2021学年2.2.3 两条直线的位置关系同步达标检测题

课时跟踪检测（十五）  两条直线的位置关系

[A级　基础巩固]

1．直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点的坐标为(　　)

A．(－4，－3)　　　　　　　　  B．(4，3)

C．(－4，3)     D．(3，4)

解析：选C　由方程组得故选C.

2．(多选)下列各直线中，与直线2x－y－3＝0平行的是(　　)

A．2ax－ay＋6＝0(a≠0，a≠－2)

B．y＝2x

C．2x－y＋5＝0

D．2x＋y－3＝0

解析：选ABC　直线2x－y－3＝0的斜率为2，D选项中的直线的斜率为－2，故D项错误．其余的A、B、C均满足斜率相等且截距不相等，故选A、B、C.

3．若原点在直线l上的射影是P(－2，1)，则直线l的方程为(　　)

A．x＋2y＝0     B．y－1＝－2(x＋2)

C．y＝2x＋5     D．y＝2x＋3

解析：选C　∵直线OP的斜率为－，又OP⊥l，∴直线l的斜率为2.∴直线l的点斜式方程为y－1＝2(x＋2)，化简，得y＝2x＋5，故选C.

4．(多选)以A(－1，1)，B(2，－1)，C(1，4)为顶点的三角形，则(　　)

A．kAB＝－

B．kBC＝－

C．以A点为直角顶点的直角三角形

D．以B点为直角顶点的直角三角形

解析：选AC　kBC＝＝－5，kAB＝＝－，kAC＝＝，

∵kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，

∴三角形ABC是以A点为直角顶点的直角三角形．

故A、C正确，B、D错误．

5．直线y－2m＝m(x－1)与y＝x－1垂直，则直线y－2m＝m(x－1)过点(　　)

A．(－1，2)     B．(2，1)

C．(1，－2)     D．(1，2)

解析：选C　由两直线垂直得m＝－1，把m＝－1代入y－2m＝m(x－1)得过点为(1，－2).故选C.

6．已知点M(1，－2)，N(m，2)，若线段MN的垂直平分线的方程是＋y＝1，则实数m的值是________．

解析：由中点坐标公式，得线段MN的中点是.又点在线段MN的垂直平分线上，所以＋0＝1，所以m＝3.

答案：3

7．直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－4k＋m＝0的两根，若l1⊥l2，则m＝________；若l1∥l2，则m＝________．

解析：由一元二次方程根与系数的关系得k1·k2＝，

若l1⊥l2，则＝－1，∴m＝－2.

若l1∥l2则k1＝k2，即关于k的二次方程2k2－4k＋m＝0有两个相等的实根，

∴Δ＝(－4)2－4×2×m＝0，∴m＝2.

答案：－2　2

8．经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0垂直的直线l的方程为____________．

解析：由方程组得

又所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直，故k＝，

∴直线方程为y＋＝，

即5x－15y－18＝0.

答案：5x－15y－18＝0

9．求与直线3x＋4y＋1＝0平行，且在两坐标轴上的截距之和为的直线l的方程．

解：法一：由题意，设直线l的方程为3x＋4y＋m＝0(m≠1)，

令x＝0，得y＝－；令y＝0，得x＝－，

所以－＋＝，解得m＝－4.

所以直线l的方程为3x＋4y－4＝0.

法二：由题意，直线l不过原点，则在两坐标轴上的截距都不为0.可设l的方程为＋＝1(a≠0，b≠0)，则有解得

所以直线l的方程为3x＋4y－4＝0.

10．已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.

(1)判断直线l1与l2是否能平行；

(2)当l1⊥l2时，求a的值．

解：(1)当a＝1时，显然两直线不平行．当a≠1时，将方程ax＋2y＋6＝0化为y＝－x－3，

将方程x＋(a－1)y＋a2－1＝0化为y＝x－a－1.

若直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0平行，则解得a＝－1.

故当a＝－1时，直线l1与l2平行．

(2)当l1⊥l2时，a＋2(a－1)＝0，解得a＝.

[B级　综合运用]

11．已知点A(2，3)，B(－2，6)，C(6，6)，D(10，3)，则以A，B，C，D为顶点的四边形是(　　)

A．梯形     B．平行四边形

C．菱形     D．矩形

解析：选B　如图所示，易知kAB＝－，kBC＝0，kCD＝－，kAD＝0，kBD＝－，kAC＝，所以kAB＝kCD，kBC＝kAD，kAB·kAD＝0，kAC·kBD＝－，故AD∥BC，AB∥CD，AB与AD不垂直，BD与AC不垂直，所以四边形ABCD为平行四边形．

12．无论k为何值，直线(k＋2)x＋(1－k)y－4k－5＝0都过一个定点，则该定点为(　　)

A．(1，3)     B．(－1，3)

C．(3，1)     D．(3，－1)

解析：选D　直线方程可化为(2x＋y－5)＋k(x－y－4)＝0，此直线过直线2x＋y－5＝0和直线x－y－4＝0的交点．由解得因此所求定点为(3，－1).故选D.

13．已知两点A(2，0)，B(3，4)，直线l过点B，且交y轴于点C(0，y)，O是坐标原点，有O，A，B，C四点共圆，那么y的值是________．

解析：由题意知AB⊥BC，∴kAB·kBC＝－1，

即×＝－1，解得y＝.

答案：

14．直线l的倾斜角为30°，点P(2，1)在直线l上，直线l绕点P(2，1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m，2)，试求m的值．

解：如图，直线l1的倾斜角为30°＋30°＝60°，

∴直线l1的斜率k1＝tan 60°＝.

当m＝1时，直线AB的斜率不存在，此时l2的斜率为0，不满足l1∥l2.当m≠1时，直线AB的斜率kAB＝＝，∴线段AB的垂直平分线l2的斜率为k2＝.∵l1与l2平行，∴k1＝k2，即＝，解得m＝4＋.

[C级　拓展探究]

15．已知△ABC的顶点A(3，－1)，AB边上的中线所在直线的方程为6x＋10y－59＝0，∠B的平分线所在直线的方程为x－4y＋10＝0，求BC边所在直线的方程．

解：设A关于∠B的平分线的对称点为A′(x0，y0)，

则

解得即A′(1，7).

设B的坐标为(4a－10，a)，所以AB的中点在直线6x＋10y－59＝0上，

所以6×＋10×－59＝0，

所以a＝5，

即B(10，5).又因为点C在直线A′B上，由直线的两点式方程可得直线BC的方程为2x＋9y－65＝0.