中考数学一轮复习课时练习第17课时 特殊三角形 (含答案)

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第四单元 三角形
第17课时　特殊三角形
45分钟
1. 若等腰三角形的周长为10 cm，其中一边长为2 cm，则该等腰三角形的底边长为(　　)
A. 2 cm　　B. 4 cm　　C. 6 cm　　D. 8 cm
2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的平分线，且点E在BD上，则图中的等腰三角形有(　　)
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个


第2题图
3. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD、DE分别是△ABC和△ACD的高，∠B＝2∠CDE，则∠A＝(　　)
A. 20° B. 25° C. 30° D. 35°
　　　
第3题图
4. 如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAD＝30°，且AD＝AE，则∠EDC的度数为(　　)
A．10° B．12.5° C．15° D．20°

第4题图
5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝2，则BF＝(　　)
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
　　　
第5题图
6. (陕师大附中模拟)如图，已知BD是△ABC的角平分线，ED是BC的垂直平分线，∠BAC＝90°，AD＝3，则CE的长为(　　)
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3

第6题图
7. (陕西黑马卷)如图，在△ABC中，点D是AB的中点，过点B作BE⊥AC于点E，连接DE，若∠ABE＝30°，∠C＝45°，DE＝2，则BC的长为(　　)
A. 2 B. 2 C. 3 D. 2
　　
第7题图
8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，若AB＝10，CD＝4，则AC的长为(　　)
A. 5 B. 6 C. 2 D. 7

第8题图
9. (西安高新一中模拟)如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE是斜边AC的中垂线，分别交AB、AC于D、E两点，若BD＝1，则AC的长是(　　)
A. 3 B. 4 C. 2 D. 8
　　
第9题图


10. (西安高新一中模拟)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，点D是边AC的中点，连接BD，点E为AC延长线上的一点，连接BE，∠E＝30°，则CE的长为(　　)
A. 2－2 B. －
C. D.

第10题图
11. 如图，△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至点E，使CE＝CD，连接DE.若AB＝2，则DE＝(　　)
A. B. 2 C. 2 D. 2
　
第11题图
12. (西安交大附中模拟)如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE＝30°，DF＝3，则BF的长为(　　)
A. 4 B. 2 C. 3 D. 4

第12题图
13. (陕西定心卷)将△ABC和△ACD按照如图所示的位置放置，其中∠ACB＝∠ADC＝90°，∠BAC＝30°，∠DAC＝45°，BC＝4，△ABC的角平分线BE交AC于点E，连接DE，则DE的长为(　　)
A. 4 B. 6 C. 4 D. 2
　
第13题图
14. (黄石)如图，在△ABC中，∠B＝50°，CD⊥AB于点D，∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，F为边AC的中点，CD＝CF，则∠ACD＋∠CED＝(　　)
A. 125° B. 145° C. 175° D. 190°

第14题图
15. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝6，点P是Rt△ABC的重心，则点P到AB所在直线的距离等于(　　)
A. 1 B. C. D. 2

第15题图
16. (甘肃省卷)定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝________．
17. (株洲)如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CM是斜边AB上的中线，E、F分别为MB、BC的中点，若EF＝1，则AB＝________．

第17题图
18. (大连)如图，△ABC是等边三角形，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD.若AB＝2，则AD的长为________．
　　　
第18题图
19. (宜宾)如图，已知直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，AC＝4，BC＝3，则AD＝________．

第19题图
20.(枣庄)把两个同样大小含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A，且另外三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB＝2，则CD＝________．
　　
第20题图
21. (临沂)如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D为AB的中点，DC⊥BC，则△ABC的面积是________．

第21题图


10分钟
1. (铜仁)如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝7，BD＝4，CD＝3，点E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长为(　　)
A. 12　　　B. 14　　　C. 24　　　D. 21

第1题图
2. (十堰)如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝6，点D，E分别是边BC，AC上的动点，则DA＋DE的最小值为________．
　
第2题图
3. (安顺)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且AB＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为________．

第3题图
2分钟
1. (天水)如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为(　　)

第1题图
A. (1，1) B. (1，) C. (，1) D. (，)




























参考答案
第17课时　特殊三角形
点对点·课时内考点巩固
1. A　【解析】若2 cm为等腰三角形的腰长，则底边长为10－2－2＝6(cm)，2＋2＜6，不符合三角形的三边关系；若2 cm为等腰三角形的底边，则腰长为(10－2)÷2＝4(cm)，此时三角形的三边长分别为2 cm，4 cm，4 cm，符合三角形的三边关系．
2. A　【解析】①∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；②∵BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的平分线，∴∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝∠BCD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠BCD，∴∠EBC＝∠ECB，∴BE＝CE，∴△BCE是等腰三角形；③∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝×(180°－36°)＝72°，又∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠ABC＝36°＝∠A，∴AD＝BD，∴△ABD是等腰三角形；同理可证△CDE和△BCD是等腰三角形．故选A.
3. C　【解析】设∠CDE＝x，∵在△ABC中，∠ACB＝90°，CD、DE分别是△ABC和△ACD的高，∠B＝2∠CDE, ∴∠B＝2x，∠A＝90°－2x，∴∠A＝∠CDE＝x，可得：90°－2x＝x，解得x＝30°， ∴∠A＝90°－2×30°＝30°.
4. C　【解析】∵在△ABC中，AD⊥BC，AB＝AC，∠BAD＝30°，∴∠DAC＝∠BAD＝30°.∵AD＝AE，∴∠ADE＝75°，∴∠EDC＝90°－∠ADE＝15°.
5. B　【解析】∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD是BC的中线，∴S△ABC＝2S△ABD＝2×AB·DE＝AB·DE＝2AB.∵S△ABC＝AC·BF，∴AC·BF＝2AB.∵AC＝AB，∴BF＝2，∴BF＝4.
6. D　【解析】∵ED是BC的垂直平分线，∴DB＝DC，∴∠C＝∠DBC.∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠C＝∠DBC＝∠ABD＝30°，∴BD＝2AD＝6，∴CE＝CD·cosC＝3.
7. D　【解析】∵BE⊥AC于点E，∴△ABE为直角三角形，∵点D是AB的中点，∴AB＝2DE＝4.∵∠ABE＝30°，∴BE＝AB·cos30°＝2，∵∠C＝45°，∴BE＝EC＝2，∴BC＝＝2.
8. C　【解析】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE为AB边上的中线，AB＝10，∴AE＝CE＝5，∵CD为AB边上的高，∴在Rt△CDE中，DE＝＝3，∴AD＝AE－DE＝2.在Rt△ACD中，AC＝＝2.
9. C　【解析】如解图，连接CD.∵∠ABC＝90°，∠A＝30°，∴∠ACB＝60°，∵DE是AC的中垂线，∴AD＝CD，∴∠DCE＝∠A＝30°，∴∠BCD＝30°.∵BD＝1，∴BC＝＝，∴AC＝＝2.

第9题解图
10. B　【解析】∵△ABC是等腰直角三角形，D是AC的中点，AB＝2，∴∠BDC＝90°，AC＝2，AD＝CD＝BD＝，∵∠E＝30°，∴DE＝，∴CE＝DE－CD＝－.
11. A　【解析】∵△ABC为等边三角形，BD是AC边上的中线，∴∠DCB＝60°，AC＝BC＝2，∴CD＝1，∠DBC＝30°，∴BD＝＝，∵CE＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝30°，又∵∠DBC＝30°，∴DE＝BD＝.
12. C　【解析】在Rt△ABF中，∵∠AFB＝90°，AD＝DB，DF＝3，∴AB＝2DF＝6.∵AD＝DB，AE＝EC，∴DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABF＝30°，∴AF＝AB＝3，∴BF＝＝＝3.
13. D　【解析】如解图，过点D作DF⊥AC于点F，则DF＝CF＝AC.∵∠ABC＝90°－∠BAC＝60°，BE是△ABC的角平分线，∴∠EBC＝∠ABC＝30°，又∵BC＝4，∴CE＝4，AC＝12，∴DF＝CF＝6，∴EF＝CF－CE＝2，∴在Rt△DFE中，由勾股定理可得DE＝＝2.

第13题解图
14. C　【解析】如解图，连接DF.∵CD⊥AB，F为AC的中点，∴DF＝CF，∵CD＝CF，∴△CDF是等边三角形，∠ACD＝60° .∵∠B＝50°，∴∠BCD＋∠BDC＝130°，∵CE平分∠BCD，DE平分∠BDC，∴∠CED＝180°－(∠DCE＋∠CDE)＝180°－(∠BCD＋∠BDC)＝115°，∴∠ACD＋∠CED＝60°＋115°＝175°.

第14题解图
15. A　【解析】如解图，连接CP并延长，交AB于点D.∵点P是Rt△ABC的重心，∴CD是Rt△ABC的中线．∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴CD⊥AB，CD＝AB＝3，∴PD＝CD＝×3＝1，∴点P到AB所在直线的距离等于1.

第15题解图
16. 或　【解析】当∠A为顶角时，则底角∠B＝∠C＝(180°－∠A)＝50°，此时的特征值k＝＝；当∠A为底角时，则顶角(∠B或∠C)＝180°－2∠A＝20°，此时的特征值k＝＝.综上所述，它的特征值k为或.
17. 4　【解析】在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，CM是斜边AB上的中线，∴AB＝2MC，∵E、F分别为MB、BC的中点，∴EF是△CMB的中位线．又∵EF＝1，∴MC＝2EF＝2，∴AB＝2MC＝4.
18. 2　【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠BAC＝∠ACB＝60°，∵CD＝AC，∴∠CAD＝∠D，∵∠ACB＝∠CAD＋∠D＝60°，∴∠CAD＝∠D＝30°，∴∠BAD＝90°，∴AD＝＝2.
19. 　【解析】根据勾股定理可知，AB＝＝＝5，∵S△ABC＝×3×4＝6，∵S△ABC＝×AB×CD＝×5×CD＝CD＝6，∴CD＝，∴AD＝＝＝.
20. －　【解析】如解图，过A作AF⊥BC于点F，∵AB＝AC，∴BF＝CF.在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，∴BC＝2，∴AF＝BF＝CF＝，∵两个三角尺大小相同，∴AD＝BC＝2，在Rt△ADF中，FD＝＝＝.∴CD＝FD－FC＝－.

第20题解图
21. 8　【解析】如解图，取AC的中点E，连接ED，∵D为AB的中点，∴DE∥BC，DE＝BC＝×4＝2.∴∠CDE＝∠BCD.∵DC⊥BC，∴∠CDE＝∠BCD＝90°.∵∠ACB＝120°，∴∠DCE＝30°，∠CED＝60°.在Rt△EDC中，CD＝ED·tan∠CED＝2，∴S△BCD＝BC·DC＝×4×2＝4.∵D为AB的中点，∴S△ABC＝2S△BCD＝8.

第21题解图


点对线·板块内考点衔接
1. A　【解析】∵BD⊥CD，BD＝4，CD＝3，∴由勾股定理得BC＝＝5.∵点E、H分别是AB、AC的中点，∴EH是△ABC的中位线，∴EH∥BC，EH＝BC＝，∵F、G分别是BD、CD的中点，∴FG是△BDC的中位线，∴FG＝BC＝；同理可得EF＝GH＝AD＝，∴四边形EFGH的周长为EF＋GH＋EH＋FG＝＋＋＋＝12.
2. 　【解析】如解图，作点A关于BC的对称点A′，AA′交BC于点O，过点A′作A′E⊥AC于点E，此时A′E即为DA＋DE的最小值．在Rt△ABC中，BC＝＝＝9，∵BC·OA＝AB·AC，即BC·OA＝AB·AC，∴9OA＝3×6，∴OA＝2，∴AA′＝4，又易得∠CAA′＝∠B，∴sin∠CAA′＝sinB，∴＝，∴＝，∴A′E＝，即DA＋DE的最小值为.

第2题解图
3. 　【解析】如解图，连接AD，∵∠BAC＝90°，DM⊥AB，DN⊥AC，∴四边形AMDN是矩形，∴对角线MN＝AD，因此，当线段AD最短时，MN最短．当AD为BC边上的高时，AD最短，在Rt△ABC中，BC＝＝5，S△ABC＝AB·AC＝BC·AD，即×3×4＝×5AD，∴AD＝，即MN的最小值为.

第3题解图



点对面·跨板块考点迁移
1. B　【解析】如解图，过点B作BD⊥OA于点D，∵△OAB为等边三角形，边长为2，∴∠BOA＝60°，OA＝OB＝2.∴OD＝1，BD＝OB· sin60°＝2×＝.∴点B的坐标为(1，)．

第1题解图