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2023年陕西省宝鸡市陇县中考数学一模试卷（含解析）
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这是一份2023年陕西省宝鸡市陇县中考数学一模试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年陕西省宝鸡市陇县中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各数中不是有理数的是( )
A. 3.14 B. 4 C. 2 D. −1
2. 下列各字母既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. M B. K C. O D. N
3. 若单项式−2xmy3与ynx2的和仍为单项式，则mn的值为( )
A. 8 B. 6 C. 9 D. 27
4. 在四边形ABCD中，连接AC与BD，若AC⊥BD，且AC=4，BD=6，则四边形ABCD的面积是( )
A. 24 B. 18 C. 15 D. 12
5. 如图所示，在△ABC中，已知AB=AC，AD⊥BC，若BD=1，sin∠BAD=13，则sin∠BAC=( )
A. 2 23
B. 4 29
C. 16
D. 23
6. 如图所示，在平面直角坐标系中有线段AB，其中A，B两点的坐标分别为(−4,1)，(−1,6)，若一次函数y=kx−2的图象与线段AB有交点，则系数k的取值范围是( )
A. 34
C. −8
7. 如图所示，△ABC内接于⊙O，点M为△ABC的内心，若∠C=80°，则∠MAN的度数是( )
A. 50°
B. 55°
C. 60°
D. 80°
8. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列说法正确的有( )
①abc>0；②a−b+c=0；③2a+b=0；④若ax2+bx+c−k=0有两个实数根，则k<4．
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
9. 已知x= 2+1，y= 2−1，则x2−y2= ______ ．
10. 如图所示，正五边形ABCDE与正方形CDNM的摆放位置如图所示，连接NE，则∠DNE的度数等于______ ．
11. 中国经济高质量发展，2022年我国国内生产总值约为1210000亿元，用科学记数法表示2022年我国国内生产总值约为______ 元.
12. 如图所示，点A在反比例函数y=kx的图象上，过点A作AM⊥x轴于点M，点B在y轴负半轴上，连接AB交x轴于点C，已知BC=2AC，若△AOB的面积为6，则k的值为______ ．
13. 如图所示，在Rt△ABC中，AC=BC=4，P为AC延长线上一动点，以CP为边在AP上方作正方形CPMN，连接BM，AM，则△ABM的面积为______ ．
三、解答题（本大题共13小题，共81.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
14. (本小题5.0分)
计算：(π−3.14)0−|2− 3|+(−12)−2．
15. (本小题5.0分)
解不等式组：2(x−2)≤2−xx+22−x3<1，并在数轴上画出不等式组的解集．
16. (本小题5.0分)
解分式方程：xx−1−4x2−1=1．
17. (本小题5.0分)
如图，已知在∠ABC中有DE//BC交AB于点M，请用尺规作图法在射线ME上确定一点P，使得△BMP为等腰三角形．
18. (本小题5.0分)
如图所示，△ABC与△DAE均为等腰直角三角形，连接DC，BE.求证：DC=BE．
19. (本小题5.0分)
如图所示，矩形A′B′C′D′和矩形ABCD位似，已知矩形ABCD周长为12，AD=2，A′D′=4．
(1)画出两个矩形的位似中心P点；
(2)求矩形A′B′C′D′的面积．
20. (本小题5.0分)
2023年的五一劳动节放五天调休假，分别是四月的29号、30号，以及五月的1号、2号、3号，班主任王老师除了给全班同学布置了适量的书面作业外，还组织同学们利用假期，自行前往市科技馆参观学习．
(1)李明同学计划利用一天的假期完成老师布置的书面作业，请问他选择5月1日完成作业的概率为______ ；
(2)五天小长假期间，李明和赵雷都计划前往市科技馆参观，请你用列表或画树状图法求一下两人选择同一天参观的概率．
21. (本小题6.0分)
为了开展趣味学习活动，张教师带领学生们在操场上利用所学的知识测量一棵树的高度.如图，某一时刻树AB在太阳光照下，一部分影子NP落在了墙MN上，另一部分树影BN落在了地面上，张老师在树另一侧的地面C点放置一平面镜，在平面镜左侧点S处竖直放置了一根木杆，秦飞同学在平面镜右侧的点T处刚好可从平面镜中观察到木杆的顶端.与此同时，秦飞发现木杆影子的顶端恰好落在平面镜C点处.现测得木杆高2米，秦飞的眼睛距地面为1米，ST长为9米，树影NP为5米，BN为21米，求树AB的高.(平面镜大小忽略不计)
22. (本小题7.0分)
为了方便同学们练习排球，学校将操场的一处靠墙空地进行了改造，计划用21米长的网布围出一个如图所示的矩形场地ABCD，其中CD边为墙壁，剩余三条边为网布所围.设BC边为x米，AB边为y米．
(1)写出y与x的函数表达式；
(2)已知墙长7米，且距离墙8米处有障碍物，排球练习场地必须安排在墙壁与障碍物之间的空地处，则AB边长度的最小值为多少？
23. (本小题7.0分)
新学期伊始，某中学食堂为全校师生提供了A，B，C，D四种午饭套餐，为了解学生们对这四种套餐的喜好情况，学校随机抽取240名学生进行“你最喜欢哪一种套餐(必选且只选一种)”问卷调查，根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如图．
(1)请补全条形统计图，扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小为______ ；
(2)此次抽样调查的中位数落在______ 组，众数落在______ 组；
(3)依据本次调查的结果，估计全校960名学生中最喜欢D套餐的人数．
24. (本小题8.0分)
如图所示，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O直径，BE交AC延长线于点E，D为AC上一点，连接BD，DC，已知∠BDC=∠CBE．
(1)求证：BE为⊙O切线；
(2)若tan∠BAC=43，BC=2，求BE的长．
25. (本小题8.0分)
新华书店销售一个系列的儿童书刊，每套进价100元，定价为140元，一天可以销售20套.为了扩大销售，增加盈利，减少库存，书店决定采取降价措施，若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套.设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元．
(1)求出y与x的函数关系式；
(2)当每套书降价多少元时，书店可获得最大利润？最大利润为多少？
26. (本小题10.0分)
问题提出：
(1)如图1所示，已知A为⊙O上一点，P为⊙O外一点，若PO=6，⊙O的半径为2，则PA的最小值为______ ；
问题探究：
(2)如图2所示，P为等边三角形ABC内一点，若AB=4，求PA+PB+PC的最小值；
问题解决：
(3)由于网购的方便与快捷，极大地促进了物流行业的发展，如图3所示，一条半圆形公路连接着A，B两座城市(AB=20km).物流公司沿半圆形公路在A，B两地之间进行物流运送.点D为一辆等在半圆形公路上的物流车，随时接收从外地运来的货物以便及时送到A，B两地.为了节约资金，提高物流中转的效率，现需在这个区域内建一个物流中转站P，要求物流中转站P到A，B两城市及半圆形公路上点D的距离之和最小，请帮物流公司求出这个距离和的最小值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.3.14是小数，属于有理数，故本选项不合题意；
B. 4=2是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
C. 2是无理数，故本选项符合题意；
D.−1是整数，属于有理数，故本选项不合题意．
故选：C．
根据有理数分为整数和分数进行判断即可．
本题考查了有理数的概念，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A.“M”是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.“K”不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C.“O”既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D.“N”不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3.【答案】A
【解析】解：∵单项式−2xmy3与ynx2的和仍是单项式，
∴它们是同类项，
∴m=2，n=3，
则mn=23=8，
故选：A．
由题意可得两个单项式为同类项从而求得m，n的值，然后代入mn中计算即可．
本题考查同类项及合并同类项的定义，根据合并同类项的定义得出两单项式为同类项是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：设AC交BD于O，
∵AC⊥BD，AC=4，BD=6，
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△CBD
=12BD⋅AO+12BD⋅CO
=12BD⋅(AO+CO)
=12BD⋅AC
=12×6×4
=12．
故选：D．
根据三角形的面积公式求出四边形ABCD的面积=12BD⋅AC，再代入求出答案即可．
本题考查了三角形的面积，能求出对角线互相垂直的四边形ABCD的面积=12BD⋅AC是解此题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：如图，过点B作BE⊥AC于E，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴sin∠BAD=BDAB=1AB=13，
∴AB=3，
∴AC=AB=3，
由勾股定理得，AD= AB2−BD2= 32−12=2 2，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BC=2BD=2，
由S△ABC=12BC⋅AD=12AC⋅BE得，
BE=BC⋅ADAC=2×2 23=4 23，
∴sin∠BAC=BEAB=4 233=4 29，
故选：B．
过点B作BE⊥AC于E，由sin∠BAD=BDAB=1AB=13求出AB，再利用勾股定理求出AD，由S△ABC=12BC⋅AD=12AC⋅BE求出BE，则sin∠BAC=BEAB，从而求出结果．
本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，正确添加辅助线，构造直角三角形，利用三角函数的定义求解是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：把A(−4,1)代入y=kx−2得−4k−2=1，解得k=−34；
把B(−1,6)代入y=kx−2得−k−2=6，解得k=−8，
所以当一次函数y=kx−2的图象与线段AB有交点时，−8≤k≤−34．
故选：D．
把A点和B点坐标分别代入计算出对应的k的值，然后利用一次函数图象与系数的关系确定k的范围．
本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于一次函数y=kx+b，若k>0，b>0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限；k>0，b<0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限；k<0，b>0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限；k<0，b<0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限．
7.【答案】A
【解析】解：在△ABC中，∠C=80°，
∴∠BAC+∠ABC=100°，
∴∠ANB=80°，
∵M为△ABC的内心，
∴AM、BM为∠BAC、∠ABC的平分线，
∴∠BAM=12∠BAC，∠ABM=12∠ABC，
∴∠BAM+∠ABM=12(∠BAC+∠ABC)=12(180°−∠C)=50°，
∴∠AMN=50°，
在△AMN中，∠MAN=180°−(∠AMN+∠ANM)=180°−50°−80°=50°．
故选：A．
根据三角形内角和定理得∠BAC∠+∠CBA=180°−∠C=100°，由M为△ABC内心，得AM、BM为∠CAB、∠ABC的平分线，则有∠BAM+∠ABM=12(∠ABC+∠BAC)=12(180°−∠C)=50°，根据三角形外角的性质得∠AMN=∠BAM+∠ABM，再根据三角形内角和定理即可解答．
本题考查了圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，三角形内角和定理，外角的性质，三角形内心的性质是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵图象开口向下，与y轴交点在y轴正半轴，
∴a<0，c>0，
∵对称轴x=−b2a=1，
∴b=−2a>0，
∴abc<0，
∴①错误；
∵抛物线对称轴为直线x=1，且过点(3,0)，
∴二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点(−1,0)，
∴a−b+c=0，
∴②正确；
∵b=−2a，
∴2a+b=0，
∴③正确；
∵ax2+bx+c−k=0有两个实数根，
∴函数y=ax2+bx+c与直线y=k有两个或一个交点，
∵顶点为(1,4)，
∴k≤4，
∴④错误．
故选：C．
根据函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标以及抛物线与坐标轴的交点逐项分析即可．
本题考查二次函数的图象与系数的关系以及二次函数的性质，关键是对二次函数对称轴、交点坐标、开口方向等知识的运用．
9.【答案】4 2
【解析】解：∵x= 2+1，y= 2−1，
∴x+y=2 2，x−y=2，
∴x2−y2=(x−y)(x+y)
=2×2 2
=4 2．
故答案为4 2．
先计算出x+y=2 2，x−y=2，在利用平方差公式把x2−y2变形为(x−y)(x+y)，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
10.【答案】9°
【解析】解：在正五边形ABCDE中，∠CDE=(5−2)⋅180°÷5=108°，
∵正方形CDNM中∠CDN=90°，
∴∠NDE=360°−∠CDE−∠CDN=360°−108°−90°=162°，
∵DE=CD=DN，
∴∠DNE=∠DEN=180°−162°2=9°，
故答案为：9°．
首先利用多边形内角和公式及正多边形性质求得∠CDE的度数，再结合正方形性质易得∠EDN的度数，最后根据等边对等角及三角形内角和定理即可求得答案．
本题主要考查正多边形的性质，利用多边形内角和公式及正多边形性质求得∠NDE的度数是解题的关键．
11.【答案】1.21×1014
【解析】解：1210000亿=121000000000000=1.21×1014．
故答案为：1.21×1014．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12.【答案】−6
【解析】解：∵∠AMC=∠BOC=90°，∠ACM=∠BCO，
∴△AMC∽△BOC，而BC=2AC，
∴MCOC=AMOB=ACBC=12，
设MC=a，AM=b，则OC=2a，OB=2b，
∴OM=3a，
∴点A(−3a,b)，
∵点A在反比例函数y=kx的图象上，
∴k=−3ab，
∵S△AOB=6=12×2b×3a，
∴3ab=6，
∴k=−3ab=−6，
故答案为：−6．
根据相似三角形的性质得出MCOC=AMOB=ACBC=12，设MC=a，AM=b，进而表示OC=2a，OB=2b，OM=3a，由三角形的面积公式得出3ab=6，再由反比例函数系数k的几何意义得出答案．
本题考查反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的性质，理解反比例函数系数k的几何意义，掌握相似三角形的判定和性质是正确解答的关键．
13.【答案】8
【解析】解：设正方形CPMN的边长位x，则AP=4+x，
∴S△APM=12x(4+x)，S梯形BCPM=x(x+4)2，
∴S△ABM
=S△ABC+S梯形BCPM−S△APM
=12×4×4+x(x+4)2−12x(4+x)
=8+12x2+2x−12x2−2x
=8，
故答案为：8．
设正方形CPMN的边长位x，由S△ABM=S△ABC+S梯形BCPM−S△APM可得答案．
本题考查正方形的性质，解题的关键是把所求图形面积转化为S△ABC+S梯形BCPM−S△APM．
14.【答案】解：(π−3.14)0−|2− 3|+(−12)−2
=1−2+ 3+4
=3+ 3．
【解析】先计算零次幂、负整数指数幂、绝对值，再计算乘法，最后计算加减．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．
15.【答案】解：解不等式2(x−2)≤2−x得x≤2，
解不等式x+22−x3<1得x<0，
则不等式组的解集为x<0；
将解集表示在数轴上表示如下：
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16.【答案】解：去分母，得
x(x+1)−4=(x+1)(x−1)，
去括号，得x2+x−4=x2−1，
整理，得x=3
经检验，x=3为原方程的解．
故原方程的解为x=3．
【解析】根据等式的性质，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案．
本题考查了解分式方程，利用等式的性质得出整式方程是解题关键．
17.【答案】解：如图所示，点P即为所求作．
【解析】作∠ABC的平分线，与DE的交点即为所求．
本题考查了复杂作图，掌握平行的性质及角平分线的性质是解题的关键．
18.【答案】证明：∵△ABC与△DAE均为等腰直角三角形，
∴AB=AC，AE=AD，∠EAD=∠BAC=90°．
∴∠DAE+∠EAC=∠BAC+∠EAC．
即∠BAE=∠DAC，
在△DAC和△BAE中，
AE=AD∠BAE=∠CADAB=AC，
∴△DAC≌△BAE(SAS)．
∴CD=BE．
【解析】由等腰直角三角形的性质得出AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=90°.证出∠BAE=∠DAC，证明△DAC≌△BAE(SAS)，由全等三角形的性质可得出结论．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，证明△DAC≌△BAE是解题的关键．
19.【答案】解：(1)如图所示，点P即为所求作．
(2)∵矩形ABCD周长为12，且AD=2，
∴AB=4，
又∵矩形ABCD与矩形A′B′C′D′位似，
∴ADA′D′=12，
∴S矩形ABCD：S矩形A′B′C′D′=(ADA′D′)2=(12)2=14，
∵S矩形ABCD=2×4=8，
∴S矩形A′B′C′D′=8×4=32．
【解析】(1)连接AA′，DD′交于点P，于是得到两个矩形的位似中心P点；
(2)根据矩形的周长公式得到AB=4，根据相似形的性质即可得到结论．
本题考查了作图−位似变换，矩形的性质，相似形的性质，正确地作出图形是解题的关键．
20.【答案】15
【解析】解：(1)李明同学计划利用一天的假期完成老师布置的书面作业，他选择5月1日完成作业的概率为15，
故答案为：15；
(2)列表如下：
29
30
1
2
3
29
(29,29)
(30,29)
(1,29)
(2,29)
(3,29)
30
(29,30)
(30,30)
(1,30)
(2,30)
(3,30)
1
(29,1)
(30,1)
(1,1)
(2,1)
(3,1)
2
(29,2)
(30,2)
(1,2)
(2,2)
(3,2)
3
(29,3)
(30,3)
(1,3)
(2,3)
(3,3)
由表格可知一共有25秒等可能性的结果数，其中两人选择同一天参观的结果数有5种，
∴两人选择同一天参观的概率为525=15．
(1)直接根据概率公式求解即可；
(2)列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与古典概型的求解方法．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】解：如图所示，过点P做PQ⊥AB，再令木杆顶点为点E，秦飞的眼睛为点F，
由平面镜反射定律可知∠FCT=∠ECS．
∴△FTC∽△ESC，
∴ESSC=FTTC．
设SC=x，则CT=9−x，FT=1．
∴2．2x=19−x，
解得x=6．
又由太阳光线同时刻平行得△ESC∽△AQP，
∴ESSC=AQQP，即26=AQ21，
∴AQ=7，
∵BQ=NP=5，
∴AB=AQ+BQ=12米，
答：树AB的高为12米．
【解析】过点P做PQ⊥AB，再令木杆顶点为点E，秦飞的眼睛为点F，根据相似三角形的判定与性质可得ESSC=FTTC，设SC=x，则CT=9−x，ES=2.FT=1.再次由相似三角形的的判定与性质可得答案．
此题考查的是相似三角形的判定与性质、平行投影，正确作出辅助线是解决此题的关键．
22.【答案】解：(1)由题意得AB+AD+BC=21，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC=x米，
∴x+x+y=21，
∴y=21−2x．
(2)由题意得0
∵y=21−2x，−2<0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=8时，y最小值=21−2x=21−2×8=5(米)，
答：AB边长度的最小值5米．
【解析】(1)由题意得AB+AD+BC=21，即x+x+y=21，整理后即可得到结果．
(2)由题意得0
23.【答案】108° B B
【解析】解：(1)由题意知，选择A套餐的人数为240×25%=60(人)，
∴选择C套餐的人数为240−(60+84+24)=72(人)，
360°×72240=108°，
补全条形统计图如下：
故答案为：108°；
(2)中位数为第120和第121个的平均数，第120和第121个都在B组，所以此次抽样调查的中位数落在B组；B组人数最多，所以众数落在B组；
故答案为：B，B；
(3)960×24240=96(人)，
答：估计全校960名学生中最喜欢D套餐的人数为96人．
(1)用被调查的总人数乘以A对应的百分比求出其对应人数，再用被调查的总人数减去选择A、B、D人数求出C套餐人数，据此即可补全条形统计图，用360°乘以选择C套餐人数所占百分比即可；
(2)根据中位数和众数的定义即可得出答案；
(3)用总人数乘以样本中选择D套餐人数所占比例即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
24.【答案】(1)证明：∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°．
∵∠CDB=∠CBE，
而∠CDB=∠CAB，
∴∠CBE=∠CAB，
∴∠CBE+∠ABC=90°，
即∠ABE=90°，
又BE经过半径OB的外端，
∴BE为⊙O切线．
(2)解：由(1)得∠BAC=∠CBE，∠BCE=90°，
而tan∠BAC=43，
∴tan∠BAC=tan∠CBE=43，
在Rt△BCE中BC=2，
∵tan∠CBE=CECB，
∴CE=2tan∠CBE=2×43=83，
由勾股定理得BE2=CE2+BC2，
∴BE=103，
∴BE的长为103．
【解析】(1)首先由AB为⊙O直径得到∠CAB+∠ABC=90°，然后利用已知条件可以证明∠ABE=90°，从而解决问题；
(2)首先利用已知条件可以求出CE，然后利用勾股定理即可求解．
此题主要考查了切线的判定和性质，同时也利用了圆周角定理、勾股定理及解直角三角形，有一定的综合性．
25.【答案】解：(1)根据题意可得：y=(140−x−100)(20+2x)=−2x2+60x+800，
∴y与x的函数关系式为y=−2x2+60x+800；
(2)∵y=−2x2+60x+800=−2(x−15)2+1250，
且−2<0，
∴当x=15时，y取最大值，最大值为1250元，
答：当每套书降价15元时，书店可获得最大利润，最大利润为1250元．
【解析】(1)由总利润=每套利润×销售量可列出函数关系式；
(2)根据二次函数性质可得答案．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
26.【答案】4
【解析】解：(1)如图1，连接PO交⊙O于A′，则PA′最小，
∵PO=6，OA′=2，
∴PA′=4．
故答案为：4；
(2)如图2，将△BPC绕点B顺时针旋转60°至△BP′C′，连接PP′，CC′，AC′，
∴△BPC≌△BP′C′，
∴PC=P′C′，BP=BP′，
∴△BPP′为等边三角形，
∴PP′=PB，
∴PA+PB+PC=PA+PP′+P′C′，
由两点间线段最短得PA+PP′+P′C′的最小值就是AC′的长，
∵△ABC为等边三角形，
∴四边形ABC′C为菱形且∠ABC′=120°，AB=4，
∴AC′= 3AB，
∴AC′=4 3，
∴PA+PB+PC的最小值为4 3；
(3)如图3，连接AB，将△APB绕点A顺时针旋转60°至△AP′B′位置，连接P′P、BB′．
此时PA+PB+PD=P′P+P′B′+PD，
取AB的中点O，连接B′O并延长交半圆于点D′，
∴B′D′的长即为PA+PB+PD的最小值．
∵△ABB′为等边三角角，AB=20km，
∴B′O= 3OB= 3×12AB=10 3km，
∴B′D′=10 3+10=10( 3+1)km，
∴PA+PB+PD的最小值为10( 3+1)km．
(1)连接PO交⊙O于A′，则PA′最小；
(2)将△BPC绕点B顺时针旋转60°至△BP′C′，连接PP′，CC′，AC′，得到△BPC≌△BP′C′，PC=P′C′，PP′=PB，由两点间线段最短得PA+PP′+P′C′的最小值就是AC′的长，在△ABC′中求出AC′即可；
(3)连接AB，将△APB绕点A顺时针旋转60°至△AP′B′位置，连接P′P、BB′，此时PA+PB+PD=P′P+P′B′+PD，在等边三角形ABB′中求出OB′，再求出B′D′即可
本题考查了辅助线构图的能力，等边三角形的性质、圆的性质的应用是解题关键．
2023年陕西省宝鸡市陇县中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各数中不是有理数的是( )
A. 3.14 B. 4 C. 2 D. −1
2. 下列各字母既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. M B. K C. O D. N
3. 若单项式−2xmy3与ynx2的和仍为单项式，则mn的值为( )
A. 8 B. 6 C. 9 D. 27
4. 在四边形ABCD中，连接AC与BD，若AC⊥BD，且AC=4，BD=6，则四边形ABCD的面积是( )
A. 24 B. 18 C. 15 D. 12
5. 如图所示，在△ABC中，已知AB=AC，AD⊥BC，若BD=1，sin∠BAD=13，则sin∠BAC=( )
A. 2 23
B. 4 29
C. 16
D. 23
6. 如图所示，在平面直角坐标系中有线段AB，其中A，B两点的坐标分别为(−4,1)，(−1,6)，若一次函数y=kx−2的图象与线段AB有交点，则系数k的取值范围是( )
A. 34
C. −8
7. 如图所示，△ABC内接于⊙O，点M为△ABC的内心，若∠C=80°，则∠MAN的度数是( )
A. 50°
B. 55°
C. 60°
D. 80°
8. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列说法正确的有( )
①abc>0；②a−b+c=0；③2a+b=0；④若ax2+bx+c−k=0有两个实数根，则k<4．
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
9. 已知x= 2+1，y= 2−1，则x2−y2= ______ ．
10. 如图所示，正五边形ABCDE与正方形CDNM的摆放位置如图所示，连接NE，则∠DNE的度数等于______ ．
11. 中国经济高质量发展，2022年我国国内生产总值约为1210000亿元，用科学记数法表示2022年我国国内生产总值约为______ 元.
12. 如图所示，点A在反比例函数y=kx的图象上，过点A作AM⊥x轴于点M，点B在y轴负半轴上，连接AB交x轴于点C，已知BC=2AC，若△AOB的面积为6，则k的值为______ ．
13. 如图所示，在Rt△ABC中，AC=BC=4，P为AC延长线上一动点，以CP为边在AP上方作正方形CPMN，连接BM，AM，则△ABM的面积为______ ．
三、解答题（本大题共13小题，共81.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
14. (本小题5.0分)
计算：(π−3.14)0−|2− 3|+(−12)−2．
15. (本小题5.0分)
解不等式组：2(x−2)≤2−xx+22−x3<1，并在数轴上画出不等式组的解集．
16. (本小题5.0分)
解分式方程：xx−1−4x2−1=1．
17. (本小题5.0分)
如图，已知在∠ABC中有DE//BC交AB于点M，请用尺规作图法在射线ME上确定一点P，使得△BMP为等腰三角形．
18. (本小题5.0分)
如图所示，△ABC与△DAE均为等腰直角三角形，连接DC，BE.求证：DC=BE．
19. (本小题5.0分)
如图所示，矩形A′B′C′D′和矩形ABCD位似，已知矩形ABCD周长为12，AD=2，A′D′=4．
(1)画出两个矩形的位似中心P点；
(2)求矩形A′B′C′D′的面积．
20. (本小题5.0分)
2023年的五一劳动节放五天调休假，分别是四月的29号、30号，以及五月的1号、2号、3号，班主任王老师除了给全班同学布置了适量的书面作业外，还组织同学们利用假期，自行前往市科技馆参观学习．
(1)李明同学计划利用一天的假期完成老师布置的书面作业，请问他选择5月1日完成作业的概率为______ ；
(2)五天小长假期间，李明和赵雷都计划前往市科技馆参观，请你用列表或画树状图法求一下两人选择同一天参观的概率．
21. (本小题6.0分)
为了开展趣味学习活动，张教师带领学生们在操场上利用所学的知识测量一棵树的高度.如图，某一时刻树AB在太阳光照下，一部分影子NP落在了墙MN上，另一部分树影BN落在了地面上，张老师在树另一侧的地面C点放置一平面镜，在平面镜左侧点S处竖直放置了一根木杆，秦飞同学在平面镜右侧的点T处刚好可从平面镜中观察到木杆的顶端.与此同时，秦飞发现木杆影子的顶端恰好落在平面镜C点处.现测得木杆高2米，秦飞的眼睛距地面为1米，ST长为9米，树影NP为5米，BN为21米，求树AB的高.(平面镜大小忽略不计)
22. (本小题7.0分)
为了方便同学们练习排球，学校将操场的一处靠墙空地进行了改造，计划用21米长的网布围出一个如图所示的矩形场地ABCD，其中CD边为墙壁，剩余三条边为网布所围.设BC边为x米，AB边为y米．
(1)写出y与x的函数表达式；
(2)已知墙长7米，且距离墙8米处有障碍物，排球练习场地必须安排在墙壁与障碍物之间的空地处，则AB边长度的最小值为多少？
23. (本小题7.0分)
新学期伊始，某中学食堂为全校师生提供了A，B，C，D四种午饭套餐，为了解学生们对这四种套餐的喜好情况，学校随机抽取240名学生进行“你最喜欢哪一种套餐(必选且只选一种)”问卷调查，根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如图．
(1)请补全条形统计图，扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小为______ ；
(2)此次抽样调查的中位数落在______ 组，众数落在______ 组；
(3)依据本次调查的结果，估计全校960名学生中最喜欢D套餐的人数．
24. (本小题8.0分)
如图所示，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O直径，BE交AC延长线于点E，D为AC上一点，连接BD，DC，已知∠BDC=∠CBE．
(1)求证：BE为⊙O切线；
(2)若tan∠BAC=43，BC=2，求BE的长．
25. (本小题8.0分)
新华书店销售一个系列的儿童书刊，每套进价100元，定价为140元，一天可以销售20套.为了扩大销售，增加盈利，减少库存，书店决定采取降价措施，若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套.设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元．
(1)求出y与x的函数关系式；
(2)当每套书降价多少元时，书店可获得最大利润？最大利润为多少？
26. (本小题10.0分)
问题提出：
(1)如图1所示，已知A为⊙O上一点，P为⊙O外一点，若PO=6，⊙O的半径为2，则PA的最小值为______ ；
问题探究：
(2)如图2所示，P为等边三角形ABC内一点，若AB=4，求PA+PB+PC的最小值；
问题解决：
(3)由于网购的方便与快捷，极大地促进了物流行业的发展，如图3所示，一条半圆形公路连接着A，B两座城市(AB=20km).物流公司沿半圆形公路在A，B两地之间进行物流运送.点D为一辆等在半圆形公路上的物流车，随时接收从外地运来的货物以便及时送到A，B两地.为了节约资金，提高物流中转的效率，现需在这个区域内建一个物流中转站P，要求物流中转站P到A，B两城市及半圆形公路上点D的距离之和最小，请帮物流公司求出这个距离和的最小值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.3.14是小数，属于有理数，故本选项不合题意；
B. 4=2是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
C. 2是无理数，故本选项符合题意；
D.−1是整数，属于有理数，故本选项不合题意．
故选：C．
根据有理数分为整数和分数进行判断即可．
本题考查了有理数的概念，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A.“M”是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.“K”不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C.“O”既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D.“N”不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3.【答案】A
【解析】解：∵单项式−2xmy3与ynx2的和仍是单项式，
∴它们是同类项，
∴m=2，n=3，
则mn=23=8，
故选：A．
由题意可得两个单项式为同类项从而求得m，n的值，然后代入mn中计算即可．
本题考查同类项及合并同类项的定义，根据合并同类项的定义得出两单项式为同类项是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：设AC交BD于O，
∵AC⊥BD，AC=4，BD=6，
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△CBD
=12BD⋅AO+12BD⋅CO
=12BD⋅(AO+CO)
=12BD⋅AC
=12×6×4
=12．
故选：D．
根据三角形的面积公式求出四边形ABCD的面积=12BD⋅AC，再代入求出答案即可．
本题考查了三角形的面积，能求出对角线互相垂直的四边形ABCD的面积=12BD⋅AC是解此题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：如图，过点B作BE⊥AC于E，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴sin∠BAD=BDAB=1AB=13，
∴AB=3，
∴AC=AB=3，
由勾股定理得，AD= AB2−BD2= 32−12=2 2，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BC=2BD=2，
由S△ABC=12BC⋅AD=12AC⋅BE得，
BE=BC⋅ADAC=2×2 23=4 23，
∴sin∠BAC=BEAB=4 233=4 29，
故选：B．
过点B作BE⊥AC于E，由sin∠BAD=BDAB=1AB=13求出AB，再利用勾股定理求出AD，由S△ABC=12BC⋅AD=12AC⋅BE求出BE，则sin∠BAC=BEAB，从而求出结果．
本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，正确添加辅助线，构造直角三角形，利用三角函数的定义求解是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：把A(−4,1)代入y=kx−2得−4k−2=1，解得k=−34；
把B(−1,6)代入y=kx−2得−k−2=6，解得k=−8，
所以当一次函数y=kx−2的图象与线段AB有交点时，−8≤k≤−34．
故选：D．
把A点和B点坐标分别代入计算出对应的k的值，然后利用一次函数图象与系数的关系确定k的范围．
本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于一次函数y=kx+b，若k>0，b>0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限；k>0，b<0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限；k<0，b>0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限；k<0，b<0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限．
7.【答案】A
【解析】解：在△ABC中，∠C=80°，
∴∠BAC+∠ABC=100°，
∴∠ANB=80°，
∵M为△ABC的内心，
∴AM、BM为∠BAC、∠ABC的平分线，
∴∠BAM=12∠BAC，∠ABM=12∠ABC，
∴∠BAM+∠ABM=12(∠BAC+∠ABC)=12(180°−∠C)=50°，
∴∠AMN=50°，
在△AMN中，∠MAN=180°−(∠AMN+∠ANM)=180°−50°−80°=50°．
故选：A．
根据三角形内角和定理得∠BAC∠+∠CBA=180°−∠C=100°，由M为△ABC内心，得AM、BM为∠CAB、∠ABC的平分线，则有∠BAM+∠ABM=12(∠ABC+∠BAC)=12(180°−∠C)=50°，根据三角形外角的性质得∠AMN=∠BAM+∠ABM，再根据三角形内角和定理即可解答．
本题考查了圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，三角形内角和定理，外角的性质，三角形内心的性质是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵图象开口向下，与y轴交点在y轴正半轴，
∴a<0，c>0，
∵对称轴x=−b2a=1，
∴b=−2a>0，
∴abc<0，
∴①错误；
∵抛物线对称轴为直线x=1，且过点(3,0)，
∴二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点(−1,0)，
∴a−b+c=0，
∴②正确；
∵b=−2a，
∴2a+b=0，
∴③正确；
∵ax2+bx+c−k=0有两个实数根，
∴函数y=ax2+bx+c与直线y=k有两个或一个交点，
∵顶点为(1,4)，
∴k≤4，
∴④错误．
故选：C．
根据函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标以及抛物线与坐标轴的交点逐项分析即可．
本题考查二次函数的图象与系数的关系以及二次函数的性质，关键是对二次函数对称轴、交点坐标、开口方向等知识的运用．
9.【答案】4 2
【解析】解：∵x= 2+1，y= 2−1，
∴x+y=2 2，x−y=2，
∴x2−y2=(x−y)(x+y)
=2×2 2
=4 2．
故答案为4 2．
先计算出x+y=2 2，x−y=2，在利用平方差公式把x2−y2变形为(x−y)(x+y)，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
10.【答案】9°
【解析】解：在正五边形ABCDE中，∠CDE=(5−2)⋅180°÷5=108°，
∵正方形CDNM中∠CDN=90°，
∴∠NDE=360°−∠CDE−∠CDN=360°−108°−90°=162°，
∵DE=CD=DN，
∴∠DNE=∠DEN=180°−162°2=9°，
故答案为：9°．
首先利用多边形内角和公式及正多边形性质求得∠CDE的度数，再结合正方形性质易得∠EDN的度数，最后根据等边对等角及三角形内角和定理即可求得答案．
本题主要考查正多边形的性质，利用多边形内角和公式及正多边形性质求得∠NDE的度数是解题的关键．
11.【答案】1.21×1014
【解析】解：1210000亿=121000000000000=1.21×1014．
故答案为：1.21×1014．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12.【答案】−6
【解析】解：∵∠AMC=∠BOC=90°，∠ACM=∠BCO，
∴△AMC∽△BOC，而BC=2AC，
∴MCOC=AMOB=ACBC=12，
设MC=a，AM=b，则OC=2a，OB=2b，
∴OM=3a，
∴点A(−3a,b)，
∵点A在反比例函数y=kx的图象上，
∴k=−3ab，
∵S△AOB=6=12×2b×3a，
∴3ab=6，
∴k=−3ab=−6，
故答案为：−6．
根据相似三角形的性质得出MCOC=AMOB=ACBC=12，设MC=a，AM=b，进而表示OC=2a，OB=2b，OM=3a，由三角形的面积公式得出3ab=6，再由反比例函数系数k的几何意义得出答案．
本题考查反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的性质，理解反比例函数系数k的几何意义，掌握相似三角形的判定和性质是正确解答的关键．
13.【答案】8
【解析】解：设正方形CPMN的边长位x，则AP=4+x，
∴S△APM=12x(4+x)，S梯形BCPM=x(x+4)2，
∴S△ABM
=S△ABC+S梯形BCPM−S△APM
=12×4×4+x(x+4)2−12x(4+x)
=8+12x2+2x−12x2−2x
=8，
故答案为：8．
设正方形CPMN的边长位x，由S△ABM=S△ABC+S梯形BCPM−S△APM可得答案．
本题考查正方形的性质，解题的关键是把所求图形面积转化为S△ABC+S梯形BCPM−S△APM．
14.【答案】解：(π−3.14)0−|2− 3|+(−12)−2
=1−2+ 3+4
=3+ 3．
【解析】先计算零次幂、负整数指数幂、绝对值，再计算乘法，最后计算加减．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．
15.【答案】解：解不等式2(x−2)≤2−x得x≤2，
解不等式x+22−x3<1得x<0，
则不等式组的解集为x<0；
将解集表示在数轴上表示如下：
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16.【答案】解：去分母，得
x(x+1)−4=(x+1)(x−1)，
去括号，得x2+x−4=x2−1，
整理，得x=3
经检验，x=3为原方程的解．
故原方程的解为x=3．
【解析】根据等式的性质，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案．
本题考查了解分式方程，利用等式的性质得出整式方程是解题关键．
17.【答案】解：如图所示，点P即为所求作．
【解析】作∠ABC的平分线，与DE的交点即为所求．
本题考查了复杂作图，掌握平行的性质及角平分线的性质是解题的关键．
18.【答案】证明：∵△ABC与△DAE均为等腰直角三角形，
∴AB=AC，AE=AD，∠EAD=∠BAC=90°．
∴∠DAE+∠EAC=∠BAC+∠EAC．
即∠BAE=∠DAC，
在△DAC和△BAE中，
AE=AD∠BAE=∠CADAB=AC，
∴△DAC≌△BAE(SAS)．
∴CD=BE．
【解析】由等腰直角三角形的性质得出AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=90°.证出∠BAE=∠DAC，证明△DAC≌△BAE(SAS)，由全等三角形的性质可得出结论．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，证明△DAC≌△BAE是解题的关键．
19.【答案】解：(1)如图所示，点P即为所求作．
(2)∵矩形ABCD周长为12，且AD=2，
∴AB=4，
又∵矩形ABCD与矩形A′B′C′D′位似，
∴ADA′D′=12，
∴S矩形ABCD：S矩形A′B′C′D′=(ADA′D′)2=(12)2=14，
∵S矩形ABCD=2×4=8，
∴S矩形A′B′C′D′=8×4=32．
【解析】(1)连接AA′，DD′交于点P，于是得到两个矩形的位似中心P点；
(2)根据矩形的周长公式得到AB=4，根据相似形的性质即可得到结论．
本题考查了作图−位似变换，矩形的性质，相似形的性质，正确地作出图形是解题的关键．
20.【答案】15
【解析】解：(1)李明同学计划利用一天的假期完成老师布置的书面作业，他选择5月1日完成作业的概率为15，
故答案为：15；
(2)列表如下：
29
30
1
2
3
29
(29,29)
(30,29)
(1,29)
(2,29)
(3,29)
30
(29,30)
(30,30)
(1,30)
(2,30)
(3,30)
1
(29,1)
(30,1)
(1,1)
(2,1)
(3,1)
2
(29,2)
(30,2)
(1,2)
(2,2)
(3,2)
3
(29,3)
(30,3)
(1,3)
(2,3)
(3,3)
由表格可知一共有25秒等可能性的结果数，其中两人选择同一天参观的结果数有5种，
∴两人选择同一天参观的概率为525=15．
(1)直接根据概率公式求解即可；
(2)列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与古典概型的求解方法．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】解：如图所示，过点P做PQ⊥AB，再令木杆顶点为点E，秦飞的眼睛为点F，
由平面镜反射定律可知∠FCT=∠ECS．
∴△FTC∽△ESC，
∴ESSC=FTTC．
设SC=x，则CT=9−x，FT=1．
∴2．2x=19−x，
解得x=6．
又由太阳光线同时刻平行得△ESC∽△AQP，
∴ESSC=AQQP，即26=AQ21，
∴AQ=7，
∵BQ=NP=5，
∴AB=AQ+BQ=12米，
答：树AB的高为12米．
【解析】过点P做PQ⊥AB，再令木杆顶点为点E，秦飞的眼睛为点F，根据相似三角形的判定与性质可得ESSC=FTTC，设SC=x，则CT=9−x，ES=2.FT=1.再次由相似三角形的的判定与性质可得答案．
此题考查的是相似三角形的判定与性质、平行投影，正确作出辅助线是解决此题的关键．
22.【答案】解：(1)由题意得AB+AD+BC=21，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC=x米，
∴x+x+y=21，
∴y=21−2x．
(2)由题意得0
∵y=21−2x，−2<0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=8时，y最小值=21−2x=21−2×8=5(米)，
答：AB边长度的最小值5米．
【解析】(1)由题意得AB+AD+BC=21，即x+x+y=21，整理后即可得到结果．
(2)由题意得0
23.【答案】108° B B
【解析】解：(1)由题意知，选择A套餐的人数为240×25%=60(人)，
∴选择C套餐的人数为240−(60+84+24)=72(人)，
360°×72240=108°，
补全条形统计图如下：
故答案为：108°；
(2)中位数为第120和第121个的平均数，第120和第121个都在B组，所以此次抽样调查的中位数落在B组；B组人数最多，所以众数落在B组；
故答案为：B，B；
(3)960×24240=96(人)，
答：估计全校960名学生中最喜欢D套餐的人数为96人．
(1)用被调查的总人数乘以A对应的百分比求出其对应人数，再用被调查的总人数减去选择A、B、D人数求出C套餐人数，据此即可补全条形统计图，用360°乘以选择C套餐人数所占百分比即可；
(2)根据中位数和众数的定义即可得出答案；
(3)用总人数乘以样本中选择D套餐人数所占比例即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
24.【答案】(1)证明：∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°．
∵∠CDB=∠CBE，
而∠CDB=∠CAB，
∴∠CBE=∠CAB，
∴∠CBE+∠ABC=90°，
即∠ABE=90°，
又BE经过半径OB的外端，
∴BE为⊙O切线．
(2)解：由(1)得∠BAC=∠CBE，∠BCE=90°，
而tan∠BAC=43，
∴tan∠BAC=tan∠CBE=43，
在Rt△BCE中BC=2，
∵tan∠CBE=CECB，
∴CE=2tan∠CBE=2×43=83，
由勾股定理得BE2=CE2+BC2，
∴BE=103，
∴BE的长为103．
【解析】(1)首先由AB为⊙O直径得到∠CAB+∠ABC=90°，然后利用已知条件可以证明∠ABE=90°，从而解决问题；
(2)首先利用已知条件可以求出CE，然后利用勾股定理即可求解．
此题主要考查了切线的判定和性质，同时也利用了圆周角定理、勾股定理及解直角三角形，有一定的综合性．
25.【答案】解：(1)根据题意可得：y=(140−x−100)(20+2x)=−2x2+60x+800，
∴y与x的函数关系式为y=−2x2+60x+800；
(2)∵y=−2x2+60x+800=−2(x−15)2+1250，
且−2<0，
∴当x=15时，y取最大值，最大值为1250元，
答：当每套书降价15元时，书店可获得最大利润，最大利润为1250元．
【解析】(1)由总利润=每套利润×销售量可列出函数关系式；
(2)根据二次函数性质可得答案．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
26.【答案】4
【解析】解：(1)如图1，连接PO交⊙O于A′，则PA′最小，
∵PO=6，OA′=2，
∴PA′=4．
故答案为：4；
(2)如图2，将△BPC绕点B顺时针旋转60°至△BP′C′，连接PP′，CC′，AC′，
∴△BPC≌△BP′C′，
∴PC=P′C′，BP=BP′，
∴△BPP′为等边三角形，
∴PP′=PB，
∴PA+PB+PC=PA+PP′+P′C′，
由两点间线段最短得PA+PP′+P′C′的最小值就是AC′的长，
∵△ABC为等边三角形，
∴四边形ABC′C为菱形且∠ABC′=120°，AB=4，
∴AC′= 3AB，
∴AC′=4 3，
∴PA+PB+PC的最小值为4 3；
(3)如图3，连接AB，将△APB绕点A顺时针旋转60°至△AP′B′位置，连接P′P、BB′．
此时PA+PB+PD=P′P+P′B′+PD，
取AB的中点O，连接B′O并延长交半圆于点D′，
∴B′D′的长即为PA+PB+PD的最小值．
∵△ABB′为等边三角角，AB=20km，
∴B′O= 3OB= 3×12AB=10 3km，
∴B′D′=10 3+10=10( 3+1)km，
∴PA+PB+PD的最小值为10( 3+1)km．
(1)连接PO交⊙O于A′，则PA′最小；
(2)将△BPC绕点B顺时针旋转60°至△BP′C′，连接PP′，CC′，AC′，得到△BPC≌△BP′C′，PC=P′C′，PP′=PB，由两点间线段最短得PA+PP′+P′C′的最小值就是AC′的长，在△ABC′中求出AC′即可；
(3)连接AB，将△APB绕点A顺时针旋转60°至△AP′B′位置，连接P′P、BB′，此时PA+PB+PD=P′P+P′B′+PD，在等边三角形ABB′中求出OB′，再求出B′D′即可
本题考查了辅助线构图的能力，等边三角形的性质、圆的性质的应用是解题关键．
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