CE的上方作正方形EFGC，连接AF、FH，则线段AF的长为 2 ，线段FH的最小值是 10﹣2 ．
【解答】解：连接CA、CF、AF，
因为∠BCA＝∠ECF，
所以∠BCE＝∠ACF，
在等腰△ABC和等腰△ECF中，
，
所以，
所以△BCE∽△ACF，
所以，
因为BE＝2，
所以AF＝2，
所以F在以A为圆心，为半径的圆上运动，
当A、H、F三点共线时，FH最小，
所以FH＝AH﹣2，
在Rt△ADH中，AD＝8，DH＝6，
所以AH＝10，
所以FH最小值为10﹣2，
故答案为：2，10﹣2．
三、解答题（共12小题，计78分.解答应写出过程）
15．（5分）计算：（﹣2）0+2sin60°﹣．
【解答】解：（﹣2）0+2sin60°﹣
＝1+2×+2
＝1++2
＝3+．
16．（5分）解方程：＝+1．
【解答】解：＝+1，
方程两边都乘（x﹣1）（x+1），得
x（x+1）＝4+（x﹣1）（x+1），
解得x＝3，
检验：当x＝3时，（x﹣1）（x+1）＝8≠0．
故x＝3是原方程的解．
17．（5分）已知x＝1是一元二次方程（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0的一个根，求m的值．
【解答】解：把x＝1代入（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0得：
m﹣2+4﹣m2＝0，
﹣m2+m+2＝0，
解得：m1＝2，m2＝﹣1，
∵（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0是一元二次方程，
∴m﹣2≠0，
∴m≠2，
∴m＝﹣1．
18．（5分）如图，在△ABC中，∠A＝80°，∠C＝60°，请利用尺规作图法在AB边上求作一点D，连接CD，使∠BCD＝40°．（保留作图痕迹，不写作法）
【解答】解：∵∠A＝80°，∠ACB＝60°，
∴∠B＝40°，
∵∠BCD＝40°，
∴∠B＝∠BCD，
∴点D在线段BC的垂直平分线上．
如图，点D即为所求．
19．（6分）如图，已知AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC，请问图中有哪几对全等三角形并任选其中一对给予证明．
【解答】解：此图中有三对全等三角形．分别是：△ABF≌△DEC、△ABC≌△DEF、△BCF≌△EFC．
证明：∵AB∥DE，
∴∠A＝∠D．
又∵AB＝DE、AF＝DC，
∴△ABF≌△DEC．
20．（6分）“东方红号”旅游专列以“革命圣地延安红色大讲堂•移动的爱国教育”为主题，宣传展示党中央在延安十三年奋斗历程，助力传承延安艰苦奋斗的革命精神．某校七、八年级学生搭乘“东方红号”，开启为期一周的红色研学之旅．旅行结束后参加该次活动的同学需写一篇关于此次旅行的作文，老师对每篇作文进行评分（满分100分），评分结束后，随机抽取两个年级各20名学生的成绩进行调查统计，过程如下：
【收集数据】
20名七年级学生成绩如下：
79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，59，83，77．
20名八年级学生成绩如下：
92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41．
【整理数据】
按如表分数段整理这两组样本数据：
40≤x≤49
50≤x≤59
60≤x≤69
70≤x≤79
80≤x≤89
90≤x≤100
七年级（人数）
0
1
0
a
7
1
八年级（人数）
1
0
0
7
10
2
【分析数据】
两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如表所示：
平均数
众数
中位数
七年级
78
75
b
八年级
78
c
80.5
两组样本数据的平均数、众数、中位数如表所示：根据以上信息回答下列问题：
（1）由表格填空：a＝ 11 ，b＝ 78 ，c＝ 81 ；
（2）若七、八年级各有400名学生参加此次活动，估计七、八年级学生成绩在90分以上的共有多少人？
（3）通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？请说明理由．
【解答】解：（1）将七年级成绩重新排列为：59，70，71，73，75，75，75，75，76，77，79，79，80，80，81，83，85，86，87，94，
所以a＝11，其中位数b＝＝78，
八年级成绩的众数c＝81，
故答案为：11，78，81；
（2）800×＝60（人），
答：估计七、八年级学生成绩在90分以上的共有60人；
（3）八年级学生的成绩较好，
∵七、八年级学生成绩的平均数相等，而八年级学生成绩的中位数大于七年级学生成绩的中位数，
∴八年级得分高的人数较多，即八年级学生的成绩较好．
21．（6分）唐桥陵神道南端有一对华表，它们高大雄伟、朴实无华．某学习小组把测量这对华表柱的高度作为一次课题活动，同学们制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如表：
课题
测量华表柱的高度
测量工具
一副自制三角板（一个是等腰直角三角形，另一个是含34°角的直角三角形）、一根米尺
测量示意图
两位同学分别站在一根华表柱的东西两侧同一地平线上，他们用手平托三角板，保持三角板的一条直角边与地平面平行，然后前后移动各自位置，使目光沿着三角板的斜边正好经过华表柱的最高点A处，这时，他们的位置分别为点C和点D，CE⊥CD，DF⊥CD，AB⊥CD，C、B、D在一条直线上．
测量数据
α的度数
β的度数
CD的长度
两位同学的眼睛距离地面的高度CE和DF
45°
34°
17.5米
CE、DF相等，均为1.5米
请你根据表中的测量数据，帮助该小组求出这根华表柱的高度．（参考数据：tan34°≈）
【解答】解：连接EF交AB于点G．
∵CE⊥CD，DF⊥CD，CE＝DF，
∴四边形CEFD是矩形．
∴CD＝EF＝17.5米．
∵AB⊥CD，
∴四边形CEGB是矩形．
∴CE＝BG＝1.5米．
在Rt△AGE中，
∵∠AEG＝α＝45°，
∴∠EAG＝45°．
∴AG＝EG．
在Rt△AGF中，
∵∠AFG＝β＝34°，tan∠AFG＝≈，
∴FG＝AG．
∵EG+FG＝EF，
∴AG+AG＝17.5，
∴AG＝7（米）．
∴AB＝AG+GB＝7+1.5＝8.5（米）．
答：这根华表柱的高度为8.5米．
22．（6分）“低碳生活，绿色出行”的理念已深入人心，现在越来越多的人选择骑自行车上下班或外出旅游．一天，亮亮从家骑自行车出发，沿着一条直路到相距2400m的邮局办事，亮亮出发的同时，他的爸爸以96m/min速度从邮局同道路步行回家，亮亮在邮局停留2min后沿原路以原速返回，设他们出发后经过tmin时，亮亮与家之间的距离为s1m，爸爸与家之间的距离为s2m，图中折线OABD、线段EF分别表示s1、s2与t之间的函数关系．
（1）图中m的值为 12 ，点D的坐标为 （2.5，0） ；
（2）求s2与t之间的函数关系式；
（3）求亮亮返回途中与爸爸相遇时，他们距离家还有多远？
【解答】解：（1）∵小明的爸爸以96m/min速度从邮局同一条道路步行回家，
∴小明的爸爸用的时间为：2400÷96＝25（min），
即OF＝25，
如图：设s2与t之间的函数关系式为：s2＝kt+b，
∵E（0，2400），F（25，0），
∴b＝2400，25k+b＝0，
解得：b＝2400，k＝﹣96，
∴s2与t之间的函数关系式为：s2＝﹣96t+2400；
当s＝2400时，t＝12，
∴m＝12；
当s＝0时，t＝2.5，
∴D（2.5，0）；
故答案为：12，（2.5，0）；
（2）由图可知小明与爸爸相遇两次，
第一次相遇时在小明去邮局的路上，即图中OA和EF的交点设交点为（m，n）
由（1）知直线EF的函数式为y＝﹣96x+2400，
直线OA经过点O（0，0）和点A（10，2400），
故求得直线OA的函数式为y1＝240x，
因为交点（m，n）在两条直线上
∴，
解得m＝，n＝，
m即为小明与爸爸第一次相遇时所用的时间，
∴这时他们与邮局的距离为96×＝（m），
第二次相遇时是在小明从邮局返回的路上，
如图：小明用了10分钟到邮局，
∴D点的坐标为（22，0），
设直线BD即s1与t之间的函数关系式为：s1＝at+c（12≤t≤22），
∴，
解得：a＝﹣240，c＝5280，
∴s1与t之间的函数关系式为：s1＝﹣240t+5280（12≤t≤22），
当s1＝s2时，小明在返回途中追上爸爸，
即﹣96t+2400＝﹣240t+5280，解得：t＝20，
∴s1＝s2＝480，
∴小明从家出发，经过20min在返回途中追上爸爸，这时他们距离邮局还有2400﹣480＝1920（m）．
∴小明与爸爸相遇所用的时间是min和20min时，他们离邮局的距离分别为m和1920m．
23．（7分）2021年4月13日，东京奥运会女足预选赛附加赛次回合，中国女足击败韩国女足，挺进东京奥运会决赛圈！为了给中国女足培养更多的人才，某市甲、乙两所学校之间预进行一场女子足球比赛，九年级的一位足球迷设计了如下的游戏规则，并规定哪一方获胜，就由哪一方开球．
游戏规则：在一个不透明的口袋中放入1个红球、2个白球、1个黑球，这些球除颜色外都相同，现将这些球摇匀，甲校派一名同学从袋子中随机摸出一个球，不放回，乙校再派一名同学从袋子中剩下的小球中随机摸出一个，若摸出的两个球中有一个是红球，则甲校获胜；若摸出的两个球中没有红球，则乙校获胜．
（1）求甲校摸球结束，即可确定自己获胜的概率；
（2）请用列表法或画树状图的方法判断，这个游戏规则对甲、乙两所学校是否公平？
【解答】解：（1）∵甲校摸球结束，即可确定自己获胜，
∴甲校摸出的一个球是红球，
∵袋子中有4个球，只有1个是红球，
∴甲校摸球结束，即可确定自己获胜的概率是；
（2）画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中摸出的两个球中有一个是红球是情况是6种，摸出的两个球中没有红球的情况是6种，
∴P（甲校获胜）＝P（乙校获胜）＝，
∴这个游戏规则对甲、乙两所学校是公平的．
24．（8分）如图，四边形AMBD是⊙O的内接四边形，点M是的中点，∠AMB＝90°，延长AD到点C，连接BC，作∠ACB的平分线，交BD于点F，∠OAD＝∠DBC．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若OA＝3，∠MBD＝105°，求DF的长．
【解答】（1）证明：连接OB，如图，
∵∠AMB＝90°，
∴AB为⊙O的直径，即点A，O，B在一条直线上，
∴∠ADB＝90°．
∴∠BAD+∠ABD＝90°，
∵∠OAD＝∠DBC，
∴∠ABD+∠DBC＝90°，
即∠ABC＝90°，
∴OB⊥BC，
∵OB为⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵点M是的中点，
∴AM＝BM，
∵∠AMB＝90°，
∴∠MAB＝∠MBA＝45°．
∴∠ABD＝∠MBD﹣∠MBA＝105°﹣45°＝60°．
∴∠DBC＝90°﹣∠ABD＝30°，
∵∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝30°，
∴BD＝AB＝OA＝3．
∴CD＝BD•tan∠DBC＝3×＝．
∵∠BDC＝90°，
∴∠DCB＝90°∠DBC＝60°．
∵CF平分∠DCB，
∴∠DCF＝∠DCB＝30°，
∵tan∠DCF＝，
∴，
∴DF＝1．
25．（9分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知OA＝OC＝4OB＝4．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连接BC，AC，若点D在x轴的下方，以A、B、D为顶点的三角形与△ABC全等，平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点B与点D，请求出平移后所得抛物线的函数表达式，并写出平移过程．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知OA＝OC＝4OB＝4，
∴点A（4，0）和点B（﹣1，0），点C（0，4）．
∴，解得，
∴该抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+3x+4；
（2）y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+，
①将△ABC沿x轴翻折，则点C（0，4）的对应点落在点D1（0，﹣4）处，
则△ABD1≌△ABC，
可设平移后经过点B（﹣1，0），D1（0，﹣4）的抛物线解析式为y＝﹣x2+b′x﹣4，
将B（﹣1，0）代入y＝﹣x2+b′x﹣4，
得0＝﹣1﹣b′﹣4，
解得，b′＝﹣5，
∴平移后经过点B，D1的抛物线解析式为y＝﹣x2﹣5x﹣4＝﹣（x+）2+，
∴平移过程为将抛物线y＝﹣x2+3x+4先向左平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度；
②将△ABD1沿抛物线y＝﹣x2+3x+4的对称轴直线x＝翻折，则点D1（0，﹣4）的对应点落在点D2（3，﹣4）处，
则△BAD2≌△ABD1≌△ABC，
可设平移后经过点B（﹣1，0），D2（3，﹣4）的抛物线解析式为y＝﹣x2+mx+n，
将B（﹣1，0），D2（3，﹣4）代入y＝﹣x2+mx+n，
得，解得，
∴平移后经过点B，D2的抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，
∴平移过程为将抛物线y＝﹣x2+3x+4先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度；
综上所述，平移后的抛物线解析式为y＝﹣x2﹣5x﹣4或y＝﹣x2+x+2，平移过程为将抛物线y＝﹣x2+3x+4先向左平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度或先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度．
26．（10分）【问题提出】
（1）如图①，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若S△ABC＝3，则△ABD的面积为 3 ；
【问题探究】
（2）如图②，已知BC＝6，点A为BC上方的一个动点，且∠BAC＝120°，点D为BA延长线上一点，且AD＝AC，连接CD，求△BCD面积的最大值；
【问题解决】
（3）如图③，四边形ABCD是规划中的休闲广场示意图，AC、BD为两条人行通道，根据规划要求，人行通道AC的长为500米，∠DBC＝30°，AD∥BC，为了容纳更多的人，要求该休闲广场的面积尽可能大，请问休闲广场ABCD的面积是否存在最大值，如果存在，求出四边形ABCD的最大面积，如果不存在，请说明理由．（结果保留根号）
【解答】解：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴△ABC与平行四边形ABCD中BC边上的高相等，
∴S平行四边形ABCD＝2S△ABC＝6，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴＝3．
故答案为：3；
（2）∵∠BAC＝120°，
∴∠CAD＝60°．
∵AD＝AC，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠ADC＝60°．
作△BCD的外接圆⊙O，则BC为定弦，点D为优弧上的一动点，如图，
作BC的垂直平分线EF，交⊙O于点E，交BC于点F，
∵弦的垂直平分线经过圆心，
∴EF经过圆心O．
连接BO，CO，BE，CE，如图，
由图形可知：当点D与点E重合时，S△BCD取得最大值，最大值为S△BCE．
∵∠D＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∵OB＝OC，OF⊥BC，BC＝6，
∴∠OBC＝30°，BF＝CF＝BC＝3．
∴OF＝BF•tan30°＝3×＝．
∴OE＝OB＝2OF＝2，
∴EF＝OF+OE＝3．
∴BC•EF＝6×3＝9，
∴△BCD面积的最大值9；
（3）延长AD至点E，使DE＝BC，连接CE，如图，
∵DE∥BC，DE＝BC，
∴四边形DBCE为平行四边形，
∴∠DEC＝∠DBC＝30°，S△BCD＝S△CDE．
∵AD∥BC，
∴S△ADC＝S△ADB．
∴S四边形ABCD＝S△ADB+S△BCD＝S△ADC+S△CDE＝S△CAE．
∴当△CAE面积最大时，四边形ABCD的面积最大．
作△ACE的外接圆⊙O，当点E与优弧的中点E′重合时，△ACE的面积最大．
连接OA，OC，连接E′O并延长，交AC于点H，则E′H⊥AC，
∴∠AE′C＝∠AEC＝30°，
∴∠AOC＝60°．
∵OA＝OC，
∴△OAC为等边三角形，∠AOH＝30°．
∵AC＝500米，
∴AH＝AC＝250米，OE′＝OA＝AC＝500米，
∴OH＝＝250（米），
∴HE′＝OE′+OH＝（500+250）米．
∴△ACE的面积的最大值为：AC•HE′＝500×（500+250）＝（125000+62500）平方米．
∴四边形ABCD的最大面积为（125000+62500）平方米．
2021年陕西省榆林市横山区中考数学二模试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）一个数a的绝对值等于它本身，则a的值不可能是（ ）
A．1 B．﹣1 C．0 D．2
2．（3分）如图4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）如图，CD⊥AB于点D，点E为CD上一点，过点E作EF∥AB，连接CF，若∠C＝50°，则∠F的度数为（ ）
A．40° B．35° C．45° D．50°
4．（3分）化简x2﹣（x+2）（x﹣2）的结果是（ ）
A．2x2﹣2 B．x2﹣4 C．2x2﹣4 D．4
5．（3分）如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，若OA＝3，AC＝5，则△OAB与△OCD的面积比为（ ）
A．3：5 B．3：8 C．9：64 D．9：25
6．（3分）已知直线y＝﹣x﹣2沿x轴向左平移m个单位后，所得直线与直线y＝x+4关于x轴对称，则m的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．（3分）如图，⊙O的半径为3，点A为⊙O上一点，连接OA，以OA为一条直角边Rt△OAB，使∠AOB＝90°，OB＝4，AB交⊙O于点C，则BC的长为 （ ）
A． B． C． D．
8．（3分）若P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣4ax上两点，当|x1﹣2|＞|x2﹣2|时，则下列表达式正确的是（ ）
A．y1+y2＞0 B．a（y1+y2）＞0 C．y1﹣y2＞0 D．a（y1﹣y2）＞0
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
9．（3分）写出一个无理数，使这个无理数的绝对值小于4： ．
10．（3分）据悉，世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有0.00000009克，数据0.00000009用科学记数法表示为 ．
11．（3分）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则点F的坐标为 ．
12．（3分）用灰色和白色的正方形卡片按照如图所示的规律拼图案，则第⑧个图形中灰色正方形卡片有 张．
13．（3分）已知正比例函数y＝kx的图象与反比例函数的图象交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，则2x1y2﹣4x2y1的值为 ．
14．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝8，点H在CD上，且CH＝2，点E绕着点B旋转，且BE＝2，在CE的上方作正方形EFGC，连接AF、FH，则线段AF的长为 ，线段FH的最小值是 ．
三、解答题（共12小题，计78分.解答应写出过程）
15．（5分）计算：（﹣2）0+2sin60°﹣．
16．（5分）解方程：＝+1．
17．（5分）已知x＝1是一元二次方程（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0的一个根，求m的值．
18．（5分）如图，在△ABC中，∠A＝80°，∠C＝60°，请利用尺规作图法在AB边上求作一点D，连接CD，使∠BCD＝40°．（保留作图痕迹，不写作法）
19．（6分）如图，已知AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC，请问图中有哪几对全等三角形并任选其中一对给予证明．
20．（6分）“东方红号”旅游专列以“革命圣地延安红色大讲堂•移动的爱国教育”为主题，宣传展示党中央在延安十三年奋斗历程，助力传承延安艰苦奋斗的革命精神．某校七、八年级学生搭乘“东方红号”，开启为期一周的红色研学之旅．旅行结束后参加该次活动的同学需写一篇关于此次旅行的作文，老师对每篇作文进行评分（满分100分），评分结束后，随机抽取两个年级各20名学生的成绩进行调查统计，过程如下：
【收集数据】
20名七年级学生成绩如下：
79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，59，83，77．
20名八年级学生成绩如下：
92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41．
【整理数据】
按如表分数段整理这两组样本数据：
40≤x≤49
50≤x≤59
60≤x≤69
70≤x≤79
80≤x≤89
90≤x≤100
七年级（人数）
0
1
0
a
7
1
八年级（人数）
1
0
0
7
10
2
【分析数据】
两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如表所示：
平均数
众数
中位数
七年级
78
75
b
八年级
78
c
80.5
两组样本数据的平均数、众数、中位数如表所示：根据以上信息回答下列问题：
（1）由表格填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）若七、八年级各有400名学生参加此次活动，估计七、八年级学生成绩在90分以上的共有多少人？
（3）通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？请说明理由．
21．（6分）唐桥陵神道南端有一对华表，它们高大雄伟、朴实无华．某学习小组把测量这对华表柱的高度作为一次课题活动，同学们制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如表：
课题
测量华表柱的高度
测量工具
一副自制三角板（一个是等腰直角三角形，另一个是含34°角的直角三角形）、一根米尺
测量示意图
两位同学分别站在一根华表柱的东西两侧同一地平线上，他们用手平托三角板，保持三角板的一条直角边与地平面平行，然后前后移动各自位置，使目光沿着三角板的斜边正好经过华表柱的最高点A处，这时，他们的位置分别为点C和点D，CE⊥CD，DF⊥CD，AB⊥CD，C、B、D在一条直线上．
测量数据
α的度数
β的度数
CD的长度
两位同学的眼睛距离地面的高度CE和DF
45°
34°
17.5米
CE、DF相等，均为1.5米
请你根据表中的测量数据，帮助该小组求出这根华表柱的高度．（参考数据：tan34°≈）
22．（6分）“低碳生活，绿色出行”的理念已深入人心，现在越来越多的人选择骑自行车上下班或外出旅游．一天，亮亮从家骑自行车出发，沿着一条直路到相距2400m的邮局办事，亮亮出发的同时，他的爸爸以96m/min速度从邮局同道路步行回家，亮亮在邮局停留2min后沿原路以原速返回，设他们出发后经过tmin时，亮亮与家之间的距离为s1m，爸爸与家之间的距离为s2m，图中折线OABD、线段EF分别表示s1、s2与t之间的函数关系．
（1）图中m的值为 ，点D的坐标为 ；
（2）求s2与t之间的函数关系式；
（3）求亮亮返回途中与爸爸相遇时，他们距离家还有多远？
23．（7分）2021年4月13日，东京奥运会女足预选赛附加赛次回合，中国女足击败韩国女足，挺进东京奥运会决赛圈！为了给中国女足培养更多的人才，某市甲、乙两所学校之间预进行一场女子足球比赛，九年级的一位足球迷设计了如下的游戏规则，并规定哪一方获胜，就由哪一方开球．
游戏规则：在一个不透明的口袋中放入1个红球、2个白球、1个黑球，这些球除颜色外都相同，现将这些球摇匀，甲校派一名同学从袋子中随机摸出一个球，不放回，乙校再派一名同学从袋子中剩下的小球中随机摸出一个，若摸出的两个球中有一个是红球，则甲校获胜；若摸出的两个球中没有红球，则乙校获胜．
（1）求甲校摸球结束，即可确定自己获胜的概率；
（2）请用列表法或画树状图的方法判断，这个游戏规则对甲、乙两所学校是否公平？
24．（8分）如图，四边形AMBD是⊙O的内接四边形，点M是的中点，∠AMB＝90°，延长AD到点C，连接BC，作∠ACB的平分线，交BD于点F，∠OAD＝∠DBC．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若OA＝3，∠MBD＝105°，求DF的长．
25．（9分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知OA＝OC＝4OB＝4．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连接BC，AC，若点D在x轴的下方，以A、B、D为顶点的三角形与△ABC全等，平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点B与点D，请求出平移后所得抛物线的函数表达式，并写出平移过程．
26．（10分）【问题提出】
（1）如图①，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若S△ABC＝3，则△ABD的面积为 ；
【问题探究】
（2）如图②，已知BC＝6，点A为BC上方的一个动点，且∠BAC＝120°，点D为BA延长线上一点，且AD＝AC，连接CD，求△BCD面积的最大值；
【问题解决】
（3）如图③，四边形ABCD是规划中的休闲广场示意图，AC、BD为两条人行通道，根据规划要求，人行通道AC的长为500米，∠DBC＝30°，AD∥BC，为了容纳更多的人，要求该休闲广场的面积尽可能大，请问休闲广场ABCD的面积是否存在最大值，如果存在，求出四边形ABCD的最大面积，如果不存在，请说明理由．（结果保留根号）
2021年陕西省榆林市横山区中考数学二模试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）一个数a的绝对值等于它本身，则a的值不可能是（ ）
A．1 B．﹣1 C．0 D．2
【解答】解：∵一个数a的绝对值等于它本身，则a的值不可能是负数，
∴a的值不可能是﹣1．
故选：B．
2．（3分）如图4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：选项A、B、C的汉字均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项D的汉字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
3．（3分）如图，CD⊥AB于点D，点E为CD上一点，过点E作EF∥AB，连接CF，若∠C＝50°，则∠F的度数为（ ）
A．40° B．35° C．45° D．50°
【解答】解：∵CD⊥AB，EF∥AB，
∴CD⊥EF，
∴∠CEF＝90°，
∵∠C＝50°，
∴∠F＝90°﹣∠C＝90°﹣50°＝40°．
故选：A．
4．（3分）化简x2﹣（x+2）（x﹣2）的结果是（ ）
A．2x2﹣2 B．x2﹣4 C．2x2﹣4 D．4
【解答】解：x2﹣（x+2）（x﹣2）＝x2﹣（x2﹣4）＝x2﹣x2+4＝4．
故选：D．
5．（3分）如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，若OA＝3，AC＝5，则△OAB与△OCD的面积比为（ ）
A．3：5 B．3：8 C．9：64 D．9：25
【解答】解：∵以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，
∴△OAB∽△OCD，
∴＝（）2＝（）2＝．
即△OAB与△OCD的面积比为9：64．
故选：C．
6．（3分）已知直线y＝﹣x﹣2沿x轴向左平移m个单位后，所得直线与直线y＝x+4关于x轴对称，则m的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】解：直线y＝﹣x﹣2沿x轴向左平移m个单位后，所得直线为y＝﹣（x+m）﹣2＝﹣x﹣m﹣2，
∵直线y＝x+4关于x轴对称的直线为﹣y＝x+4，即y＝﹣x﹣4，
∴﹣m﹣2＝﹣4，
∴m＝2．
故选：C．
7．（3分）如图，⊙O的半径为3，点A为⊙O上一点，连接OA，以OA为一条直角边Rt△OAB，使∠AOB＝90°，OB＝4，AB交⊙O于点C，则BC的长为 （ ）
A． B． C． D．
【解答】解：过点O作OH⊥AB于H，
则AH＝HC，
在Rt△AOB中，OA＝3，OB＝4，
则AB＝＝＝5，
∵S△AOB＝OA•OB＝AB•OH，
∴OH＝＝，
∴AH＝＝，
∴AC＝2AH＝，
∴BC＝AB﹣AC＝，
故选：A．
8．（3分）若P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣4ax上两点，当|x1﹣2|＞|x2﹣2|时，则下列表达式正确的是（ ）
A．y1+y2＞0 B．a（y1+y2）＞0 C．y1﹣y2＞0 D．a（y1﹣y2）＞0
【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣4ax＝a（x﹣2）2﹣4a，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝2，
∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|，
则说明数轴上x1到2的距离比x2到2的距离大，
当a＞0时，图象开口向上，图象上横坐标是x1的点比横坐标是x2的点离对称轴远，
∴y1＞y2，
则C、D正确，A、B不确定；
当a＜0时，图象开口向下，图象上横坐标是x1的点比横坐标是x2的点离对称轴远，
故y1＜y2，
则D正确，C错误，A、B不确定，
故选：D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
9．（3分）写出一个无理数，使这个无理数的绝对值小于4： π（答案不唯一） ．
【解答】解：无理数π的绝对值小于4，
故答案为：π（答案不唯一）．
10．（3分）据悉，世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有0.00000009克，数据0.00000009用科学记数法表示为 9×10﹣8 ．
【解答】解：0.00000009＝9×10﹣8．
故答案为：9×10﹣8．
11．（3分）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则点F的坐标为 （﹣2，） ．
【解答】解：作FH⊥x轴于H．
∵∠OAF＝（6﹣2）×180°÷6＝120°，
∴∠FAH＝60°，∠AFH＝30°，
∵AF＝2，
∴AH＝1，AO＝1，FH＝，
∴HO＝2，
∴点F的坐标为 （﹣2，）．
故答案为：（﹣2，）．
12．（3分）用灰色和白色的正方形卡片按照如图所示的规律拼图案，则第⑧个图形中灰色正方形卡片有 22 张．
【解答】解：观察第①～⑤个图形，知图形中灰色正方形卡片分别有1，4，7，10，13个，后面一个图形中灰色正方形卡片张数比前面一个多3个，
由此可知，第n个图形中灰色卡片张数为1+3（n﹣1）＝3n﹣2（张），
因此，第⑧个图形中灰色正方形卡片有3×8﹣2＝22（张）．
故答案为：22．
13．（3分）已知正比例函数y＝kx的图象与反比例函数的图象交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，则2x1y2﹣4x2y1的值为 ﹣10 ．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx的图象与反比例函数的图象交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，
∴x1y1＝﹣5，x2y2＝﹣5，且x1＝﹣x2，y1＝﹣y2，
∴2x1y2﹣4x2y1＝﹣2x1y1+4x1y1＝2×（﹣5）＝﹣10，
故答案为：﹣10．
14．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝8，点H在CD上，且CH＝2，点E绕着点B旋转，且BE＝2，在CE的上方作正方形EFGC，连接AF、FH，则线段AF的长为 2 ，线段FH的最小值是 10﹣2 ．
【解答】解：连接CA、CF、AF，
因为∠BCA＝∠ECF，
所以∠BCE＝∠ACF，
在等腰△ABC和等腰△ECF中，
，
所以，
所以△BCE∽△ACF，
所以，
因为BE＝2，
所以AF＝2，
所以F在以A为圆心，为半径的圆上运动，
当A、H、F三点共线时，FH最小，
所以FH＝AH﹣2，
在Rt△ADH中，AD＝8，DH＝6，
所以AH＝10，
所以FH最小值为10﹣2，
故答案为：2，10﹣2．
三、解答题（共12小题，计78分.解答应写出过程）
15．（5分）计算：（﹣2）0+2sin60°﹣．
【解答】解：（﹣2）0+2sin60°﹣
＝1+2×+2
＝1++2
＝3+．
16．（5分）解方程：＝+1．
【解答】解：＝+1，
方程两边都乘（x﹣1）（x+1），得
x（x+1）＝4+（x﹣1）（x+1），
解得x＝3，
检验：当x＝3时，（x﹣1）（x+1）＝8≠0．
故x＝3是原方程的解．
17．（5分）已知x＝1是一元二次方程（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0的一个根，求m的值．
【解答】解：把x＝1代入（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0得：
m﹣2+4﹣m2＝0，
﹣m2+m+2＝0，
解得：m1＝2，m2＝﹣1，
∵（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0是一元二次方程，
∴m﹣2≠0，
∴m≠2，
∴m＝﹣1．
18．（5分）如图，在△ABC中，∠A＝80°，∠C＝60°，请利用尺规作图法在AB边上求作一点D，连接CD，使∠BCD＝40°．（保留作图痕迹，不写作法）
【解答】解：∵∠A＝80°，∠ACB＝60°，
∴∠B＝40°，
∵∠BCD＝40°，
∴∠B＝∠BCD，
∴点D在线段BC的垂直平分线上．
如图，点D即为所求．
19．（6分）如图，已知AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC，请问图中有哪几对全等三角形并任选其中一对给予证明．
【解答】解：此图中有三对全等三角形．分别是：△ABF≌△DEC、△ABC≌△DEF、△BCF≌△EFC．
证明：∵AB∥DE，
∴∠A＝∠D．
又∵AB＝DE、AF＝DC，
∴△ABF≌△DEC．
20．（6分）“东方红号”旅游专列以“革命圣地延安红色大讲堂•移动的爱国教育”为主题，宣传展示党中央在延安十三年奋斗历程，助力传承延安艰苦奋斗的革命精神．某校七、八年级学生搭乘“东方红号”，开启为期一周的红色研学之旅．旅行结束后参加该次活动的同学需写一篇关于此次旅行的作文，老师对每篇作文进行评分（满分100分），评分结束后，随机抽取两个年级各20名学生的成绩进行调查统计，过程如下：
【收集数据】
20名七年级学生成绩如下：
79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，59，83，77．
20名八年级学生成绩如下：
92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41．
【整理数据】
按如表分数段整理这两组样本数据：
40≤x≤49
50≤x≤59
60≤x≤69
70≤x≤79
80≤x≤89
90≤x≤100
七年级（人数）
0
1
0
a
7
1
八年级（人数）
1
0
0
7
10
2
【分析数据】
两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如表所示：
平均数
众数
中位数
七年级
78
75
b
八年级
78
c
80.5
两组样本数据的平均数、众数、中位数如表所示：根据以上信息回答下列问题：
（1）由表格填空：a＝ 11 ，b＝ 78 ，c＝ 81 ；
（2）若七、八年级各有400名学生参加此次活动，估计七、八年级学生成绩在90分以上的共有多少人？
（3）通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？请说明理由．
【解答】解：（1）将七年级成绩重新排列为：59，70，71，73，75，75，75，75，76，77，79，79，80，80，81，83，85，86，87，94，
所以a＝11，其中位数b＝＝78，
八年级成绩的众数c＝81，
故答案为：11，78，81；
（2）800×＝60（人），
答：估计七、八年级学生成绩在90分以上的共有60人；
（3）八年级学生的成绩较好，
∵七、八年级学生成绩的平均数相等，而八年级学生成绩的中位数大于七年级学生成绩的中位数，
∴八年级得分高的人数较多，即八年级学生的成绩较好．
21．（6分）唐桥陵神道南端有一对华表，它们高大雄伟、朴实无华．某学习小组把测量这对华表柱的高度作为一次课题活动，同学们制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如表：
课题
测量华表柱的高度
测量工具
一副自制三角板（一个是等腰直角三角形，另一个是含34°角的直角三角形）、一根米尺
测量示意图
两位同学分别站在一根华表柱的东西两侧同一地平线上，他们用手平托三角板，保持三角板的一条直角边与地平面平行，然后前后移动各自位置，使目光沿着三角板的斜边正好经过华表柱的最高点A处，这时，他们的位置分别为点C和点D，CE⊥CD，DF⊥CD，AB⊥CD，C、B、D在一条直线上．
测量数据
α的度数
β的度数
CD的长度
两位同学的眼睛距离地面的高度CE和DF
45°
34°
17.5米
CE、DF相等，均为1.5米
请你根据表中的测量数据，帮助该小组求出这根华表柱的高度．（参考数据：tan34°≈）
【解答】解：连接EF交AB于点G．
∵CE⊥CD，DF⊥CD，CE＝DF，
∴四边形CEFD是矩形．
∴CD＝EF＝17.5米．
∵AB⊥CD，
∴四边形CEGB是矩形．
∴CE＝BG＝1.5米．
在Rt△AGE中，
∵∠AEG＝α＝45°，
∴∠EAG＝45°．
∴AG＝EG．
在Rt△AGF中，
∵∠AFG＝β＝34°，tan∠AFG＝≈，
∴FG＝AG．
∵EG+FG＝EF，
∴AG+AG＝17.5，
∴AG＝7（米）．
∴AB＝AG+GB＝7+1.5＝8.5（米）．
答：这根华表柱的高度为8.5米．
22．（6分）“低碳生活，绿色出行”的理念已深入人心，现在越来越多的人选择骑自行车上下班或外出旅游．一天，亮亮从家骑自行车出发，沿着一条直路到相距2400m的邮局办事，亮亮出发的同时，他的爸爸以96m/min速度从邮局同道路步行回家，亮亮在邮局停留2min后沿原路以原速返回，设他们出发后经过tmin时，亮亮与家之间的距离为s1m，爸爸与家之间的距离为s2m，图中折线OABD、线段EF分别表示s1、s2与t之间的函数关系．
（1）图中m的值为 12 ，点D的坐标为 （2.5，0） ；
（2）求s2与t之间的函数关系式；
（3）求亮亮返回途中与爸爸相遇时，他们距离家还有多远？
【解答】解：（1）∵小明的爸爸以96m/min速度从邮局同一条道路步行回家，
∴小明的爸爸用的时间为：2400÷96＝25（min），
即OF＝25，
如图：设s2与t之间的函数关系式为：s2＝kt+b，
∵E（0，2400），F（25，0），
∴b＝2400，25k+b＝0，
解得：b＝2400，k＝﹣96，
∴s2与t之间的函数关系式为：s2＝﹣96t+2400；
当s＝2400时，t＝12，
∴m＝12；
当s＝0时，t＝2.5，
∴D（2.5，0）；
故答案为：12，（2.5，0）；
（2）由图可知小明与爸爸相遇两次，
第一次相遇时在小明去邮局的路上，即图中OA和EF的交点设交点为（m，n）
由（1）知直线EF的函数式为y＝﹣96x+2400，
直线OA经过点O（0，0）和点A（10，2400），
故求得直线OA的函数式为y1＝240x，
因为交点（m，n）在两条直线上
∴，
解得m＝，n＝，
m即为小明与爸爸第一次相遇时所用的时间，
∴这时他们与邮局的距离为96×＝（m），
第二次相遇时是在小明从邮局返回的路上，
如图：小明用了10分钟到邮局，
∴D点的坐标为（22，0），
设直线BD即s1与t之间的函数关系式为：s1＝at+c（12≤t≤22），
∴，
解得：a＝﹣240，c＝5280，
∴s1与t之间的函数关系式为：s1＝﹣240t+5280（12≤t≤22），
当s1＝s2时，小明在返回途中追上爸爸，
即﹣96t+2400＝﹣240t+5280，解得：t＝20，
∴s1＝s2＝480，
∴小明从家出发，经过20min在返回途中追上爸爸，这时他们距离邮局还有2400﹣480＝1920（m）．
∴小明与爸爸相遇所用的时间是min和20min时，他们离邮局的距离分别为m和1920m．
23．（7分）2021年4月13日，东京奥运会女足预选赛附加赛次回合，中国女足击败韩国女足，挺进东京奥运会决赛圈！为了给中国女足培养更多的人才，某市甲、乙两所学校之间预进行一场女子足球比赛，九年级的一位足球迷设计了如下的游戏规则，并规定哪一方获胜，就由哪一方开球．
游戏规则：在一个不透明的口袋中放入1个红球、2个白球、1个黑球，这些球除颜色外都相同，现将这些球摇匀，甲校派一名同学从袋子中随机摸出一个球，不放回，乙校再派一名同学从袋子中剩下的小球中随机摸出一个，若摸出的两个球中有一个是红球，则甲校获胜；若摸出的两个球中没有红球，则乙校获胜．
（1）求甲校摸球结束，即可确定自己获胜的概率；
（2）请用列表法或画树状图的方法判断，这个游戏规则对甲、乙两所学校是否公平？
【解答】解：（1）∵甲校摸球结束，即可确定自己获胜，
∴甲校摸出的一个球是红球，
∵袋子中有4个球，只有1个是红球，
∴甲校摸球结束，即可确定自己获胜的概率是；
（2）画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中摸出的两个球中有一个是红球是情况是6种，摸出的两个球中没有红球的情况是6种，
∴P（甲校获胜）＝P（乙校获胜）＝，
∴这个游戏规则对甲、乙两所学校是公平的．
24．（8分）如图，四边形AMBD是⊙O的内接四边形，点M是的中点，∠AMB＝90°，延长AD到点C，连接BC，作∠ACB的平分线，交BD于点F，∠OAD＝∠DBC．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若OA＝3，∠MBD＝105°，求DF的长．
【解答】（1）证明：连接OB，如图，
∵∠AMB＝90°，
∴AB为⊙O的直径，即点A，O，B在一条直线上，
∴∠ADB＝90°．
∴∠BAD+∠ABD＝90°，
∵∠OAD＝∠DBC，
∴∠ABD+∠DBC＝90°，
即∠ABC＝90°，
∴OB⊥BC，
∵OB为⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵点M是的中点，
∴AM＝BM，
∵∠AMB＝90°，
∴∠MAB＝∠MBA＝45°．
∴∠ABD＝∠MBD﹣∠MBA＝105°﹣45°＝60°．
∴∠DBC＝90°﹣∠ABD＝30°，
∵∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝30°，
∴BD＝AB＝OA＝3．
∴CD＝BD•tan∠DBC＝3×＝．
∵∠BDC＝90°，
∴∠DCB＝90°∠DBC＝60°．
∵CF平分∠DCB，
∴∠DCF＝∠DCB＝30°，
∵tan∠DCF＝，
∴，
∴DF＝1．
25．（9分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知OA＝OC＝4OB＝4．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连接BC，AC，若点D在x轴的下方，以A、B、D为顶点的三角形与△ABC全等，平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点B与点D，请求出平移后所得抛物线的函数表达式，并写出平移过程．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知OA＝OC＝4OB＝4，
∴点A（4，0）和点B（﹣1，0），点C（0，4）．
∴，解得，
∴该抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+3x+4；
（2）y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+，
①将△ABC沿x轴翻折，则点C（0，4）的对应点落在点D1（0，﹣4）处，
则△ABD1≌△ABC，
可设平移后经过点B（﹣1，0），D1（0，﹣4）的抛物线解析式为y＝﹣x2+b′x﹣4，
将B（﹣1，0）代入y＝﹣x2+b′x﹣4，
得0＝﹣1﹣b′﹣4，
解得，b′＝﹣5，
∴平移后经过点B，D1的抛物线解析式为y＝﹣x2﹣5x﹣4＝﹣（x+）2+，
∴平移过程为将抛物线y＝﹣x2+3x+4先向左平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度；
②将△ABD1沿抛物线y＝﹣x2+3x+4的对称轴直线x＝翻折，则点D1（0，﹣4）的对应点落在点D2（3，﹣4）处，
则△BAD2≌△ABD1≌△ABC，
可设平移后经过点B（﹣1，0），D2（3，﹣4）的抛物线解析式为y＝﹣x2+mx+n，
将B（﹣1，0），D2（3，﹣4）代入y＝﹣x2+mx+n，
得，解得，
∴平移后经过点B，D2的抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，
∴平移过程为将抛物线y＝﹣x2+3x+4先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度；
综上所述，平移后的抛物线解析式为y＝﹣x2﹣5x﹣4或y＝﹣x2+x+2，平移过程为将抛物线y＝﹣x2+3x+4先向左平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度或先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度．
26．（10分）【问题提出】
（1）如图①，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若S△ABC＝3，则△ABD的面积为 3 ；
【问题探究】
（2）如图②，已知BC＝6，点A为BC上方的一个动点，且∠BAC＝120°，点D为BA延长线上一点，且AD＝AC，连接CD，求△BCD面积的最大值；
【问题解决】
（3）如图③，四边形ABCD是规划中的休闲广场示意图，AC、BD为两条人行通道，根据规划要求，人行通道AC的长为500米，∠DBC＝30°，AD∥BC，为了容纳更多的人，要求该休闲广场的面积尽可能大，请问休闲广场ABCD的面积是否存在最大值，如果存在，求出四边形ABCD的最大面积，如果不存在，请说明理由．（结果保留根号）
【解答】解：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴△ABC与平行四边形ABCD中BC边上的高相等，
∴S平行四边形ABCD＝2S△ABC＝6，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴＝3．
故答案为：3；
（2）∵∠BAC＝120°，
∴∠CAD＝60°．
∵AD＝AC，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠ADC＝60°．
作△BCD的外接圆⊙O，则BC为定弦，点D为优弧上的一动点，如图，
作BC的垂直平分线EF，交⊙O于点E，交BC于点F，
∵弦的垂直平分线经过圆心，
∴EF经过圆心O．
连接BO，CO，BE，CE，如图，
由图形可知：当点D与点E重合时，S△BCD取得最大值，最大值为S△BCE．
∵∠D＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∵OB＝OC，OF⊥BC，BC＝6，
∴∠OBC＝30°，BF＝CF＝BC＝3．
∴OF＝BF•tan30°＝3×＝．
∴OE＝OB＝2OF＝2，
∴EF＝OF+OE＝3．
∴BC•EF＝6×3＝9，
∴△BCD面积的最大值9；
（3）延长AD至点E，使DE＝BC，连接CE，如图，
∵DE∥BC，DE＝BC，
∴四边形DBCE为平行四边形，
∴∠DEC＝∠DBC＝30°，S△BCD＝S△CDE．
∵AD∥BC，
∴S△ADC＝S△ADB．
∴S四边形ABCD＝S△ADB+S△BCD＝S△ADC+S△CDE＝S△CAE．
∴当△CAE面积最大时，四边形ABCD的面积最大．
作△ACE的外接圆⊙O，当点E与优弧的中点E′重合时，△ACE的面积最大．
连接OA，OC，连接E′O并延长，交AC于点H，则E′H⊥AC，
∴∠AE′C＝∠AEC＝30°，
∴∠AOC＝60°．
∵OA＝OC，
∴△OAC为等边三角形，∠AOH＝30°．
∵AC＝500米，
∴AH＝AC＝250米，OE′＝OA＝AC＝500米，
∴OH＝＝250（米），
∴HE′＝OE′+OH＝（500+250）米．
∴△ACE的面积的最大值为：AC•HE′＝500×（500+250）＝（125000+62500）平方米．
∴四边形ABCD的最大面积为（125000+62500）平方米．
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