山西省忻州市原平市2023届中考（一模）数学试题

山西省忻州市原平市2023届中考（一模）数学试题

一、单选题

1．（2023·山西忻州·统考一模）的绝对值为（　　）

A． B． C． D．

2．（2023·山西忻州·统考一模）如图所示的是由4个大小相同的小正方体搭建而成的几何体，则该几何体的左视图为（　　）

A． B． C． D．

3．（2023·山西忻州·统考一模）2022年12月26日是伟大领袖毛主席诞辰129周年纪念日，伟人在他的诗词中写道“坐地日行八万里，巡天遥看一千河”，那么数据“八万里”用科学记数法可表示为（　　）

A．里 B．里 C．里 D．里

4．（2023·山西忻州·统考一模）下列运算正确的是（　　）

A． B．

C． D．

5．（2023·山西忻州·统考一模）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段，则线段的长是（　　）

A． B． C． D．2

6．（2023·山西忻州·统考一模）将不等式组的解集在数轴上表示，正确的是（　　）

A．

B．

C．

D．

7．（2023·山西忻州·统考一模）小明坚持每天进行体育锻炼，如表是小明近一周的体育锻炼时间表：

则这组数据的中位数和众数分别是（　　）A．， B．， C．，              D．，

8．（2023·山西忻州·统考一模）如图，点A，B，C均在⊙O上，若，则的度数是（　　）

A． B． C． D．

9．（2023·山西忻州·统考一模）在2023年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y（单位：米）与飞行的水平距离x（单位：米）之间具有函数关系，则小康这次实心球训练的成绩为（　　）

A．14米 B．12米 C．11米 D．10米

10．（2023·山西忻州·统考一模）如图，四边形是菱形，，，扇形的半径为4，圆心角为，则图中阴影部分的面积是（　　）

A． B． C． D．

二、填空题

11．（2023·山西忻州·统考一模）计算：____．

12．（2023·山西忻州·统考一模）如图所示的是一组有规律的图案，则第n个图案中“”的个数为_____．（用含n的代数式表示）

13．（2023·山西忻州·统考一模）如图，直线与反比例函数的图象交于点A，B，与x轴交于点D，过点A作轴于点C，若，则k=______．

14．（2023·山西忻州·统考一模）年元旦期间，小华和家人到汾河公园景区游玩，湖边有大小两种游船，小华发现：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．则1艘大船可以满载游客的人数为_____．

15．（2023·山西忻州·统考一模）如图，在菱形中，边长为，，E，F分别是边上的点，且，若将沿着折叠，使得点B恰好落在边上的点处，，折痕为，则的长为______．

三、解答题

16．（2023·山西忻州·统考一模）（1）计算：；

（2）解方程：．

17．（2023·山西忻州·统考一模）如图，在中，．

(1)以为直径，利用尺规作交于点D．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）

(2)在（1）中所作的图中，若，，求的半径．

18．（2023·山西忻州·统考一模）布艺手袋因节能时尚，成为学生一族的新宠．该商店用1200元购进第一批布艺手袋，很快售罄，于是又花费4500元购进第二批布艺手袋，所购数量是第一批的2倍，已知第二批布艺手袋的单价比第一批布艺手袋的单价贵7元，求第一批购进的布艺手袋的单价．

19．（2023·山西忻州·统考一模）为了贯彻落实国务院提出的“健康第一”的指导思想，切实加强学校体育工作，使学生养成良好的锻炼习惯，提高学生体质的健康水平，《国家中学生体质健康标准》规定学生体质健康等级标准如表：

太原市某校从九年级学生中随机抽取了400名学生进行了体质测试，将调查结果整理后绘制成如图所示的两幅统计图，根据统计图提供的信息解答下列问题：

(1)在这被抽查的九年级学生中，优秀的有_____人，及格的有______人．

(2)求所抽取的400名学生的平均分．

(3)该校校委会决定从获得优秀奖成绩前三名学生中选取2名同学参加省体质测试，已知前三名学生中只有1名男生，请用列表或画树状图的方法求所选的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率．

20．（2023·山西忻州·统考一模）阅读与思考．

阅读下列材料，并完成相应的任务．

(1)根据材料中的方法，请写出完整的证明过程．

(2)如图2，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，我们把这样的直角三角形称为“勾股形”，图3是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成的矩形，若，求该矩形的面积．

21．（2023·山西忻州·统考一模）如图1所示的是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部组成，图2是它的简易平面图．小明想知道灯管距地面的高度，他在地面处测得灯管的仰角为，在地面处测得在灯管仰角为，并测得，已知点，，在同一条直线上，请根据以上数据帮小明算出灯管距地面的高度（结果精确到，参考数据：，，）．

22．（2023·山西忻州·统考一模）综合与实践

问题情境：如图1，在中，，，D，E分别是，的中点，连接．

(1)如图2，将绕着点C逆时针旋转，连接BE和，小明发现，，请你证明该结论．

猜想探究：

(2)如图3，将绕着点C逆时针旋转，此时恰好有，连接，延长，交于点F，试猜想四边形的形状，并说明理由．

拓展探究：

(3)如图4，将绕着点C逆时针旋转，直接写出四边形的面积的最大值．

23．（2023·山西忻州·统考一模）综合与探究．

如图1，抛物线经过，，且与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连接，．

(1)求抛物线的表达式．

(2)求证：．

(3)如图2，动点P从点B出发，沿着线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动；同时，动点Q从点A出发，以相同的速度沿着线段向终点C运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，连接，设P，Q运动的时间为t秒，在点P，Q运动的过程中，是否成为等腰三角形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．

参考答案：

1．D

【分析】利用绝对值的定义即可求解．

【详解】解：的绝对值为6．

故选：D．

【点睛】此题主要考查了绝对值的定义，比较简单．

2．C

【分析】根据从左面向右看的视图是左视图进行判断即可．

【详解】解：由题意知，几何体的左视图为，

故选：C．

【点睛】本题主要考查三视图的知识，熟练掌握三视图的知识是解题的关键．

3．A

【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数．

【详解】解：八万里＝80000里＝里，

故选：A．

【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键是要正确确定a的值以及n的值．

4．B

【分析】根据合并同类项的方法可以判断选项A；根据单项式的除法可以判断选项B；根据完全平方公式可以判断选项C；根据积的乘方可以判断选项D．

【详解】解：，故选项A错误，不符合题意；

，故选项B正确，符合题意；

，故选项C错误，不符合题意；

，故选项D错误，不符合题意；

故选：B．

【点睛】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．

5．B

【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．

【详解】解：∵五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，

∴，

∵，

∴，

故选：B．

【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．

6．C

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．

【详解】解：由，得：，

由，得：，

则不等式组的解集为，

故选：C．

【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

7．C

【分析】根据中位数、众数的定义即可求得．

【详解】解：观察数据可知，出现三次，故众数为；

将数据从小到大排列为：、、、、、、，则中位数为．

故选：C．

【点睛】本题主要考查众数与中位数，掌握众数与中位数的定义并应用是解题的关键．

8．D

【分析】由圆周角定理得到，由等腰三角形的性质即可求出∠OAC的度数．

【详解】解：∵，，

∴，

∵，

∴．

故选：D．

【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，关键是掌握圆周角定理．

9．B

【分析】根据铅球落地时，高度，把实际问题可理解为当时，求x的值即可．

【详解】解：当时，则，

解得（舍去）或．

故选：B．

【点睛】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．

10．A

【分析】根据菱形的性质得出是等边三角形，进而利用全等三角形的判定得出，得出四边形的面积等于的面积，进而求出即可．

【详解】解：连接，

∵四边形是菱形，，

∴，，

∴是等边三角形，

∵，

∴的高为，

∵扇形的半径为4，圆心角为，

∴，，

∴，

设、相交于点G，设、相交于点H，

在和中，

，

∴，

∴四边形的面积等于的面积，

∴图中阴影部分的面积是：．

故选：A．

【点睛】此题主要考查了扇形的面积计算以及全等三角形的判定与性质等知识，根据已知得出四边形的面积等于的面积是解题关键．

11．

【分析】利用二次根式的性质化简，再相减．

【详解】解：

故答案是：．

【点睛】本题考查了二次根式的减法，解题的关键是掌握二次根式的化简及性质．

12．##

【分析】观察图形，发现每个图案都是正方形，找到每一边上“”与n的关系即可解决．

【详解】观察图形，找出规律即可．

观察发现：

第一个图形有个，

第二个图形有个，

第三个图形有个，

…，

第n个图形个，

故答案为：或．

【点睛】本题考查图形的变化规律，从简单情形入手，找到一般规律，利用规律，解决问题．

13．

【分析】连接，由轴于点C，得出轴，即可得出，再根据反比例函数系数k的几何意义即可得出，解得．

【详解】解：连接，

∵过点A作轴于点C，

∴轴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴．

故答案为：．

【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了同底等高的三角形面积相等，反比例函数系数k的几何意义，明确是解题的关键．

14．人

【分析】设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，由题意：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．列出二元一次方程组，解方程组即可．

【详解】解：设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，

依题意得：，

解得：，

即1艘大船可以满载游客的人数为人，

故答案为：人．

【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

15．2

【分析】过点作，交的延长线于点G，先求出，再证明，设，则，，在中，由勾股定理得，解方程求出，则．

【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点G，则，

∵，

∴，

由折叠的性质得，，

∵四边形是菱形，，

∴，

∴，

∴，

设，则，

∴，

在中，由勾股定理得，

∴，

∴或（舍去），

∴，

故答案为：2．

【点睛】此题考查了折叠的性质、菱形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质、菱形的性质是解题的关键．

16．（1）；（2）．

【分析】（1）先化简各二次根式、计算零指数幂和负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减即可；

（2）将方程两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．

【详解】（1）原式

；

（2）

，

∴．

【点睛】本题主要考查实数的运算和解一元二次方程，解题的关键是根据方程的特点选择合适的方法求解．

17．(1)见解析；

(2)2．

【分析】（1）先作的垂直平分线得到的中点O，然后以O点为圆心，为半径作圆交于点D；

（2）先利用圆周角定理得到，则利用等角的余角相等得到，所以，然后在中利用正切的定义可求出的长，从而得到的半径．

【详解】（1）如图，

（2）∵为直径，

∴,

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

在中，∵，

而，

∴，

∴的半径为2．

【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理和解直角三角形．

18．8元

【分析】第一批购进的布艺手袋的单价为x元，根据第二批所购数量是第一批的2倍，列分式方程，求解即可．

【详解】解：设第一批购进的布艺手袋的单价为x元，

根据题意，得，

解得，

经检验，是原方程的根，且符合题意，

答：第一批购进的布艺手袋的单价为8元．

【点睛】本题考查了分式方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．

19．(1)120，60；

(2)79.9分；

(3)．

【分析】（1）由被抽查的学生总人数分别乘以各等级的百分比即可；

（2）求出不及格的人数和良好的人数，再由加权平均数的定义列式计算即可；

（3）画树状图，共有6种等可能的结果，其中所选的2名学生恰好是1名男生和1名女生的结果有4种，再由概率公式求解即可．

【详解】（1）解：在这被抽查的九年级学生中，优秀的有：（人），

及格的有：（人），

故答案为：；

（2）不及格的人数有：（人），

良好的人数有：（人），

∴所抽取的400名学生的平均分为：    （分）；

（3）画树状图如下：

共有6种等可能的结果，其中所选的2名学生恰好是1名男生和1名女生的结果有4种，

∴所选的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率为＝

【点睛】本题考查的是用树状图法求概率、加权平均数以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．

20．(1)见解析

(2)60

【分析】（1）根据直角三角形的性质推出，，根据相似三角形的性质结合等式的性质求解即可；

（2）设小正方形的边长为x，则，根据勾股定理求出，再根据矩形面积公式求解即可．

【详解】（1）证明：在中，，于点D，

∴，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∴，

同理，，

∴，

∴，

∴，

∴；

（2）解：设小正方形的边长为x，则，，

∵，

∴，

在中，，

∴，

∴，

∵矩形的面积，

∴矩形的面积．

【点睛】此题考查了相似三角形的判定、勾股定理，熟记相似三角形的判定定理及性质定理、勾股定理是解题的关键．

21．灯管距地面的高度约为

【分析】过点作于点，根据可得，设，则，根据，列出方程求解即可．

【详解】解：如图，过点作于点．

由题意，得，，．

在中，，

∴．

设，则．

在中，，

∴，即，

解得．

答：灯管距地面的高度约为．

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形求解．

22．(1)见解析；

(2)正方形，理由见解析；

(3)．

【分析】（1）延长交于点F，根据证，然后根据角的互余关系得出即可；

（2）利用（1）的结论，有三个角是直角的四边形是矩形，一组邻边相等的矩形是正方形，得出结论即可；

（3）由，可知当点C在线段BE上，且时，四边形的面积有最大值，据此求解即可．

【详解】（1）如图，延长交于点F，交于点G，

∵，都是等腰直角三角形，，，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴；

（2）正方形，理由：

∵，

由（1）知，，

∴四边形是矩形，

∵，

∴四边形是正方形；

（3）由（1）知，，，

∵，

∴当点C在线段BE上，且时，即绕着点C逆时针旋转时，四边形的面积有最大值，

此时，

∴，

即四边形AEDB的面积的最大值为．

【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定，以及三角形三条边的关系，熟练掌握正方形的判定，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键．

23．(1)；

(2)见解析；

(3)存在，或或

【分析】（1）根据待定系数法求解；

（2）根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”进行证明；

（3）分三种情况讨论，分别根据利用平行线的性质，三角形相似的性质分别求解．

【详解】（1）由题意得：，解得：，

∴抛物线的表达式为：；

（2）当时，，

解得：或，

∴，，

当时，，

，

∴，，，

∴，

∵，

∴；

（3）∵，，，

∴，

当时，，解得：；

当时，如图1，

过点Q作于点D，则，

∵，

∴，

∴，即：，

解得：，

当时，如图2，过点P作于点，

则，

∵，，

∴，

∴，即：，

解得：，

综上，当或或时，是等腰三角形．

【点睛】本题考查了二次函数的应用，掌握待定系数法和相似三角形的性质是解题的关键．