还剩24页未读，
继续阅读
2021年陕西省西安市经开区中考数学二模试卷 及答案
展开
这是一份2021年陕西省西安市经开区中考数学二模试卷 及答案，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年陕西省西安市经开区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，计30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．﹣2021的绝对值是（ ）
A．2021 B． C．﹣ D．﹣2021
2．如图，直线a∥b，∠1＝50°，则∠2的度数是（ ）
A．130° B．50° C．40° D．150°
3．被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积．已知每个标准足球场的面积为7140m2，则FAST的反射面总面积约为（ ）
A．7.14×103m2 B．7.14×104m2 C．2.5×105m2 D．2.5×106m2
4．请你估算﹣1的值（ ）
A．在1.1和1.2之间 B．在1.2和1.3之间
C．在1.3和1.4之间 D．在1.4和1.5之间
5．下列计算正确的是（ ）
A．2a•3b＝5ab B．a3•a4＝a12
C．（﹣3a2b）2＝6a4b2 D．a5÷a3+a2＝2a2
6．如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F．若∠ABC＝35°，∠C＝50°，则∠CDE的度数为（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
7．点A（x1，y1），B（x2，y2）在正比例函数y＝﹣3x的图象上，若x1+x2＝﹣5，则y1+y2的值是（ ）
A．15 B．8 C．﹣15 D．﹣8
8．如图，在矩形ABCD中，AD＝3，M是CD上的一点，将△ADM沿直线AM对折得到△ANM，若AN平分∠MAB，则折痕AM的长为（ ）
A．3 B． C． D．6
9．如图，BM与⊙O相切于点B，若∠MBA＝140°，则∠ACB的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
10．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若S△ABC＝3，则a＝（ ）
A． B． C．﹣1 D．1
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，计12分）
11．因式分解：a3﹣2a2b+ab2＝ ．
12．如图，在正六边形ABCDEF中，连接DA、DF，则的值为 ．
13．如图所示，点C在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，过点C的直线与x轴、y轴分别交于点A、B，且AB＝BC，已知△AOB的面积为1，则k的值为 ．
14．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，AB＝1，AD＝2，点M、N分别为边BC、CD上一点，连接AM、AN、MN，则△AMN周长的最小值为 ．
三、解答题（本大题共11小题，计78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（5分）计算：．
16．（5分）解分式方程：．
17．（5分）如图，在面积为4的平行四边形ABCD中，作一个面积为1的△ABP，使点P在平行四边形ABCD的边上（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
18．（5分）在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E、F是AP上的两点，连接DE、BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF．求证：△ABF≌△DAE．
19．（7分）在创客教育理念的指引下，国内很多学校都纷纷建立创客实践空及创客空间，致力于从小培养孩子的创新精神和创造能力，某校开设了“3D”打印、数学编程、智能机器人、陶艺制作“四门创客课程记为A、B、C、D，为了解学生对这四门创客课程的喜爱情况，数学兴趣小组对全校学生进行了随机问卷调查，将调查结果整理后绘制成两幅均不完整的统计图表：
创客课程
频数
频率
“3D”打印
36
0.45
数学编程
0.25
智能机器人
16
b
陶艺制作
8
合计
a
1
请根据图表中提供的信息回答下列问题
（1）统计表中的a＝ ，b＝ ；
（2）“陶艺制作”对应扇形的圆心角为 ；
（3）学校为开设这四门课程，需要对参加“3D”打印课程每个人投资200元，预计A、B、C、D四门课程每人投资比为4：3：6：5，求学校开设创客课程需为学生人均投资多少钱？
20．（7分）如图，学校教学楼上悬挂一块长为3m的标语牌，即CD＝3m．数学活动课上，小明和小红要测量标语牌的底部点D到地面的距离．测角仪支架高AE＝BF＝1.2m，小明在E处测得标语牌底部点D的仰角为31°，小红在F处测得标语牌顶部点C的仰角为45°，AB＝5m，依据他们测量的数据能否求出标语牌底部点D到地面的距离DH的长？若能，请计算；若不能，请说明理由（图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内）
（参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）
21．（7分）如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y（千瓦时）关于已行驶路程x（千米）的函数图象．
（1）根据图象，直接写出蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶的路程．当0≤x≤150时，求1千瓦时的电量汽车能行驶的路程．
（2）当150≤x≤200时，求y关于x的函数表达式，并计算当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量．
22．（7分）甲、乙两人进行摸牌游戏．现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，5．将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．
（1）甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张．请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；
（2）按照（1）中的抽法，若两人抽取的数字和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为5的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．
23．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，与边BC交于点F，过点E作EH⊥AB于点H，连接BE．
（1）求证：EH＝EC；
（2）若BC＝4，sinA＝，求AD的长．
24．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点．
（1）求这条抛物线和直线BC的解析式；
（2）E为抛物线上一动点，是否存在点E，使以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似？若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（12分）问题提出
（1）如图①，已知直线l及l外一点A，试在直线l上确定B、C两点，使∠BAC＝90°，并画出这个Rt△ABC．
问题探究
（2）如图②，O是边长为28的正方形ABCD的对称中心，M是BC边上的中点，连接OM．试在正方形ABCD的边上确定点N，使线段ON和OM将正方形ABCD分割成面积之比为1：6的两部分．求点N到点M的距离．
问题解决
（3）如图③，有一个矩形花园ABCD，AB＝30m，BC＝40m．根据设计要求，点E、F在对角线BD上，且∠EAF＝60°，并在四边形区域AECF内种植一种红色花卉，在矩形内其他区域均种植一种黄色花卉．已知种植这种红色花卉每平方米需210元，种植这种黄色花卉每平方米需180元．试求按设计要求，完成这两种花卉的种植至少需费用多少元？（结果保留整数．参考数据：≈1.4，≈1.7）
2021年陕西省西安市经开区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，计30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．﹣2021的绝对值是（ ）
A．2021 B． C．﹣ D．﹣2021
【分析】根据绝对值的意义，负数的绝对值是它的相反数即可求出答案．
【解答】解：﹣2021的绝对值即为：|﹣2021|＝2021．
故选：A．
2．如图，直线a∥b，∠1＝50°，则∠2的度数是（ ）
A．130° B．50° C．40° D．150°
【分析】利用平行线的性质得出∠1＝∠3＝50°，再利用对顶角的定义得出即可．
【解答】解：如图：∵直线a∥直线b，∠1＝50°，
∴∠1＝∠3＝50°，
∴∠2＝∠3＝50°．
故选：B．
3．被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积．已知每个标准足球场的面积为7140m2，则FAST的反射面总面积约为（ ）
A．7.14×103m2 B．7.14×104m2 C．2.5×105m2 D．2.5×106m2
【分析】先计算FAST的反射面总面积，再根据科学记数法表示出来，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于249900≈250000有6位，所以可以确定n＝6﹣1＝5．
【解答】解：根据题意得：7140×35＝249900≈2.5×105（m2）
故选：C．
4．请你估算﹣1的值（ ）
A．在1.1和1.2之间 B．在1.2和1.3之间
C．在1.3和1.4之间 D．在1.4和1.5之间
【分析】先估算的大小，再求﹣1的大小．
【解答】解：∵2.12＝4.41，
2.22＝4.84，
2.32＝5.29，
∴2.22＜5＜2.32，
∴2.2＜＜2.3，
∴1.2＜﹣1＜1.3．
故选：B．
5．下列计算正确的是（ ）
A．2a•3b＝5ab B．a3•a4＝a12
C．（﹣3a2b）2＝6a4b2 D．a5÷a3+a2＝2a2
【分析】根据单项式的乘法，可判断A；根据同底数幂的乘法，可判断B；根据积的乘方，可判断C；根据同底数幂的除法，可判断D．
【解答】解：A、单项式乘单项式系数乘系数，同底数的幂相乘，故A错误；
B、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故B错误；
C、积的乘方等于乘方的积，故C错误；
D、同底数幂的除法底数不变指数相减，故D正确；
故选：D．
6．如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F．若∠ABC＝35°，∠C＝50°，则∠CDE的度数为（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
【分析】根据角平分线的定义和垂直的定义得到∠ABD＝∠EBD＝∠ABC＝，∠AFB＝∠EFB＝90°，推出AB＝BE，根据等腰三角形的性质得到AF＝EF，求得AD＝ED，得到∠DAF＝∠DEF，根据三角形的外角的性质即可得到结论．
【解答】解：∵∠ABC＝35°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣35°﹣50°＝95°，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABF＝∠EBF，
∵AE⊥BD，
∴∠AFB＝∠EFB＝90°，
在△ABF和△EBF中，
，
∴△ABF≌△EBF（ASA），
∴AB＝EB，AF＝EF，
∴∠BAE＝∠BEA，DA＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴∠BAE+∠DAE＝∠BEA+∠DEA，
∴∠DEB＝∠DAB＝95°，
∴∠CDE＝∠DEB﹣∠C＝45°，
故选：C．
7．点A（x1，y1），B（x2，y2）在正比例函数y＝﹣3x的图象上，若x1+x2＝﹣5，则y1+y2的值是（ ）
A．15 B．8 C．﹣15 D．﹣8
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可得出y1＝﹣3x1，y2＝﹣3x2，结合x1+x2＝﹣5即可求出y1+y2的值．
【解答】解：∵A（x1，y1），B（x2，y2）在正比例函数y＝﹣3x的图象上，
∴y1＝﹣3x1，y2＝﹣3x2，
又∵x1+x2＝﹣5，
∴y1+y2＝﹣3（x1+x2）＝﹣3×（﹣5）＝15．
故选：A．
8．如图，在矩形ABCD中，AD＝3，M是CD上的一点，将△ADM沿直线AM对折得到△ANM，若AN平分∠MAB，则折痕AM的长为（ ）
A．3 B． C． D．6
【分析】由折叠性质得∠MAN＝∠DAM，证出∠DAM＝∠MAN＝∠NAB，由三角函数解答即可．
【解答】解：由折叠性质得：△ANM≌△ADM，
∴∠MAN＝∠DAM，
∵AN平分∠MAB，∠MAN＝∠NAB，
∴∠DAM＝∠MAN＝∠NAB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°，
∴∠DAM＝30°，
∴AM＝＝，
故选：B．
9．如图，BM与⊙O相切于点B，若∠MBA＝140°，则∠ACB的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【分析】连接OB，OA，如图，根据切线的性质得∠OBM＝90°，则可计算出∠OBA＝50°，利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理求解．
【解答】解：连接OB，OA，如图，
∵BM与⊙O相切于点B，
∴OB⊥BM，
∴∠OBM＝90°，
∴∠OBA＝∠ABM﹣∠OBM＝140°﹣90°＝50°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝50°，
∴∠AOB＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴∠ACB＝∠AOB＝40°．
故选：A．
10．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若S△ABC＝3，则a＝（ ）
A． B． C．﹣1 D．1
【分析】由根与系数的关系求得AB线段的长度，由抛物线解析式求得点C的坐标，然后根据S△ABC＝5列出关于a的方程，通过解方程求得答案．
【解答】解：令y＝0，则ax2﹣4ax+3＝0，
∴x1+x2＝4，x1•x2＝，
∴AB＝|x1﹣x2|＝＝．
令x＝0，y＝3，
∴OC＝3，
∴S△ABC＝AB•OC＝××3＝3，
∴a＝1．
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，计12分）
11．因式分解：a3﹣2a2b+ab2＝ a（a﹣b）2 ．
【分析】原式提取a，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝a（a2﹣2ab+b2）
＝a（a﹣b）2．
故答案为：a（a﹣b）2．
12．如图，在正六边形ABCDEF中，连接DA、DF，则的值为 ．
【分析】根据正六边形的性质得到EF＝ED，∠AFE＝∠FED＝∠EDC＝120°，根据等腰三角形的性质求出∠EFD＝∠EDF＝30°，得到∠ADF＝30°，根据余弦的定义计算即可．
【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴EF＝ED，∠AFE＝∠FED＝∠EDC＝120°，
∴∠EFD＝∠EDF＝30°，
∴∠AFD＝90°，
∵∠ADC＝∠ADE＝60°，
∴∠ADF＝30°，
∴＝cos∠ADF＝，
故答案为：．
13．如图所示，点C在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，过点C的直线与x轴、y轴分别交于点A、B，且AB＝BC，已知△AOB的面积为1，则k的值为 4 ．
【分析】根据题意可以设出点A的坐标，从而以得到点C和点B的坐标，再根据△AOB的面积为1，即可求得k的值．
【解答】解：设点A的坐标为（﹣a，0），
∵过点C的直线与x轴，y轴分别交于点A，B，且AB＝BC，△AOB的面积为1，
∴点C（a，），
∴点B的坐标为（0，），
∴＝1，
解得，k＝4，
故答案为：4．
14．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，AB＝1，AD＝2，点M、N分别为边BC、CD上一点，连接AM、AN、MN，则△AMN周长的最小值为 2 ．
【分析】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和ED的对称点A′，A″，即可得出最短路线，再利用勾股定理，求出即可．
【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值，作A′H⊥DA交DA的延长线于H，
∴AA′＝2AB＝2，AA″＝2AD＝4，
∵∠DAB＝120°，
∴∠HAA′＝60°，
则Rt△A′HA中，∠EAB＝120°，
∴∠HAA′＝60°，
∵A′H⊥HA，
∴∠AA′H＝30°，
∴AH＝AA′＝1，
∴A′H＝＝，
A″H＝1+4＝5，
∴A′A″＝＝2．
故答案为：2．
三、解答题（本大题共11小题，计78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（5分）计算：．
【分析】根据二次根式的乘法法则、绝对值的意义和乘方的意义计算．
【解答】解：原式＝﹣（﹣2）﹣1
＝2﹣+2﹣1
＝+1．
16．（5分）解分式方程：．
【分析】把分式方程转化为整式方程，解整式方程，最后检验即可．
【解答】解：方程两边都乘以3（x﹣1），得：3x﹣2x＝3（x﹣1），
解这个方程得：x＝．
经检验，x＝是原方程的根．
17．（5分）如图，在面积为4的平行四边形ABCD中，作一个面积为1的△ABP，使点P在平行四边形ABCD的边上（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
【分析】作AD的垂直平分线交AD于P，连接BP，则利用平行四边形的性质可求出△ABP的面积为1．
【解答】解：如图，△ABP为所作．
18．（5分）在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E、F是AP上的两点，连接DE、BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF．求证：△ABF≌△DAE．
【分析】根据菱形的性质得出AD＝AB，AD∥BC，求出∠ADE＝∠BAF，∠ABF＝∠DAE，根据ASA推出两三角形全等即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∵∠AED＝∠ABC，
∴∠AED+∠DAB＝180°，
∵∠AED+∠DEF＝180°，
∴∠DEF＝∠DAB，
∵∠DEF＝∠ADE+∠DAE，∠DAB＝∠DAE+∠BAF，
∴∠ADE＝∠BAF，
∵AD∥BC，
∴∠DAP＝∠BPF，
∵∠ABF＝∠BPF，
∴∠DAP＝∠ABF，
在△ABF和△DAE中
，
∴△ABF≌△DAE（ASA）．
19．（7分）在创客教育理念的指引下，国内很多学校都纷纷建立创客实践空及创客空间，致力于从小培养孩子的创新精神和创造能力，某校开设了“3D”打印、数学编程、智能机器人、陶艺制作“四门创客课程记为A、B、C、D，为了解学生对这四门创客课程的喜爱情况，数学兴趣小组对全校学生进行了随机问卷调查，将调查结果整理后绘制成两幅均不完整的统计图表：
创客课程
频数
频率
“3D”打印
36
0.45
数学编程
0.25
智能机器人
16
b
陶艺制作
8
合计
a
1
请根据图表中提供的信息回答下列问题
（1）统计表中的a＝ 80 ，b＝ 0.2 ；
（2）“陶艺制作”对应扇形的圆心角为 36° ；
（3）学校为开设这四门课程，需要对参加“3D”打印课程每个人投资200元，预计A、B、C、D四门课程每人投资比为4：3：6：5，求学校开设创客课程需为学生人均投资多少钱？
【分析】（1）根据“3D”打印的频数和频率可以求得a的值，然后根据b对应的频数即可求得b的值；
（2）根据频数分布表中的数据可以求得“陶艺制作”对应扇形的圆心角的度数；
（3）根据题意和题目中的数据，可以求得学校为开设创客课程，需为学生人均投入多少钱．
【解答】解：（1）a＝36÷0.45＝80，
b＝16÷80＝0.2，
故答案为：80，0.2；
（2）“陶艺制作”对应扇形的圆心角为：360°×＝36°，
故答案为：36°；
（3）∵每生A、B、C、D四科投资比为4：3：6：5，“3D打印课程每人投资200元，
∴每生A、B、C、D四科投资分别为：200元、150元、300元、250元，（200×36）+150×（80×0.25）+300×16+250×8＝212.5（元），
即学校为开设创客课程，需为学生人均投入212.5元．
20．（7分）如图，学校教学楼上悬挂一块长为3m的标语牌，即CD＝3m．数学活动课上，小明和小红要测量标语牌的底部点D到地面的距离．测角仪支架高AE＝BF＝1.2m，小明在E处测得标语牌底部点D的仰角为31°，小红在F处测得标语牌顶部点C的仰角为45°，AB＝5m，依据他们测量的数据能否求出标语牌底部点D到地面的距离DH的长？若能，请计算；若不能，请说明理由（图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内）
（参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）
【分析】延长EF交CH于N，根据等腰直角三角形的性质得到CN＝NF，根据正切的定义求出DN，结合图形计算即可．
【解答】解：能，
理由如下：延长EF交CH于N，
则∠CNF＝90°，
∵∠CFN＝45°，
∴CN＝NF，
设DN＝xm，则NF＝CN＝（x+3）m，
∴EN＝5+（x+3）＝x+8，
在Rt△DEN中，tan∠DEN＝，
则DN＝EN•tan∠DEN，
∴x≈0.6（x+8），
解得，x＝12，
则DH＝DN+NH＝12+1.2＝13.2（m），
答：点D到地面的距离DH的长约为13.2m．
21．（7分）如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y（千瓦时）关于已行驶路程x（千米）的函数图象．
（1）根据图象，直接写出蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶的路程．当0≤x≤150时，求1千瓦时的电量汽车能行驶的路程．
（2）当150≤x≤200时，求y关于x的函数表达式，并计算当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量．
【分析】（1）由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米，据此即可求出1千瓦时的电量汽车能行驶的路程；
（2）运用待定系数法求出y关于x的函数表达式，再把x＝180代入即可求出当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量．
【解答】解：（1）由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米．
1千瓦时的电量汽车能行驶的路程为：千米；
（2）设y＝kx+b（k≠0），把点（150，35），（200，10）代入，
得，
∴，
∴y＝﹣0.5x+110，
当x＝180时，y＝﹣0.5×180+110＝20，
答：当150≤x≤200时，函数表达式为y＝﹣0.5x+110，当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量为20千瓦时．
22．（7分）甲、乙两人进行摸牌游戏．现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，5．将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．
（1）甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张．请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；
（2）按照（1）中的抽法，若两人抽取的数字和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为5的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．
【分析】（1）利用列表法得到所有可能出现的结果，根据概率公式计算即可；
（2）分别求出甲、乙获胜的概率，比较即可．
【解答】解：（1）所有可能出现的结果如图：
从表格可以看出，总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两人抽取相同数字的结果有3种，所以两人抽取相同数字的概率为：；
（2）不公平．
从表格可以看出，两人抽取数字和为2的倍数有5种，两人抽取数字和为5的倍数有3种，
所以甲获胜的概率为：，乙获胜的概率为：．
∵＞，
∴甲获胜的概率大，游戏不公平．
23．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，与边BC交于点F，过点E作EH⊥AB于点H，连接BE．
（1）求证：EH＝EC；
（2）若BC＝4，sinA＝，求AD的长．
【分析】（1）连接OE，根据切线的性质得到OE⊥AC，根据平行线的性质、角平分线的性质证明结论；
（2）根据正弦的定义求出AB，根据相似三角形的性质求出OB，计算即可．
【解答】（1）证明：连接OE，
∵⊙O与边AC相切，
∴OE⊥AC，
∵∠C＝90°，
∴OE∥BC，
∴∠OEB＝∠CBE
∵OB＝OE，
∴∠OEB＝∠OBE，
∴∠OBE＝∠CBE，又∵EH⊥AB，∠C＝90°，
∴EH＝EC；
（2）解：在Rt△ABC中，BC＝4，，
∴AB＝6，
∵OE∥BC，
∴，即，
解得，，
∴．
24．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点．
（1）求这条抛物线和直线BC的解析式；
（2）E为抛物线上一动点，是否存在点E，使以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似？若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）设交点式y＝a（x+1）（x﹣4），然后把C点坐标代入求出a的值即可得到抛物线解析式；然后利用待定系数法求直线BC的解析式；
（2）易得△ABE只能是以E点为直角顶点的三角形，利用勾股定理的逆定理可证明ACB＝90°，再证明△ACB∽△COB，所以当点E在点C时满足条件；当E为点C在抛物线上的对称点时也满足条件，然后利用对称性写出E点坐标即可．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），
把C（0，2）代入得a•1•（﹣4）＝2，解得a＝﹣，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣4），即y＝﹣x2+x+2；
设直线BC的解析式为y＝mx+n，
把C（0，2），B（4，0）代入得，解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2；
（2）存在．
由图象可得以A或B点为直角顶点的△ABE不存在，
∴△ABE只能是以E点为直角顶点的三角形，
∵AC2＝12+22＝5，BC2＝42+22＝20，AB2＝52＝25，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ACB为直角三角形，∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝∠CBO，
∴△ACB∽△COB
∴当点E在点C时，以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似；
∵点C关于直线x＝的对称点的坐标为（3，2），
∴点E的坐标为（3，2）时，以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似，
综上所述，点E的坐标为（0，2）或（3，2）．
25．（12分）问题提出
（1）如图①，已知直线l及l外一点A，试在直线l上确定B、C两点，使∠BAC＝90°，并画出这个Rt△ABC．
问题探究
（2）如图②，O是边长为28的正方形ABCD的对称中心，M是BC边上的中点，连接OM．试在正方形ABCD的边上确定点N，使线段ON和OM将正方形ABCD分割成面积之比为1：6的两部分．求点N到点M的距离．
问题解决
（3）如图③，有一个矩形花园ABCD，AB＝30m，BC＝40m．根据设计要求，点E、F在对角线BD上，且∠EAF＝60°，并在四边形区域AECF内种植一种红色花卉，在矩形内其他区域均种植一种黄色花卉．已知种植这种红色花卉每平方米需210元，种植这种黄色花卉每平方米需180元．试求按设计要求，完成这两种花卉的种植至少需费用多少元？（结果保留整数．参考数据：≈1.4，≈1.7）
【分析】（1）利用辅助圆结合圆周角定理解决问题即可．
（2）首先判断点N只能在线段AB或线段CD上，根据面积关系构建方程求出BN或CN即可解决问题．
（3）由题意S四边形AECF＝2S△AEF＝2××EF•AH＝24EF，可知，只有S四边形AECF最小时，按设计要求在矩形ABCD内种植红、黄两种花卉的费用最低．要使S四边形AECF最小，就需EF最短，想办法求出EF的最小值即可解决问题．
【解答】解：（1）如图①所示，Rt△ABC即为所求．（只要画出一个符合要求的Rt△ABC即可）；
（2）如图②，
∵O是正方形ABCD的对称中心，且BM＝CM，
∴S△BOM＝×282＜×282，
∴点N不可能在BM上，由对称性，可知点N也不可能在MC上，
显然，点N不在AD边上，
∴设点N在AB边上，连接ON．
由题意，得（BN+14）×14＝×282，
解之，得BN＝2．
由对称性知，当点N在CD边上时，可得CN＝2．
∴MN＝＝10．
（3）如图③所示，过点A作AH⊥BD于点H，
在Rt△ABD中，∵∠BAD＝90°，AB＝30，AD＝40，
∴BD＝＝＝50，
∵•AB•AD＝•BD•AH，
∴AH＝24，
∵四边形ABCD是矩形，
∴S△AEF＝S△CEF，
∴S四边形AECF＝2S△AEF＝2××EF•AH＝24EF，
由题意可知，只有S四边形AECF最小时，按设计要求在矩形ABCD内种植红、黄两种花卉的费用最低．
要使S四边形AECF最小，就需EF最短，
∵AH⊥EF，tan∠HAD＝tan∠ABD＝＜，tan∠BAH＝tan∠ADB＝＜，
∴∠HAD＜60°，∠BAH＜60°，
又∵∠EAF＝60°，
∴E、F两点分布在AH异侧．
∴△AEF为锐角三角形，
作其中任一锐角△AEF的外接圆⊙O，过O作OG⊥EF于点G，连接OA、OF，则EF＝2GF，∠GOF＝∠EAF＝60°，
在Rt△OGF中，OF＝2OG，GF＝OG，
∴EF＝2OG，
又∵OA+OG≥AH，OA＝OF＝2OG，
∴2OG+OG≥24，得OG≥8，
∴EF＝2OG≥16，
∴当圆心O在AH上，即AE＝AF时，EF＝16，
∴EH＝8＜18＝BH，FH＝8＜32＝HD，
∴当AE＝AF时，点E、F在BD上，
∴S四边形AECF的最小值为24×16＝384，
∴384×210+（30×40﹣384）×180＝216000+11520≈235584（元）．
∴按设计要求，完成这两种花卉的种植至少需费用约为235584元．
2021年陕西省西安市经开区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，计30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．﹣2021的绝对值是（ ）
A．2021 B． C．﹣ D．﹣2021
2．如图，直线a∥b，∠1＝50°，则∠2的度数是（ ）
A．130° B．50° C．40° D．150°
3．被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积．已知每个标准足球场的面积为7140m2，则FAST的反射面总面积约为（ ）
A．7.14×103m2 B．7.14×104m2 C．2.5×105m2 D．2.5×106m2
4．请你估算﹣1的值（ ）
A．在1.1和1.2之间 B．在1.2和1.3之间
C．在1.3和1.4之间 D．在1.4和1.5之间
5．下列计算正确的是（ ）
A．2a•3b＝5ab B．a3•a4＝a12
C．（﹣3a2b）2＝6a4b2 D．a5÷a3+a2＝2a2
6．如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F．若∠ABC＝35°，∠C＝50°，则∠CDE的度数为（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
7．点A（x1，y1），B（x2，y2）在正比例函数y＝﹣3x的图象上，若x1+x2＝﹣5，则y1+y2的值是（ ）
A．15 B．8 C．﹣15 D．﹣8
8．如图，在矩形ABCD中，AD＝3，M是CD上的一点，将△ADM沿直线AM对折得到△ANM，若AN平分∠MAB，则折痕AM的长为（ ）
A．3 B． C． D．6
9．如图，BM与⊙O相切于点B，若∠MBA＝140°，则∠ACB的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
10．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若S△ABC＝3，则a＝（ ）
A． B． C．﹣1 D．1
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，计12分）
11．因式分解：a3﹣2a2b+ab2＝ ．
12．如图，在正六边形ABCDEF中，连接DA、DF，则的值为 ．
13．如图所示，点C在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，过点C的直线与x轴、y轴分别交于点A、B，且AB＝BC，已知△AOB的面积为1，则k的值为 ．
14．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，AB＝1，AD＝2，点M、N分别为边BC、CD上一点，连接AM、AN、MN，则△AMN周长的最小值为 ．
三、解答题（本大题共11小题，计78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（5分）计算：．
16．（5分）解分式方程：．
17．（5分）如图，在面积为4的平行四边形ABCD中，作一个面积为1的△ABP，使点P在平行四边形ABCD的边上（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
18．（5分）在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E、F是AP上的两点，连接DE、BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF．求证：△ABF≌△DAE．
19．（7分）在创客教育理念的指引下，国内很多学校都纷纷建立创客实践空及创客空间，致力于从小培养孩子的创新精神和创造能力，某校开设了“3D”打印、数学编程、智能机器人、陶艺制作“四门创客课程记为A、B、C、D，为了解学生对这四门创客课程的喜爱情况，数学兴趣小组对全校学生进行了随机问卷调查，将调查结果整理后绘制成两幅均不完整的统计图表：
创客课程
频数
频率
“3D”打印
36
0.45
数学编程
0.25
智能机器人
16
b
陶艺制作
8
合计
a
1
请根据图表中提供的信息回答下列问题
（1）统计表中的a＝ ，b＝ ；
（2）“陶艺制作”对应扇形的圆心角为 ；
（3）学校为开设这四门课程，需要对参加“3D”打印课程每个人投资200元，预计A、B、C、D四门课程每人投资比为4：3：6：5，求学校开设创客课程需为学生人均投资多少钱？
20．（7分）如图，学校教学楼上悬挂一块长为3m的标语牌，即CD＝3m．数学活动课上，小明和小红要测量标语牌的底部点D到地面的距离．测角仪支架高AE＝BF＝1.2m，小明在E处测得标语牌底部点D的仰角为31°，小红在F处测得标语牌顶部点C的仰角为45°，AB＝5m，依据他们测量的数据能否求出标语牌底部点D到地面的距离DH的长？若能，请计算；若不能，请说明理由（图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内）
（参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）
21．（7分）如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y（千瓦时）关于已行驶路程x（千米）的函数图象．
（1）根据图象，直接写出蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶的路程．当0≤x≤150时，求1千瓦时的电量汽车能行驶的路程．
（2）当150≤x≤200时，求y关于x的函数表达式，并计算当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量．
22．（7分）甲、乙两人进行摸牌游戏．现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，5．将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．
（1）甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张．请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；
（2）按照（1）中的抽法，若两人抽取的数字和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为5的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．
23．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，与边BC交于点F，过点E作EH⊥AB于点H，连接BE．
（1）求证：EH＝EC；
（2）若BC＝4，sinA＝，求AD的长．
24．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点．
（1）求这条抛物线和直线BC的解析式；
（2）E为抛物线上一动点，是否存在点E，使以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似？若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（12分）问题提出
（1）如图①，已知直线l及l外一点A，试在直线l上确定B、C两点，使∠BAC＝90°，并画出这个Rt△ABC．
问题探究
（2）如图②，O是边长为28的正方形ABCD的对称中心，M是BC边上的中点，连接OM．试在正方形ABCD的边上确定点N，使线段ON和OM将正方形ABCD分割成面积之比为1：6的两部分．求点N到点M的距离．
问题解决
（3）如图③，有一个矩形花园ABCD，AB＝30m，BC＝40m．根据设计要求，点E、F在对角线BD上，且∠EAF＝60°，并在四边形区域AECF内种植一种红色花卉，在矩形内其他区域均种植一种黄色花卉．已知种植这种红色花卉每平方米需210元，种植这种黄色花卉每平方米需180元．试求按设计要求，完成这两种花卉的种植至少需费用多少元？（结果保留整数．参考数据：≈1.4，≈1.7）
2021年陕西省西安市经开区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，计30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．﹣2021的绝对值是（ ）
A．2021 B． C．﹣ D．﹣2021
【分析】根据绝对值的意义，负数的绝对值是它的相反数即可求出答案．
【解答】解：﹣2021的绝对值即为：|﹣2021|＝2021．
故选：A．
2．如图，直线a∥b，∠1＝50°，则∠2的度数是（ ）
A．130° B．50° C．40° D．150°
【分析】利用平行线的性质得出∠1＝∠3＝50°，再利用对顶角的定义得出即可．
【解答】解：如图：∵直线a∥直线b，∠1＝50°，
∴∠1＝∠3＝50°，
∴∠2＝∠3＝50°．
故选：B．
3．被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积．已知每个标准足球场的面积为7140m2，则FAST的反射面总面积约为（ ）
A．7.14×103m2 B．7.14×104m2 C．2.5×105m2 D．2.5×106m2
【分析】先计算FAST的反射面总面积，再根据科学记数法表示出来，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于249900≈250000有6位，所以可以确定n＝6﹣1＝5．
【解答】解：根据题意得：7140×35＝249900≈2.5×105（m2）
故选：C．
4．请你估算﹣1的值（ ）
A．在1.1和1.2之间 B．在1.2和1.3之间
C．在1.3和1.4之间 D．在1.4和1.5之间
【分析】先估算的大小，再求﹣1的大小．
【解答】解：∵2.12＝4.41，
2.22＝4.84，
2.32＝5.29，
∴2.22＜5＜2.32，
∴2.2＜＜2.3，
∴1.2＜﹣1＜1.3．
故选：B．
5．下列计算正确的是（ ）
A．2a•3b＝5ab B．a3•a4＝a12
C．（﹣3a2b）2＝6a4b2 D．a5÷a3+a2＝2a2
【分析】根据单项式的乘法，可判断A；根据同底数幂的乘法，可判断B；根据积的乘方，可判断C；根据同底数幂的除法，可判断D．
【解答】解：A、单项式乘单项式系数乘系数，同底数的幂相乘，故A错误；
B、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故B错误；
C、积的乘方等于乘方的积，故C错误；
D、同底数幂的除法底数不变指数相减，故D正确；
故选：D．
6．如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F．若∠ABC＝35°，∠C＝50°，则∠CDE的度数为（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
【分析】根据角平分线的定义和垂直的定义得到∠ABD＝∠EBD＝∠ABC＝，∠AFB＝∠EFB＝90°，推出AB＝BE，根据等腰三角形的性质得到AF＝EF，求得AD＝ED，得到∠DAF＝∠DEF，根据三角形的外角的性质即可得到结论．
【解答】解：∵∠ABC＝35°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣35°﹣50°＝95°，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABF＝∠EBF，
∵AE⊥BD，
∴∠AFB＝∠EFB＝90°，
在△ABF和△EBF中，
，
∴△ABF≌△EBF（ASA），
∴AB＝EB，AF＝EF，
∴∠BAE＝∠BEA，DA＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴∠BAE+∠DAE＝∠BEA+∠DEA，
∴∠DEB＝∠DAB＝95°，
∴∠CDE＝∠DEB﹣∠C＝45°，
故选：C．
7．点A（x1，y1），B（x2，y2）在正比例函数y＝﹣3x的图象上，若x1+x2＝﹣5，则y1+y2的值是（ ）
A．15 B．8 C．﹣15 D．﹣8
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可得出y1＝﹣3x1，y2＝﹣3x2，结合x1+x2＝﹣5即可求出y1+y2的值．
【解答】解：∵A（x1，y1），B（x2，y2）在正比例函数y＝﹣3x的图象上，
∴y1＝﹣3x1，y2＝﹣3x2，
又∵x1+x2＝﹣5，
∴y1+y2＝﹣3（x1+x2）＝﹣3×（﹣5）＝15．
故选：A．
8．如图，在矩形ABCD中，AD＝3，M是CD上的一点，将△ADM沿直线AM对折得到△ANM，若AN平分∠MAB，则折痕AM的长为（ ）
A．3 B． C． D．6
【分析】由折叠性质得∠MAN＝∠DAM，证出∠DAM＝∠MAN＝∠NAB，由三角函数解答即可．
【解答】解：由折叠性质得：△ANM≌△ADM，
∴∠MAN＝∠DAM，
∵AN平分∠MAB，∠MAN＝∠NAB，
∴∠DAM＝∠MAN＝∠NAB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°，
∴∠DAM＝30°，
∴AM＝＝，
故选：B．
9．如图，BM与⊙O相切于点B，若∠MBA＝140°，则∠ACB的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【分析】连接OB，OA，如图，根据切线的性质得∠OBM＝90°，则可计算出∠OBA＝50°，利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理求解．
【解答】解：连接OB，OA，如图，
∵BM与⊙O相切于点B，
∴OB⊥BM，
∴∠OBM＝90°，
∴∠OBA＝∠ABM﹣∠OBM＝140°﹣90°＝50°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝50°，
∴∠AOB＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴∠ACB＝∠AOB＝40°．
故选：A．
10．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若S△ABC＝3，则a＝（ ）
A． B． C．﹣1 D．1
【分析】由根与系数的关系求得AB线段的长度，由抛物线解析式求得点C的坐标，然后根据S△ABC＝5列出关于a的方程，通过解方程求得答案．
【解答】解：令y＝0，则ax2﹣4ax+3＝0，
∴x1+x2＝4，x1•x2＝，
∴AB＝|x1﹣x2|＝＝．
令x＝0，y＝3，
∴OC＝3，
∴S△ABC＝AB•OC＝××3＝3，
∴a＝1．
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，计12分）
11．因式分解：a3﹣2a2b+ab2＝ a（a﹣b）2 ．
【分析】原式提取a，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝a（a2﹣2ab+b2）
＝a（a﹣b）2．
故答案为：a（a﹣b）2．
12．如图，在正六边形ABCDEF中，连接DA、DF，则的值为 ．
【分析】根据正六边形的性质得到EF＝ED，∠AFE＝∠FED＝∠EDC＝120°，根据等腰三角形的性质求出∠EFD＝∠EDF＝30°，得到∠ADF＝30°，根据余弦的定义计算即可．
【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴EF＝ED，∠AFE＝∠FED＝∠EDC＝120°，
∴∠EFD＝∠EDF＝30°，
∴∠AFD＝90°，
∵∠ADC＝∠ADE＝60°，
∴∠ADF＝30°，
∴＝cos∠ADF＝，
故答案为：．
13．如图所示，点C在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，过点C的直线与x轴、y轴分别交于点A、B，且AB＝BC，已知△AOB的面积为1，则k的值为 4 ．
【分析】根据题意可以设出点A的坐标，从而以得到点C和点B的坐标，再根据△AOB的面积为1，即可求得k的值．
【解答】解：设点A的坐标为（﹣a，0），
∵过点C的直线与x轴，y轴分别交于点A，B，且AB＝BC，△AOB的面积为1，
∴点C（a，），
∴点B的坐标为（0，），
∴＝1，
解得，k＝4，
故答案为：4．
14．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，AB＝1，AD＝2，点M、N分别为边BC、CD上一点，连接AM、AN、MN，则△AMN周长的最小值为 2 ．
【分析】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和ED的对称点A′，A″，即可得出最短路线，再利用勾股定理，求出即可．
【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值，作A′H⊥DA交DA的延长线于H，
∴AA′＝2AB＝2，AA″＝2AD＝4，
∵∠DAB＝120°，
∴∠HAA′＝60°，
则Rt△A′HA中，∠EAB＝120°，
∴∠HAA′＝60°，
∵A′H⊥HA，
∴∠AA′H＝30°，
∴AH＝AA′＝1，
∴A′H＝＝，
A″H＝1+4＝5，
∴A′A″＝＝2．
故答案为：2．
三、解答题（本大题共11小题，计78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（5分）计算：．
【分析】根据二次根式的乘法法则、绝对值的意义和乘方的意义计算．
【解答】解：原式＝﹣（﹣2）﹣1
＝2﹣+2﹣1
＝+1．
16．（5分）解分式方程：．
【分析】把分式方程转化为整式方程，解整式方程，最后检验即可．
【解答】解：方程两边都乘以3（x﹣1），得：3x﹣2x＝3（x﹣1），
解这个方程得：x＝．
经检验，x＝是原方程的根．
17．（5分）如图，在面积为4的平行四边形ABCD中，作一个面积为1的△ABP，使点P在平行四边形ABCD的边上（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
【分析】作AD的垂直平分线交AD于P，连接BP，则利用平行四边形的性质可求出△ABP的面积为1．
【解答】解：如图，△ABP为所作．
18．（5分）在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E、F是AP上的两点，连接DE、BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF．求证：△ABF≌△DAE．
【分析】根据菱形的性质得出AD＝AB，AD∥BC，求出∠ADE＝∠BAF，∠ABF＝∠DAE，根据ASA推出两三角形全等即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∵∠AED＝∠ABC，
∴∠AED+∠DAB＝180°，
∵∠AED+∠DEF＝180°，
∴∠DEF＝∠DAB，
∵∠DEF＝∠ADE+∠DAE，∠DAB＝∠DAE+∠BAF，
∴∠ADE＝∠BAF，
∵AD∥BC，
∴∠DAP＝∠BPF，
∵∠ABF＝∠BPF，
∴∠DAP＝∠ABF，
在△ABF和△DAE中
，
∴△ABF≌△DAE（ASA）．
19．（7分）在创客教育理念的指引下，国内很多学校都纷纷建立创客实践空及创客空间，致力于从小培养孩子的创新精神和创造能力，某校开设了“3D”打印、数学编程、智能机器人、陶艺制作“四门创客课程记为A、B、C、D，为了解学生对这四门创客课程的喜爱情况，数学兴趣小组对全校学生进行了随机问卷调查，将调查结果整理后绘制成两幅均不完整的统计图表：
创客课程
频数
频率
“3D”打印
36
0.45
数学编程
0.25
智能机器人
16
b
陶艺制作
8
合计
a
1
请根据图表中提供的信息回答下列问题
（1）统计表中的a＝ 80 ，b＝ 0.2 ；
（2）“陶艺制作”对应扇形的圆心角为 36° ；
（3）学校为开设这四门课程，需要对参加“3D”打印课程每个人投资200元，预计A、B、C、D四门课程每人投资比为4：3：6：5，求学校开设创客课程需为学生人均投资多少钱？
【分析】（1）根据“3D”打印的频数和频率可以求得a的值，然后根据b对应的频数即可求得b的值；
（2）根据频数分布表中的数据可以求得“陶艺制作”对应扇形的圆心角的度数；
（3）根据题意和题目中的数据，可以求得学校为开设创客课程，需为学生人均投入多少钱．
【解答】解：（1）a＝36÷0.45＝80，
b＝16÷80＝0.2，
故答案为：80，0.2；
（2）“陶艺制作”对应扇形的圆心角为：360°×＝36°，
故答案为：36°；
（3）∵每生A、B、C、D四科投资比为4：3：6：5，“3D打印课程每人投资200元，
∴每生A、B、C、D四科投资分别为：200元、150元、300元、250元，（200×36）+150×（80×0.25）+300×16+250×8＝212.5（元），
即学校为开设创客课程，需为学生人均投入212.5元．
20．（7分）如图，学校教学楼上悬挂一块长为3m的标语牌，即CD＝3m．数学活动课上，小明和小红要测量标语牌的底部点D到地面的距离．测角仪支架高AE＝BF＝1.2m，小明在E处测得标语牌底部点D的仰角为31°，小红在F处测得标语牌顶部点C的仰角为45°，AB＝5m，依据他们测量的数据能否求出标语牌底部点D到地面的距离DH的长？若能，请计算；若不能，请说明理由（图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内）
（参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）
【分析】延长EF交CH于N，根据等腰直角三角形的性质得到CN＝NF，根据正切的定义求出DN，结合图形计算即可．
【解答】解：能，
理由如下：延长EF交CH于N，
则∠CNF＝90°，
∵∠CFN＝45°，
∴CN＝NF，
设DN＝xm，则NF＝CN＝（x+3）m，
∴EN＝5+（x+3）＝x+8，
在Rt△DEN中，tan∠DEN＝，
则DN＝EN•tan∠DEN，
∴x≈0.6（x+8），
解得，x＝12，
则DH＝DN+NH＝12+1.2＝13.2（m），
答：点D到地面的距离DH的长约为13.2m．
21．（7分）如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y（千瓦时）关于已行驶路程x（千米）的函数图象．
（1）根据图象，直接写出蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶的路程．当0≤x≤150时，求1千瓦时的电量汽车能行驶的路程．
（2）当150≤x≤200时，求y关于x的函数表达式，并计算当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量．
【分析】（1）由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米，据此即可求出1千瓦时的电量汽车能行驶的路程；
（2）运用待定系数法求出y关于x的函数表达式，再把x＝180代入即可求出当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量．
【解答】解：（1）由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米．
1千瓦时的电量汽车能行驶的路程为：千米；
（2）设y＝kx+b（k≠0），把点（150，35），（200，10）代入，
得，
∴，
∴y＝﹣0.5x+110，
当x＝180时，y＝﹣0.5×180+110＝20，
答：当150≤x≤200时，函数表达式为y＝﹣0.5x+110，当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量为20千瓦时．
22．（7分）甲、乙两人进行摸牌游戏．现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，5．将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．
（1）甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张．请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；
（2）按照（1）中的抽法，若两人抽取的数字和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为5的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．
【分析】（1）利用列表法得到所有可能出现的结果，根据概率公式计算即可；
（2）分别求出甲、乙获胜的概率，比较即可．
【解答】解：（1）所有可能出现的结果如图：
从表格可以看出，总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两人抽取相同数字的结果有3种，所以两人抽取相同数字的概率为：；
（2）不公平．
从表格可以看出，两人抽取数字和为2的倍数有5种，两人抽取数字和为5的倍数有3种，
所以甲获胜的概率为：，乙获胜的概率为：．
∵＞，
∴甲获胜的概率大，游戏不公平．
23．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，与边BC交于点F，过点E作EH⊥AB于点H，连接BE．
（1）求证：EH＝EC；
（2）若BC＝4，sinA＝，求AD的长．
【分析】（1）连接OE，根据切线的性质得到OE⊥AC，根据平行线的性质、角平分线的性质证明结论；
（2）根据正弦的定义求出AB，根据相似三角形的性质求出OB，计算即可．
【解答】（1）证明：连接OE，
∵⊙O与边AC相切，
∴OE⊥AC，
∵∠C＝90°，
∴OE∥BC，
∴∠OEB＝∠CBE
∵OB＝OE，
∴∠OEB＝∠OBE，
∴∠OBE＝∠CBE，又∵EH⊥AB，∠C＝90°，
∴EH＝EC；
（2）解：在Rt△ABC中，BC＝4，，
∴AB＝6，
∵OE∥BC，
∴，即，
解得，，
∴．
24．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点．
（1）求这条抛物线和直线BC的解析式；
（2）E为抛物线上一动点，是否存在点E，使以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似？若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）设交点式y＝a（x+1）（x﹣4），然后把C点坐标代入求出a的值即可得到抛物线解析式；然后利用待定系数法求直线BC的解析式；
（2）易得△ABE只能是以E点为直角顶点的三角形，利用勾股定理的逆定理可证明ACB＝90°，再证明△ACB∽△COB，所以当点E在点C时满足条件；当E为点C在抛物线上的对称点时也满足条件，然后利用对称性写出E点坐标即可．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），
把C（0，2）代入得a•1•（﹣4）＝2，解得a＝﹣，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣4），即y＝﹣x2+x+2；
设直线BC的解析式为y＝mx+n，
把C（0，2），B（4，0）代入得，解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2；
（2）存在．
由图象可得以A或B点为直角顶点的△ABE不存在，
∴△ABE只能是以E点为直角顶点的三角形，
∵AC2＝12+22＝5，BC2＝42+22＝20，AB2＝52＝25，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ACB为直角三角形，∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝∠CBO，
∴△ACB∽△COB
∴当点E在点C时，以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似；
∵点C关于直线x＝的对称点的坐标为（3，2），
∴点E的坐标为（3，2）时，以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似，
综上所述，点E的坐标为（0，2）或（3，2）．
25．（12分）问题提出
（1）如图①，已知直线l及l外一点A，试在直线l上确定B、C两点，使∠BAC＝90°，并画出这个Rt△ABC．
问题探究
（2）如图②，O是边长为28的正方形ABCD的对称中心，M是BC边上的中点，连接OM．试在正方形ABCD的边上确定点N，使线段ON和OM将正方形ABCD分割成面积之比为1：6的两部分．求点N到点M的距离．
问题解决
（3）如图③，有一个矩形花园ABCD，AB＝30m，BC＝40m．根据设计要求，点E、F在对角线BD上，且∠EAF＝60°，并在四边形区域AECF内种植一种红色花卉，在矩形内其他区域均种植一种黄色花卉．已知种植这种红色花卉每平方米需210元，种植这种黄色花卉每平方米需180元．试求按设计要求，完成这两种花卉的种植至少需费用多少元？（结果保留整数．参考数据：≈1.4，≈1.7）
【分析】（1）利用辅助圆结合圆周角定理解决问题即可．
（2）首先判断点N只能在线段AB或线段CD上，根据面积关系构建方程求出BN或CN即可解决问题．
（3）由题意S四边形AECF＝2S△AEF＝2××EF•AH＝24EF，可知，只有S四边形AECF最小时，按设计要求在矩形ABCD内种植红、黄两种花卉的费用最低．要使S四边形AECF最小，就需EF最短，想办法求出EF的最小值即可解决问题．
【解答】解：（1）如图①所示，Rt△ABC即为所求．（只要画出一个符合要求的Rt△ABC即可）；
（2）如图②，
∵O是正方形ABCD的对称中心，且BM＝CM，
∴S△BOM＝×282＜×282，
∴点N不可能在BM上，由对称性，可知点N也不可能在MC上，
显然，点N不在AD边上，
∴设点N在AB边上，连接ON．
由题意，得（BN+14）×14＝×282，
解之，得BN＝2．
由对称性知，当点N在CD边上时，可得CN＝2．
∴MN＝＝10．
（3）如图③所示，过点A作AH⊥BD于点H，
在Rt△ABD中，∵∠BAD＝90°，AB＝30，AD＝40，
∴BD＝＝＝50，
∵•AB•AD＝•BD•AH，
∴AH＝24，
∵四边形ABCD是矩形，
∴S△AEF＝S△CEF，
∴S四边形AECF＝2S△AEF＝2××EF•AH＝24EF，
由题意可知，只有S四边形AECF最小时，按设计要求在矩形ABCD内种植红、黄两种花卉的费用最低．
要使S四边形AECF最小，就需EF最短，
∵AH⊥EF，tan∠HAD＝tan∠ABD＝＜，tan∠BAH＝tan∠ADB＝＜，
∴∠HAD＜60°，∠BAH＜60°，
又∵∠EAF＝60°，
∴E、F两点分布在AH异侧．
∴△AEF为锐角三角形，
作其中任一锐角△AEF的外接圆⊙O，过O作OG⊥EF于点G，连接OA、OF，则EF＝2GF，∠GOF＝∠EAF＝60°，
在Rt△OGF中，OF＝2OG，GF＝OG，
∴EF＝2OG，
又∵OA+OG≥AH，OA＝OF＝2OG，
∴2OG+OG≥24，得OG≥8，
∴EF＝2OG≥16，
∴当圆心O在AH上，即AE＝AF时，EF＝16，
∴EH＝8＜18＝BH，FH＝8＜32＝HD，
∴当AE＝AF时，点E、F在BD上，
∴S四边形AECF的最小值为24×16＝384，
∴384×210+（30×40﹣384）×180＝216000+11520≈235584（元）．
∴按设计要求，完成这两种花卉的种植至少需费用约为235584元．
相关试卷
2021年安徽省蚌埠市经开区中考数学二模试卷： 这是一份2021年安徽省蚌埠市经开区中考数学二模试卷，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2023年陕西省西安市经开五中中考数学三模试卷（含解析）： 这是一份2023年陕西省西安市经开五中中考数学三模试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年陕西省西安市经开五中中考数学一模试卷（含解析）： 这是一份2023年陕西省西安市经开五中中考数学一模试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
