浙教版八年级下册第五章 特殊平行四边形5.1 矩形同步达标检测题

第5章　特殊平行四边形

5.1　矩形

第1课时　矩形的性质

基础过关全练

知识点1　矩形的定义

1.【新考法】【一题多变】在平行四边形ABCD中,∠C=60°.要使平行四边形ABCD为矩形,AD至少要绕点A逆时针旋转              (　　)

A.30°　　　　B.40°　　　　C.60°　　　　D.120°

[变式]【新独家原创】在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,且AO=OC,BO=OD,则当∠ABC=　　　　度时,四边形ABCD是矩形. 

知识点2　矩形的性质

2.如图,矩形ABCD的对角线AC=8 cm,∠AOD=120°,则AB的长为 (　　)

A. cm　　　　 B.2 cm　　　　C.2 cm　　　　D.4 cm

3.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O,连结CE,则CE的长为              (　　)

A.3　　　　B.3.5　　　　C.2.5　　　　D.2.8

4.【新素材·手工制作】折纸大约起源于公元1世纪或者2世纪时的中国,6世纪时传入日本,再经由日本传到全世界,也有说法认为折纸起源于日本和西班牙.如图,这是一张矩形纸片,点E在边AB上,将纸片沿直线DE折叠,点A恰好落在边BC上的点F处.若AE=5,BF=3,则CD的长是              (　　)

A.7　　　　B.8　　　　C.9　　　　D.10

5.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=6,E是斜边AB上任意一点,作EF⊥AC于F,EG⊥BC于G,则矩形CFEG的周长是　　　　. 

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6.如图,在矩形ABCD中,AB=10,BC=5,点E、F分别在AB、CD上,将矩形ABCD沿EF折叠,使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A1、D1处,则两个阴影部分的周长之和为              (　　)

A.15　　　　B.20　　　　C.25　　　　D.30

7.【易错题】如图,在平面直角坐标系中,四边形AOBC是矩形,点O(0,0),点A(5,0),点B(0,3).以点A为旋转中心,顺时针旋转线段AO,得到线段AD,点O的对应点为D.当点D落在BC边上时,点D的坐标为              (　　)

A.　　　　B.(1,3)

C.　　　　D.(,3)

8.【学科素养·推理能力】如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=5,点P在AD上,点Q在BC上,且AP=CQ,连结CP,QD,则PC+QD的最小值为              (　　)

A.

9.【新考法】(2022浙江温州期末,10,)如图,在矩形ABCD中,点E,F在对角线AC的两侧,且到所在三角形三边的距离都等于1.若AC=5,则EF的长为              (　　)

A.

10.已知点E,F,G,H分别是四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,若AC⊥BD且AC≠BD,则四边形EFGH的形状是　　　　. 

11.【学科素养·推理能力】(2022浙江绍兴中考节选,24,)如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,动点E从点A出发,沿边AD,DC向点C运动,A,D关于直线BE的对称点分别为M,N,连结MN.当E在边AD上且DE=2时,求∠AEM的度数.

12.【一题多解】如图,已知矩形ABCD中,F是BC上一点,且AF=BC,DE⊥AF,垂足是E,连结DF.

求证:(1)△ABF≌△DEA;

(2)DF是∠EDC的平分线.

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13.【推理能力】如图,P是矩形ABCD内的任意一点,连结PA、PB、PC、PD,得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA,设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4,给出如下结论:

①S1+S2=S3+S4;②S2+S4=S1+S3;③若S3=2S1,则S4=2S2;④若S1=S2,则P点在矩形的对角线上.其中正确的结论的序号是　　　　　　　　　　　　. 

答案全解全析

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1.A　∵四边形ABCD是平行四边形,∠C=60°,

∴∠DAB=∠C=60°,

要使平行四边形ABCD为矩形,

只需∠DAB=90°,

∵90°-60°=30°,

∴AD至少要绕点A逆时针旋转30°.

[变式]90

解析　∵在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,且AO=OC,BO=OD,

∴四边形ABCD是平行四边形,

当∠ABC=90°时,四边形ABCD是矩形.

2.D　∵四边形ABCD是矩形,

∴OA=OB=OC=OD,

∵∠AOD=120°,

∴∠AOB=60°,

∴△AOB是等边三角形,

∴AB=OA=AC=4 cm.故选D.

3.C　∵四边形ABCD为矩形,∴AD=BC=4,CD=AB=2,∠D=90°,

∵直线EO是线段AC的垂直平分线,∴AE=CE.

设AE=x,则ED=AD-AE=4-x,CE=x,

在Rt△CDE中,CE2=CD2+ED2,

即x2=22+(4-x)2,解得x=2.5,

即CE的长为2.5.故选C.

4.C　∵四边形ABCD为矩形,

∴CD=AB,∠B=90°,

由折叠可知EF=AE=5,

在Rt△BEF中,BE==4,

∴CD=AB=AE+BE=5+4=9,故选C.

5.12

解析　∵AC=BC,∴∠A=∠B,

∵四边形CFEG是矩形,

∴EF∥BC,

∴∠AEF=∠B,

∴∠A=∠AEF,∴AF=EF,

同理EG=BG,

∴矩形CFEG的周长=EF+FC+CG+GE=AF+FC+CG+GB

=AC+CB=2AC=12.

故答案为12.

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6.D　因为在矩形ABCD中,AB=10,BC=5,

所以CD=AB=10,AD=BC=5,

根据折叠可得A1E=AE,A1D1=AD,D1F=DF,

设线段D1F与线段AB交于点M,则两个阴影部分的周长之和为

(A1E+EM+MD1+A1D1)+(MB+MF+FC+CB)

=AE+EM+MD1+AD+MB+MF+FC+CB

=(AE+EM+MB)+(MD1+MF+FC)+AD+CB

=AB+CD+10

=10+10+10

=30.

故选D.

7.B　如图,

∵A(5,0),B(0,3),∴OA=5,OB=3,

∵四边形AOBC是矩形,

∴OB=AC=3,OA=BC=5,∠C=90°,

∵线段AD是由线段AO旋转得到的,∴AD=OA=5,

在Rt△ACD中,CD==4,

∴BD=5-4=1,∴D(1,3).故选B.

8.A　如图,连结BP,

在矩形ABCD中,AD∥BC,AD=BC=5,

∵AP=CQ,∴AD-AP=BC-CQ,即DP=QB,

∵DP∥QB,∴四边形DPBQ是平行四边形,

∴PB=DQ,∴PC+QD=PC+PB,

延长BA至点E,使AE=AB=2,连结PE,

则BE=2AB=4,

∵PA⊥BE,∴直线PA是线段BE的垂直平分线,

∴PB=PE,∴PC+PB=PC+PE,

连结CE,则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE,

易知CE=,

∴PC+QD的最小值为,

故选A.

9.B　设EH⊥AB于H,EG⊥BC于G,EM⊥AC于M,FN⊥AC于N,AC交EF于O,连结AE,CE,EN,FM,如图所示:

∴EM∥FN,由题意得EH=EG=EM=FN=1,

∴四边形EMFN是平行四边形,

∴OM=ON=MN,OE=OF=EF,

∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=90°,

易知四边形BGEH是正方形,

∴BH=BG=EH=1,

在Rt△AHE和Rt△AME中,

∴Rt△AHE≌Rt△AME(HL),∴AH=AM,

在Rt△CGE和Rt△CME中,

∴Rt△CGE≌Rt△CME(HL),∴CG=CM,

设AB=x,BC=y,且y≥x,

则AH=AM=x-1,CG=CM=y-1,

∵AC=5,∴

解得(舍去),∴AM=2,CM=3,

同理得CN=2,

∴OM=(AC-AM-CN)=×(5-2-2)=,

在Rt△EMO中,由勾股定理得

OE=,

∴EF=2OE=.

10.矩形

解析　如图,易知HE=GF=DB,HE∥DB∥GF,HG=EF=AC,

HG∥AC∥EF,∴四边形EFGH为平行四边形,∵AC⊥BD,∴HE⊥HG,

∴∠EHG=90°,∴▱EFGH为矩形.

11.解析　如图,∵四边形ABCD是矩形,

∴∠A=90°,AD=BC=8,

∵DE=2,∴AE=6=AB,∴∠AEB=∠ABE=45°.

由对称的性质知∠BEM=45°,∴∠AEM=90°.

12.证明　(1)∵四边形ABCD是矩形,

∴∠B=90°,AD=BC,AD∥BC.

∴∠DAE=∠AFB,

∵DE⊥AF,∴∠DEA=90°=∠B.

∵AF=BC,∴AF=AD.∴△ABF≌△DEA.

(2)方法一:由(1)知△ABF≌△DEA,∴DE=AB.

∵四边形ABCD是矩形,

∴∠C=90°,DC=AB.∴DC=DE.

∵DE⊥AF,∴∠DEF=90°=∠C.

∵DF=DF,∴Rt△DCF≌Rt△DEF,

∴∠EDF=∠CDF.∴DF 是∠EDC的平分线.

方法二:由(1)知△ABF≌△DEA,∴BF=EA.

∵AF=BC,∴EF=CF.

∵DE⊥AF,∴∠DEF=90°=∠C.

∴DF 是∠EDC的平分线.

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13.②④

解析　过点P分别作△PAB、△PBC、△PCD、△PAD的高,分别记做h1、h2、h3、h4,如图①,

由矩形的性质知AB=CD,AD=BC,

所以S1+S2=BC·h2,S3+S4=AD·h4,显然①不一定成立;

S1+S3=AB(h1+h3)=AB·BC,

S2+S4=BC(h2+h4)=BC·AB,显然②一定成立;

因为S3=2S1,AB=DC,所以h3=2h1,

因为点P到直线AD的距离与点P到直线BC的距离不确定,即h4与h2的长度不确定,所以S4与S2的关系不确定,故③不一定成立;

连结BD,过点A作AM⊥BD于M,过点C作CN⊥BD于N,在BD上截取DP'=DP,连结P'A、P'C,如图②,易证△ABM≌△CDN,所以AM=CN,

由S1=S2,且△PAB、△PCB有一条公共边PB可知,点A、C到直线BP的距离相等,

所以BP与BP'重合,即点P在对角线BD上,故④正确.

综上,正确的结论的序号为②④.

图①       图②