陕西省宝鸡市渭滨区2023届中考（一模）数学试题

陕西省宝鸡市渭滨区2023届中考（一模）数学试题

一、单选题

1．（2023·陕西宝鸡·统考一模）的倒数是（    ）

A． B． C． D．

2．（2023·陕西宝鸡·统考一模）如图，直线，等边三角形的顶点在直线上，，则的度数为（    ）

A． B． C． D．

3．（2023·陕西宝鸡·统考一模）下列运算正确的是（　　）

A． B．

C． D．

4．（2023·陕西宝鸡·统考一模）将直线绕原点旋转后，所得直线的函数表达式为（　　）

A． B． C． D．

5．（2023·陕西宝鸡·统考一模）如图，为的直径，点C，D在上．若，则的度数是（　　）

A． B． C． D．

6．（2023·陕西宝鸡·统考一模）已知抛物线，当时，y的值随x值的增大而增大，则此抛物线的顶点在（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

二、填空题

7．（2023·陕西宝鸡·统考一模）在实数中，最小的是___________．

8．（2023·陕西宝鸡·统考一模）正五边形每个内角的度数为 _____．

9．（2023·陕西宝鸡·统考一模）已知实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则_____________0（填“”“”或“”）．

10．（2023·陕西宝鸡·统考一模）人民公园的侧门口有9级台阶，小聪一步只能上1级台阶或2级台阶，小聪发现当台阶数分别为1级、2级、3级、4级、5级、6级、7级、……逐渐增加时，上台阶的不同选择的方法种数依次为1、2、3、5、8、13、21、……这就是著名的斐波那契数列．那么小聪上这9级台阶共有______种不同方法．

11．（2023·陕西宝鸡·统考一模）如图，点A、D分别在反比例函数，的图象上，点B、C在x轴上．若四边形为正方形，且D的坐标是，则k的值为_____________．

12．（2023·陕西宝鸡·统考一模）如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=15，若点P为BC上的动点，以BP为斜边向矩形ABCD内部作等腰直角△BPQ，∠BQP=90°，则PD+PQ的最小值为______ ．

三、解答题

13．（2023·陕西宝鸡·统考一模）如图，在中，是的角平分线，若，则长度是（　　）

A．2 B． C． D．3

14．（2023·陕西宝鸡·统考一模）计算：

15．（2023·陕西宝鸡·统考一模）解不等式组：

16．（2023·陕西宝鸡·统考一模）解方程：

17．（2023·陕西宝鸡·统考一模）如图，已知等边三角形，点M为边的中点，连接．请用尺规作图法，在边上找一点P，使得（保留作图痕迹，不写做法）

18．（2023·陕西宝鸡·统考一模）某种商品进价为200元，标价为300元．现打折销售，要使利润率为．则需打几折？

19．（2023·陕西宝鸡·统考一模）如图，点A、B、C、D在直线l上，，．

求证：．

20．（2023·陕西宝鸡·统考一模）端午节这天，小林和小云一起从宝鸡来到西安旅游，中午他们打算到回民街吃饭，他们看到满大街各式各样的美食，却不知道该选择哪一个，于是，决定通过抽卡片游戏来决定吃什么．他们制作了四张从背面看完全相同的卡片，在正面分别写着：A凉皮，B肉夹馍，C灌汤包，D泡馍将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．小林先从四张卡片中随机抽取一张，放回，洗匀后，小云再从四张卡片中随机抽取一张，最终，每个人抽到哪张卡片，就选择卡片上对应的美食．

(1)小林抽到的卡片正面写着泡馍的概率为___________．

(2)请利用画树状图或列表的方法，求两个人抽到同一种美食的概率．

21．（2023·陕西宝鸡·统考一模）长安塔是西安世园会四大标志性建筑之一，该塔在设计上保持了隋唐时期方形古塔的神韵，同时增加了现代元素，既体现了中国建筑文化的内涵，又彰显出时尚现代的都市风貌，是绿色建筑技术和建筑艺术的完美结合小亮同学想利用所学数学知识来测量长安塔的高度，如图，小亮在湖对面P处放置一面平面镜（平面镜的大小忽咯不计），他站在C处通过平面镜恰好能看到塔的顶端A，此时测得小亮到平而镜的距离为4米．已知平面镜到塔底部中心的距离为247.5米，小亮眼睛到地面的距离为1.6米，C，P，B在同一水平直线上，且，均垂直于．请你帮小亮计算出长安塔的高度．

22．（2023·陕西宝鸡·统考一模）随着“一带一路”的进一步推进，我国瓷器更被一带一路沿线人们所推崇，某商户看准这一商机，准备经销瓷器茶具，计划购进青瓷茶具和白瓷茶具共60套．已知青瓷茶具每套250元，白瓷茶具每套200元，设购进x套青瓷茶具，购进青瓷茶具和白瓷茶具的总费用为y元！

(1)求出y与x之间的函数关系式；

(2)该商户想要用不多于13500元的资金购进这两种茶具，则青瓷茶具最多能购进多少套？

23．（2023·陕西宝鸡·统考一模）某公司近期开展了以亲近自然、劳逸结合、强健体魄、增进凝聚为主题的工会健步走活动．小明所在的部门共20人，将这20人某一天行走的步数进行统计，绘制了如下统计表：

根据上述信息，解答下列问题

(1)这20人一天行走的步数的中位数落在             组；

(2)求这20人一天行走的平均步数；

(3)若公司共有1400人，请估计一天行走步数不少于8500步的人数．

24．（2023·陕西宝鸡·统考一模）在等腰三角形中，，点D为边上一点，以为直径作，分别与交于点E、F，当点D为弧的中点时，

(1)求证：与相切．

(2)已知的半径为6，，求的长．

25．（2023·陕西宝鸡·统考一模）已知抛物线L与x轴交于A，B两点，A点坐标为，顶点C的坐标为．

(1)求抛物线L的函数表达式和点B的坐标；

(2)将L关于直线对称得到新的抛物线．点C的对称点为，L与交于点P．是否存在m的值，使得是等边三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

26．（2023·陕西宝鸡·统考一模）问题提出

（1）如图1，在中，，，将其折叠，使点B落在边上的处，折痕经过点C，交于点D，则的度数为___________；

问题探究

（2）如图2，正方形的一条对称轴l交于点H，点E在l上，连接．若正方形的边长为2，，求线段的长．

问题解决

（3）如图3，有一块三角形空地经测量，米，．现要过点C边修建一条小路，满足，点A关于的对称点为D，连接交于点E．若米，请利用所学知识，求的长．

参考答案：

1．B

【分析】根据倒数的定义即可得到答案．

【详解】

的倒数为

故选：B．

【点睛】本题考查了倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题关键．

2．A

【分析】先根据等边三角形的性质得到∠A＝60°，再根据三角形内角和定理计算出∠3＝80°，然后根据平行线的性质得到∠1的度数．

【详解】解：∵△ABC为等边三角形，

∴∠A＝60°，

∵∠A＋∠3＋∠2＝180°，

∴∠3＝180°−40°−60°＝80°，

∵，

∴∠1＝∠3＝80°．

故选：A．

【点睛】本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．也考查了平行线的性质．

3．C

【分析】根据同底数幂相乘法则，整式乘法，积的乘方，合并同类项法则计算判断即可．

【详解】因为，所以A不符合题意；

因为，所以B不符合题意；

因为，所以C符合题意；

因为，所以D不符合题意．

故选：C．

【点睛】本题主要考查了整式的运算，掌握运算法则是解题的关键．即同底数幂相乘，底数不变，指数相加；多项式乘以多项式，用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，并把所得的结果相加；积的乘方，等于积中每一个因式分别乘方，再相乘；合并同类项：系数相加减，相同字母和指数不变．

4．A

【分析】先求出直线与y轴的交点坐标，然后根据旋转的性质可知得到的直线与该直线平行，且与y轴的交点为，从而求出结论．

【详解】解：当时，，

∴直线与y轴的交点为，

将直线绕着原点旋转得到的直线与该直线平行，且与y轴的交点为，

∴得到的直线解析式为

故选A．

【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，涉及了绕原点旋转后点的坐标特点，直线与坐标轴的交点等知识，熟练掌握一次函数图象及性质是解题的关键．

5．C

【分析】连接，由是圆的直径可得，由可得，再由圆周角定理可得结论．

【详解】解：如图，连接，

∵是的直径，

∴，

∵，

∴，

∵与都对着，

∴．

故选∶C．

【点睛】此题考查了圆周角定理，解题的关键是熟记圆周角定理．直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角是圆心角的一半．

6．A

【分析】先计算出抛物线对称轴为直线，再根据抛物线开口向下，得到时，y随x的增大而增大，结合当时，y随x的增大而增大，得到，再根据抛物线的顶点坐标，判断出顶点所在象限．

【详解】解：抛物线的对称轴为，

∵抛物线开口向下，

∴当时，y随x的增大而增大，

∵当时，y随x的增大而增大，

∴，

∵抛物线的顶点为纵坐标为，

∴顶点坐标为，

∵，

∴，

∴抛物线的顶点在第一象限，

故选：A．

【点睛】本题考查抛物线的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的顶点坐标公式及图象性质．

7．

【分析】根据实数大小的比较方法即可得到答案．

【详解】解：∵

∴，

∴，

∴最小的数是．

故答案为：

【点睛】此题考查了实数，熟练掌握实数比较大小的方法是解题的关键．

8．##108度

【分析】方法一：先根据多边形的内角和公式求出内角和，然后除以5即可；

方法二：先根据正多边形的每一个外角等于外角和除以边数，再根据每一个内角与相邻的外角是邻补角列式计算即可得解．

【详解】解：方法一：，

；

方法二：，

，

所以，正五边形每个内角的度数为．

故答案为：．

【点睛】本题考查了正多边形的内角与外角的关系，注意两种方法的使用，通常利用外角和与每一个外角的关系先求外角的度数更简单一些．

9．

【分析】首先根据数轴判断出a、b的符号和二者绝对值的大小，根据“异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值”来解答即可．

【详解】解：由图可知：，，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查了实数与数轴，有理数的加法法则，根据数轴得出a、b的符号和二者绝对值的大小关系是解题的关键．

10．55

【分析】根据斐波那契数列的特点：数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和，可知：上第8个台阶应有13+21=34种方法，上第9个台阶应有21+34=55种方法．

【详解】解：由题意，可得：第8个台阶有13+21=34种上法，

因此上这9级台阶共有21+34=55种方法．

故答案为55．

【点睛】本题主要考查学生根据已知的两组数据间的关系，进行分析推断，得出一般化关系式的能力．

11．

【分析】先求出的坐标，根据正方形的性质，求出点的坐标，即可得出结果．

【详解】解：∵D在反比例函数的图象上，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵四边形为正方形，

∴，

∴，

∴，

∵点A在反比例函数上，

∴；

故答案为：．

【点睛】本题考查反比例函数与几何的综合应用．熟练掌握反比例函数的图象和性质，以及正方形的边长相等，是解题的关键．

12．##

【分析】此题为求PD+PQ的最小值，即可转化为求PE+PQ的最小值，当E、P、Q共线时，利用等腰直角三角形的性质即可求解．

【详解】解：如图，延长DC使CE=CD，连接PE，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠PCD=∠PCE=90°，

∴△PCD≌△PCE，

∴PD=PE，

当E、P、Q共线时，PD+PQ=PE+PQ有最小值，最小值为EQ，

∵△BPQ是等腰直角三角形，

∴∠QBP=∠QPB=45°，

∴∠CPE=∠QPB=45°，

∴△PCD和△PCE都是等腰直角三角形，

∴PC=CD=CE=8，BP=15-8=7，  

∴PE==8，PQ=BP=，

∴EQ=PE+PQ==，

∴PD+PQ的最小值为．

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，，解题的关键是根据轴对称图形的特征转化最短线段．

13．B

【分析】利用直角三角形两个锐角互余，得到，根据角平分线平分角得到，得到计算出，再根据计算出．

【详解】解：∵，

∴，

∵是的角平分线，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

故选：B．

【点睛】本题考查解直角三角形．熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键．

14．

【分析】先将负整数幂和绝对值化简，再按照实数的混合运算顺序和运算法则进行计算即可．

【详解】解：原式

．

【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握负整数次幂和绝对值的化简方法．

15．

【分析】分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可．

【详解】解：

解不等式①得：

解不等式②：

解得：

所以不等式组的解集为：

【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解法，掌握“解一元一次不等式组的步骤”是解本题的关键．

16．

【分析】方程两边同乘以，将方程化成整式方程，再按照一元一次方程的解法步骤解方程即可得．

【详解】解：，

方程两边同乘以，得，

去括号，得，即，

移项，得，

合并同类项，得，

系数化为1，得，

经检验，是原分式方程的解，

故方程的解为．

【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题关键．

17．见解析

【分析】根据相似三角形的判定即可画图．

【详解】解：所作图形如下所示：

∠C等于60°，所以取即可知为等边三角形

再由三线合一可知中垂线就是高所在直线

，又

∴

【点睛】本题主要结合相似三角形的判定方法考查尺规作图，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键

18．需打折

【分析】设需要打折，根据利润率为，列出方程进行求解即可．

【详解】解：设需要打折，由题意，得：，

解得：；

∴需打折．

【点睛】本题考查一元一次方程的应用．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键．

19．见解析

【分析】证明，即可得证．

【详解】证明：∵，

∴，

∵，

∴，即：，

又∵，

∴，

∴．

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．熟练掌握证明直角三角形全等，是解题的关键．

20．(1)

(2)

【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；

（2）根据题意先画出树状图得出所有等情况数和两个人抽到同一种美食的情况数，再根据概率公式即可得出答案．

【详解】（1）解：根据题意得：小林抽到的卡片正面写着泡馍的概率为；

故答案为：

（2）解：根据题意，画出树状图，如下：

一共有16种等可能结果，其中两个人抽到同一种美食的有4种，

∴两个人抽到同一种美食的概率为．

【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．

21．的高度为99米

【分析】根据光线入射角等于折射角得知，再根据相似求解线段．

【详解】由题意知，

又∵，

∴，

∴，即，

解得米，

∴长安塔的高度为99米．

【点睛】本题考查相似三角形在实际问题中的应用，证明三角形相似是本题关键．

22．(1)

(2)30套

【分析】（1）分别表示出购进两种茶具的费用进而得出函数关系式；

（2）利用总费用不多于13500元进而得出不等式求出答案．

【详解】（1）解：与之间的函数关系式为：

；

（2）解：根据题意可得：，

解得：，

则青瓷茶具最多能购进30套．

【点睛】此题主要考查了一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，正确得出函数关系式是解题关键．

23．(1)B

(2)这20人一天行走的平均步数为7705步

(3)一天行走步数不少于8500步的人数为280人

【分析】（1）根据中位数的定义可得这20人一天行走的步数的中位数应为第10人和第11人行走步数的平均数，即可进行解答；

（2）先求出这20人一天行走步数的和，再除以20，即可求解；

（3）先求出小明所在部门一天行走步数不少于8500步的人数的百分比，再用公司总人数乘以这个百分比，即可求解．

【详解】（1）解：这20人一天行走的步数的中位数应为第10人和第11人行走步数的平均数，由表可知，第10人行走的步数在B组，第11人行走的步数在B组，

∴这20人一天行走的步数的中位数在B组，

故答案为：B．

（2）解：（步），

答：这20人一天行走的平均步数为7705步．

（3）解：（人），

答：一天行走步数不少于8500步的人数为280人．

【点睛】本题主要考查了根据频数分布表求中位数，平均数，用样本估计总体，解题的关键是从表格中获取正确的信息和数据．

24．(1)见解析

(2)

【分析】（1）根据点D为弧的中点，可得，再由等腰三角形的性质，即可求解；

（2）连接，为的直径，可得，从而得到，进而得到，然后分别在和中，利用锐角三角函数，即可求解．

【详解】（1）证明：∵点D为弧的中点，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵为的直径，

∴与相切；

（2）解：如图，连接，

∵为的直径，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵的半径为6，

∴，

在中，，

∴，解得：，

在中，，

∴，解得：，

∴．

【点睛】本题主要考查了切线的判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，圆周角定理是解题的关键．

25．(1)；

(2)存在，

【分析】（1）根据题意可设抛物线L的表达式为，再把点代入抛物线表达式，即可求解；

（2）根据题意可得抛物线的的顶点坐标为，可设抛物线的表达式为，联立，可得点，再由等边三角形的性质可得．过点P作于点D，则，，再由锐角三角函数，即可求解．

【详解】（1）解：∵顶点C的坐标为，

∴可设抛物线L的表达式为，

将点代入抛物线表达式得，，

解得，

∴抛物线L的表达式为．

∵抛物线顶点，

∴抛物线的对称轴为y轴，

∵，

∴点B的坐标为；

（2）解：存在．

根据题意得：点关于直线的对称点为，

∴抛物线的的顶点坐标为，

∴，

∴可设抛物线的表达式为．

联立，

解得，

∴点．

∵点C和点关于直线对称，

∴为等腰三角形．

∵为等边三角形，则．

如图，过点P作于点D，则，，

∴．

解得．

【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了二次函数的图象和性质，等边三角形的性质，解直角三角形，利用数形结合思想解答是解题的关键．

26．（1）；（2）；（3）米

【分析】（1）由折叠的性质得：，，从而得到，再由三角形外角的性质和三角形内角和定理可求出的度数，即可求解；

（2）设直线l交于点F，由轴对称的性质可得，，根据正方形的性质和，可得是等边三角形，可求出的长，即可求解；

（3）连接，并延长交于点Q，过点B作于点H，设直线交于点G，由轴对称的性质可得米，，从而得到，再由三角形外角的性质可得，从而得到是等腰直角三角形，进而得到是等腰直角三角形，可求出的长，再证明，可得米，从而得到米，即可求解．

【详解】解：（1）由折叠的性质得：，，

∵，

∴，

∵，

∴，，

∴；

故答案为：

（2）如图，设直线l交于点F，

∵直线l为正方形的一条对称轴，

∴，，

在正方形中，，，

∴，

∵，

∴，

∴是等边三角形，

∴∴，

∴，

∴；

（3）如图，连接，并延长交于点Q，过点B作于点H，设直线交于点G，

∵点A关于的对称点为D，

∴米，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴是等腰直角三角形，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴是等腰直角三角形，

∵米，

∴米，

∴米，

∵，

∴，

∴，

∵，米，

∴，

∴米，

∴米，

∴米．

【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，正方形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识，利用类比思想解答是解题的关键．