中考数学二轮复习难题突破：抛物线型问题（解析版）

这是一份中考数学二轮复习难题突破：抛物线型问题（解析版），共15页。试卷主要包含了已知抛物线经过点，平面直角坐标系xOy中，，已知等内容，欢迎下载使用。
抛物线形问题例1、已知平面直角坐标系（如图1），直线的经过点和点.（1）求、的值；（2）如果抛物线经过点、，该抛物线的顶点为点，求的值；（3）设点在直线上，且在第一象限内，直线与轴的交点为点，如果，求点的坐标.【答案】：（1） （2）（3）（4,8）【解析】：（1） ∵直线的经过点∴∴∵直线的经过点∴∴       （2）由可知点的坐标为            ∵抛物线经过点、            ∴∴， ∴抛物线的表达式为∴抛物线的顶点坐标为∴,,∴∴∴ ∴（3）过点作轴，垂足为点，则∥轴     ∵,∴△∽△ ∴∵直线与轴的交点为点∴点的坐标为,又，∴，∵∴,∵∥轴∴∴ ∴即点的纵坐标是又点在直线上点的坐标为例2、如图在直角坐标平面内，抛物线与y轴交于点A，与x轴分别交于点B（-1，0）、点C（3，0），点D是抛物线的顶点.（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）联结AD、DC，求的面积；（3）点P在直线DC上，联结OP，若以O、P、C为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标．         【答案】（1）（1，-4）（2）3（3）或【解析】：（1）  点B（-1，0）、C（3，0）在抛物线上∴，解得                                ∴抛物线的表达式为，顶点D的坐标是（1，-4）      （2）∵A（0，-3），C（3，0），D（1，-4）  ∴，，∴  ∴                               ∴                             （3）∵，，∴△CAD∽△AOB，∴∵OA=OC，   ∴∴，即            若以O、P、C为顶点的三角形与△ABC相似 ，且△ABC为锐角三角形 则也为锐角三角形，点P在第四象限由点C（3，0），D（1，-4）得直线CD的表达式是，设（）过P作PH⊥OC，垂足为点H，则，①当时,由得，∴，解得，  ∴                             ②当时,由得，∴，解得，∴                              综上得或例3、已知抛物线经过点、、．（1）求抛物线的解析式；（2）联结AC、BC、AB，求的正切值；（3）点P是该抛物线上一点，且在第一象限内，过点P作交轴于点，当点在点的上方，且与相似时，求点P的坐标．【答案】：（1）解得  （2） （3）点的坐标为或【解析】：（1）设所求二次函数的解析式为，将（,）、（，）、（,）代入，得 解得 所以，这个二次函数的【解析】式为（2）∵（,）、（，）、（,）     ∴，，∴∴∴（3）过点P作，垂足为H设，则∵（,）∴，∵∴当△APG与△ABC相似时，存在以下两种可能：①    则即  ∴     解得∴点的坐标为②    则即  ∴     解得∴点的坐标为例4、已知抛物线经过点A（1,0）和B（0,3），其顶点为D.（1）求此抛物线的表达式；（2）求△ABD的面积；（3）设P为该抛物线上一点，且位于抛物线对称轴右侧，作PH⊥对称轴，垂足为H，若△DPH与△AOB相似，求点P的坐标.【答案】：（1）抛物线的表达式为（2）1（3）点P的坐标为（5,8），.【解析】：（1）由题意得：得：，所以抛物线的表达式为.（2）由（1）得D（2，﹣1），作DT⊥y轴于点T,  则△ABD的面积=.（3）令P.由△DPH与△AOB相似，易知∠AOB=∠PHD=90°，所以或，解得：或，所以点P的坐标为（5,8），.例5、平面直角坐标系xOy中（如图8），已知抛物线经过点A（1,0）和B（3,0），与y轴相交于点C，顶点为P．                                               （1）求这条抛物线的表达式和顶点P的坐标；                                                 （2）点E在抛物线的对称轴上，且EA=EC，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，记抛物线的对称轴为直线MN，点Q在直线MN右侧的抛物线上，∠MEQ=∠NEB，求点Q的坐标．【答案】：（1）P的坐标是（2，-1）（2）m=2（3），点E的坐标为（5，8）【解析】：（1）∵二次函数的图像经过点A（1，0）和B（3，0），　　　　∴，解得：，．        ∴这条抛物线的表达式是.顶点P的坐标是（2，-1）．　（2）抛物线的对称轴是直线，设点E的坐标是（2，m）．根据题意得： ，解得：m=2，∴点E的坐标为（2，2）．（3）解法一：设点Q的坐标为，记MN与x轴相交于点F．作QD⊥MN，垂足为D， 则，,∵∠QDE=∠BFE=90°，∠QED=∠BEF，∴△QDE∽△BFE，∴，∴，解得（不合题意，舍去），．∴，点E的坐标为（5，8）．解法二：记MN与x轴相交于点F．联结AE，延长AE交抛物线于点Q，∵AE=BE， EF⊥AB，∴∠AEF=∠NEB，又∵∠AEF=∠MEQ，∴∠QEM=∠NEB，点Q是所求的点，设点Q的坐标为，作QH⊥x轴，垂足为H，则QH=，OH=t，AH=t-1，∵EF⊥x轴，∴EF ∥QH，∴，∴，解得（不合题意，舍去），．∴，点E的坐标为（5，8）．例6、在平面直角坐标系xOy中，已知点B（8,0）和点C（9，）．抛物线（a，c是常数，a≠0）经过点B、C，且与x轴的另一交点为A．对称轴上有一点M ，满足MA=MC．（1） 求这条抛物线的表达式； （2） 求四边形ABCM的面积； （3） 如果坐标系内有一点D，满足四边形ABCD是等腰梯形，且AD//BC，求点D的坐标． 【答案】：（1）抛物线的表达式：   （2）3（3）  点D的坐标【解析】：（1）由题意得：抛物线对称轴，即．点B（8,0）关于对称轴的对称点为点A（0,0）∴， 将C（9，-3）代入，得∴抛物线的表达式：        （2）∵点M在对称轴上，∴可设M（4，y）又∵MA=MC，即 ∴, 解得y=-3, ∴M（4，-3）∵MC//AB且MC≠AB, ∴四边形ABCM为梯形，, AB=8,MC=5,AB边上的高h = yM = 3∴   (3) 将点B（8,0）和点C（9，﹣3）代入 可得，解得由题意得，∵AD//BC, ∴ ，又∵AD过（0,0），DC=AB=8，设D(x,-3x)  ,解得(不合题意，舍去)， ∴∴点D的坐标．例7、如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴相交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；（2）求证：∠DAB=∠ACB；（3）点Q在抛物线上，且△ADQ是以AD为底的等腰三角形，求Q点的坐标． 【答案】：（1）顶点坐标D（－1，4）．（2）（3）点Q的坐标是，【解析】：（1）把B（1，0）和C（0，3）代入中，得，解得．∴抛物线的解析式是：．∴顶点坐标D（－1，4）．（2）令，则，，，∴A（－3，0）∴，∴∠CAO=∠OCA．在中，．∵，，，∴，；∴，是直角三角形且，∴，又∵∠DAC和∠OCB都是锐角，∴∠DAC=∠OCB．∴，即．（3）令，且满足，,0)，，4）∵是以AD为底的等腰三角形，∴，即，                                                            化简得：．由，解得，．∴点Q的坐标是，．例8、如图8，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于点、，并与抛物线的对称轴交于点，抛物线的顶点是点．（1）求和的值；（2）点是轴上一点，且以点、、为顶点的三角形与△相似，求点的坐标；（3）在抛物线上是否存在点：它关于直线的对称点恰好在轴上．如果存在，直接写出点的坐标，如果不存在，试说明理由．      【答案】：（1）b=1（2）点有两个，其坐标分别是和 （3）点的坐标是或【解析】：（1） 由直线经过点，可得.由抛物线的对称轴是直线，可得.（2） ∵直线与轴、轴分别相交于点、，∴点的坐标是，点的坐标是.∵抛物线的顶点是点，∴点的坐标是.∵点是轴上一点，∴设点的坐标是.∵△BCG与△BCD相似，又由题意知，，∴△BCG与△相似有两种可能情况：①如果，那么，解得，∴点的坐标是.②如果，那么，解得，∴点的坐标是.综上所述，符合要求的点有两个，其坐标分别是和 ．（3）点的坐标是或.例9、已知：如图9，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的图像与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，顶点C在直线上，将抛物线沿射线AC的方向平移，当顶点C恰好落在y轴上的点D处时，点B落在点E处．（1）求这个抛物线的【解析】式；（2）求平移过程中线段BC所扫过的面积； （3）已知点F在x轴上，点G在坐标平面内，且以点C、E、F、G为顶点的四边形是矩形，求点F的坐标． ．       【答案】：（1）抛物线的解析式为     （2）12（3）有，，），．【解析】：（1）∵顶点C在直线上，∴，∴．将A（3，0）代入，得，解得，．∴抛物线的解析式为．（2）过点C作CM⊥x轴，CN⊥y轴，垂足分别为M、N． ∵=，∴C（2，）．∵，∴∠MAC=45°，∴∠ODA=45°，∴．∵抛物线与y轴交于点B，∴B（0，），∴． ∵抛物线在平移的过程中，线段BC所扫过的面积为平行四边形BCDE的面积，∴．（3）联结CE.∵四边形是平行四边形，∴点是对角线与的交点，即 .（i）当CE为矩形的一边时，过点C作，交轴于点，设点，在中，，即 ，解得 ，∴点同理，得点（ii）当CE为矩形的对角线时，以点为圆心，长为半径画弧分别交轴于点、，可得 ，得点、综上所述：满足条件的点有，，），．例10、如图，已知抛物线y=ax2+bx的顶点为C（1，），P是抛物线上位于第一象限内的一点，直线OP交该抛物线对称轴于点B，直线CP交x轴于点A．（1）求该抛物线的表达式；（2）如果点P的横坐标为m，试用m的代数式表示线段BC的长；（3）如果△ABP的面积等于△ABC的面积，求点P坐标．      【答案】：（1）抛物线的表达式为：y=x2-2x（2） BC= m-2+1=m-1（3）P的坐标为（）【解析】：（1）∵抛物线y=ax2+bx的顶点为C（1，）∴    解得： ∴抛物线的表达式为：y=x2-2x；（2）∵点P 的横坐标为m，∴P 的纵坐标为：m2-2m令BC与x轴交点为M，过点P作PN⊥x轴，垂足为点N∵P是抛物线上位于第一象限内的一点，∴PN= m2-2m，ON=m，O M=1由得∴ BM=m-2∵ 点C的坐标为（1，），∴ BC= m-2+1=m-1（3）令P(t，t2-2t) △ABP的面积等于△ABC的面积∴AC=AP过点P作PQ⊥BC交BC于点Q∴CM=MQ=1∴t2-2t=1     ∴（舍去）∴ P的坐标为（）