初中数学浙教版八年级下册5.1 矩形精练

专题5.1  矩形-重难点题型

【浙教版】

【题型1  矩形的性质（求角的度数）】

【例1】（2021春•南京月考）如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，DE⊥AC于点E，∠AOD＝110°，则∠CDE大小是（　　）

A．55° B．40° C．35° D．20°

【变式1-1】（2021春•天津期中）如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上一点，且FC＝2BF，连接AE，EF，AF．若AB＝2，AD＝3，则∠AEF的大小为（　　）

A．30° B．45° C．60° D．不能确定

【变式1-2】（2021春•秦淮区校级月考）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AE平分∠BAD交于点E，且BO＝BE，则∠CAE＝　  　．

【变式1-3】（2021春•苏州期中）已知：如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，且EC平分∠BED，若AB＝1，BC，则∠ECD＝　  　°．

【题型2  矩形的性质（求线段长度）】

【例2】（2021春•江阴市月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是（　　）

A．3 B．5 C．2.4 D．2.5

【变式2-1】（2021春•鄞州区校级期中）矩形ABCD与ECFG如图放置，点B，C，F共线，点C，E，D共线，连接AG，取AG的中点H，连接EH．若AB＝CF＝4，BC＝CE＝2，则EH＝（　　）

A． B．2 C． D．

【变式2-2】（2021春•玄武区期中）如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE，AF，则AC的长为　  　．

【变式2-3】（2021春•苏州期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，E是AD上一点，AE＝1，P是BC上一动点，连接AP，取AP的中点F，连接EF，当线段EF取得最小值时，线段PD的长度是　 　．

【题型3  矩形的性质综合】

【例3】（2021春•余杭区月考）已知：如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，且AE＝AD，DF⊥AE于点F．

（1）求证：CE＝FE；

（2）若FD＝5，CE＝1，求矩形的面积．

【变式3-1】（2021春•渝中区校级期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，交BD于点F．已知∠CAE＝15°，AB＝2．

（1）求矩形ABCD的面积；

（2）求证：OE＝FE．

【变式3-2】（2020秋•天心区期末）如图所示，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE＝CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC．

（1）求证：OE＝OF；

（2）若AC＝6，求AB的长．

【变式3-3】（2021春•越秀区校级期中）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E射线BC上一动点，△ABE关于AE的轴对称图形为△FAE．

（1）当点F在对角线AC上时，求FC的长；

（2）当△FCE是直角三角形时，求BE的长．

【题型4  直角三角形斜边中线】

【例4】（2021春•海淀区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F为DE的中点，连接BF，若BF＝3，则BC的长为（　　）

A．6 B．3 C．8 D．6

【变式4-1】（2021春•海淀区校级月考）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，M、N分别为对角线BD、AC的中点，连接MN，判定MN与AC的位置关系并证明．

【变式4-2】（2021春•东湖区期中）如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，点M，N分别是BC，DE的中点．

（1）求证：MN⊥DE；

（2）若∠A＝60°，连接EM，DM，判断△EDM的形状，并说明理由．

【变式4-3】（2021春•邛崃市期中）如图，△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．

（1）求证：MN⊥DE；

（2）连接DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并写出推理过程．

【题型5  判定矩形成立的条件】

【例5】（2021春•阳谷县期末）在四边形ABCD中，AC，BD交于点O．在下列各组条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（　　）

A．∠A＝∠C，∠B+∠C＝180°，AC⊥BD 

B．AO＝CO，BO＝DO，∠A＝90° 

C．∠A＝∠B＝90°，AC＝BD 

D．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD

【变式5-1】（2021春•招远市期中）如图，下列条件不能判定四边形ABCD是矩形的是（　　）

A．∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝90° B．AB∥CD，AB＝CD，AB⊥AD 

C．AO＝BO，CO＝DO D．AO＝BO＝CO＝DO

【变式5-2】（2020春•涿鹿县期中）在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O且AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是矩形，则这个条件可以是　                  　（填写一个即可）．

【变式5-3】（2020春•房山区期末）在四边形ABCD中，有以下四个条件：

①AB∥CD；②AD＝BC；③AC＝BD；④∠ADC＝∠ABC．

从中选取三个条件，可以判定四边形ABCD为矩形．则可以选择的条件序号是　       　．

【题型6  矩形的判定证明（根据直角判定）】

【例6】（2021春•龙口市期中）如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，F为BA延长线上的一点，AE平分∠FAC，DE∥BA交AE于E．求证：四边形ADCE是矩形．

【变式6-1】（2021春•南京月考）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E是AD边的中点，过点A作AF∥CB交CE的延长线于点F，连接BF．

（1）求证：AF＝BD；

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形BDAF为矩形，并说明理由．

【变式6-2】（2021•连云港模拟）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．

（1）求证：△ABE≌△CDF；

（2）当线段AB与线段AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．

【变式6-3】（2020春•鄂州期中）如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．

（1）判断OE与OF的大小关系？并说明理由；

（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由；

【题型7  矩形的判定证明（根据对角线判定）】

【例7】（2021春•静海区月考）如图，将▱ABCD的边AB延长至点E，使AB＝BE，连接DE，EC，BD，DE交BC于点O．

（1）求证△ABD≌△BEC；

（2）若∠BOD＝2∠A，求证四边形BECD是矩形．

【变式7-1】（2020秋•丹东期末）如图，AD是△ABC的中线，AE∥BC，且AEBC，连接DE，CE．

（1）求证：AB＝DE；

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是矩形？并说明理由．

【变式7-2】（2020秋•兰州期末）如图，AC、BD相交于点O，且O是AC、BD的中点，点E在四边形ABCD外，且∠AEC＝∠BED＝90°，求证：四边形ABCD是矩形．

【变式7-3】（2021春•镇江期中）如图，在△ABC中，O是AC上的任意一点（不与点A、C重合），过点O平行于BC的直线l分别与∠BCA、∠DCA的平分线交于点E、F．

（1）OE与OF相等吗？证明你的结论．

（2）试确定点O的位置，使四边形AECF是矩形，并加以证明．

【题型8  矩形的判定与性质综合】

【例8】（2021春•崇川区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，AD∥BC，∠ADC＝∠ABC，OA＝OB．

（1）如图1，求证：四边形ABCD为矩形；

（2）如图2，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，若AD＝12，AB＝5，求PE+PF的值．

【变式8-1】（2021春•惠民县期末）如图，过△ABC边AC的中点O，作OE⊥AC，交AB于点E，过点A作AD∥BC，与BO的延长线交于点D，连接CD，CE，若CE平分∠ACB，CE⊥BO于点F．

（1）求证：

①OC＝BC；

②四边形ABCD是矩形；

（2）若BC＝3，求DE的长．

【变式8-2】（2020春•滨江区期末）矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．点E，F在对角线AC上，点M，N分别在边AD，BC上．

（1）如图1，若AE＝CF＝1，M，N分别是AD，BC的中点．求证：四边形EMFN为矩形．

（2）如图2，若AE＝CF＝0.5，AM＝CN＝x（0＜x＜2），且四边形EMFN为矩形，求x的值．

【变式8-3】（2020春•定远县期末）如图1，已知AD∥BC，AB∥CD，∠B＝∠C．

（1）求证：四边形ABCD为矩形；

（2）M为AD的中点，在AB上取一点N，使∠BNC＝2∠DCM．

①如图2，若N为AB中点，BN＝2，求CN的长；

②如图2，若CM＝3，CN＝4，求BC的长．